复数题型归纳(史上最全)
复数的知识点总结与题型归纳
复数的知识点总结与题型归纳一、知识要点 1．复数的有关概念我们把集合C ＝{}a ＋b i|a ，b ∈R 中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位．全体复数所成的集合C 叫做复数集．复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．对于复数z ＝a ＋b i ，以后不作特殊说明都有a ，b ∈R ，其中的a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部．说明：(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a ＋b i(a ，b ∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b 而非b i.(3)复数z ＝a ＋b i 只有在a ，b ∈R 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 2．复数相等在复数集C ＝{}a ＋b i|a ，b ∈R 中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d .3．复数的分类对于复数a ＋b i ，当且仅当b ＝0时，它是实数；当且仅当a ＝b ＝0时，它是实数0；当b ≠0时，叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z ＝a ＋b i 可以分类如下：复数z ⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)(当a ＝0时为纯虚数).说明：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系4．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)―――――――→一一对应复平面内的点Z (a ，b ) (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) ――――→一一对应平面向量OZ ――→. 5．复数的模(1)定义：向量OZ 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模． (2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|. (3)公式：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R)． 说明：实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数．6．复数的加、减法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i. 7．复数加法运算律设z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 8．复数加、减法的几何意义设复数z 1，z 2对应的向量为OZ 1――→，OZ 2――→，则复数z 1＋z 2是以OZ 1――→，OZ 2――→为邻边的平行四边形的对角线OZ ――→ 所对应的复数，z 1－z 2是连接向量OZ 1――→与OZ 2――→的终点并指向OZ 1――→的向量所对应的复数．它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．9．复数代数形式的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.10．复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有11.共轭复数已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，则 (1)z 1，z 2互为共轭复数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d . (2)z 1，z 2互为共轭虚数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d ≠0. 12．复数代数形式的除法法则： (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝a ＋b ic ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． 说明：在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数c －d i ，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．二、题型总结题型一：复数的概念及分类[典例] 实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2－x －6x ＋3＋(x 2－2x －15)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解] (1)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15＝0，x ＋3≠0，即x ＝5时，z 是实数．(2)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ≠－3且x ≠5时，z 是虚数．(3)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋3＝0，x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ＝－2或x ＝3时，z 是纯虚数．复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)时应先转化形式.(2)注意分清复数分类中的条件设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则①z 为实数⇔b ＝0，②z 为虚数⇔b ≠0，③z 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0.④z ＝0⇔a ＝0，且b ＝0题型二、复数相等[典例] 已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实数根，则实数m 的值为________，方程的实根x 为________．[解析] 设a 是原方程的实根，则a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0， 即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0＋0i ，所以a 2＋a ＋3m ＝0且2a ＋1＝0， 所以a ＝－12且⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－12＋3m ＝0，所以m ＝112.题型三：复数与点的对应关系[典例] 求实数a 分别取何值时，复数z ＝a 2－a －6a ＋3＋(a 2－2a －15)i(a ∈R)对应的点Z 满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内． (2)在复平面内的x 轴上方．[解](1)点Z 在复平面的第二象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6a ＋3＜0，a 2－2a －15＞0，解得a ＜－3.(2)点Z 在x 轴上方，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －15＞0，a ＋3≠0，即(a ＋3)(a －5)＞0，解得a ＞5或a ＜－3.题型四：复数的模[典例] (1)若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝( ) A ．1＋2i B ．－1－2i C ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i(2)设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|＜|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－1,1) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析] (1)依题意可设复数z ＝a ＋2a i(a ∈R)，由|z |＝5得 a 2＋4a 2＝5，解得a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i. (2)因为|z 1|＝ a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5，所以a 2＋4＜5，即a 2＋4＜5，所以a 2＜1，即－1＜a ＜1. [答案] (1)D (2)B题型五：复数与复平面内向量的关系[典例] 向量OZ 1――→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2――→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1――→+OZ 2――→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i[解析] 因为向量OZ 1――→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2――→对应的复数是－5＋4i ，所以OZ 1――→＝(－5, 4), OZ 2――→＝(5, －4)，所以OZ 2――→＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ 1――→+OZ 2――→对应的复数是0.[答案] C题型六：复数代数形式的加、减运算[典例] (1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.(2)已知z 1＝(3x －4y )＋(y －2x )i ，z 2＝(－2x ＋y )＋(x －3y )i ，x ，y 为实数，若z 1－z 2＝5－3i ，则|z 1＋z 2|＝________.[解析] (1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i ＝－2－i.(2)z 1－z 2＝[(3x －4y )＋(y －2x )i]－[(－2x ＋y )＋(x －3y )i]＝[(3x －4y )－(－2x ＋y )]＋[(y －2x )－(x －3y )]i ＝(5x －5y )＋(－3x ＋4y )i ＝5－3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －5y ＝5，－3x ＋4y ＝－3，解得x ＝1，y ＝0，所以z 1＝3－2i ，z 2＝－2＋i ，则z 1＋z 2＝1－i ，所以|z 1＋z 2|＝ 2. [答案] (1)－2－i (2)2题型七：复数加减运算的几何意义[典例] 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C分别表示0,3+2i ，-2+4i.求：(1) AO ――→表示的复数； (2)对角线CA ――→表示的复数； (3)对角线OB ――→表示的复数．[解] (1)因为AO ――→＝－OA ――→，所以AO ――→表示的复数为－3－2i.(2)因为CA ――→＝OA ――→－－OC ――→，所以对角线CA ――→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因为对角线OB ――→＝OA ――→＋OC ――→，所以对角线OB ――→表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.题型八：复数模的最值问题[典例] (1)如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( ) A ．1 B.12 C ．2D. 5(2)若复数z 满足|z ＋3＋i|≤1，求|z |的最大值和最小值．[解析] (1)设复数-i ，i ，-1-i 在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3， 因为|z+i|+|z-i|=2，|Z 1Z 2|=2，所以点Z 的集合为线段Z 1Z 2.问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求|ZZ 3|的最小值，因为|Z 1Z 3|=1. 所以|z+i+1|min=1. [答案] A(2)解：如图所示， |OM ――→|＝(－3)2＋(－1)2＝2.所以|z |max ＝2＋1＝3，|z |min ＝2－1＝1.题型九：复数代数形式的乘法运算[典例](1)已知i 是虚数单位，若复数(1＋a i)(2＋i)是纯虚数，则实数a 等于( )A ．2 B.12 C ．－12D ．－2(2)(江苏高考)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． [解析] (1)(1＋a i)(2＋i)＝2－a ＋(1＋2a )i ，要使复数为纯虚数，所以有2－a ＝0,1＋2a ≠0，解得a ＝2.(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5.题型十：复数代数形式的除法运算[典例] (1)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 是虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(2)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 为( ) A ．2 B ．－2 C ．－12D.12[解析] (1)∵z (2－i)＝11＋7i ，∴z ＝11＋7i2－i ＝(11＋7i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝15＋25i5＝3＋5i.(2)1＋a i2－i ＝(1＋a i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝2－a 5＋1＋2a 5i ，由1＋a i 2－i 是纯虚数，则2－a 5＝0，1＋2a 5≠0，所以a ＝2.[答案] (1)A (2)A题型十一：i 的乘方的周期性及应用[典例] (1)(湖北高考)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( ) A ．iB ．－iC．1 D．－1(2)计算i1＋i2＋i3＋…＋i2 016＝________.[解析](1)因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.(2)法一：原式＝i(1－i2 016)1－i＝i[1－(i2)1 008]1－i＝i(1－1)1－i＝0.法二：∵i1＋i2＋i3＋i4＝0，∴i n＋i n＋1＋i n＋2＋i n＋3＝0(n∈N)，∴i1＋i2＋i3＋…＋i2 016，＝(i1＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＝0. [答案](1)A(2)0说明：虚数单位i的周期性(1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)(2)i n＋i n＋1＋i n＋2＋i n＋3＝0(n∈N)。
复数知识点大题型总结
复数知识点大题型总结一、复数的概念复数是表示两个或两个以上的事物或概念的名称或符号，如“苹果”、“树木”、“星星”等。
在语法学上，复数是动词第三人称单数形式之外的一种形式，如“he plays”（他玩）和“they play”（他们玩）。
二、复数的构成1. 大多数情况下，将名词后面加上“-s”或“-es”构成复数形式。
例子：cat（猫）→cats（猫们）, box（盒子）→boxes（盒子们）2. 以“-y”结尾的名词，如果“-y”前面是元音字母，则构成复数时直接加“-s”;如果“-y”前面是辅音字母，则将“-y”改为“-i”，再加“-es”。
例子：boy（男孩）→boys（男孩们）, baby（婴儿）→babies（婴儿们）3. 以“-f”或“-fe”结尾的名词，通常变“f”为“v”，再加“-es”构成复数。
例子：wolf（狼）→wolves（狼们）, leaf（叶子）→leaves（叶子们）4. 以“-o”结尾的名词，大多数情况下在词尾加“-es”。
例子：potato（土豆）→potatoes（土豆们）, mango（芒果）→mangoes/mangoes（芒果）5. 特殊情况：有些名词的复数形式和单数形式相同。
例子：sheep（羊）→sheep（羊）, fish（鱼）→fish（鱼）三、复数名词的用法1. 表示数量多于一个例子：There are three dogs in the park.（公园里有三只狗。
）2. 表示多种类型例子：She collected various flowers.（她采集了各种花。
）3. 表示所有例子：The students raised their hands.（学生们都举起了手。
）4. 表示家庭成员例子：My parents are in the living room.（我的父母在客厅里。
）四、不规则复数1. 有些名词的复数形式与单数形式完全不同。
单数：man（男人）, woman（女人）, child（孩子）, tooth（牙齿）, foot（脚）复数：men（男人们）, women（女人们）, children（孩子们）, teeth（牙齿们）, feet（脚们）2. 有些名词的单复数形式相同。
高考复数的知识题型总结归类
高考复数的知识题型总结一、复数的有关概念(1)复数1.定义：形如a+6i (a, 6WR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位,满足f= —1.二i,产三-1, Z，n-3=-i, 小= 1.)2.表示方法：复数通常用字母z表示，即z=a+6i (a, 6CR),叫做复数的代数形式，a叫做复数z的实部，6叫做复数z的虚部.(注意b是虚部而不是bi)(2)复数集1.定义：全体复数所成的集合叫做复数集.2.表示：大写字母C.(3)复数的分类’3正实数L= 0，-- 是实数QT上;实数0复数z=a+例—负实数一纯虚数hi、3n是虚数1&工°为£2”非纯虚数的虚敷复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系（4 ）复数相等的充要条件a+ 6i = c+ 力=a=c 且b=da+6i = 0=a=6=0. （a, b, c, d 均为实数）说明：要求复数相等要先将复数化为2=&+历（a, 6£R）的形式，即分离实部和虚部.二、复平面的概念点Z的横坐标是a,纵坐标是6,复数*a+6f（a、6£R）可用点Z（a, 6）表示, 这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.（1）实轴上的点都表示实数.(2)虚轴上的点都表示纯虚数.(3)原点对应的有序实数对为(0, 0)三、复数的两种几何意义(1)复数z=a+bi (a, Z>GR) -*对应复平而内的点Z (a, b).(2)复数z=a+6i (a, b£R) -*平而向量一OZ复数Z=a+罚(a1亡犬)—寸应点—―->向量无对应四、复数的模复数z=a+6i (a, 6CR)对应的向量为OZ ,则&的模叫做复数z的模，记作;z ,且|z|=^7F 注意：两个虚数是不可以比较大小的，但它们的模表示实数，可以比较大小.五、复数的运算设％=a+6，，z^c+di(a^ b、c、d£R)是任意两个复数，%与Z2 的加法运算律：^+^2= (a^bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d) i.%与Z2 的减法运算律：4-纥=(a+6f)-(c+d£) = (a-c) + (Zy^£Z1 与诙的乘法运算律：21.乏二(a^bi) (c^di)-(ac— bd)^(bc^ad) i.cic + bd ^bc- ad .Z,与否的除法运算律：2一生二（/方）・（6人）=1+/2 /+/ （分母要利用平方差实数化）六、共甄复数1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共枕复数，虚部不等于0的两个共枕复数也叫做共枕虚数.通常记复数Z的共辗复数为5 o例如z=3 + 5i与5=3 — 5i互为共辄复数2.共辗复数的性质（1）实数的共规复数仍然是它本身⑵2区=团:团，（3）两个共规复数对应的点关于实轴对称七、常用结论.⑴"i,（2）（l-i）2=-2i⑶- = -/(5)— = -/ 1 + Z(6)(。
复数知识点总结题型
复数知识点总结题型复数是指表示两个以上的数量或者多个事物的名词形式。
在英语中，复数形式通常是在名词后面加上-s或-es结尾。
但是也有一些不规则的复数形式需要记忆和掌握。
一、一般规则1. 大多数名词在单数形式后加-s变为复数形式例如：cat - catsdog - dogsbook - books2. 以s, sh, ch, x, z结尾的名词在单数形式后加-es变为复数形式例如：bus - busesdish - disheschurch - churchesfox - foxesquiz - quizzes3. 以辅音+y结尾的名词，变复数时先把y变为i再加-es例如：baby - babiescity - citiesfamily - families4. 以-o结尾的名词，多数情况下在单数形式后加-s变为复数形式例如：photo - photospiano - pianos5. 以辅音+o结尾的名词，变复数时直接加-es例如：tomato - tomatoespotato - potatoes6. 以f或fe结尾的名词，变复数时通常把f或fe变为v再加-es 例如：wife - wivesleaf - leaves7. 以us结尾的名词，变复数时通常把us变为i例如：cactus - cactifocus - foci8. 以-is结尾的名词，变复数时通常把is变为es例如：analysis - analyseshypothesis - hypotheses二、不规则复数形式1. 一些名词的复数形式与单数形式完全不同，需要单独记忆例如：man - menwoman - womenchild - childrenfoot - feettooth - teeth2. 一些名词的复数形式用相同的单数形式表示例如：sheep - sheepdeer - deerfish - fish（当指种类时为复数形式fishes）3. 一些名词既有规则的复数形式，也有不规则的复数形式例如：mouse - mice/mousescactus - cacti/cactuses三、量词和复数形式1. 在不确定数量的情况下，通常用复数名词或者不加冠词来表示例如：I have three cats.Do you like apples?2. 有些量词后面紧接的名词要用单数形式，而有些要用复数形式例如：a pair of shoesthree pieces of caketwo cups of tea四、不可数名词不可数名词是指无法数清具体数量的名词，它们没有复数形式，通常用于表示无法数清的物质、概念和抽象概念例如：water, milk, air, love, music总结复数形式在英语中是非常重要的，它能够帮助我们表达多个事物、数量以及概念。
复数的知识点总结与题型归纳
复数的知识点总结与题型归纳复数是英语中一个重要的语法概念，表示多于一个的数量或者个体。
在英语中，很多名词在表示复数形式时会发生变化，这需要我们掌握一些复数的知识点和应对不同的题型。
本文将对复数的基本规则进行总结，并归纳一些常见的复数题型。
一、复数的基本规则1. 一般情况下，在名词的末尾加上“s”来表示复数，比如：dogs, books, tables, etc.2. 以以下字符结尾的名词，在表示复数时要注意变化：- 以“s”, “x”, “z”, “ch”或“sh”结尾的名词，在末尾加“es”，比如：buses, boxes, quizzes, watches等。
- 以辅音字母+y结尾的名词，将“y”变为“i”，再加“es”，比如：cities, babies, parties等。
- 以“o”结尾的名词有两种情况：①如果辅音字母在“o”之前，直接加“es”，比如：potatoes, tomatoes, heroes等。
②如果是元音字母在“o”之前，直接加“s”，比如：zoos, radios, videos等。
3. 以“f”或“fe”结尾的名词，在表示复数时通常将“f”或“fe”变为“ves”，比如：leaves, knives, wolves等。
4. 一些特殊变化的名词：- 人称名词的复数形式通常要加“s”或“es”，比如：boys, girls, teachers等。
- 一些外来词在表示复数时保持不变，比如：sheep, fish, deer等。
- 一些不规则的名词形式需要进行记忆，比如：men, women, children等。
二、复数题型归纳在学习复数的过程中，我们还需要掌握如何应对不同类型的复数题型。
以下是一些常见的复数题型及解题方法：1. 给出单数名词，要求写出复数形式。
Example: Write the plural form of "mouse".Answer: mice解题方法：根据基本规则，将“s”替换为“es”。
复数知识点及题型归纳总结
复数知识点及题型归纳总结知识点讲解一、基本概念（1）i 叫虚数单位，满足21i =-，当k Z ∈时，44142431,,1,k k k k i i i i i i +++===-=-.（2）形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，记作a bi C +∈.①复数(,)z a bi a b R =+∈与复平面上的点(,)Z a b 一一对应，a 叫z 的实部，的实部，b b 叫z 的虚部；0,b z R =⇔∈Z 点组成实轴；0,b z ≠叫虚数；0b ≠且0a =，z 叫纯虚数，叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴纯虚数对应点组成虚轴纯虚数对应点组成虚轴（不（不包括原点）。
两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。
两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数. .②两个复数,(,,,)a bi c di a b c d R ++∈相等a c b d =⎧⇔⎨=⎩（两复数对应同一点）③复数的模：复数(,)a bi a b R +∈的模，也就是向量OZ uuu r 的模，即有向线段OZ uuu r的长度，其计算公式为22||||z a bi a b =+=+，显然，2222||||,z a bi a b z z a b =-=+⋅=+.二、基本性质1.1.复数运算复数运算（1）()()()()ia bi c di a cb d +±+=±+±（2）()()()()a bic di ac bd ad bc i+⋅+=-++22222()()z z ||||)2a bi a bi a b z z z z z a ⎧+⋅-=⋅=+=⎪=⎨⎪+=⎩(注意其中22||z a b =+，叫z 的模；z a bi =-是z a bi =+的共轭复数(,)a b R ∈.（3）2222()()()()(0)()()a bi a bi c di ac bd bc ad i c d c di c di c di c d ++⋅-++-==+≠++⋅-+. 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数. .2.复数的几何意义（1）复数(,)z a bi a b R =+∈对应平面内的点(,)z a b ；（2）复数(,)z a bi a b R =+∈对应平面向量OZ uuu r ；（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数. .（4）复数(,)z a bi a b R =+∈的模||z 表示复平面内的点(,)z a b 到原点的距离到原点的距离. .题型归纳与思路提示题型1 复数概念及其代数运算思路提示无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚. .例15.1下面关于复数21z i =-+的四个命题：的四个命题： 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-其中的真命题为（其中的真命题为（ ））A .23,p pB . 12,p pC .,p p 24D .,p p 34解析解析 因为因为因为 22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--，所以2z =，22(1)2z i i =--=，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-，z 的共轭复数为1i -+，z 的虚部为1.其中的真命题为,p p 24,故选C .变式1设,,a b R i ∈是虚数单位，则“0ab =”是“复数b ai +为纯虚数”的（为纯虚数”的（）） A .充分而不必要条件充分而不必要条件B .必要而不充分条件必要而不充分条件C .充分必要条件充分必要条件D .既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 变式2 sin 21(2cos 1)i θθ-++是纯虚数，则θ=（ ）） A .2()4k k Z ππ-∈ B .2()4k k Z ππ+∈ C .2()4k k Z ππ±∈ D .()24k k Z ππ+∈变式3 复数1,z i z =+为z 的共轭复数，则1zz z --=（ ））.A 2i - .B i - .C i .D 2i例15.2复数z 满足()()25z i i --=，则z 为.A -2-2i .B -2+2i .C 2-2i D 2+2i 解析 令令(),R,R z a bi a b =+∈∈，则()()()()212z i i a b i i --=+--⎡⎤⎣⎦[]2(1)12b a i b a =--+-+ 5=，所以()210,21 5.b a a b --=⎧⎪⎨+-=⎪⎩解得22a b =⎧⎨=⎩，所以22z i =+.故选D .变式1 1 已知复数已知复数1z i =-，则221z z z -=-（ ）） .A 2i .B 2i - .C 2 .D 2-变式2 2 复数复数212i i -=+（ ））.A i .B i - C 4355i -- .D 4355i -+例15.3设a b ∈R ，，117i i 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为的值为 ．． 解析 据题i i i i i i i i bi a 3551525)21)(21()21)(711(21711+=+=+-+-=--=+，所以，所以 ,3,5==b a 从而从而 8=+b a .故填8.变式1若()()12i i ++=a+bi ，其中,,a b R i ∈为虚数单位，则a b += . 变式2 若若,,a b R i ∈是虚数单位，且()a i i b i +=+，则（，则（ ））.A 1,1a b == .B 1,1a b =-= .C 1,1a b =-=- .D 1,1a b ==- 例15.4方程26130x x ++=的一个根是的一个根是A ．32i -+B ．32i +C ．23i -+D ．23i +解析 解法一：设x a bi =+，则2()6()130a bi a bi ++++=，整理，得：22(613)(26)0a b a ab b i -++++=， 所以有226130260a b a ab b ⎧-++=⎨+=⎩，解得3=2a b =-⎧⎨±⎩，即-32x i =±解法二：用求根公式求解：24322b ac b i x i a-±-==-±，故选A . 变式1 若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（的一个复数根，则（ ）） A ．3,2==c b B ．3,2=-=c b C ．1,2-=-=c b D ．1,2-==c b题型2 复数的几何意义思路提示复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出发点研究复数几何意义的最重要的出发点. .例15.5若复数z 满足||2(z i i -≤为虚数单位），则z 在复平面内所对应的图形的面积为在复平面内所对应的图形的面积为______________. ______________.解析 设,,,z x yi x y R =+∈则有|x (y 1)|2i +-≤，即22(1)2x y +-≤，所以z 在复平面内所对应的图形为以(0,1)为圆心，2为半径的圆，其面积为2π，故填2π变式1 已知35(,)44ππθ∈，则复数(cos sin )(sin cos )z i θθθθ=++-在复平面上对应的点在（在复平面上对应的点在（ ）） A ．第一象限 B ．第二象限．第二象限C ．第三象限．第三象限D ．第四象限．第四象限 变式2 02,,||a z a i z <<=+的取值范围为（的取值范围为（ ））A ．(1,3)B ．(1,5)C ．(1,3)D ．(1,5)变式3 已知z C ∈，且|22|1z i --=，则|22|z i +-的最小值为（的最小值为（ ）） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5例15.6若C ω∈，且11ωω-+的实部为0，求复数11ω+在复平面内对应点的轨迹在复平面内对应点的轨迹. . 解析 令221(,,x 0)1x yi x y R y ω=+∈+≠+，则111,12,x yi x yi ωω+=-=-++所以11()(2)2212121x yi x yi x yi x yi ωω-=+-=+-=-+++其实部为0，所以210()x y R -=∈，这就是所求轨迹的方程，它是一条平行于虚轴的直线是所求轨迹的方程，它是一条平行于虚轴的直线..变式1 设z 是复数，1,12z R z ωω=+∈-<<.（1） 求||z 及z 的实部的取值范围；的实部的取值范围；（2） 若11z u z-=+，分析u 是否为纯虚数，并说明理由；是否为纯虚数，并说明理由； （3） 求2u ω-的最小值的最小值有效训练题1.1.复数复数21)2i i -=（（ ））A ．1B ．1-C ．iD ．i -2.2.若复数若复数z 满足(2)117(z i i i -=+为虚数单位)，则z =（ ）） A ．35i +B ．35i -C ．35i -+D ．35i --3.3.设设,,0a b R a ∈=“”是“复数a bi +是纯虚数”的（是纯虚数”的（ ））A .充分而不必要条件充分而不必要条件B .必要而不充分条件必要而不充分条件C .充要条件充要条件D .既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 4. 4. 复数复数z 满足2+2=0z ，则3z =（ ））A ．22i ±B ．22i -C ．22-D ．22i5.5.复数复数z 满足(2)i z i -=，则复数z 在复平面上对应的点所在的象限是（在复平面上对应的点所在的象限是（ ））A ．第一象限B ．第二象限．第二象限C ．第三象限．第三象限D ．第四象限．第四象限6.6.已知复数已知复数z 22i i-=+，则z 的共轭复数z =（ ）） A ．3455i - B ．3455i + C ．415i - D ．415i +7.7.设设a R ∈，且2()a i i +为正实数，则a 的值为的值为____________. ____________. 8. 1(,)1i a bi a b R i+=+∈-,则a b +=____________. 9. 9. 已知复数已知复数z 2(1ii i =-为虚数单位)，则||z =____________. 10.10.设设,||1z C z ∈=，且z i ≠±，求21zz +对应点的轨迹方程是对应点的轨迹方程是____________. ____________.。
(完整版)复数知识点归纳
(完整版)复数知识点归纳完整版：复数知识点归纳复数是英语中用来表示多个数量的形式。
在英语中，名词的复数形式并不总是简单地在单数形式后面加上“-s”。
实际上，还有很多规则和例外需要我们掌握。
在这篇文章中，我们将对复数的一些主要知识点进行归纳总结。
一、一般规则1. 大多数名词在单数形式后面加上“-s”构成复数形式。
例如：book - books, dog - dogs, cat - cats2. 以s、x、ch、sh和o结尾的名词，在单数形式后面加上“-es”构成复数形式。
例如：box - boxes, match - matches, potato - potatoes3. 以辅音字母+y结尾的名词，将y改为i，再加上“-es”构成复数形式。
例如：baby - babies, country - countries4. 以f或fe结尾的名词，通常将f或fe改为v，再加上“-es”构成复数形式。
例如：knife - knives, leaf - leaves5. 特殊规则：5.1 不规则名词的复数形式需要特殊记忆，例如：child - children, tooth - teeth, mouse - mice5.2 以-o结尾的名词有一些是按照一般规则加“-s”的，例如：piano - pianos, photo - photos，但也有一些是按照“-es”规则变化的，例如：potato - potatoes, tomato - tomatoes二、特殊名词除了一般规则之外，还有一些名词的复数形式是非常特殊的。
下面列举几个常见的例子：1. 人称代词的复数形式：I - weyou - youhe - theyshe - theyit - they2. 不列举变化的名词：例如：sheep（羊）、fish（鱼）、deer（鹿）等，它们在复数形式和单数形式相同。
3. 以“-is”结尾的名词，复数形式将“-is”改为“-es”：例如：thesis（论文）- theses（论文）4. 以“-us”结尾的名词，复数形式将“-us”改为“-i”：例如：cactus（仙人掌）- cacti（仙人掌）5. 以“-o”结尾的名词，复数形式有时将“-o”改为“-i”，有时加“-es”：例如：photo（照片）- photos（照片），radio（无线电）- radios （无线电）6. 以“-f”结尾的名词，复数形式将“-f”改为“-ves”：例如：leaf（叶子）- leaves（叶子）三、复数形式的用法1. 表示数量：例如：There are three cats in the garden.（花园里有三只猫。
复数高考题型总结
复数高考题型一、复数概念1．在复平面内,复数(12)z i i =+对应的点位于 ．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若复数12429,69,z i z i =+=+其中i 是虚数单位,则复数12()z z i -的实部为 ． 3．若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数,则实数x 的值为 ．A ．1-B ．0C ．1D ．1-或14．已知复数12z i =-,那么1z= ．A B C ．1255i +D ．1255i -二、复数相等 1．i 是虚数单位,若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-,则乘积ab 的值是 ． A ．－15B ．－3C ．3D ．152．若21a bi i=+-i 为虚数单位,,a b R ∈ 则a b +=_________． 3．已知=+-=+ni m i n m ni im是虚数单位，则是实数，，，其中11 ．A1+2i B 1-2i C2+i D2- i 三、复数计算 1．复数31ii--等于 ． A ．i 21+ B ．12i - C ．2i + D ．2i -2．已知复数z 3i z ＝3i ,则z= ．A ．32B. 34C. 32D.34 3．复数32322323i i i i+--=-+ ．A ．0B ．2C ．－2iD ．24．复数2(12)34i i+-的值是 ．A ．－１ Ｂ．１ Ｃ．－i Ｄ．i 5．设1z i =+i 是虚数单位,则22z z+= ．A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ． 1i +四、其他题型1．已知2,ai b i ++是实系数一元二次方程20x px q ++=的两根,则,p q 的值为 ．A ．4,5p q =-=B ．4,5p q ==C ．4,5p q ==-D ．4,5p q =-=- 2．i 是虚数单位,238i 2i 3i 8i ++++= ．用i a b +的形式表示,a b ∈R ，3．若cos sin z i θθ=+i 为虚数单位,则21z =-的θ值可能是 ．A ．6πB ．4π C ．3πD ．2π 2006－2009年高考题一．选择题：1.全国一4设a ∈R ,且2()a i i +为正实数,则a = A ．2B ．1C ．0D ．1-2.全国二2设a b ∈R ，且0b ≠,若复数3()a bi +是实数,则 A ．223b a =B ．223a b =C ．229b a =D ．229a b =3.四川卷复数()221i i +=Ａ4- Ｂ4 Ｃ4i - Ｄ4i 4.安徽卷1复数 32(1)i i +=A ．2B ．－2C ． 2iD ． 2i -5.山东卷2设z 的共轭复数是z ,或z +z =4,z ·z ＝8,则zz 等于 A1 B-i C ±1 D ±i 6．江西卷1在复平面内,复数sin 2cos2z i =+对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7.湖北卷11设211z z iz =-其中1z 表示z 1的共轭复数,已知z 2的实部是1-,则z 2的虚部为 ;8.湖南卷1复数31()i i-等于 B.－8D.－8i9.陕西卷1复数(2)12i i i+-等于 A ．iB ．i -C ．1D ．1-10.重庆卷1复数1+22i= A1+2iB1-2i C-1 D311.福建卷1若复数a 2-3a +2+a-1i 是纯虚数,则实数a 的值为B.2或212.广东卷1已知02a <<,复数z 的实部为a ,虚部为1,则z 的取值范围是A ．(15)，B ．(13)，C ．D ．13.浙江卷1已知a 是实数,iia +-1是春虚数,则a = A1 B-1 C 2 D-2 14.辽宁卷4复数11212i i +-+-的虚部是 A ．15iB ．15C ．15i -D ．15-15.海南卷2已知复数1z i =-,则21z z =-A. 2B. －2C. 2iD. －2i162006年广东若复数z 满足方程220z +=,则3z = ．A ．±B ．-C ．-D ．± 172007年广东文理2若复数1+bi2+i 是纯虚数i 是虚数单位,b 为实数,则b= ．A ．－2B ．－12C ．12D ．2182008年广东卷1已知02a <<,复数z 的实部为a ,虚部为1,则z 的取值范围是 ．A ．(15)，B ．(13)，C ．D ．(1192009年广东卷理设z 是复数,()a z 表示满足1n z =的最小正整数n ,则对虚数单位i ,()a i = ．A ．8B ．6C ．4D ．2二．填空题：1.上海卷3若复数z 满足(2)z i z =- i 是虚数单位,则z = ．2.北京卷9已知2()2a i i -=,其中i 是虚数单位,那么实数a = ;3.江苏卷311ii+-表示为a bi +(),a b R ∈,则a b +== ． 4．已知复数z 与 z +22－8i 均是纯虚数,则 z = ____________． 5．若复数z 满足z 1+i =2,则z 的实部是__________．6．在复平面内,O 是原点,OA ,OC ,AB 表示的复数分别为-+++23215i i i ，，,那么BC 表示的复数为________.7．z z C z z z z z 1212122222402，，，∈-+==||,那么以|z 1|为直径的圆的面积为_______; 三、解答题：1．已知复数z 1满足1+iz 1=－1+5i , z 2=a －2－i , 其中i 为虚数单位,a ∈R , 若21z z -<|z 1|,求a 的取值范围.2．已知复数z 1=c osθ－i ,z 2=s in θ+i ,求| z 1·z 2|的最大值和最小值.3．已知z 、为复数,1+3iz 为实数,=,||2ziωω=+且求． 4、已知：复数1cos () z b C a c i =++,2(2)cos 4 z a c B i =-+,且12z z =,其中B 、C 为△ABC 的内角,a 、b 、c 为角A 、B 、C 所对的边．Ⅰ求角B 的大小；Ⅱ 若b =,求△ABC 的面积．。
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自我总结卷
一、选择题：
1、复数 z 1 i （ i 是虚数单位），则复数 (z 1)(z 1) 虚部是( )【答案】D
A、-1+2 i
B、-1
C、2 i
1、 a 0 是复数 a bi (a,b R) 为纯虚数的（
D、2
）
【答案】B
A、充分条件
B、必要条件 C、充要条件 D、非充分非必要条件
1、已知复数 z1 3 4i ， z2 t i ，且 z1z2 是实数，则实数 t 等于( A )．期中
考试题
3
4
A.
B.
4
3
4 C．－
3
3 D．－
4
3 解析 z1·z2＝(3＋4i)(t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i.因为 z1·z2是实数，所以 4t－3＝0，所以 t＝4.因此选 A.
1
2i, 若
z1 z2
是实数，则实数 b
的值为(
)【答案】A
A．6
B．-6
C．0
D． 1 6
7．对于两个复数 1 3 i ， 1 3 i ，有下列四个结论：① 1；②
2
3、已知方程| z 2 | | z 2 | a 表示等轴双曲线，则实数 a 的值为（A ）
A、 2 2
B、 2 2
C、 2
D、 2
4．已知复数 z 1 i ，则 z 在复平面内对应的点在第几象限( ) 【答案】C
A．一
B．二
C．三
D．四
4．在复平面内，复数 2 i 对应的点位于 (
)
【答案】D
1、若复数 (m2 3m 4) (m2 5m 6)i 是虚数，则实数 m 满足（ ）【答案】D
（ A） m 1 （ B） m 6 m6
(C) m 1或 m 6
1、若 z1, z2 C ，则 z1 z2 z1 z2 是（ ）
(D) m 1且 【答案】B
A 纯虚数
B 实数
C 虚数
(1 2i)2 6．
(2 i)2
等于(
)
1i
1 i
【答案】B
A． 3 4i
B． 3 4i
C． 3 4i
D． 3 4i
6．若复数 1 ai （i 是虚数单位）的实部和虚部相等，则实数 a 等于()【答案】 2i
D
A．-1
B． 1 3
C． 1 3
D．3
6．已知复数
z1
3 bi, z2
5、 (m i)3 R ，则实数 m 的值为（B ）
A 、 2 3
B、 3 3
C、 3
5、若 x C ，则方程| x | 1 3i x 的解是（C ）
D、 3 2
A、 1 3 i 22
B、 x1 4, x2 1
C、 4 3i
D、 1 3 i 22
5、复数 z 1 cos i sin , ( 2 ) 的模是（B ）
B．3
C．4
D．5
答案:
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3．已知复数 z x yi ( x, y R ， x 1 )，满足 z 1 x ，那么 z 在复平面上对 2
应的点 (x, y) 的轨迹是( )．
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
1 解析 ∵z＝x＋yi(x，y∈R，x≥ )，满足|z－1|＝x，∴(x－1)2＋y2＝x2，故 y2＝2x－1. 答案 D
答案 A
A．0
B．1
C． i
D． i
2、已知 z 1 i , 则1 z50 z100 的值为（A ） 2
A、 i
B、 1
2 、复数 (2 2i)4 等于（ (1 3i)5
C、 2 i ）
D、 3 答案: B
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A．1 3i B． 1 3i C．1 3i D． 1 3i
1 i
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4．在复平面内，复数 i (1 3i)2 对应的点位于( ) 1 i
【答案】B
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知 i 为虚数单位，则 i 所对应的点位于复平面内点(
1 i
) 【答案】A
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
2、复数 ( 1 i )10 的值是 （ 1 i
A．－1
B．1
） C．32
【答案】A D．－32
2、已知 x 1 x
1，则 x1996
1 x1996
的值为（
）
【答案】A
A 1
B1
C i
Di
2、 f (n) in in , (n N ) 的值域中，元素的个数是（B ）
A、 2
B、 3
C、 4
A 2 cos 2
B 2 cos 2
6． 2 i 2 i 的值是( ) 1 2i 1 2i
A．i
B．2i
C 2sin 2
C．0
D 2 tan 2
【答案】C D． 4
5
第 3 页 共 11 页
6．复数 z 1 3i 的虚部是( ) 1 i
A．2
B． 2
C． 2i
【答案】B D． 2i
D 无法确定
1、若 (x2 1) (x2 3x 2)i 是纯虚数，则实数 x 的值是（ ） 【答案】A
A 1 B 1
C 1
D 以上都不对
1．已知复数
z1
m
2i, z2
3
4i, 若
z1 z2
为实数，则实数
m
的值为(
A、2
B． 2
C、 3 2
D． 3 2
) 【答案】D
2． i 表示虚数单位，则 i1 i 2 i3 i 2008 的值是（ ）
答案 A
3．若 z 2 且 z i z 1 ，则复数 z =
z 2(1 i) 或 z 2(1 i)
3．如果 z C ，且 z 1，则 z 1 2i 的最大值为
【答案】
5 1
3．若 z C 且 | z 2 2i | 1,则 | z 2 2i | 的最小值是（ ）
B A．2
B． 2 2 1
C． 2 2 1
D． 2
3．如果复数 z 满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋1＋i|的最小值
是( )．
A．1
B. 2
C．2
D. 5
解析 |z＋i|＋|z－i|＝2，则点 Z 在以(0,1)和(0，－1)为端点的线段上，
|z＋1＋i|表示点 Z 到(－1，－1)的距离．由图知最小值为 1.
D、 无数个
3、在复平面内，若复数满足 | z 1|| z i | ，则所对应的点的集合构成的图形
直线 y x
3、| z 3 4i | 2 ，则| z |的最大值为（ B ） A 3 B7 C9 D5
3．若 z C 且 | z | 1，则 | z 2 2i | 的最小值是
（C）
A． 2 2