武汉大学2010-2012概率论与数理统计D期末试题及答案2套
概率论与数理统计》期末考试试题及解答
概率论与数理统计》期末考试试题及解答1.设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)+P(B)=0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为0.3.解：由题意可得：P(AB+AB)=0.3，即0.3=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-2P(AB)，所以P(AB)=0.1，P(A∪B)=P(AB)=1-P(AB)=0.9.2.设随机变量X服从泊松分布，且P(X≤1)=4P(X=2)，则P(X=3)=1/e6.解答：由P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=e^(-λ)+λe^(-λ)=5λe^(-λ/2)得e^(-λ/2)=0.4，即λ=ln2，所以P(X=2)=e^(-λ)λ^2/2!=1/6，又因为P(X≤1)=4P(X=2)，所以P(X=0)+P(X=1)=4P(X=2)，即e^(-λ)+λe^(-λ)=4λe^(-λ)，解得λ=ln2，故P(X=3)=e^(-λ)λ^3/3!=1/e6.3.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y=X在区间(0,4)内的概率密度为f_Y(y)=1/2，0<y<4；其它为0.解答：设Y的分布函数为F_Y(y)，X的分布函数为F_X(x)，密度为f_X(x)，则F_Y(y)=P(Y≤y)=P(X≤y)=F_X(y)-F_X(0)。
因为X~U(0,2)，所以F_X(0)=0，F_X(y)=y/2，故F_Y(y)=y/2，所以f_Y(y)=F_Y'(y)=1/2，0<y<4；其它为0.4.设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，P(X>1)=e^(-λ)，则λ=2，P{min(X,Y)≤1}=1-e^(-λ)。
解答：因为P(X>1)=1-P(X≤1)=e^(-λ)，所以λ=ln2.因为X,Y相互独立且均服从参数为λ的指数分布，所以P{min(X,Y)≤1}=1-P{min(X,Y)>1}=1-P(X>1)P(Y>1)=1-e^(-λ)。
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设A、B为两个事件，且P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，则P(A∪B)等于（）A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.7参考答案：D2. 设随机变量X的分布函数为F(x)，若F(x)是严格单调增加的，则X的数学期望（）A. 存在且大于0B. 存在且小于0C. 存在且等于0D. 不存在参考答案：A3. 设X～N(0,1)，以下哪个结论是正确的（）A. P(X<0) = 0.5B. P(X>0) = 0.5C. P(X=0) = 0.5D. P(X≠0) = 0.5参考答案：A4. 在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，则连续n次试验成功的概率为（）A. p^nB. (1-p)^nC. npD. n(1-p)参考答案：A5. 设随机变量X～B(n,p)，则X的二阶矩E(X^2)等于（）A. np(1-p)B. npC. np^2D. n^2p^2参考答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设随机变量X～N(μ,σ^2)，则X的数学期望E(X) = _______。
参考答案：μ2. 若随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则X+Y的概率密度函数f(x) = _______。
参考答案：f(x) = (1/√(2πσ^2))exp(-x^2/(2σ^2))3. 设随机变量X、Y相互独立，且X～B(n,p)，Y～B(m,p)，则X+Y～_______。
参考答案：B(n+m,p)4. 设随机变量X、Y的协方差Cov(X,Y) = 0，则X、Y的相关系数ρ = _______。
参考答案：ρ = 05. 设随机变量X～χ^2(n)，则X的期望E(X) = _______，方差Var(X) = _______。
参考答案：E(X) = n，Var(X) = 2n三、计算题（每题10分，共40分）1. 设随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，求X+Y的概率密度函数f(x)。
《概率分析与数理统计》期末考试试题及解答(DOC)
《概率分析与数理统计》期末考试试题及
解答(DOC)
概率分析与数理统计期末考试试题及解答
选择题
1. 以下哪个选项不是概率的性质？
- A. 非负性
- B. 有界性
- C. 可加性
- D. 全备性
答案：B. 有界性
2. 离散随机变量的概率分布可以通过哪个方法来表示？
- A. 概率分布函数
- B. 累积分布函数
- C. 概率密度函数
- D. 方差公式
答案：B. 累积分布函数
计算题
3. 一批产品有10% 的不合格品。
从该批产品中随机抽查5个，计算至少有一个不合格品的概率。
解答：
设事件 A 为至少有一个不合格品的概率，事件 A 的对立事件
为没有不合格品的概率。
不合格品的概率为 0.1，合格品的概率为 0.9。
则没有不合格品的概率为 (0.9)^5。
至少有一个不合格品的概率为 1 - (0.9)^5，约为 0.409。
4. 一个骰子投掷两次，计算至少一次出现的点数大于3的概率。
解答：
设事件 A 为至少一次出现的点数大于3的概率，事件 A 的对立事件为两次投掷点数都小于等于3的概率。
一个骰子点数大于3的概率为 3/6 = 1/2。
两次投掷点数都小于等于3的概率为 (1/2)^2 = 1/4。
至少一次出现的点数大于3的概率为 1 - 1/4，约为 0.75。
以上是《概率分析与数理统计》期末考试的部分试题及解答。
希望对你有帮助！。
武汉大学《概率论与数理统计》期末考试历年真题及参考答案
6、解：首先确定 f (x, y)
1[
1 x dy]dx
6,0 x 1, x2
y x；
0 x2
E(X)=
1[
0
x x2
x
6dy]dx
1 2
；E(X
2
)=
1[
0
x x2
x2
6dy]dx
3 10
；E(Y)=
1[
0
y
y y 6dx]dy
2 5
E(Y 2 )=
1[
0
y
y
(
1 2
x)(
1 2
y)
f
(x,
y), 所以X ,Y不独立；
（3）1[ 1h(x y) f (x, y)dy]dx 1[ x1 h(z)(x x z)dz]dx
00
0x
0 [ z1 h(z)(2x z)dx]dz 1 1 h(z)(2x z)dx]dz
1 0
0z
0 h(z)(z2 z 1)dz 1 h(z)(1 z2 z)dz
Z 0 1234
P
1 131 1
(Z) 16 4 8 4 16
武汉大学2011-2012 第一学期《概率论与数理统 计》期末试题及参考答案
一、解：(1)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.5+0.4-0.5×0.4=0.7
(2)P((A-B)|(A+B))=P((A-B)∩(A+B))/P(A+B)=[P(A)-P(A)P(B)]/P(A+B)=0.3/0.7=3/7 二、解：
y
2
6dx]dy
3 14
；E(XY)=
概率论和数理统计期末考试试题及答案 (2)
一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分）（1）设A 、B 互不相容，且P(A)〉0,P （B ）〉0，则必有（A ）0)(>A B P （B ）)()(A P B A P =（C ）0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P =(2）某人花钱买了C B A 、、三种不同的奖券各一张。
已知各种奖券中奖是相互独立的，中奖的概率分别为,02.0)(,01.0)(,03.0)(===C p B P A p 如果只要有一种奖券中奖此人就一定赚钱,则此人赚钱的概率约为(A) 0.05 (B ） 0。
06 （C ） 0.07 （D) 0.08（3)),4,(~2μN X ),5,(~2μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则（A ）对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ(C ）只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p >（4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意实数a 成立的是（A ）⎰-=-adx x f a F 0)(1)( （B ）⎰-=-a dx x f a F 0)(21)( （C ）)()(a F a F =- （D)1)(2)(-=-a F a F(5）二维随机变量(X ，Y ）服从二维正态分布,则X +Y 与X -Y 不相关的充要条件为(A ）EY EX = (B)2222][][EY EY EX EX -=-（C ）22EY EX = （D ） 2222][][EY EY EX EX +=+二、填 空 题 （本大题5小题, 每小题4分, 共20分）(1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ，4.0)(=⋃B A P ，则___________)(=B A P 0。
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
1
2
r2 2
e 8 rdrd
D2 4
8
0
1
x
01
2
2
r2
e 8d(
r2 )
r2 2
1
1
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e 8 e 2；
1
8
1
（ 2） EZ E ( X 2 Y 2 )
12
r2
re 8 rdrd
8
0
0
x 2 y2
x2 y2 1 e 8 dxdy 8
1
r2
e 8 r 2dr
40
7
r2
re 8
0
r2
e 8 dr
2
0
z z=x
z
z
0
z 1 时 fZ ( z)
2 dx 0
2x 0
2z
6
x
故 Z 的概率密度为
Z 的分布函数为
f Z (z)
z
fZ ( y)dy
或利用分布函数法
f Z ( z)
2z, 0 z 1, 0 , 其它．
0,
z0
z
2ydy, 0 z 1
0
1,
z1
0 , z 0, z2, 0 z 1, 1 , z 1.
n
( 1)xi ( 1)n( x1 , , xn )
i1
n
ln L n ln( 1)
ln xi
i1
d ln L d
n
n
ln xi 0
1 i1
解似然方程得 的极大似然估计为
2
二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1
1n
1.
ln xi
ni1
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答.doc
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答一、填空题（每小题3分，共15分）1．设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)?P(B)?0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为__________.答案：0.3解：P(A?B)?0.3即0.3?P(A)?P(B)?P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB)?0.5?2P(AB)所以P(AB)?0.1P(?)?P(AB)?1?P(AB)?0.9.2．设随机变量X服从泊松分布，且P(X?1)?4P(X?2)，则P(X?3)?______.答案：1?1e6解答：P(X?1)?P(X?0)?P(X?1)?e????e,??P(X?2)??22e??????2?? 由P(X?1)?4P(X?2) 知e??e?2?e2 即2????1?0 解得??1，故P(X?3)?1?1e 623．设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y?X在区间(0,4)内的概率密度为fY(y)?_________.答案：0?y?4,fY(y)?FY?(y)?fX? 0,其它.?解答：设Y的分布函数为FY(y),X的分布函数为FX(x)，密度为fX(x)则FY(y)?P(Y?y)?P(X?2y)?y?)yX)Xy? ?)y 因为X~U(0,2)，所以FX(?0，即FY(y)?FX故10?y?4,fY(y)?FY?(y)?fX? 0,其它.?另解在(0,2)上函数y?x2严格单调，反函数为h(y)?所以0?y?4,fY(y)?fX? ?0,其它.?24．设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为?的指数分布，P(X?1)?e，则??_________，P{min(X,Y)?1}=_________.答案：??2，P{min(X,Y)?1}?1?e-4解答：P(X?1)?1?P(X?1)?e???e?2，故??2P{min(X,Y)?1}?1?P{min(X,Y)?1}?1?P(X?1)P(Y?1)?1?e?4.5．设总体X的概率密度为???(??1)x,0?x?1, f(x)?? ???1. ?其它?0,X1,X2,?,Xn是来自X的样本，则未知参数?的极大似然估计量为_________.答案：???11nlnxi?ni?1?1解答：似然函数为L(x1,?,xn;?)??(??1)xi??(??1)n(x1,?,xn)?i?1nlnL?nln(??1)??n?lnxi?1ni解似然方程得?的极大似然估计为dlnLn???lnxi?0 d???1i?12?? ?11n?lnxini?1?1.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设A,B,C为三个事件，且A,B相互独立，则以下结论中不正确的是（A）若P(C)?1，则AC与BC也独立.（B）若P(C)?1，则A?C与B也独立.（C）若P(C)?0，则A?C与B也独立.（D）若C?B，则A与C也独立. （）答案：（D）.解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）.事实上由图可见A与C不独立.2．设随机变量X~N(0,1),X的分布函数为?(x)，则P(|X|?2)的值为（A）2[1??(2)]. （B）2?(2)?1.（C）2??(2). （D）1?2?(2). （）答案：（A）解答：X~N(0,1)所以P(|X|?2)?1?P(|X|?2)?1?P(?2?X?2)(2)??(?2)?1?[2?(2?) ?1??1]?2?[1 ? 应选（A）.3．设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是（A）X与Y独立. （B）D(X?Y)?DX?DY.（C）D(X?Y)?DX?DY. （D）D(XY)?DXDY. （） 3答案：（B）解答：由不相关的等价条件知，?xy?0?cov（x，y）?0 D(X?Y)?DX?DY+2cov （x，y）应选（B）.4．设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3) P111169183??若X,Y独立，则?,?的值为（A）??29,??19. （A）??129,??9.（C）??16,??16 （D）??518,??118.4 ）（答案：（A）解答：若X,Y独立则有??P(X?2,Y?2)?P(X?2)P(Y?2) 1121 ?(????)(??)?(??) 393921 ???，??99 故应选（A）.5．设总体X的数学期望为?,X1,X2,?,Xn为来自X的样本，则下列结论中正确的是（A）X1是?的无偏估计量. （B）X1是?的极大似然估计量.（C）X1是?的相合（一致）估计量. （D）X1不是?的估计量. （）答案：（A）解答：EX1??，所以X1是?的无偏估计，应选（A）.三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设A?‘任取一产品，经检验认为是合格品’B?‘任取一产品确是合格品’则（1）P(A)?P(B)P(A|B)?P()P(A|)?0.9?0.95?0.1?0.02?0.857.（2）P(B|A)?四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.5 P(AB)0.9?0.95??0.9977. P(A)0.857解：X的概率分布为P(X?k)?C3()()k25k353?kk?0,1,2,3.X即X的分布函数为P02712515412523612538 125x?0,?0,?27?,0?x?1,?125??81,1?x?2, F(x)???125?117 2?x?3,?125,?x?3.?1,?26EX?3??,552318DX?3???.5525五、（10分）设二维随机变量(X,Y)在区域D?{(x,y)|x?0,y?0,x?y?1} 上服从均匀分布. 求（1）(X,Y)关于X的边缘概率密度；（2）Z?X?Y的分布函数与概率密度.（1）(X,Y)的概率密度为?2,(x,y)?Df(x,y)??0,其它.?fX(x)?（2）利用公式fZ(z)? 其中f(x,z?x)????????????2?2x,0?x?1f(x,y)dy??0,其它??f(x,z?x)dx?2,0?x?1,0?z?x?1?x?2,0?x?1,x?z?1.??0,其它??0,其它.当z?0或z?1时fZ(z)?0 0?z?1时fZ(z)?2?z0dx?2x0?2zz6故Z的概率密度为??2z,0?z?1,fZ(z)????0,其它.Z的分布函数为fZ(z)??z??z?0?0,?0,z?0,?z??fZ(y)dy???2ydy,0?z?1??z2,0?z?1, 0??1,z?1.?z?1??1,或利用分布函数法?z?0,?0,?FZ(z)?P(Z?z z1,)?P(X?Y?)z,y0??????2dxd?D1?1,z?1.??0,?2, ??z?1,?z?0,0?z?1, z?1.?2z,?0,0?z?1,其它.fZ(z)?FZ?(z)??六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独立，且均服从N(0,2)分布. 求（1）命中环形区域D?{(x,y)|1?x?y?2}的概率；（2）命中点到目标中心距离Z?1）P{X,Y)?D}?222.??f(x,y)dxdyD???2??4D?x2?y28dxdy? 18?r282??2?21e?r28rdrd??（2）EZ?E? ?21e?r28d(?)??e 82??e?e；1?18?12 ?? ??r28 ????1e?04 ???1e8??x2?y28dxdy?18???2???0re?rdrd??r28r2dr7??rer2?8????0??0e?r28dr??????r28dr?.七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm）X~N(?,?2)，今抽取容量为16的样本，测得样本均值?10，样本方差s2?0.16. （1）求?的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设H0:?2?0.1（显著性水平为0.05）.（附注）t0.05(16)?1.746,t0.05(15)?1.753,t0.025(15)?2.132,解：（1）?的置信度为1??下的置信区间为(?t?/2(n?222?0.05(16)?26.296,?0.05(15)?24.996,?0.025(15)?27.488. ?t?/2(n??10,s?0.4,n?16,??0.05,t0.025(15)?2.132所以?的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）2 （2）H0:?2?0.1的拒绝域为?2???(n?1).15S22?15?1.6?24，?0.05 ??(15)?24.996 0.12 因为?2?24?24.996??0.05(15)，所以接受H0.2《概率论与数理统计》期末考试试题（A）专业、班级：姓名：学号：一、单项选择题(每题3分共18分)891011121314151617《概率论与数理统计》课程期末考试试题（B）专业、班级：姓名：学号：181920212223242526272829共8页30。
大学《概率论与数理统计》期末考试试卷含答案
大学《概率论与数理统计》期末考试试卷含答案一、填空题(每空 3 分，共 30分)在显著性检验中，若要使犯两类错误的概率同时变小，则只有增加 样本容量 .设随机变量具有数学期望与方差，则有切比雪夫不等式 .设为连续型随机变量,为实常数，则概率= 0 . 设的分布律为，,若绝对收敛(为正整数),则=.某学生的书桌上放着7本书，其中有3本概率书,现随机取2本书,则取到的全是概率书的概率为. 设服从参数为的分布,则=. 设，则数学期望= 7 .为二维随机变量, 概率密度为, 与的协方差的积分表达式为 .设为总体中抽取的样本的均值,则＝ . (计算结果用标准正态分布的分布函数表X ()E X μ=2()D X σ={}2P X μσ-≥≤14X a {}P X a =X ,{}1,2,k k P X x p k ===2Y X =1n k k k x p ∞=∑n()E Y 21k k k x p ∞=∑17X λpoisson (2)E X 2λ(2,3)YN 2()E Y (,)X Y (,)f x y X Y (,)Cov X Y (())(())(,)d d x E x y E y f x y x y +∞+∞-∞-∞--⎰⎰X N （3，4）14,,X X {}15P X ≤≤2(2)1Φ-()x Φ示)10. 随机变量,为总体的一个样本，,则常数=.A 卷第1页共4页 概率论试题(45分) 1、(8分)题略解：用，分别表示三人译出该份密码,所求概率为 （2分）由概率公式 （4分）（2分） 2、(8分) 设随机变量，求数学期望与方差.解：(1) = （3分） (2) （3分） （2分）(8分) 某种电器元件的寿命服从均值为的指数分布,现随机地取16只，它们的寿命相互独立，记，用中心极限定理计算的近似值(计算结果用标准正态分布的分布函数表示).2(0,)XN σn X X X ,,,21 X221()(1)ni i Y k X χ==∑k 21n σA B C 、、P A B C （）P A B C P ABC P A P B P C （）=1-（）=1-（）（）（）1-1-1-p q r =1-（）（）（）()1,()2,()3,()4,0.5XY E X D X E Y D Y ρ=====()E X Y +(23)D X Y -()E X Y +E X E Y （）+（）=1+3=4(23)4()9()12ov(,)D X Y D X D Y C X Y -=+-8361244XYρ=+-=-100h i T 161ii T T ==∑{1920}P T ≥()x Φ解： （3分） （5分）(4分)(10分)设随机变量具有概率密度,.(1)求的概率密度； (2) 求概率.解: (1) （1分）A 卷第2页共4页（2分）（2分）概率密度函数 （2分）(2) . （3分） (11分) 设随机变量具有概率分布如下,且.i i ET D T E T D T 2（）=100，（）=100，（）=1600，（）=160000{1920}0.8}1P T P ≥=≥≈-Φ（0.8）X 11()0x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩，，其它21Y X =+Y ()Y f y 312P Y ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭12Y Y y F y y F y≤>时（）=0,时（）=1212,{}{1}()d Y y F yP Y y P X y f x x <≤≤=+≤=（）=02d 1x y ==-2()=Y Y y f y F y≤⎧'⎨⎩1,1<（）=0，其它3102Y YP Y F F ⎧⎫-<<=-=⎨⎬⎩⎭311（）-（-1）=222(,)X Y {}110P X Y X +===(1)求常数； (2)求与的协方差,并问与是否独立?解: (1) （2分）由（2分） 可得 （1分）(2), , （3分） （2分） 由可知与不独立 （1分） 三、数理统计试题(25分)1、(8分) 题略. A 卷第3页共4页 证明:,相互独立（4分） ,（4分）,p q X Y (,)Cov X Y X Y 1111134123p q p q ++++=+=，即{}{}{}{}{}101011010033P X Y X P Y X p P X Y X P X P X p +====+========+，，1p q ==EX 1（）=2E Y 1（）=-3E XY 1（）=-6,-CovX Y E XY E X E Y （）=（）（）（）=0..ij i j P P P ≠X Y 222(1)(0,1),(1)X n S N n χσ--22(1)X n S σ-2(1)X t n -(1)X t n -(10分) 题略解：似然函数 （4分）由 可得为的最大似然估计 (2分)由可知为的无偏估计量，为的有偏估计量 (4分) 、(7分) 题略 解： （2分）检验统计量，拒绝域 （2分）而 （1分）因而拒绝域，即不认为总体的均值仍为4.55 （2分）A 卷第4页共4页2221()(,)2n i i x L μμσσ=⎧⎫-=-⎨⎬⎩⎭∑2221()ln ln(2)ln() 222ni i x n n L μπσσ=-=---∑2222411()ln ln 0,022n ni i i i x x L L nμμμσσσσ==--∂∂===-+=∂∂∑∑221111ˆˆ,()n n i i i i x x n n μσμ====-∑∑2,μσ221ˆˆ(),()n nE E μμσσ-==11ˆn i i x n μ==∑μ2211ˆ()ni i x n σμ==-∑2σ01: 4.55: 4.55H H μμ=≠x z =0.025 1.96z z ≥=0.185 1.960.036z ==>0H。
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X\Y 0 0 1 2
1 16 1 8 1 16
1
1 8 1 4 1 8
2
1 16 1 8 1 16
M\N 0 1 2
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1 01 4 Biblioteka 42 0 01 16
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武汉大学 2011-2012 概率论与数理统计 D(第一学期)期末试卷答案
一、解：(1)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.5+0.4-0.5×0.4=0.7
。
八、（12 分）某商店经销某商品，已知销售量和进货量相互独立，且均在(50,100)上服从均 匀分布。若每销售 1 单位获利 500 元，且需求量大于进货量时可以从其他部门调剂，此时 每单位获利 300 元；如果有积压，则每单位亏损 200 元。求平均利润。
武汉大学 2010-2011 第一学期概率论与数理统计 D 期末试题答案
M max{ X 1 , X 2 ,..., X n } 的概率分布，并计算 M 的期望和方差。
六、（12 分）某单位有 300 部电话，每部电话约有 4%的时间要使用外线。假设每部电话是 否使用外线通话是相互独立的， 问该单位至少需要安装多少条外线， 才能保证外线畅通 的概率不少于 0.95？（已知 (1.65) 0.95 ） 七、（12 分） 若随机变量 ( X ,Y ) 在区域 D : x2 y2 1上服从均匀分布， 求它们的的相关系数
(2)P((A-B)|(A+B))=P((A-B)∩(A+B))/P(A+B)=[P(A)-P(A)P(B)]/P(A+B)=0.3/0.7=3/7
二、解：
P P(合格且来自甲厂)/P(合格) 5 5 3 2 ( ) 0.9 /[( ) 0.9 ( ) 0.8 ( ) 0.75] 53 2 53 2 53 2 53 2 15 4.5 (4.5 2.4 1.5) 28
[
0
0
Ae ( x2 y ) dx]dy
1 A 1 ，得 A=2； 2
0
0
f ( x, y )dy 2e x e 2 y dy e x ； f X ( x) 2e ( x2 y ) dy 2e 2 y
0 ( x2 y )
武汉大学 2010-2011 第一学期 概率论与数理统计 D 期末试题（A 卷） （36 学时） 1 1 1、 （12 分）若 p ( A) p ( B ) p (C ) ， P ( AB ) P ( BC ) 0 ， P ( AC ) 。 4 8
⑴求 A, B, C 三个事件中至少出现一个的概率。 ⑵求 p (C A B ) 。
E(X)= [
2
x 6dy ]dx
D(Y ) E (Y 2 ) E 2 (Y )
19 Cov( X , Y ) 1330 0.9597 ； 350 38 D( X ) D(Y )
Z=X+Y 的分布律： Z P (Z) 0
1 16
7、解：至少要装 103 个。 （详细请参考课本 P195 例 5.2.5） 8、解：X,Y 分布率为： M、N 的联合分布率为：
x y f ( x, y ) 0
x 1, 0 y 1 ； 其他
（1）求随机变量 X 和 Y 的边缘概率密度 f x ( x); f y ( y ) ； （2） X 和 Y 是否独立 ？ （3）求 Z X Y 的概率密度 五、（ 14 分）设 n 个随机变量 X 1 , X 2 ,..., X n 相互独立且服从 [0, ] 上的均匀分布，试求
（1）求 A 的值？
（2）求 f X x , fY y ； （4）求 Z X Y 的密度。
（3）随机变量 X 与 Y 是否独立？
5、 （12 分）设某种商品每周的需求量 X 是服从区间 10,30 上均匀分布的随机变量，而经 销商进货数量 Y 为区间 10,30 中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利 500 元；若供 大于求则削价处理，每处理 1 单位商品亏损 100 元；若供不应求，则可从外部调剂供应， 此 时每单位仅获利 300 元。为使商店所获利润期望值不少于 9280，试确定最小进货量。 6、 （12 分）若随机变量 X , Y 在 D : 0 x 1, x y x 上服从均匀分布，求 X 与 Y 的相
三、解：(1)由切比雪夫不等式可知：
因为：E ( X ) 2000, 所以 200 D( X ) 10000(1 0.2) 0.2 1600 D( X ) 1600 P (| X E ( X ) | 200) 1 - 2 1 0.96 40000
（1） 四、解：
1 1 1 0 f ( x, y )dy 0 ( x y )dy x, (0 x 1) f X ( x) 2 0, else 1 1 1 0 f ( x, y )dy 0 ( x y )dx y, (0 y 1) fY ( y ) 2 0, else
2
关系数 xy 。 7、 （12 分）某厂生产的钉子的不合格率为 0.01 。问一盒钉子中至少要装多少个才能保证其 中有 100 只合格品的概率不少于 0.95 ？（已知 (1.65) 0.95 ） 8 、（ 12 分 ） 若 随 机 变 量 X , Y 独 立 而 且 服 从 二 项 分 布 B (2, 0.5) ，
0 y 0 z z 0
2h( z )e z [ e y dy ]dz h( z )2e 2 z dz
所以 Z=X+Y 的密度： f Z ( z ) 2e
2 z
5、解：讨论当 X≥Y 时，利润是 W 1 =500Y+300(X-Y)=300X+200Y； 当 X<Y 时，有利润 W 2 =500X-100(Y-X)=600X-100Y。 理论上利润的期望 W P ( X Y )W1 P ( X Y )W2 =
1 1 (2)因为f X ( x) fY ( y ) ( x)( y ) f ( x, y ), 所以X , Y不独立； 2 2
（3） [ h( x y) f ( x, y)dy]d x [
0 0 0
1
1
1
x 1
x
h( z )( x x z )dz ]d x
[ h( z )(2 x z )dx]d z
1 0 0 1 1 0
0
z 1
1 1
0 z
h( z )(2 x z )dx]d z
h( z )( z 2 z 1)dz h( z )(1 z 2 z )dz z z 1,1 z 0 所以f Z ( z ) 1 z 2 z ,0 z 1 0, else
1、 解： （1） P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)-P(B)P(C)-P(C)P(A)+P(A)+P(B)P(B)P(C)= （2）P(C|A∪B)=P(C∩(A∪B))/P(A∪B)=(1/8)/(1/4+1/4)=1/4 2、解： P ( A生产)
1 2 0
（3）因为 f X ( x) f Y ( y ) 2e （4）利用积分转化法有：
f ( x, y ) ；所以变量 X 与 Y 独立
[
0 0
0
h( x y )2e ( x2 y ) dx]dy [ h( z )2e ( z y ) dz ]dy [ h( z )2e ( z y ) dy ]dz
5 8
P ( A生产且次品) 60% 1% 3 P (次品) 60% 1% 40% 2% 7 2 xdx 1 27 2 1 2 3 2 ； （2）P(Y=2)= C4 ( ) ( ) 4 4 4 128
3、解： （1）P(A)=
4、解： （1）由概率的归一化条件的性质： （2） f X ( x)
2、 （12 分）设工厂 A 和 B 的产品的次品率分别为 1%和 2%，现从由 A 和 B 的产品分别占 60% 和 40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求它是 A 生产的概率。 3、 （14 分）若随机变量 X 的概率密度 f ( x)
2 x 0
0 x 1 1 ， 记 A 为事件 X ； 其他 2
对随机变量 X 进行 4 次观测，以 Y 表示事件 A 出现的次数； ⑴
p ( A) ；
⑵求 p (Y 2) 。
x 2 y , x 0, y 0 Ae 4、 （14 分）若随机变量 X , Y 的联合概率密度为 f x, y ， 0, 其它
2
五、解:
m FM (m) ( ) n
m m 1 f M (m) [( ) n ]' n( ) n1
E ( M ) f (m)mdm
0
E (M 2 )
0
n n 1 n 2 f (m)m 2 dm n2 n 2 (n 2)(n 1) 2 1, 第k部电话使用外线通话 0，第k部电话使用外线通话
，则 n A
D( M ) E ( M 2 ) E 2 ( M )
六、解：根据 n 重伯努利实验 X k
X
k 1
M Max( X , Y ), N Min( X , Y ) 。求 ( M , N ) 的联合分布及 Z X Y 的分布律。