2018年高考数学(人教A版)一轮复习课件：8.5.1椭圆的概念及其性质
感悟考题 试一试
x 2 y2 3.(2015·广东高考)已知椭圆 2 =1(m>0)的左焦 25 m
点为F1(-4,0),则m= ( A.9 B.4 C.3
) D.2
【解析】选C.由题意得:m2=25-42=9, 因为m>0,所以m=3.
4.(2017·绵阳模拟)已知椭圆C的中心在坐标原点,椭 圆的两个焦点分别为(-4,0)和(4,0),且经过点(5,0), 则该椭圆的方程为__________________.
【解析】由题意,c=4,且椭圆焦点在x轴上,
因为椭圆过点(5,0),所以a=5,所以b= a 2 c2 =3.
x 2 y2 所以椭圆方程为 =1. 25 9 x 2 y2 答案: =1 25 9
x 2 y2 5.(2017·三明模拟)已知椭圆 2 2 =1(a>b>0)的两 a b
因为焦距为4, 所以c2=m-2-10+m=4, 解得m=8.
2.(选修1-1P42T5(3)改编)已知椭圆的一个焦点为 F(1,0),离心率为
1 ,则椭圆的标准方程为________. 2
x 2 y2 【解析】设椭圆的标准方程为 2 2 =1(a>b>0). a b 因为椭圆的一个焦点为F(1,0),离心率e= 1 , 2 ， c 1 c 1 a 2c 2， 所以 ， 解得 2 a 2 b 3， 2 2 2 a b c ， 2 2 x y 故椭圆的标准方程为 1. 4 3 x 2 y2 答案: 1 4 3
-a a ___≤y≤__
坐标轴 对称轴:_______ 原点 对称中心:_____
图
形
(-a,0) (a,0) A1_______,A ______ 2 (0,-b) (0,b) B1 _______,B ______ 2 (0,-a) (0,a) A1 _______,A ______ 2 (-b,0) (b,0) B1_______,B ______ 2
2.椭圆的标准方程和几何性质
图
形
标准 方程
x 2 y2 2 1 2 a b __________(a>b>0)
y2 x 2 2 1 2 a b __________(a>b>0)
图
形 -a a ___≤x≤__ -b b ___≤y≤__ 对称性 -b b ___F1,F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分 正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为______.
【解析】设过左焦点F1的正三角形的边交椭圆于点A, 则|AF1|=c,|AF2|= 3 c,有2a=(1+ 3 )c,所以e= c a
2 3 1. 1 3
答案: 3 -1
考点一
【规范解答】(1)选B.设圆P的半径为r,当点M在定圆P 内时(非圆心),|QP|+|QM|=r为定值,轨迹为椭圆.
(2)由题意知|PF1|+|PF2|=2a, PF1 PF2 ,
所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,
所以(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=4c2, 所以2|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2.
第五节 椭
圆
第一课时 椭圆的概念及其性质
【知识梳理】 1.椭圆的定义 之和 等于常数(大 (1)平面内与两个定点F1,F2的距离_____ 于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆 焦点 两焦点间的距离叫做椭圆的_____. 焦距 的_____,
(2)集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为 常数且a>0,c>0. ①当2a>|F1F2|时,M点的轨迹为椭圆; ②当2a=|F1F2|时,M点的轨迹为线段F1F2; ③当2a<|F1F2|时,M点的轨迹不存在.
【小题快练】 链接教材 练一练
x2 y2 1.(选修1-1P42T2(1)改编)已知椭圆 =1的 m 2 10 m
焦点在x轴上,焦距为4,则m等于 A.8 B.7
(
) D.5
C.6
x2 y2 【解析】选A.因为椭圆 =1的焦点在x轴上. m 2 10 m 10 m 0， 所以 解得6<m<10. m 2 0， m 2 10 m，
椭圆的定义及应用
【典例1】(1)(2017·毕节模拟)点M为圆P内不同于
圆心的定点,过点M作圆Q与圆P相切,则圆心Q的轨迹
是 ( ) B.椭圆 D.线段
A.圆 C.圆或线段
x 2 y2 (2)已知F1,F2是椭圆C: 2 2 1 (a>b>0)的两个焦 a b 点,P为椭圆C上的一点,且 PF1 PF2 . 若△PF1F2的面积
所以|PF1||PF2|=2b2,
1 1 所以 S PF1F2 = |PF1||PF2|= ×2b2=b2=9. 2 2
所以b=3. 答案:3
【母题变式】
1.将本例(2)中条件“ PF1 PF2 ”“△PF1F2的面积为
为9,则b=________.
【解题导引】(1)设圆P的半径为r,当点M在定圆P内时
(非圆心),|QP|+|QM|=r为定值,可得轨迹. (2)注意到点P在椭圆上,则有|PF1|+|PF2|=2a,再利用
PF1 PF2 求出 PF1 PF2 的值,进而可求得b的值.
性 质
顶 点 轴
2a 长轴A1A2的长为___ 2b 短轴B B 的长为___
1 2
图
形 2c |F1F2|=___
c (0,1) e= a ∈______
2+c2 b a2=_____
性 质
焦距
离心 率 a,b,c 的关系
【特别提醒】
1.在求椭圆的离心率时,椭圆中a,b,c之间的关系容易
忽略. 2.椭圆的离心率的大小决定椭圆的扁平程度:离心率越 大,椭圆越扁;离心率越小,椭圆越圆. 3.方程Ax2+By2=1(AB≠0)表示椭圆的充要条件是 A>0,B>0且A≠B.
2018高考数学一轮复习 椭圆精选课件
y
动圆M和定圆A相内切, 与定圆B相外切，求 动圆圆心M的轨迹方 程。
M
Ao
B
x
变式3 圆A： x32y2100，
圆B（x-3） 2y24，
动圆M和定圆A相内切, 也与定圆B相内切，求 动圆圆心M的轨迹方程。
M
A
B
练习：《新坐标》 P122.例1(1)
例2、（1）若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上， 则该圆在点P处的切线方程为__x__2_y___5___0_;
|F1F2|=2c
(3)设∠F1PF2＝α，则 S△F1PF2＝c|y0|=b2tan
α 2.
(4)设∠PF1F2＝β，∠PF2F1＝γ，由正弦定理可得
|PF1|＝sin2γc＋β·sin γ，|PF2|＝sin2γc＋βsin β.
e＝ac＝sisninγ＋γ＋siβnβ
（一）焦点三角形的应用（1）：求轨迹
A.3
B. 21
C.2 2
D.2
2
练习：(2011 年湖北高考)过点(－1，－2)的直线 l 被圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 截得的弦长为 2，则直 线 l 的斜率为__1_或__1_1__．
7
例4、圆O1的方程为：x2 (y1)2 4,圆O2的圆心坐标 为（2,1）. (1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程； （2）若圆O1与圆O2相交于A、B两点，且AB=2 2，求 圆O2的方程.
《新坐标》P22 例1（2）
32011年江西高考若椭圆ax22
+ y2 b2
=1的焦点在x轴上，
过点(1， 1)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线 2
AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是
高三数学一轮复习 第八章 第五节 椭圆课件 理 新人教A版
第十五页，共47页。
(2013·肇庆模拟)已知椭圆的方程是xa22＋2y52 ＝1(a＞ 5)，它的两个焦点分别为 F1，F2，且|F1F2|＝8，弦 AB(椭 圆上任意两点的线段)过点 F1，则△ABF2 的周长为 ________．
【尝试解答】 (1)由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a， P→F1 ⊥
P→F2， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2， ∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2， ∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2. ∴|PF1||PF2|＝2b2， ∴S△PF1F2＝12|PF1||PF2|＝12×2b2＝9， 因此b＝3.
从而－ 22a＝－c，即a＝ 2c，① 又|F1A|＝a＋c＝ 10＋ 5② 联立①，②，得a＝ 10，c＝ 5， ∴b2＝a2－c2＝5， 所以该椭圆方程为1x02 ＋y52＝1.
第十四页，共47页。
1．(1)求椭圆的标准方程的方法：①定义法；②待定系 数法；③轨迹方程法．
(2)确定椭圆标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量” 条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确 定a、b的值．运用待定系数法时，常结合椭圆性质，已知条 件，列关于a，b，c的方程．
第五节 椭 圆
第一页，共47页。
1．椭圆的定义 平面内到两定点F1、F2的距离的和 等于__(d_ě_n_g_y_ú_)_常_数(大于 |F1F2|)的点的轨迹叫椭圆． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞ 0，c＞0，且a，c为常数(chángshù)． (1)若_2_a_＞__|F_1_F_2_| _，则集合P为椭圆； (2)若__2_a_＝__|F_1_F_2_| ，则集合P为线段； (3)若_2_a_＜__|F__1F_2_|_，则集合P为空集．
高考数学(人教A版)一轮复习课件：8-5-1椭圆的概念及其性质
PF1 PF2
所以 = |PF1||PF2|= 1 所以b=3. 答案:3 S PF1F2
×2b2=b2=9.
2பைடு நூலகம்
1 2
【母题变式】 1.将本例(2)中条件“ ”“△PF1F2的面积为 9”分别改为“∠F1PF2=60°”“ =3 ”,则结 果如何?
PF1 PF2
(2)已知F1,F2是椭圆C: 点,P为椭圆C上的一点,且 为9,则b=________.
(a>b>0)的两个焦 2 2 若△PF1F2的面积
x y 2 1 2 a b PF1 PF2 .
【解题导引】(1)设圆P的半径为r,当点M在定圆P内时 (非圆心),|QP|+|QM|=r为定值,可得轨迹. (2)注意到点P在椭圆上,则有|PF1|+|PF2|=2a,再利用 求出 的值,进而可求得b的值.
S F1PF2
x y 2 2 a b
【解析】设过左焦点F1的正三角形的边交椭圆于点A, 则|AF1|=c,|AF2|= c,有2a=(1+ )c,所以e= 答案: -1
3
3
2 3 1. 1 3
3
c a
考点一 椭圆的定义及应用 【典例1】(1)(2017· 毕节模拟)点M为圆P内不同于圆心的定点,过点M作圆Q与圆 P相切,则圆心Q的轨迹是 ( A.圆 C.圆或线段 B.椭圆 D.线段 )
___≤y≤__ -a a
对称轴:_______ 坐标轴 对称中心:_____ 原点
图 形
A1 _______,A 2 (-a,0) (a,0) 顶 点
(0,-b)
A1 (0,-a) _______,A 2 (0,a)
最新-2018届高考数学一轮复习 椭圆调研课件 文 新人教A版 精品
【解析】 (1)∵ MF1⊥x轴，∴xM＝－c.
b2
b2
代入椭圆方程，得yM＝ a ，∴kOM＝－ac.
b 又∵kAB＝－a且OM∥ AB，
b2
b
2
∴－ac＝－a.故 b＝ c，从而e＝ 2 .
(2)设 |QF1|＝ r1，|QF2|＝ r2，∠F1QF2＝θ.
∵r1＋ r2＝2a，|F1F2|＝ 2c，
圆． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c
为常数； (1)若a>c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a<c，则集合P为空集． 2．椭圆的两种标准方程：
x2 y2
y2 x2
a2＋b2＝ 1，a2＋b2＝1.(其中a>b>0)
3．椭圆的几何性质
4．
方
程：
Ax2＋
By2＝
1或
x2 A
＋
y2 B
＝
1(A>0，
B>0，
A≠
B)也
表
示椭圆．
教材回归
1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆
x2 3
＋ y2＝1上，顶点A
是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，
则△ABC的周长是(
)
A． 2 3
B．6
C． 4 3
D． 12
解析 ∵a2＝3，∴a＝ 3
定义式的平方 (2)对△F1PF2的处理方法 余弦定理
面积公式
(|PF1|＋ |PF2|)2＝(2a)2
⇔ 4c2＝ |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ 1 S△＝2|PF1||PF2|sinθ
最新-2018届高考数学一轮复习 第8章第五节 椭圆课件 文 精品
其中 A，B 为不相等的正常数或由已知条件 设椭圆系(如xa22＋yb22＝λ，λ＞0)来求解，以避 免讨论和繁琐的计算．
例1 (1)求两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)， 并且经过点(－32，52)的椭圆的标准方程； (2)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴 长的 3 倍，并且过点 P(3,0)，求椭圆的方程； (3)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，
∴O→A＋O→B＝(2xM,2yM)＝(1200kk2＋2m6，－ 101k22＋km6)， 即 N 点的坐标为(1200kk2＋2m6，－ 101k22＋km6)． 由 N 点在椭圆上， 则15×(1200kk2＋2m6)2＋13×(1－0k122＋km6)2＝m22， 即 5k4－2k2－3＝0，∴k2＝1 或 k2＝－35(舍去)． 故存在 k＝±1，使对任意 m＞0，
答案：(3,4)∪(4,5) 3．椭圆xm2＋1y52 ＝1 的焦距等于 2，则 m 的值是________． 答案：16或14
4．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴 长、离心率依次是________．
答案：10,6，45
考点探究·挑战高考
考点突破
椭圆的定义及标准方程
椭圆标准方程的求法 (1)定义法； (2)待定系数法．若已知焦点的位置可惟一 确定标准方程；若焦点位置不确定，可采 用分类讨论法来确定方程的形式，也可以 直接设椭圆的方程为 Ax2＋By2＝1，
轴
对称轴：_x_轴__、__y_轴___，长轴长：_A__1A__2＝__2_a___， 短轴长：_B__1B__2＝__2_b___
条
{M|MF1＋MF2＝2a，(2a>F1F2)}
件
{M|MdF1 1＝MdF2 2＝e(0<e<1)}
高考数学一轮复习讲义8.5讲 椭圆
第5讲椭圆[最新考纲]1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．2．了解椭圆的简单应用．3．理解数形结合的思想.知识梳理1．椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0) 图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率 e ＝ca ∈(0,1) a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 21．对椭圆定义的认识(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×) (2)动点P 到两定点A (0，－2)，B (0,2)的距离之和为4，则点P 的轨迹是椭圆．(×) 2．对椭圆的几何性质的理解(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．(×) (4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．(√) (5)(教材习题改编)椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为22. (√)3．椭圆的方程(6)若椭圆x 24＋y 2k ＝1的焦点坐标是F 1(－2，0)，F 2(2，0)，则k ＝2(√) (7)(教材改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是x 23＋y 24＝1(×) [感悟·提升]1．一点提醒 椭圆定义中的常数必须大于|F 1F 2|，如(1)、(2)．2．两个防范 一是注意椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，离心率越大，椭圆就越扁；离心率越小，椭圆就越圆，如(3)；二是注意椭圆方程的焦点位置是在x 轴上还是y 轴上，当a ＞b ＞0时，方程x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上；当b ＞a ＞0时，方程x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在y 轴上，如(7).考点一 椭圆定义及标准方程【例1】 (1)设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭 圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )．A ．4B ．3C ．2D ．5(2)求过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．(1)解析 由题意知，在△PF 1F 2中，|OM |＝12|PF 2|＝3， ∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4. 答案 A(2)解 法一 椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知， 2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2， 解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4. 所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.法二 因为所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，所以其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在所求椭圆上， 所以(－5)2a 2＋(3)2b 2＝1，即5a 2＋3b 2＝1.② 由①②得b 2＝4，a 2＝20，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.规律方法 (1)一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决．(2)求椭圆的标准方程有两种方法①定义法：根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程． ②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a ，b ；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．【训练1】 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为______．解析 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由e ＝22知c a ＝22，故b 2a 2＝12.由于△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝16，故a ＝4.∴b 2＝8.∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1. 答案 x 216＋y 28＝1考点二 椭圆的几何性质【例2】 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关． (1)解 法一 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， |PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a . 在△PF 1F 2中，由余弦定理可知， 4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°＝(m ＋n )2－3mn＝4a 2－3mn ≥4a 2－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝4a 2－3a 2＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)．∴c 2a 2≥14，即e ≥12.又0＜e ＜1，∴e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.法二 如图所示，设O 是椭圆的中心，A 是椭圆短轴上的一个顶点，由于∠F 1PF 2＝60°，则只需满足60°≤∠F 1AF 2即可，又△F 1AF 2是等腰三角形，且|AF 1|＝|AF 2|，所以0°＜∠F 1F 2A ≤60°， 所以12≤cos ∠F 1F 2A ＜1，又e ＝cos ∠F 1F 2A ，所以e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.(2)证明 由(1)知mn ＝43b 2， ∴S △PF 1F 2＝12mn sin 60°＝33b 2， 即△PF 1F 2的面积只与短轴长有关．规律方法 (1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得到a ，c 的关系．(2)椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式e ＝c a ；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．【训练2】 (1)(2013·四川卷)从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是 ( )．A.24B.12C.22D.32(2)(2012·安徽卷改编)如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.且△AF 1B 的面积为403， 则a ＝________，b ＝________.解析 (1)左焦点为F 1(－c,0)，PF 1⊥x 轴，当x ＝－c 时，c 2a 2＋y 2P b 2＝1⇒y 2P ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 2a 2＝b 4a 2⇒y P ＝b 2a (负值不合题意，已舍去)，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，由斜率公式得k AB ＝－b a ，k OP ＝－b 2ac . ∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ⇒－b a ＝－b 2ac ⇒b ＝c . ∵a 2＝b 2＋c 2＝2c 2， ∴c 2a 2＝12⇒e ＝c a ＝22.(2)法一 a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )， 将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，－335c ， 所以|AB |＝1＋3·⎪⎪⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |·sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.法二 设|AB |＝t (t >0)． 因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ， 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得，t ＝85a . 由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知， a ＝10，b ＝5 3. 答案 (1)C (2)10 5 3考点三 直线与椭圆的位置关系【例3】 (2013·陕西卷)已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍．(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点．若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率．审题路线 (1)根据题意列出等式⇒坐标化⇒整理可得动点M 的轨迹方程． (2)设直线m 的方程，交点A ，B 的坐标法一：把直线与点M 的轨迹方程联立，消y ⇒由Δ＞0得k 的范围⇒由方程得根与系数的关系式⇒再结合A 是PB 的中点即x 2＝2x 1⇒解得k 的值；法二：由A 是PB 的中点得出A ，B 两点坐标间的关系⇒又点A ，B 在点M 的轨迹上⇒联立方程组解得A 或B 点坐标⇒根据斜率公式求k . 解 (1)设M 到直线l 的距离为d ，根据题意，d ＝2|MN |. 由此得|4－x |＝2(x －1)2＋y 2， 化简得x 24＋y 23＝1，所以，动点M 的轨迹方程为 x 24＋y 23＝1.(2)法一 由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将y ＝kx ＋3代入x 24＋y 23＝1中，有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0， 其中，Δ＝(24k )2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)>0， 解得k 2>32.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－24k3＋4k 2，① x 1x 2＝243＋4k 2.② 又因A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1，③将③代入①，②，得x 1＝－8k 3＋4k 2，x 21＝123＋4k 2， 可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 3＋4k 22＝123＋4k 2，且k 2>32， 解得k ＝－32或k ＝32，所以，直线m 的斜率为－32或32.法二 由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)． ∵A 是PB 的中点， ∴x 1＝x 22， y 1＝3＋y 22. 又x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，联立①，②，③，④解得⎩⎨⎧ x 2＝2，y 2＝0或⎩⎨⎧x 2＝－2，y 2＝0，即点B 的坐标为(2,0)或(－2,0)， 所以，直线m 的斜率为－32或32.规律方法 (1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．【训练3】 (2014·山东省实验中学诊断)设F 1，F 2分别是椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1倾斜角为45°的直线l 与该椭圆相交于P ，Q 两点，且|PQ |＝43a .(1)求该椭圆的离心率；(2)设点M (0，－1)满足|MP |＝|MQ |，求该椭圆的方程．解 (1)直线PQ 斜率为1，设直线l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则P ，Q 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0， 则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b 2.所以|PQ |＝2|x 2－x 1|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝43a ，化简，得43a ＝4ab 2a 2＋b 2，故a 2＝2b 2， 所以椭圆的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22. (2)设PQ 的中点为N (x 0，y 0)， 由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－23c ， y 0＝x 0＋c ＝c3.由|MP |＝|MQ |，得k MN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1，得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3.故椭圆的方程为x 218＋y 29＝1.1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F 1F 2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．2．求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0)可以避免讨论和繁琐的计算，也可以设为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0)，这种形式在解题中更简便．3．椭圆的标准方程有两种形式，在解题时要防止遗漏，深刻理解椭圆中的几何量a ，b ，c ，e 之间的关系及每个量的本质含义，并能熟练地应用于解题．若已知焦点位置，则标准方程唯一；若无法确定焦点位置，则应考虑两种形式．答题模板11——直线与椭圆的综合问题【典例】 (13分)(2013·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433. (1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线 与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．[规范解答] (1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程(－c )2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±63b ， (2分) 于是263b ＝43 3，解得b ＝2，(3分)又a 2－c 2＝b 2，从而可得a ＝3，c ＝1， (4分) 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(5分)(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)， (6分)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 23＋y 22＝1消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.(8分)因为直线过椭圆内的点，无论k 为何值，直线和椭圆总相交． 由根与系数的关系可得则x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2，(9分)因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k 2.(12分)由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2. (13分)[反思感悟] 解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 答题模板 直线与椭圆联立问题第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可由点斜式设出直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式Δ：计算一元二次方程根的判别式Δ＞0. 第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出． 第五步：根据题设条件求解问题中的结论． 【自主体验】已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率． (1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．解 (1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)． 其离心率为32，故a 2－4a ＝32，解得a ＝4. 故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2. 将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16， 所以x 2B ＝164＋k 2.又由OB →＝2 OA →，得x 2B ＝4x 2A，即164＋k 2＝161＋4k 2，解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )． A ．2 3 B ．6 C ．4 3 D ．12解析 由椭圆的定义知：|BA |＋|BF |＝|CA |＋|CF |＝2a (F 是椭圆的另外一个焦点)，∴周长为4a ＝4 3. 答案 C2．(2014·广州模拟)椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )．A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或21 解析 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，即5－k 3＝45，解得k ＝－1925；若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，由c a ＝45，即k －54＋k＝45，解得k ＝21. 答案 C3．(2014·韶关模拟)已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于( )．A ．4B ．5C ．7D ．8解析 将椭圆的方程转化为标准形式为y 2(m －2)2＋x 2(10－m )2＝1，显然m －2＞10－m ，即m ＞6，且(m －2)2－(10－m )2＝22，解得m ＝8.答案 D4．(2014·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )． A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 28＋y 24＝1 D.x 216＋y 24＝1解析 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由点(2，3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列， 则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|， 即2a ＝2·2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立解得a 2＝8，b 2＝6. 答案 A5．(2013·辽宁卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )．A.35B.57C.45D.67解析 如图，设|AF |＝x ，则cos ∠ABF ＝82＋102－x 22×8×10＝45.解得x ＝6，∴∠AFB ＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知|AF 1|＝8，∠F AF 1＝∠F AB ＋∠FBA ＝90°，△F AF 1是直角三角形，所以|F 1F |＝10，故2a ＝8＋6＝14,2c ＝10，∴c a ＝57. 答案 B 二、填空题6．(2014·青岛模拟)设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为________．解析 抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，∴m 2－n 2＝4①，e ＝12＝2m ，∴m ＝4，代入①得，n 2＝12，∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.答案 x 216＋y 212＝17．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. 解析 由题意知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，PF 1→⊥PF 2→， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2， ∴2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2.∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×2b 2＝b 2＝9. ∴b ＝3. 答案 38．(2013·福建卷)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析 因为直线y ＝3(x ＋c )过椭圆左焦点，且斜率为3，所以∠MF 1F 2＝60°，∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°， 故|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c由点M 在椭圆上知，c ＋3c ＝2a . 故离心率e ＝c a ＝23＋1＝3－1. 答案3－1三、解答题9．已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|.(1)求此椭圆的方程；(2)若点P 在第二象限，∠F 2F 1P ＝120°，求△PF 1F 2的面积． 解 (1)依题意得|F 1F 2|＝2， 又2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|，∴|PF 1|＋|PF 2|＝4＝2a .∴a ＝2，c ＝1，b 2＝3. ∴所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设P 点坐标为(x ，y )， ∵∠F 2F 1P ＝120°，∴PF 1所在直线的方程为y ＝(x ＋1)·tan 120°，即y ＝－3(x ＋1)． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3(x ＋1)，x 24＋y 23＝1，并注意到x ＜0，y ＞0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－85，y ＝335.∴S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·335＝335.10．(2014·绍兴模拟)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．已知点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，22在椭圆上，且点M 到两焦点距离之和为4. (1)求椭圆的方程；(2)设与MO (O 为坐标原点)垂直的直线交椭圆于A ，B (A ，B 不重合)，求OA →·OB →的取值范围．解 (1)∵2a ＝4，∴a ＝2， 又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，22在椭圆上，∴34＋12b 2＝1，解得b 2＝2， ∴所求椭圆方程x 24＋y 22＝1.(2)由题意知k MO ＝66，∴k AB ＝－ 6. 设直线AB 的方程为y ＝－6x ＋m ， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y22＝1，y ＝－6x ＋m ，消去y ，得13x 2－46mx ＋2m 2－4＝0，Δ＝(－46m )2－4×13×(2m 2－4)＝8(12m 2－13m 2＋26)＞0， ∴m 2＜26，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝46m13，x 1x 2＝2m 2－413，则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝7x 1x 2－6m (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－2813∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2813，5013.∴OA →·OB →的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2813，5013.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·潍坊模拟)已知椭圆：x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )． A ．1 B. 2 C.32 D. 3解析 由题意知a ＝2，所以|BF 2|＋|AF 2|＋|AB |＝4a ＝8，因为|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，所以|AB |的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－32，代入椭圆方程得c 24＋94b 2＝1，又c 2＝a 2－b 2＝4－b 2，所以4－b 24＋94b 2＝1，即1－b 24＋94b 2＝1，所以b 24＝94b 2，解得b 2＝3，所以b ＝ 3. 答案 D2．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )． A.12 B.23 C.34 D.45 解析 令c ＝a 2－b 2.如图，据题意，|F 2P |＝|F 1F 2|，∠F 1PF 2＝30°，∴∠F 1F 2P ＝120°， ∴∠PF 2x ＝60°，∴|F 2P |＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2－c ＝3a －2c .∵|F 1F 2|＝2c ，∴3a －2c ＝2c ， ∴3a ＝4c ，∴c a ＝34， 即椭圆的离心率为34.答案 C 二、填空题3．(2014·陕西五校联考)椭圆x 2a 2＋y 25＝1(a 为定值，且a ＞5)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B .若△F AB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．解析 设椭圆的右焦点为F ′，如图，由椭圆定义知，|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a .又△F AB 的周长为|AF |＋|BF |＋|AB |≤|AF |＋|BF |＋|AF ′|＋|BF ′|＝4a ， 当且仅当AB 过右焦点F ′时等号成立． 此时4a ＝12，则a ＝3.故椭圆方程为x 29＋y 25＝1，所以c ＝2， 所以e ＝c a ＝23.答案 23 三、解答题4．(2014·河南省三市调研)已知圆G ：x 2＋y 2－2x －2y ＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a＞b ＞0)的右焦点F 及上顶点B .过椭圆外一点M (m,0)(m ＞a )作倾斜角为56π的直线l 交椭圆于C ，D 两点． (1)求椭圆的方程；(2)若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，求m 的取值范围． 解 (1)∵圆G ：x 2＋y 2－2x －2y ＝0经过点F ，B ， ∴F (2,0)，B (0，2)，∴c ＝2，b ＝2， ∴a 2＝b 2＋c 2＝6，椭圆的方程为x 26＋y 22＝1.(2)由题意知直线l 的方程为y ＝－33(x －m )，m ＞6， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，y ＝－33(x －m )，消去y ，得2x 2－2mx ＋(m 2－6)＝0.由Δ＝4m 2－8(m 2－6)＞0，解得－23＜m ＜2 3. ∵m ＞6，∴6＜m ＜2 3.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－62，∴y 1y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33(x 1－m )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33(x 2－m )＝13x 1x 2－m 3(x 1＋x 2)＋m 23. ∵FC →＝(x 1－2，y 1).FD →＝(x 2－2，y 2)，∴FC →·FD →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝43x 1x 2－m ＋63(x 1＋x 2)＋m 23＋4＝2m (m －3)3.∵点F 在圆E 内部，∴FC →·FD →＜0， 即2m (m －3)3＜0，解得0＜m ＜3.又6＜m ＜23，∴6＜m ＜3. 故m 的取值范围是(6，3).必记内容: 高中数学三角函数公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x=αcos 正切：xy=αtan 余切：y x =αcot正割：xr=αsec 余割：yr =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。
2018高考数学一轮复习 椭圆 精品优选公开课件
求椭圆的标准方程的基本方法是待定系数法，具体 过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然 后再根据条件建立关于a,b的方程组.如果焦点位置不确 定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭 圆方程设为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)的形式.
例1、（1）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，
考点2 椭圆的焦点三角形
椭圆的第一定义（焦点三角形）
P F 1P F 22a(2a2c)
应用
P
(1)求轨迹； (2)求方程； (3)求e.
F1
F2
椭圆焦点三角形中的规律：
(1)椭圆的定义：|PF1|＋|PF2|＝2a；
(2)三角形的三个边长是|PF1|= a+ex0, |PF2|= a-ex0,
《新坐标》P22 例1（2）
32011年江西高考若椭圆ax22
+ y2 b2
=1的焦点在x轴上，
过点(1， 1)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线 2
AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是
__x 2__ _y_2__． 1 54
高三数学第一轮复习椭圆的定义、性质及标准方程知识精讲
高三数学第一轮复习：椭圆的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】椭圆的定义、性质及标准方程椭圆的定义及相关概念、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质【知识掌握】 【知识点精析】1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a bx a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距)0(221>=c c F F)0(221>=c c F F3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
推导过程：由第二定义得11PFe d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。
2018届高三数学文一轮复习课件：8-5 椭 圆 精品
[规律方法] (1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ①注意椭圆几何性质中的不等关系 在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆 标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系。 ②利用椭圆几何性质的技巧 求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、 焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系。 (2)求椭圆的离心率问题的一般思路 求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等 式或不等式，利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围。
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c 为常数}。
(1)若_a_＞__c__，则集合P为椭圆； (2)若__a_＝__c_，则集合P为线段； (3)若_a_＜__c__，则集合P为空集。
微知识❷ 椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
ax22＋by22＝1(a＞b＞0)
解析：(1)∵|PF1|＋|PF2|＝14，
又|PF1|∶|PF2|＝4∶3，
∴|PF1|＝8，|PF2|＝6。
∵|F1F2|＝10，∴PF1⊥PF2。
∴S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝12×8×6＝24。
(2)设椭圆的标准方程为
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a＞b＞0)。由点P(2，
3
第八章 解析几何
第五节 椭圆
微知识 小题练 微考点 大课堂 微考场 新提升
微知识 小题练
教材回扣 基础自测
一、知识清单
微知识❶ 椭圆的概念
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(_大__于___|F1F2|)的点的轨迹 叫椭圆。这两定点叫做椭圆的_焦__点___，两焦点间的距离叫做_焦__距___。
2018高三数学(理)一轮复习课件：第8章 第5节 椭 圆
解析：在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，因为∠PF1F2＝30° ，所以|PF1|＝2，|F1F2| 2c |F1F2| 3 ＝ 3.故e＝2a＝ ＝ .故选D. |PF1|＋|PF2| 3
x2 y2 5．已知点P是椭圆 5 ＋ 4 ＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的 15 15 ，1或 ，－1 三角形的面积等于1，则点P的坐标为 2 2 ．
解析：依题意有25－m2＝16，∵m＞0，∴m＝3.选B.
x2 y2 3 3．已知椭圆C： a2 ＋ b2 ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为 3 ，过 F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4 3，则C的方程为( A ) x2 y2 A. 3 ＋ 2 ＝1 x2 y2 C.12＋ 8 ＝1 x2 2 B． 3 ＋y ＝1 x2 y2 D．12＋ 4 ＝1
考点一
椭圆的定义及标准方程
1．(1)(2017· 西安质检)已知中心在原点的椭
即时应用
依题意，所求椭圆的焦点位于x 1 圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于 2 ，则C c 1 轴上，且c＝1，e＝ a ＝ 2 ⇒a＝ 的方程是( C )
x y A. 3 ＋ 4 ＝1 x2 y2 C. 4 ＋ 3 ＝1
解析：由椭圆的定义可知△AF1B的周长为4a，所以4a＝4 3，故a＝ 3，又
2 2 c 3 x y 由e＝a＝ 3 ，得c＝1，所以b2＝a2－c2＝2，则C的方程为 3 ＋ 2 ＝1，故选A.
x2 y2 4．(2017· 临沂一中模拟)设椭圆C： a2 ＋ b2 ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30° ，则C的离心率为( D ) 3 A. 6 1 C.2 1 B．3 3 D． 3