结构力学力法汇编
结构力学(二)_ 力法(七)_
或写出结构受力的方程。 (3) 用积分法或图乘法计算位移。
3.位移计算公式
yluo@
KP
MMP ds EI
AyC EI
§6 超静定结构位移计算
例6.1 求图示结构B支座的转角。
解：(1)建立两种状态。
(2)作出两种状态的弯矩图
(2)选取图示基本结构
(3)建立基本方程
2111XX11
12 22
X2 X2
1c 2c
0 0
基本结构 （基本体系）
(4)求系数与自由项
11 l3 /12EI
22 l / EI
1c l/2 yluo@
12 0 2c
(5)解方程 X1 6EI / l2 X2 EI / l
yluo@
二、支座移动时超静定结构受力分析
1.用力法分析超静定结构受支座移动影响， 其原理、方法与受荷载作用下完全相同。
⑴ 力法基本结构与荷载作用下相同； ⑵ 建立方程的条件：位移协调。即
基本结构的位移＝原结构的位移 注意：等式右边不一定为0。 ⑶ 基本结构上的位移为多余未知力X引起的 位移和支座移动引起的位移之和。
yluo@
§6 超静定结构位移计算 一、静定结构位移计算回顾 二、超静定结构位移计算 三、虚拟状态的选取 四、例题
yluo@
§6 超静定结构位移计算
一、静定结构的位移计算
1.位移计算原理 变形体虚功原理。
2.位移计算步骤
⑴建立实际位移状态和虚拟力状态。 ⑵作出两种状态的内力图。
Structural Mechanics
西南交通大学 土木工程学院
yluo@
结构力学应用-力法
法
1．超静定结构的基本特征（几何、静力） 2．超静定次数（n）
超静定次数 n ＝ 多余约束数 解除多余约束→→静定结构
静定结构形式不是唯一的 封闭无铰框架，n＝3
3、基本原理
基本思路：超静定结构内力计算 → →静定结构的 内力∕位移 计算 基本概念：基本未知量（多余约束力） 基本体系（基本结构＋荷载、基本未知量）
9、非荷载因素：
支座移动，温度改变，材料收缩，制造误差等。 超静定结构的一个重要特点： ——非荷载因素可以产生内力——自内力 （1）支座移动时的计算 力法方程 δ11x1 + △1c = △1 （2）温度内力的计算 力法方程 δ11x1 + △1t = 0 特点： ①内力全部由多余未知力引起 ②内力与EI的绝对值有关，且与EI成正比
4．无弯矩状态判别
只承受结点荷载的刚架结构，在不计轴向变形的情况下， 当所有刚结点变为铰结点时， a、仍为几何不变体系， b、几何可变，但使其成为不变所附加的链杆均为零杆 （即无结点线位移，则也无角位移时） 各杆弯矩为零——无弯矩状态（取铰接基本结构可证）
0
8、超静定结构位移的计算
基本思路： 基本体系（静定——基本结构）→求原结构的位移。 受力/变形完全相同，
柔度系数： 主系数 δii>0 副系数 δij=δji——对称矩阵 力法典型方程是表示位移条件 在载荷作用下（p133、p138）—— ， 超静定结构的内力 只与各杆的刚度相对值有关， 而与其刚度绝对值无关。
6、讨论
（1）链秆切断～拆除的区别？
p138：桁架计算——若用拆除链秆的静定结构作 为基本结构，与切断链秆计算时的区别？ p140：排架计算—— （2）刚度变化——内力变化关系？ p139：例7－3，A变化 p158：例7－9，k变化
结构力学——力法共61页
谢谢！
61
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
结构力学——力法
11、不为五斗米折腰。 12、芳菊开林耀，青松冠岩列。怀此 贞秀姿 ，卓为 霜下杰 。
13、归去来兮，田蜀将芜胡不归。 14、酒能祛百虑，菊为制颓龄。 1
结构力学第六章 力法
四、n次超静定结构的力法典型方程
i1X1 i2 X 2 in X n iP 0(i 1、2、、n)
符号意义同前。 求解内力(作内力图)的公式：
M M1X1 M2X2 Mn Xn M P
FQ FQ1X1 FQ2 X2 FQn Xn FQP
FN FN1 X1 FN 2 X 2 FNn X n FNP 作内力图可以延用第三章的作法：由M→FQ→FN。
通常做法：拆除原结构的所有多余约束，代之 以多余力X，而得到静定结构。
规则： 1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个约束； 2）去掉一个简单铰，相当于去掉两个约束； 3）去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，相当于去 掉三个约束； 4）在梁式杆上加一个简单铰，相当于去掉一个约束。
10
例： a)
X1
X2
37
2、列 力法方程
1211XX11
12 X 2 22 X 2
1P 2P
0 0
（B 0） （C 0）
讨论方程和系数的物理意义。
q
A
D
Δ1P B
C
A
X1=1
δ11 δ21
D
B
C
A
δ12
X2=1 δ22
D
B C
38
位移方程(力法方程)
ΔφB=0 ——B左右截面相对转角等于零。 ΔφC=0 —— C左右截面相对转角等于零。
d)
原结构
X2
X1
X1
X2
n=2
13
e)
原结构
X1 X1 n=1
f)
原结构
n=3
X1
X3
X2
特别注意：不要把原结
构拆成几何可变体系。此
结构力学- 力法
0
X1 4X2
0
解方程得：
X1
1 15
ql 2
(
)
X2
1 60
ql2 (
)
3. 作内力图 1) 根据下式求各截面M值，然后画M图。
M M1X1 M2X2 MP
23
ql2 15
A
C
B
ql2 60
11ql 2 120
D M图
2) 根据M图求各杆剪力并画FQ图。
AB杆： MB 0
FQAB
26
2. 方程求解
q
B
C
ql 2 8
A
MP图
1P
1 E1I1
2 3
l
1 ql 2 8
1 2
ql3 ql3 24E1I1 24E2I2k
2P 0
X1=1 1 E1I1 l
1B
C
E2I2 l
A
M1图
B
E1I1 l C
E2I2 l
X2=1
A
M 2图
1
27
X1=1 1 E1I1 l
1B
C
E2I2 l
A
M1图
B
E1I1 l C
E2I2 l
X2=1
A
1 M2图
11
1 E1I1
1 2
1 l
2 3
1
1 E2 I 2
1 2
1
l
2 3
1
l l l E1I1 E2I2 l k 1 3E1I1 3E2I2 3 E1I1E2I2 3E2I 2 k
( E1I1 k) E2 I2
12
21
1 E2 I2
△iP—荷载产生的沿Xi方向的位移
结构力学第六章力法
3）反对称荷载作用下
2P 3P 0
11 X 1 22 X 2
1P 23
0 X3
0
32 X 2 33 X 3 0
X121X1
1P X3 0
0
反对称荷载作用下, 沿对称轴截面上正对称内力为0
例:
FP
FP/2 FP/2
FP/2
FP/2 FP/2
M,FN,FQ，R任一基本结构力 下下 的的 单内 位力和反力
3 温度变化
E M Ih t,E F N A t0,kG F Q A
M EM IdxFN EFA NdxFQ GFQ Adx MhtdxFNt0dx
4 综合因素下位移公式
M EM IdxFN EFA NdxFQ GFQ Adx MhtdxFNt0dxRC
(2 2)FPa EA
X1
2FP 2
FNX1FN1FNP
二 组合结构
实体梁和加劲杆组成加劲梁,基本结构一般由切断二力杆得到。
计算系数要按梁式杆和二力杆分别处理。
2
2
ii
M i dx N i l
EI
EA
ij
M i M j dx N i N j l
EI
EA
iP
M i M P dx N i N P l
FNDA
FNBD=-23FP/40 FNDC=9FP/80
2 铰接排架 计算柱子内力时,通常将屋架视为一根轴向EA为∞的杆件
(横梁)。阶梯式的变截面柱,上端与横梁铰接,下端与基础刚接。 铰接排架超静定次数等于排架跨数，其基本结构由切断各跨横 梁得到。
典型方程: 11 X11P0
110.12E 3l3I,1P
结构力学第7章力法
结构力学第7章力法力法是结构力学中的一种分析方法，通过力法可以计算结构系统中各个构件的受力情况。
力法分为两种，即静力法和动力法。
静力法是力法的一种基本形式，它假设结构系统处于静止状态，通过平衡条件来计算结构中构件的受力。
在应用静力法时，我们根据不同的受力情况选择适当的计算方法。
常见的静力法有三种，即图解法、解析法和力平衡方程法。
图解法是最直观、易于理解和应用的方法之一、在图解法中，我们首先绘制结构的荷载图和支座反力图。
然后，根据等效荷载和支座反力，我们可以通过直观的力平衡图来计算结构中各个构件的受力情况。
解析法是一种较为精确的力法方法。
在解析法中，我们可以通过力平衡方程来计算结构中各个构件的受力。
通过将力平衡方程应用于不同的构件，我们可以得到方程组，并解得未知力的数值。
常见的解析法有支反推移法、拆解法和替换法。
支反推移法是一种常见的解析法，它通过将处于平衡状态的内力反向传递来计算结构中各个构件的受力。
该方法适用于简单、对称的结构系统。
拆解法是一种适用于复杂结构的方法，它将结构系统拆解为多个简单结构，在每个简单结构中应用平衡条件计算受力。
替换法是一种常用于桁架结构的方法，它通过将构件按照等效的支座反力进行替换，然后计算受力。
力平衡方程法是一种广泛应用于结构力学中的方法。
在力平衡方程法中，我们通过应用力平衡方程来计算结构中各个构件的受力。
在计算过程中，我们需要考虑结构的平衡条件、力的合成和分解等因素。
常见的力平衡方程法有梁静力法、杆件静力法和平面结构静力法等。
动力法是力法的另一种形式，它适用于分析结构在动力作用下的响应。
动力法通过求解结构的动力方程，计算结构的振动、位移和应力等。
常见的动力法有等效荷载法、阻尼振动法和模态分析法等。
等效荷载法是一种常用的动力法，它将随机振动转化为与之等效的静力荷载，然后用静力法来计算结构的受力情况。
阻尼振动法是一种考虑结构阻尼特性的动力法，它在动力方程中引入阻尼项，计算结构的振动衰减情况。
《结构力学》第七章力法
沿X1方向：
沿X2方向：
沿X3方向：
据叠加原理，上述位移条件可写成
原结构
基本结构
△1=
（7—2）
（a）
（b）
11
21、22、23和△2P ；
31、32、33和△3P 。
△2=21X1+22X2+23X3+△2P=0 △3=31X1+32X2+33X3+△3P=0
11X1
+12X2
+13X3
11X1+12X2+△1P=0 21X1+22X2+△2P=0 33X3+△3P=0
则 X3=0 。
这表明：对称的超静定结构，在对称的荷载作用下， 只有对称的多余未知力，反对称的多余未知力必为零。
↓
↓
a
a
P
P
↓
↓
P
P
MP图
（2）对称结构作用反 对称荷载
MP图是反对称的，故
2 .确定超静定次数的方法:
解除多余联系的方式通 常有以下几种：
（1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个联系。
↓
↑
（2）拆开一个单铰，相当 于去掉两个联系。
用力法解超静定结构时，首先必须确定多余联系 或多余未知力的数目。
↓
↑
←
→
多余联系或多余未知力的个数。
多余未知力：
多余联系中产生的力称为多余未 知力（也称赘余力）。
此超静定结构有一个多余联 系，既有一个多余未知力。
此超静定结构有二个多余联 系，既有二个多余未知力。
返 回
*
3. 超静定结构的类型
（1）超静定梁; （2）超静定桁架； （3）超静定拱；
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第七章力法§7-1 超静定结构概述1. 超静定结构基本特性(1) 几何构造特性：几何不变有多余约束体系(2) 静力解答的不唯一性：满足静力平衡条件的解答有无穷多组(3) 产生内力的原因：除荷载外，还有温度变化、支座移动、材料收缩、制造误差等，均可产生内力。
2. 超静定结构类型图7.13. 求解原理(1) 平衡条件：解答一定是满足平衡条件的，平衡条件是必要条件但不是充分条件。
(2) 几何条件：或变形协调条件或约束条件等，指解答必须满足结构的约束条件与位移连续性条件等。
(3) 物理条件：求解过程中还需要用到荷载与位移之间的物理关系。
4. 基本方法力法：以多余约束力作为求解的基本未知量位移法：以未知结点位移作为求解的基本未知量§7-2 超静定次数的确定超静定次数：多余约束的个数，也就是力法中基本未知量的个数。
确定方法：超静定结构去掉多余约约束静定结构，即可确定超静定次数即力法基本未知量的个数。
强调，（1）去掉的一定是多余约束，不能去掉必要约束（2）结果一定是得到一个静定结构，也称力法基本结构。
图7.2图7.3图7.4图7.5图7.6§7-3 力法基本概念下面用力法对一单跨超静定梁进行求解，以说明力法基本概念，对力法有一个初步了解。
图7.7(1) 一次超静定，去掉支座B ，得到力法基本未知量与基本结构；(2) 要使基本结构与原结构等价，则要求，荷载与X 1共同作用下，∆1=0(3) 由叠加原理，有，011111111=+=+=P P X ∆δ∆∆∆，力法典型方程，即多余约束处的位移约束条件。
(4) 柔度系数δ11与自由项∆1P 均为力法基本结构上(静定结构)的位移，由图乘法，得EI l l l l EI 332211311=⋅⋅⋅⋅=δ, EIql l ql l EI P 84321311421-=⋅⋅⋅-=∆, ql X P 831111=-=δ∆ (5) X 1已知，可作出原结构M 图，如图示。
§7-4 力法典型方程由上节知，力法典型方程就是多余约束处的位移方程。
下面讨论一般情况下力法方程的形式。
图7.83次超静定，去掉一个固定支座，得到力法基本结构。
当∆1=0，∆2=0，∆3=0时，原结构与基本结构等价。
根据叠加原理，得到力法典型方程，如下011331221111=+++=P X X δX Δ∆δδ，注意，一般为0，有不为0的情况022*********=+++=P X X δX Δ∆δδ033333223113=+++=P X X δX Δ∆δδ选取不同的力法基本结构，如下图示图7.9依叠加原理，得到力法方程如下，013132121111=+++=P X X X δΔ∆δδ023*********=+++=P X X X δΔ∆δδ033332321313=+++=P X X X δΔ∆δδ形式上完全相同，只是各符号的具体物理含义有所不同。
依此类推，n 次超静定结构，有n 个多余约束力时，力法典型方程为2211222222121111212111==++++==++++==++++n nP n nn n n P n n P n n X X X X X X X X X ∆∆δδδ∆∆δδδ∆∆δδδ02121212222111211=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nP P P n nn n n n n X X X ∆∆∆δδδδδδδδδ , 0}{}]{[=+P X ∆δ 为线性代数方程组，由位移互等定理，ji ij δδ=。
物理含义：(1) 力法方程：多余约束处的位移方程，力法方程也叫柔度方程，力法也叫柔度法；(2) 柔度系数ij δ，j 方向单位力引起的i 方向的位移，主系数δii >0，副系数ji ij δδ=。
(3) 自由项iP ∆，荷载单独作用在基本结构上，引起的i 方向的位移。
柔度系数与自由项，都是静定结构上的位移，可由上一章的位移计算方法把它们计算出来。
§7-5 力法计算步骤与示例例7-1 用力法求解图示刚架，并作M 图。
图7.10力法基本未知量为X 1、X 2，基本结构如图示，列出力法方程022221211212111=++=++P P X X X X ∆δδ∆δδ 作出1M 、2M 、M P 图，如图示。
下面计算柔度系数与自由项EI l l l l EI 6322121311=⋅⋅⋅=δ, EI l l l l EI 4212132112=⋅⋅⋅==δδ, EIl l l l EI l l l EI 652132211322=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ EI Fl l Fl l EI P 9656522212131-=⋅⋅⋅-=∆, EIFl l Fl l EI P 1622212132-=⋅⋅⋅-=∆ 力法方程成为(消去公因子l 3/EI )0965416121=-+F X X , 0161654121=-+F X X 解出，F X 1141=, F X 8832-=(与假设方向相反) 计算最后杆端弯矩，如Fl l F M BC 883883=⋅=(上侧拉)，Fl l F l F l F M AB 88151148832=⋅-⋅+⋅=(左侧拉) 作出最后的M 图，如图示。
结论：(1) 超静定结构荷载作用的内力分布，只与各杆刚度比值有关，与刚度绝对值无关；(2) 刚度大的杆件，内力一般也大；(3) 可采用不同的力法基本结构，但最后结果一定相同。
图7.11力法计算步骤(1) 去掉多余约束，代之以约束反力作为力法基本未知量，得到一个静定结构作为力法的基本结构。
(2) 列出力法典型方程2211222222121111212111==++++==++++==++++n nP n nn n n P n n P n n X X X X X X X X X ∆∆δδδ∆∆δδδ∆∆δδδ(3) X 1=1单独作用在基本结构上，作出1M 图X 2=1单独作用在基本结构上，作出2M 图，依此类推荷载单独作用在基本结构上，作出M P 图(4) 计算柔度系数与自由项主系数δii >0，i M 自乘；δij =δji ，i M 与j M 图乘；自由项，∆iP ，i M 与M P 图乘。
(5) 将柔度系数与自由项代入力法方程中，求解力法方程，解出多余约束力。
(6) 由叠加原理，P M M X M X M +++= 2211，计算最后的杆端弯矩。
(7) 作出M 图。
例7-2 用力法求解两端固定超静定梁。
图7.123次超静定，未知量X 1、X 2、X 3，力法方程为00333323213123232221211313212111=+++=+++=+++P P P X X X X X X X X X ∆δδδ∆δδδ∆δδδ03113==δδ, 03223==δδ, 03=P ∆, 02333≠==EAl l EA F N δ, 则力法第3个方程成为，0333=X δ 得，X 3=0. 力法的前两个方程成为， 0022221211212111=++=++P P X X X X ∆δδ∆δδ EI l l EI δ332121111=⋅⋅⋅⋅=, EI l 322=δ, EIl EI 613112112112=⋅⋅⋅⋅==δδ EIl b l Fab P 6)(1+-=∆, EIla l Fab P 6)(2+-=∆, 可解出，221l Fab X =, 222l b Fa X = 结论：无论是静定梁还是超静定梁，横向荷载作用下，水平反力为0，这是梁受力的特点。
例7-3 用力法求解超静定桁架，已知各杆EA =C 。
图7.13 利用对称性，取对称的基本结构，未知量X 1，力法方程，01111=+P X ∆δ，求δ11时，不要忘记，切开的杆件上轴力为+1，EAa a EA a a a EA )223(211]2)21(2)22(2)22[(12222211+=⋅⋅+⋅-+⋅-+⋅⨯=δ EA Fa a F a F a F EA P -=-+--+-⨯=]2)2)(21(2)22)(22(2)22)(22[(121∆ F F X P 172.02231111=+=-=δ∆(拉力) 按叠加法求出最后轴力值，NP N N F F X F +=11。
例7-4 用力法求解加劲梁(组合结构)，已知，横梁I =1⨯10-4 m 4, 链杆A =1⨯10-3m 2，E =C 。
利用对称性。
切开竖向链杆，未知量X 1，力法方程为，01111=+P X ∆δ。
EEA EA EI EA F dS EI M N 52221211110189.1212152)25(12)232(242112⨯=⋅⋅+⋅-⋅⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⨯=+=∑∑⎰δEEI EA F F dS EI M M NP N P 6111P 10333.5)285(8043212)0(⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⨯=+=∑∑⎰此项为∆ 9.441111-=-=δ∆P X kN(压力)。
最后，弯杆P M M X M +=11，链杆NP N N F F X F +=11讨论：(1) 无链杆时，简支梁，M max =80kN.m 。
有链杆时，M max =15.4kN.m ，最大弯矩降低了81%，称为加劲梁；(2) A →0，加劲梁→简支梁。
A ↑，M max ↓，∣M min ∣↑，当A=1.7⨯10-3m 2时，M max =∣M min ∣，最合理；(3) A →∞，刚性支座，相当于两跨连续梁。
图7.14§7-6 对称性的利用对称结构，指结构的几何形状与支承条件完全对称，各杆的刚度也要对称。
1. 选取对称的基本结构图7.15选取对称的基本结构，在对称轴处切开，有00333323213123232221211313212111=+++=+++=+++P P P X X X X X X X X X ∆δδδ∆δδδ∆δδδ作出1M 、1M 、1M 、M P 图，正对称与反对称图形图乘结果为0，有03113==δδ，03223==δδ力法方程可分成正对称与反对称两组022221211212111=++=++P P X X X X ∆δδ∆δδ，03333=+P X ∆δ ∇ 正对称荷载下，M P 正对称，有，∆3P =0，X 3=0.∇ 反对称荷载下，M P 反对称，有，∆1P =0，∆2P =0，X 1=0，X 2=0.结论：(1) 对称结构，正对称荷载下，对称轴处切开，反对称的剪力为0，内力与位移分布均正对称；(2) 对称结构，反对称荷载下，对称轴处切开，正对称的弯矩与轴力为0，内力与位移分布均反对称。
例7-5 对称刚架，反对称荷载，各杆EI =C ，试用力法求解。