概率论与数理统计第四章习题解

7.若连续型随机变量ξ的分布密度是：
⎧ax2 + bx + c , (0 < x < 1)
f (x) = ⎨ ⎩
0
， , (x ≤ 0, x ≥ 1)
已知 E(ξ ) ＝1/2， D(ξ ) =3/20,求系数 a 、 b 、 c .
解：应用密度函数的性质有：
∫1
(ax 2
+
bx
+
c)dx
=
(a
x3
解：(1). E(ξ ) ＝－2×0.4＋0×0.3＋2×0.3＝-0.2 .
(2). E(ξ 2 ) = 4 × 0.4 + 0 × 0.3 + 4 × 0.3 = 2.8，
则： E(3ξ 2 + 5) ＝ 3E(ξ 2 ) + 5 = 3 × 2.8 + 5 = 13.4 . (3).由(1),(2)解：
D(ξ ) = E(ξ 2 ) − E 2 (ξ ) = 2.8 − (−0.2)2 = 2.76 .
11.设随机变量
(ξ
,η)
具有概率密度：
f
( x,
y)
=
⎧1 ⎩⎨0
(| y |< x,0 < x < 1) (其它)
，试求：
-5-
E(ξ ) ， E(η) .
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 解：
E(ξ )
=
解：由连续型随机变量数学期望的定义式：
∫ ∫ ∫ +∞
1500
E(ξ ) = xf (x)dx =
1
x 2dx − 3000 x(x − 3000) dx
−∞
0 15002
1500 15002
＝
x3
1500 −
1
(1 x3 −1500x2 ) 3000 ＝1500.
3 ×15002 0 15002 3
4.设在某一规定时间间隔里，电器设备用于最大负荷的时间 ξ(以分计)，是
一连续型随机变量，其概率密度为：
⎧ x /15002 , (0 ≤ x ≤ 1500)
f (x) = ⎪⎨− (x − 3000) /15002 , (1500 < x ≤ 3000) ，求 E(ξ ) .
⎪ ⎩
0
, (x < 0, x > 3000)
即 E(2πR) ＝ 2πE(R) 成立.
⎧kxα , (0 < x < 1)
3.连续型随机变量ξ的分布密度为： f (x) = ⎨ ⎩
0
, (x ≤ 0, x ≥ 1)
，又已知
E(ξ ) ＝0.75，求 k 和α ，( k ,α > 0 ).
-1-
解：由密度函数的性质及已知密度函数有：
∫1
kxα dx =
联解①②③（可用矩阵消元法解方程组①②③）得：
a ＝12， b ＝－12， c ＝3.
8.将服从二项分布的随机变量ξ写成 n 个相互独立且服从同一 0－1 分布的随 机变量之和，利用期望和方差的性质计算 E(ξ ) ， D(ξ ) .
解：定义随机变量 ξi ( i ＝1，2，…， n ）相互独立，且概率分布均为： P(ξi = 1) = p ， P(ξi = 0) = 1 − p = g ， 而且： E(ξi ) = p ， D(ξi ) = pg ，( i ＝1，2，…， n ），
1500
5.设随机变量ξ的分布密度为:
f
(x)
=
⎪⎧1/(π ⎨
⎪⎩
1− x2 ) 0
, (| x |< 1) , (| x |≥ 1)
, E(ξ ) , D(ξ ) .
∫ ∫ +∞
1−ε
解： E(ξ ) = xf (x)dx =
x dx = 0 ；
−∞
π −1+ε 1 − x 2
( 注 ： ① .-1,1 是 被 积 函 数 的 奇 点 ， 因 此 要 用 广 义 积 分 法 求 积 分 ； ②. 在
2.测量一圆形物体的半径 R ,其分布列为：
R
10 11 12 13
p
0.1 0.4 0.3 0.2
(1).计算 E(R) ；(2). E(2πR) 是否等于 2πE(R) .
解：(1).由数学期望的定义及 R 的分布列：
E(R) ＝10×0.1＋11×0.4＋12×0.3＋13×0.2＝11.6
(2).由数学期望的性质(2),显然有： E(2πR) ＝ 2πE(R) =23.2π .
既题解为： E(ξ ) ＝0， D(ξ ) ＝1/2 .
6.(拉普拉斯) 随机变量ξ的分布密度为: f (x) = 1 e−|x| ， (x ∈ R) , 2
求 E(ξ ) , D(ξ ) .
+∞
+∞
∫ ∫ 解: E(ξ ) = xf (x)dx = xe−|x|dx = 0 （奇函数在对称区间上的积分为零）；又：
+∞+∞
xf
( x,
y)dxdy
=
1
[x
x
1dy]dx
=
1
2
x 2dx
=
2
，
−∞−∞
0 −x
0
3
+∞+∞
1x
E(η) = ∫ ∫ yf (x, y)dxdy = ∫ dx ∫ ydy = 0
−∞−∞
0 −x
（二重积分区域如图）.
12.设二维随机变量 (ξ ,η) 具有概率密度：
⎧4xy
f (x, y) = ⎨ ⎩
k
xα +1 1 =
k
= 1，得： k − α = 1--------------①，
0
α +1 0 α +1
又由连续随机变量数学期望定义及已知数学期望有：
∫1
kxα +1dx =
k
xα+2 1 =
k
= 0.75 ，得： k − 0.75α = 1.5 ----②,
0
α+2 0 α+2
联解方程①②得：α = 2 ， k = 3 .
应用方差定义式及已知值有：
1
∫ (x − 1/ 2)2 (ax2 + bx + c)dx
0
＝(a
x5
+
b
−
a
x4
+
a
/
4
−
b
+
c
x3
+
b
/
4
−
c
x2
+
c
1 x)
5
4
3
2
40
＝ a + b − a + a − 4b + 4c + b − 4c + c = 3 ，得：
54
12
8 4 20
4a + 5b + 10c = 18 -----------------------③
解：设球的直径为ξ，则由已知条件，ξ在[ a , b ]上服从均匀分布，即：
ξ～
f
(x)
=
⎧1/(b −
⎨ ⎩
0
a)
, (a ≤ x ≤ b) ,(x < a, x > b)
.则球体积
η = 1 πξ 3 6
的均值为：
∫b
E(η) =
π
x3dx =
π
x 4 b = 1 (a + b)(a 2 + b2 )π .
⎠
=
⎛ 4⎜⎜ ⎝
1 3
x3
2
1⎞ 0⎟⎟⎠
=
4 9
.
+∞+∞
11
(3). E(η) = ∫ ∫ yf (x, y)dxdy = ∫ ∫ 4xy 2dxdy
−∞−∞
00
∫ ∫ 1
＝ 4(
1
xdx)(
y 2dy)
=
4⋅
1
⋅1
=
2
.
0
0
23 3
-6-
13.对球的直径作近似测量，设其值均匀地分布在区间[ a , b ]内，求球体积的 均值.
−∞
−∞
+∞
+∞
∫ ∫ E(ξ 2 ) = x 2 f (x)dx = x 2e−|x|dx (应用偶函数积分性质)
−∞
−∞
∫ ＝
+∞
2 x 2e −x dx
＝
−
(x2
+
2x
+
2)e − x
+
∞
=
2
；
0
0
∴ D(ξ ) = E(ξ 2 ) − E 2 (ξ ) = 2 .即题解为 E(ξ ) ＝0， D(ξ ) ＝2.
a 6(b − a)
24(b − a) a 24
14. 设随机变量ξ ,η 的概率密度分别为：
⎧2e−2x , (x > 0)
⎧4e−4y , ( y > 0)
fξ (x) = ⎨ ⎩
0
, (x ≤ 0)
， fη ( y) = ⎨ ⎩
0
， , ( y ≤ 0)
求(1). E(ξ +η) ；(2). E(2ξ − 3η) .
验证：由函数数学期望的定义：
E(2πR) = 2π ⋅10 × 0.1 + 2π ⋅11× 0.4 + 2π ⋅12 × 0.3 + 2π ⋅13× 0.2
＝ 2π (10 × 0.1 + 11× 0.4 + 12 × 0.3 + 13× 0.2)