中考数学专题复习圆_直线与圆的位置关系专题训练
圆—直线与圆的位置关系
1. 已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是( )
2. 已知，⊙O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.无法确定
3.如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA.PB，切点分别为A.B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB 的长是( )
A.4
B.8
C.4 3
D.8 3
4.如图，点P在⊙O外，PA.PB分别与⊙O相切于A.B两点，∠P＝50°，则∠AOB等于( )
A.150°
B.130°
C.155°
D.135°
5.直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为5，则半径r的取值范围是( )
A. r＞5
B. r＝5
C.0＜r＜5
D.0＜r≤5
6.如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为2.若∠OBA＝30°，则OB的长为( )
A.4 3
B.4
C.2 3
D.2
7. 如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA.CD是⊙O的切线，A.D为切点，连接BD.AD，若∠ACD＝30°，则∠DBA的大小是( )
A.15°
B.30°
C.60°
D.75°
8. 已知，⊙O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.无法确定
9. 已知直线l与⊙O相切，若圆心O到直线l的距离是5，则⊙O的半径是.
10. 已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离是4cm，则直线l与⊙O的位置关系是.
11. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝4cm.以点C为圆心，以3cm长为半径作圆，则⊙C
与AB的位置关系是.
12. 已知⊙O的半径是5，圆心O到直线AB的距离为2，则⊙O上有且只有个点到直线AB的距离为3.
13. ⊙O的半径为R，圆心O到直线l的距离为d.若D.R是方程x2－8x＋16＝0的两个实数根，则直线l和圆O的位置关系是.
14. 如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM＝d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d＝0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m＝4，由此可知：
(1)当d＝3时，m＝；
(2)当m＝2时，d的取值范围是.
15. 如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A.B两点，PC切半圆于点C.已知PC＝3，PB＝1，该半圆的半径为.
16. 如图，在直角坐标系中，点O′的坐标为(2,0)，⊙O′与x轴相交于原点和点A，又B.C.E三点的坐标分别为(－1,0)，(0,3)，(0，b)，且0＜b＜3.
(1)求点A的坐标和经过B.C两点的直线的解析式；
(2)当点E在线段OC上移动时，直线BE与⊙O有哪几种位置关系？求出每种位置关系时b的取值范围.
17. 如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD.
(1)求证：BD平分∠ABH；
(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离.
18. 如图，等腰△OAB中，OA＝OB，以点O为圆心作圆与底边AB相切于点C.求证：AC＝BC.
19. 如图，PA.PB是⊙O的切线，A.B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°.
(1)求∠BAC的度数；
(2)当OA＝2时，求AB的长.
20. 如图，⊙O经过菱形的三个顶点A.C.D，且与AB相切于点A.
(1)求证：BC为⊙O的切线；
(2)求∠B的度数.
参考答案：
1—8 BCBBA BDC
9. 5
10. 相离
11. 相交
12. 3
13. 相切
14. (1) 1
(2) 1＜d ＜3
15. 4
16. 解：(1)A(4,0)，y ＝3x ＋3；
(2)直线BE 与⊙O′有三种位置关系，即直线BE 与⊙O′相切时，b ＝255
；直线BE 与⊙O′相交时，0＜b ＜255；直线BE 与⊙O′相离时，255
＜b ＜3. 17. 解：(1)证明：连接OD.∵EF 是⊙O 的切线，∴OD ⊥EF.又∵BH ⊥EF ，∴OD ∥BH.∴∠ODB ＝∠DBH.而OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠OBD.∴∠OBD ＝∠DBH ，∴BD 平分∠ABH ；
(2)过点O 作OG ⊥BC 于点G ，则BG ＝CG ＝4.在Rt △OBG 中，OG ＝OB2－BG2＝62－42＝2 5.所以圆心O 到BC 的距离为2 5.
18. 解：连结OC ，∵AB 切⊙O 于点C ，∴OC ⊥AB.∵OA ＝OB ，∴AC ＝BC.
19. 解：(1)∵PA.PB 是⊙O 的切线，∴AP ＝BP ，∵∠P ＝60°，∴∠PAB ＝60°，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠PAC ＝90°，∴∠BAC ＝90°－60°＝30°；
(2)连接OP ，则在Rt △AOP 中，OA ＝2，∠APO ＝30°，∴OP ＝4，由勾股定理得：AP ＝23，∵AP ＝BP ，∠APB ＝60°，∴△APB 是等边三角形，∴AB ＝AP ＝2 3.
20. 解：(1)证明：如图，连接AO 、CO 、BO ，∵AB 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AB.∴∠BAO ＝90°.∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC.∵AO ＝CO ，BO ＝BO ，∴△BAO ≌△BCO.∴∠BAO ＝∠BCO ＝90°，即OC ⊥BC.∴BC 为⊙O 的切线；
(2)由圆周角定理可得∠AOC＝2∠D.由菱形的性质可得∠B＝∠D，∴∠AOC＝2∠B.在四边形ABCO中，∠B＋∠AOC＝360°－∠BCO－∠BAO＝180°，∴∠B＝60°.。
【最新】中考数学总复习学案：第37课时 直线与圆、圆与圆的位置关系
第37课时 直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1. 正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( ) A.2 B.32 C.3 D.32.⊙O 是等边ABC △的外接圆，⊙O 的半径为2，则ABC △的边长为（ ）ABC． D．3. 已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为 30，过C 点的切线PC 与AB 延长线交于P 点．PC ＝5，则⊙O 的半径为 （ ） A. 335 B. 635 C. 10D. 54. AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PC ＝26，PA ＝4，则⊙O 的半径等于 （ ）A.1 B.2 C. 23 D. 26 5.某同学制做了三个半径分别为1、2、3的圆，在某一平面内，让它们两两外切，该同学把此时三个圆的圆心用线连接成三角形.你认为该三角形的形状为( )A.钝角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形6.关于下列四种说法中，你认为正确的有（ ）①圆心距小于两圆半径之和的两圆必相交 ②两个同心圆的圆心距为零③没有公共点的两圆必外离 ④两圆连心线的长必大于两圆半径之差A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题第3题图第6题图 第7题图 第8题图6. 如图，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D 是优弧BC 上的一点，已知∠BAC ＝80°，那么∠BDC ＝__________度．7. 如图，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O，，，的度数比为3∶2∶4，MN 是⊙O 的切线，C 是切点，则∠BCM 的度数为________．8．如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ．9．两个等圆⊙O 与⊙O ′外切，过点O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB = ．10．如图6，直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，连结BD ，则图中直角三角形有 个．11.如图，60ACB ∠=°，半径为1cm 的O ⊙切BC 于点C ，若将O ⊙在CB 上向右滚动，则当滚动到O ⊙与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__________cm ．12.如图， AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，∠AOB =60°，B C=4cm ，则切线AB = cm.13.如图，⊙A 和⊙B 与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x=图象上，则阴影部分面积等于 ． 14. Rt△ABC 中，9068C AC BC ∠===°，，．则△ABC 的内切圆半径r =______． 15.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．第11题图 第12题图 第13题图16.已知：⊙A、⊙B、⊙C 的半径分别为2、3、5，且两两相切，则AB 、BC 、CA 分别为 ．17.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．三、解答题 18. 如图，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BECE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？请说明理由．19.如图1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 是弦，4OC =，60OAC ∠=．（1）求∠AOC 的度数；（2）在图1中，P 为直径BA 延长线上的一点，当CP 与⊙O 相切时，求PO 的长；（3）如图2，一动点M 从A 点出发，在⊙O 上按A 照逆时针的方向运动，当MAO CAO S S =△△时，求动点M 所经过的弧长．第18题图。
初三数学直线和圆的位置关系试题
初三数学直线和圆的位置关系试题1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12cm,BC=5cm,以点C为圆心,6cm的长为半径的圆与直线AB的位置关系是________.【答案】相交【解析】先根据勾股定理求得AB的长，再求得点C与直线AB的距离，再根据直线与圆的位置关系即可得到结果.∵∠C=90°,AC=12cm,BC=5cm∴∴点C与直线AB的距离为∴点C为圆心,6cm的长为半径的圆与直线AB的位置关系是相交.【考点】勾股定理，直线和圆的位置关系点评：勾股定理是初中数学平面图形中的重点，在中考中极为常见，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需多加注意.2.如图,在△ABC中, ,⊙A与BC相切于点D,与AB相交于点E,则∠ADE等于____度.【答案】60【解析】先根据切线的性质可得∠ADB=90°，由AB=AC,∠BAC=120°可得∠B的度数，即可得到∠BAD的度数，再根据AD=AE即可求得结果.∵⊙A与BC相切于点D∴∠ADB=90°∵AB=AC，∠BAC=120°∴∠B=30°∴∠BAD=60°∵AD=AE∴∠ADE=60°.【考点】切线的性质，等腰三角形的性质，圆的基本性质点评：切线的性质是圆中非常重要的知识点，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需多加注意.3.已知⊙O的半径为4cm,直线L与⊙O相交,则圆心O到直线L的距离d 的取值范围是____.【答案】0≤d<4【解析】圆心O到直线L的距离为d，圆的半径为r：当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交.∵⊙O的半径为4cm,直线L与⊙O相交∴0≤d<4.【考点】直线和圆的位置关系点评：本题是直线和圆的位置关系的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.4.如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,且∠APB=50°,点C是优弧AB上的一点,则∠ACB的度数为________.【答案】65°【解析】连接OA、OB，根据切线的性质可得∠PAO=∠PBO=90°，再根据四边形的内角和定理可得∠AOB的度数，最后根据圆周角定理即可求得结果.连接OA、OB∵PA、PB是⊙O的切线∴∠PAO=∠PBO=90°∵∠APB=50°∴∠AOB=130°∴∠ACB=65°.【考点】切线的性质，圆周角定理点评：切线的性质是圆中非常重要的知识点，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需多加注意.5.如图,⊙O为△ABC的内切圆,D、E、F为切点,∠DOB="73°,∠DOE=120°," 则∠DOF=_______度,∠C=______度,∠A=_______度.【答案】146°,60°,86°【解析】根据切线的性质结合四边形内角和定理即可求得结果.∵⊙O为△ABC的内切圆，∠DOB=73°,∠DOE=120°∴∠DOF=146°，∠C=60°∴∠EOF=94°∴∠A=86°.【考点】切线的性质，四边形内角和定理点评：切线的性质是圆中非常重要的知识点，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需多加注意.6.若∠OAB=30°,OA=10cm,则以O为圆心,6cm为半径的圆与直线AB 的位置关系是( )A．相交B．相切C．相离D．不能确定【答案】A【解析】圆心O到直线L的距离为d，圆的半径为r：当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交.由题意得点O到直线AB的距离为5则以O为圆心,6cm为半径的圆与直线AB 的位置关系是相交故选A.【考点】直线和圆的位置关系，含30°角的直角三角形的性质点评：本题是直线和圆的位置关系的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.7.给出下列命题:①任意三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆; ②任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形;③任意一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆;④任意一个圆一定有一个外切三角形, 并且只有一个外切三角形,其中真命题共有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】根据三角形的外接圆，内接三角形，内切圆，外切三角形的性质依次分析即可.①任意三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆，③任意一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆，正确；②任意一个圆一定有一个内接三角形，而且有无数个内接三角形，④任意一个圆一定有一个外切三角形，而且有无数个外切三角形，故错误；故选B.【考点】三角形的外接圆，内接三角形，内切圆，外切三角形点评：三角形的应用贯穿于整个初中学习，是平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.8.设⊙O的直径为m,直线L与⊙O相离,点O到直线L的距离为d,则d与m的关系是( )A．d=m B．d>m C．d>D．d<【答案】C【解析】圆心O到直线L的距离为d，圆的半径为r：当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交.∵⊙O的直径为m,直线L与⊙O相离∴d>故选C.【考点】直线和圆的位置关系点评：本题是直线和圆的位置关系的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.9.如图,∠PAQ是直角,半径为5的⊙O与AP相切于点T,与AQ相交于两点B、C.(1)BT是否平分∠OBA?证明你的结论.(2)若已知AT=4,试求AB的长.【答案】(1)平分;(2)2【解析】(1)连接OT,根据切线的性质可得∠OTA=90°，即可得到∠OBT=∠OTB=90°-∠ATB=∠ABT，从而得到结果；(2)过O作OM⊥BC于M，则可得四边形OTAM是矩形,根据矩形的性质可得OM=AT=4,AM=OT=5.在Rt△OBM中,根据勾股定理可得BM的长,从而可以求得结果.(1)连接OT,∵PT切⊙O于T,∴OT⊥PT,故∠OTA="90°,"从而∠OBT=∠OTB=90°-∠ATB=∠ABT.即BT平分∠OBA.(2)过O作OM⊥BC于M则四边形OTAM是矩形,故OM=AT=4,AM=OT=5.在Rt△OBM中, OB=5,OM=4,故BM==3,从而AB=AM-BM=5-3=2.【考点】切线的性质，角平分线的判定，矩形的判定和性质，勾股定理点评：本题综合性强，知识点较多，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.10.如图,AB为半圆O的直径,在AB的同侧作AC、BD切半圆O于A、B,CD切半圆O于E,请分别写出两个角相等、两条边相等、两个三角形全等、两个三角形相似等四个正确的结论.【答案】①角相等:∠AOC=∠COE=∠BDO=∠EDO,∠ACO=∠ECO=∠DOE=∠DOB,∠A=∠B=∠OEC=∠OED,②边相等:AC=CE,DE=DB,OA=OB=OE;③全等三角形:△OAC≌△OEC,△OBD≌△OED;④相似三角形:△AOC∽△EOC∽△EDO∽△BDO∽△ODC.【解析】根据切线的性质仔细分析图形即可判断.由已知得:OA=OE,∠OAC=∠OEC,又OC公共,故△OAC≌OEC,同理,△OBD ≌△OED,由此可得∠AOC=∠EOC,∠BOD=∠EOD,从而∠COD="90°,∠AOC=∠BDO."根据这些写如下结论:①角相等:∠AOC=∠COE=∠BDO=∠EDO,∠ACO=∠ECO=∠DOE=∠DOB,∠A=∠B=∠OEC=∠OED,②边相等:AC=CE,DE=DB,OA=OB=OE;③全等三角形:△OAC≌△OEC,△OBD≌△OED;④相似三角形:△AOC∽△EOC∽△EDO∽△BDO∽△ODC.【考点】切线的性质点评：切线的性质是圆中非常重要的知识点，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需多加注意.。
人教版数学九年级上册24.2《点和圆、直线和圆的位置关系》知识点+例题+练习(精品)
点、直线、圆与圆的位置关系_知识点+例题+练习1.点和圆的位置关系2.（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：3.①点P在圆外⇔d＞r4.②点P在圆上⇔d=r5.①点P在圆内⇔d＜r6.（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．7.（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．2.确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．3.三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）（3）概念说明：（4）①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．（5）②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．（6）③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4.反证法(了解)（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．（2）（2）反证法的一般步骤是：（3）①假设命题的结论不成立；（4）②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（5）③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．5.直线和圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．6.切线的性质（1）切线的性质（2）①圆的切线垂直于经过切点的半径．（3）②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．（4）③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（5）（2）切线的性质可总结如下：（6）如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（7）（3）切线性质的运用（8）由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．7.切线的判定8.（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．9.（2）在应用判定定理时注意：10.①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．11.②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．12.③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．8.切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．9.切线长定理（1）圆的切线定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）（4）切线长定理包含着一些隐含结论：（5）①垂直关系三处；（6）②全等关系三对；（7）③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．10.三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．11.圆与圆的五种位置关系（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R-r（R＞r）．12.相切两圆的性质相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．13.相交两圆的性质（1）相交两圆的性质：（2）相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．（3）注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．（4）（2）两圆的公切线性质：（5）两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．（6）两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．4. 判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种：（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；（2）若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；（3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例4】如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=34，D是线段BC的中点.（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由.（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线.【例5】如图，已知O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F，求证CD与⊙O相切.【例6】如图，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上一动点，P在CB 的延长线上，且有∠BAP=∠BDA.求证：AP 是半圆O 的切线.【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ）相交⇔2121r r d r r +<<-； 外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=； 外离⇔21r r d +>； 内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例 2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（ ）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°例3. 如图，已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ，且A 、B 到直线L 的距离相等，则经过A 、B 两点且圆心在L 上的圆有（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．0个或1个或无数个例4．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（ ） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为 例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d 满足___ ___•时，•两圆相交；•当d•满足___ ___时，两圆不外离．例7．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O•的位置关系是____例8．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．例9. 如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是例10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙A ，AC 为⊙O 的直径，弦DB ⊥AC ，垂足为M ，过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ，若AC=10，tan ∠DAE=43，求DB 的长．【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（ ）A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（ ）A ．10cmB ．6cmC ．10cm 或6cmD ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（ ）A. 15B. 30C. 45D. 60O O2O14. 如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于（ ） A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）2145.如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)．⊙A 半径为2，⊙B 半径为1，需使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示的位置向左平移 个单位长.6. 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于（ ）A. 45B. 54C. 43D. 657.⊙O 的半径为6，⊙O 的一条弦AB 长63，以3为半径⊙O 的同心圆与直线AB 的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.不能确定8.如图，在ABC △中，12023AB AC A BC =∠==，°，，A ⊙与BC 相切于点D ，且交AB AC 、于M N 、两点，则图中阴影部分的面积是 （保留π）．9.如图，B 是线段AC 上的一点，且AB ：AC=2：5，分别以AB 、AC 为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．10. 如图，从一块直径为a+b 的圆形纸板上挖去直径分别为a 和b 的两个圆，则剩下的纸板面积是___．11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm ．则大圆的半径是______cm ．12.如图，直线AB 切⊙O 于C 点，D 是⊙O 上一点，∠EDC=30º，弦EF ∥AB ，连结OC 交EF 于H 点，连结CF ，且CF=2，则HE 的长为_________．13. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，若直径AC=12cm ，∠P=60°．求弦AB 的长． 【中考连接】 一、选择题 1. 正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( )A.2B.32C.3D.3 2.⊙O 是等边ABC △的外接圆，⊙O 的半径为2，则ABC △的边长为（ ）A ．3B ．5C ．23D ．253. 已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为 30，过C 点的切线PC 与AB 延长线交于P 点．PC ＝5，则⊙O 的半径为 （ ）A. 335 B. 635 C. 10 D. 54. AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PC ＝26，PA ＝4，则⊙O 的半径等于（ ）A. 1B. 2C. 23D. 265.某同学制做了三个半径分别为1、2、3的圆，在某一平面内，让它们两两外O D C B ABPA OC 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 第8题图 第9题图 第11题图 第10题图 第12题图切，该同学把此时三个圆的圆心用线连接成三角形.你认为该三角形的形状为( )A.钝角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形6.关于下列四种说法中，你认为正确的有（ ）①圆心距小于两圆半径之和的两圆必相交 ②两个同心圆的圆心距为零③没有公共点的两圆必外离 ④两圆连心线的长必大于两圆半径之差A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题 6. 如图，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D 是优弧BC 上的一点，已知∠BAC ＝80°，那么∠BDC ＝__________度．7. 如图，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，，，的度数比为3∶2∶4，MN 是⊙O 的切线，C 是切点，则∠BCM 的度数为________．8．如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ．9．两个等圆⊙O 与⊙O ′外切，过点O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB = ．10．如图6，直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，连结BD ，则图中直角三角形有 个．11.如图，60ACB ∠=°，半径为1cm 的O ⊙切BC 于点C ，若将O ⊙在CB 上向右滚动，则当滚动到O ⊙与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__________cm ．12.如图， AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，∠AOB =60°，B C=4cm ，则切线AB = cm.13.如图，⊙A 和⊙B 与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x =图象上，则阴影部分面积等于 ．14. Rt △ABC 中，9068C AC BC ∠===°，，．则△ABC的内切圆半径r =______．15.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．16.已知：⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径分别为2、3、5，且两两相切，则AB 、BC 、CA 分别为 ．17.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．三、解答题18. 如图，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BE CE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？请说明理由． 第3题图 第6题图 第7题图 第8题图 第10题图 第11题图 第12题图 第13题图19.如图1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 是弦，4OC =，60OAC ∠=． （1）求∠AOC 的度数；（2）在图1中，P 为直径BA 延长线上的一点，当CP 与⊙O 相切时，求PO 的长；（3）如图2，一动点M 从A 点出发，在⊙O 上按A 照逆时针的方向运动，当MAO CAO S S =△△时，求动点M 所经过的弧长．第18题图。
鲁教版中考数学一轮复习 圆 专题2 与圆有关的位置关系(含答案)
第六单元圆专题2 与圆有关的位置关系考点1 点和圆、直线和圆的位置关系1.已知平面内有⊙O和点A,B,若⊙O半径为2cm,线段OA=3cm,OB=2cm,则直线AB与⊙O的位置关系为( )A.相离B.相交C.相切D.相交或相切2.点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9 cm，则⊙O 的半径是___________.3.如图,直线a⊥b,垂足为H,点P在直线b上,PH=4cm,O为直线b上一动点.若以1cm为半径的⊙O与直线a相切,则OP的长为___________.考点2 切线的性质与判定1.如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,若∠BAC=35°,则∠ACB的大小为( )A.35°B.45°C.55°D.65°2.如图,PA,PB为圆O的切线,切点分别为A,B,PO交AB于点C,PO的延长线交圆O于点D.下列结论不一定成立的是( )A.△BPA为等腰三角形B.AB与PD相互垂直平分C.点A，B都在以PO为直径的圆上D.PC为△BPA的边AB上的中线3.如图,菱形OABC的顶点A,B,C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D.若⊙O的半径为1,则BD的长为( )A.1B.2C.√2C.√34.如图,在▱ABCD中,AD=12,以AD为直径的⊙O与BC相切于点E,连接OC.若OC=AB,则▱ABCD 的周长为____________.5.如图,⊙O的半径OA=2,B是⊙O上的动点(不与点A重合),过点B作⊙O的切线BC,BC=OA,连接OC，AC.当△OAC是直角三角形时，其斜边长为_____________.6.如图,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,线段PO交⊙O于点C.连接BC,若∠P=36°,则∠B=___________.7.如图，PA是以AC为直径的⊙O的切线,切点为A,过点A作AB⊥OP,交⊙O于点B. (1)求证:PB是⊙O的切线;,求PO的长.(2)若CC=6,cos∠CCC=358.如图,AB为⊙O的直径,四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC,BD交于点E,⊙O的切线AF交BD的延长线于点F,切点为A,且∠CAD=∠ABD.(1)求证:AD=CD;(2)若AB=4,BF=5,求sin∠BDC的值.̂上一点，连接AE并延长至点C，使9.已知:如图,AB是⊙O的直径,E为⊙O上一点，D是AE∠CBE=∠BDE,BD与AE交于点F.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)若BD平分∠ABE,求证:AD²=DF· DB.考点3 三角形的外接圆与内切圆1.如图,已知点O是△ABC的外心,∠A=40°,连接BO,CO,则∠BOC的度数是( )A.60°B.70°C.80°D.90°2.如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD是⊙O的直径,若AD=3,则CC=( )C.2√3C.3√3 C.3D.43.设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h，r，R，则下列结论不正确的是( )A.h=R+rB.R=2rC.C=√34C C.C=√33C4.如图,△ABC内接于⊙O,∠A=50°,点D是BC的中点,连接OD,OB,OC,则∠BOD=_______.5.如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A，B，C在直角坐标系中的坐标分别为(3,6),(-3,3),(7,-2),则△ABC内心的坐标为_____________.6.已知△ABC的三边a,b,c满足b+|c-3|+C2−8C=4√C−1−19,则△ABC的内切圆半径=____________.专题检测一、选择题(每小题4分，共40分)1.平面内有两点P,O,⊙O的半径为5,若PO=4,则点P与⊙O的位置关系是( )A.点P在⊙O外B.点P在⊙O上C.点P在⊙O内D.无法判断2.已知⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为3，则⊙O上到直线l的距离为2的点共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.如图,AB是⊙O的弦,点C在过点B的切线上,OC⊥OA,OC交AB于点P.若∠BPC=70°,则∠ABC的度数等于( )A.75°B.70°C.65°D.60°̂上一点，则∠EPF的4.如图,⊙O是等边△ABC的内切圆,分别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是DF度数是( )A.65°B.60°C.58°D.50°5.如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点,若∠P=70°,则∠ABO=( )A.30°B.35°C.45°D.55°6.如图,长方形ABCD中,AB=4,AD=3,圆B 半径为1，圆A与圆B内切，则点C、D与圆A的位置关系是( )A.点C在圆A外，点D在圆A内B.点C在圆A外，点D在圆A外C.点C在圆A上，点D在圆A内D.点C在圆A内，点D在圆A外7.如图,在等腰△ABC中, AB=AC=2√5,BC=8,按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧,分别交AB,AC于点E,F,再分EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；别以点E，F为圆心，大于12AB的长为半径作弧相交于点M,N,作直线②分别以点A，B为圆心，大于12MN,交射线AH于点O;③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆.则⊙O的半径为( )A.2√5B.10C.4D.58.如图,直线AB,BC,CD分别与⊙O相切于点E,F,G,且AB∥CD,若OB=6 cm,OC=8cm,则BE+CG的长等于( )A.13 cmB.12 cmC.11 cmD. 10 cm9.如图,AB为⊙O的直径,点P在AB的延长线上,PC,PD与⊙O相切,切点分别为C,D.若AB=6,PC=4,则sin∠CAD等于( )A.35B.23C.34D.4510.如图，点A的坐标为(-3，2),⊙A的半径为1,P为坐标轴上一动点,PQ切⊙A于点Q,在所有P点中，使得PQ长最小时，点P的坐标为( )A.( 0,2)B.( 0,3)C.( -2,0)D.( -3,0)二、填空题(每小题4分，共24分)11.点A(0,3),点B(4,0),则点O(0,0)在以AB为直径的圆 (填“内”“上”或“外”).12.如图,在△ABC中,D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E,连接DE.若⊙O与BC相切,∠ADE=55°,则∠C的度数为___________.13.点O是△ABC的外心,若∠BOC=110°,则∠BAC为 .14.如图,四边形ABCD是⊙O的外切四边形,且AB=10,CD=12,则四边形ABCD的周长为 .15.如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点.若∠P=50°,则∠AOB= .16.如图，两个圆都是以点O为圆心，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，AB=10，则图中圆环的面积为 .三、解答题(共36分)17.(12分)阅读下列材料:平面上两点P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂)之间的距离表示为|P1P2|=√(x1−x2)2+(y1−y2)2,称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P(x，y)是圆心坐标为C(a，b)、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为√(x−a)2+(y−b)2=r,变形可得 (x-a)²+(y-b)²=r², 我们称其为圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程.例如：由圆的标准方程(x-1)²+(y-2)²=25 可得它的圆心为(1,2),半径为5.根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题.(1)圆心为C(3,4),半径为2的圆的标准方程为 ;(2)若已知⊙O的标准方程为(x-2)²+y²=2²,圆心为C，请判断点A(3,-1)与⊙O的位置关系.18.(12分)已知△ABC内接于⊙O,AB=AC,∠BAC=42°,点D是⊙O上一点.(1)如图①,若BD为⊙O的直径,连接CD,求∠DBC和∠ACD的大小;(2)如图②,若CD∥BA,连接AD,过点D作⊙O的切线,与OC的延长线交于点E，求∠E的大小.19.(12分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D.(1)求证:AB为⊙O的切线;,AD=2,求BO的长.(2)若tanA=34参考答案考点1 点和圆、直线和圆的位置关系1.D ⊙O的半径为2 cm,线段OA=3cm,OB=2cm，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B 到圆心O的距离等于圆的半径，∴点A在⊙O外,点B在⊙O上,∴直线AB 与⊙O的位置关系为相交或相切.2.6.5cm或2.5cm 分为两种情况:①当点在圆内时，如图1，∵点到圆上的最小距离PB=4cm,最大距离PA=9cm,∴直径AB=4+9=13(cm),∴半径r=6.5 cm;②当点在圆外时，如图2，∵点到圆上的最小距离PB=4 cm,最大距离PA=9 cm,∴直径AB=9-4=5(cm),∴半径r=2.5cm.3.3cm或5cm ∵直线a⊥b,O为直线b上一动点，∴⊙O与直线a相切时,切点为H,∴OH=1 cm. 当点O在点H的左侧，⊙O与直线a相切时，OP=PH-OH=4-1=3(cm);当点O在点H的右侧，⊙O与直线a相切时，OP=PH+OH=4+1=5(cm);∴⊙O与直线a相切,OP的长为3cm或5cm.考点2 切线的性质与判定1.C ∵BC是⊙O的切线,AB是⊙O的直径,∴AB⊥BC,∴∠ABC=90°,∴∠ACB=90°-∠BAC=90°-35°=55°.2.B 由切线长定理,得PA=PB,∴△BPA 是等腰三角形，故A正确；由圆的对称性可知AB⊥PD，但不一定平分，故B不一定正确；如图，连接OB，OA，由切线的性质，得∠OBP=∠OAP=90°,∴点A,B,P在以OP为直径的圆上，故C正确；∵△BPA是等腰三角形,PD⊥AB,∴PC为△BPA的边AB上的中线,故D正确.3.D 如图,连接OB.∵四边形OABC是菱形.∴OA=AB.∵OA=OB,∴OA=AB=OB,∴∠AOB=60°.∵BD是⊙O的切线,∴∠DBO=90°.∵OB=1,∴BD=√3OB=√3.4.24+6√5如图,连接OE,过点C作CF⊥AD交AD于点F,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,AD∥BC,∴∠EOD+∠OEC =180°,∵⊙O与BC相切于点E,∴OE⊥BC,∴∠OEC=90°,∴∠EOD=90°,∵CF⊥AD,∴∠CFO=90°,∴四边形OECF为矩形,∴FC=OE,OD=3,∵AD为直径,AD=12,∴FC=OE=OD= 12在Rt△OFC中，由勾股定理得OC²=OF²+FC²=3²+6²=45.∴AB=OC=3√5,∴平行四边形ABCD的周长为12+12+3√5+3√5=24+6√5.5.2√3或2√2连接OB,∵BC是⊙O的切线,∴∠OBC=90°.∵BC=OA,∴OB=BC=2,∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠BCO=45°,∴∠ACO≤45°.当△OAC是直角三角形时，①若∠AOC=90°,∴OC=√2OB=2√2,∴AC=√OA2+OC2=√22+(2√2)2=2√3;②若∠OAC=90°,∵BC是⊙O的切线,∴∠CBO=∠OAC=90°.∵BC=OA=OB,∴△OBC是等腰直角三角形，∴OC= 2√2.6.27°∵ PA切⊙O于点A,∴∠OAP=90°.∵∠P=36°, ∴∠AOP=54°. ∴∠B=12∠AOP=27 ∘.7.(1)证明连接OB,如图,∵PA是以AC为直径的⊙O的切线，切点为A,∴∠PAO=90°, ∵OA=OB,AB⊥OP,∴∠POA=∠POB,在△PAO和△PBO中, {AO=BO,∠POA=∠POB,OP=OP,∴△PAO≌△PBO(SAS),∴∠PBO=∠PAO=90°,即OB⊥PB,又∵OB为⊙O的半径,∴PB是⊙O的切线;(2)解设OP与AB交于点D.∵AB⊥OP,AB=6,∴DA=DB=3,∠PDA =∠PDB=90°,∵cos∠PAB=35=DAPA=3PA,∴PA=5,∴PD=√PA2−AD2=√52−32=4,在Rt△APD和Rt△APO中,cos∠APD= PDPA ,cos∠APO=PAPO,8.(1)证明∵∠CAD=∠ABD,∠ABD=∠ACD,∴∠ACD=∠CAD,∴AD=CD;(2)解∵AF是⊙O的切线,∴∠FAB=90°.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=∠ADB=∠ADF=90°,∴∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠FAD=90°. ∴∠ABD=∠FAD.∵∠ABD=∠CAD,∠CAD=∠EAD,∴∠FAD=∠EAD.∵AD=AD,∴△ADF≌△ADE(ASA).∴AF=AE,DF=DE.∵AB=4,BF=5,∴AF =√BF 2−AB 2=3,∴AE=AF=3. ∵S △ABF =12AB ⋅AF =12BF ⋅AD, ∴AD =AB⋅AF BF=4×35=125,∴DE =√AE 2−AD 2=√32−(125)2=95, ∴BE =BF −2DE =75.∵∠AED=∠BEC,∠ADE=∠BCE=90°.∴△BEC ∽△AED. ∴BEAE =BCAD , ∴BC =BE⋅AD AE=2825, ∴sin ∠BAC =BC AB =725.∵∠BDC=∠BAC,∴sin ∠BDC =725.9.证明 (1)∵AB 是⊙O 的直径,∴∠AEB=90°,∴∠EAB+∠EBA=90°. ∵∠CBE=∠BDE,∠BDE=∠EAB,∴∠EAB=∠CBE,∴∠EBA+∠CBE=∠EBA+∠EAB=90°,即∠ABC=90°,∴CB ⊥AB. ∵AB 是⊙O 的直径,∴BC 是⊙O 的切线. (2)∵BD 平分∠ABE,∴∠ABD=∠DBE. ∵∠DAF=∠DBE,∴∠DAF=∠DBA.∵∠ADB=∠FDA,∴△ADF ∽△BDA, ∴ADBD =DFAD ,∴AD ²=DF ·DB. 考点3 三角形的外接圆与内切圆1.C ∵点O 为△ABC 的外心,∠A=40°, ∴∠A =12∠BOC,∴∠BOC =2∠A =80 ∘. 2.C 过点O 作OE ⊥BC 于点E,如图所示:∵∠BAC=120°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=30°,又 ∵AB̂对应的圆周角为∠ACB 和∠ADB,∴∠ACB=∠ADB=30°, 而BD 为直径,∴∠BAD=90°,在Rt △BAD 中,∠ADB=30°,AD=3, ∴cos30 ∘=ADBD =3BD =√32,∴BD =2√3,∴OB =√3,又∵∠ABD=90°-∠ADB=90°-30°=60°,∠ABC=30°,∴∠OBE=30°. 又∵OE ⊥BC,∴△OBE 为直角三角形. ∴cos ∠OBE =cos30 ∘−BEOB =√3=√32, ∴BE =32.由垂径定理可得BC=2BE= 2×32=3.3.C 如图,∵△ABC是等边三角形.∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O. 设OE=r,AO=R,AD=h,∴h=R+r,故A正确;∵AD⊥BC,∴∠DAC=12∠BAC=12×60°=30°.在Rt△AOE中,∴R=2r,故B正确;∵OD=OE=r,AB=AC=BC=a,∴AE=12AC=12a,∴(12a)2+r2=(2r)2,(12a)2+(12R)2=R².∴r=√36a,R=√33a,故C错误，D正确.4.50°∵∠A=50° ,∴∠BOC=100°.∵OB=OC,∴△OBC为等腰三角形,又∵D为BC 中点，∴OD为BC上的中线，根据等腰三角形三线合一性质可得OD为∠BOC的平分线∴∠BOD=12∠BOC=50∘.5.(2,3) 根据A,B,C三点的坐标建立如图所示的坐标系.根据题意，得AB=√62+32=3√5,AC=√42+82=4√5,BC=√102+52=5√5.∵AB²+AC²=BC².∴∠BAC=90°.设BC的函数表达式为y=kx+b，代入B( -3,3),C(7,-2).得{3=−3k+b,−2=7k+b,解得{k=−12,b=32,∴BC的函数表达式为y=−12x+32.当y=0时,x=3,即G(3,0),∴点A与点G关于BD对称，射线BD是∠ABC的平分线.设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r,在BD上找一点M,过点M作ME⊥AB,过点M作MF⊥AC,且ME=MF=r.∵∠BAC=90°,∴四边形MEAF为正方形, S ABC=12AB×AC=12AB×r+12AC×r+12BC×r,解得r=√5,即AE=EM=√5,∴BE=3√5−√5=2√5,∴BM=√BE2+EM2=5,∵B( -3,3),∴M(2,3).∴△ABC内心M的坐标为(2,3).6.1 ∵b+|c−3|+a2−8a=4√b−1−19，∴|c−3|+(a−4)2+(√b−1−2)2= 0,∴c=3,a=4,b=5.∵3²+4²=25=5²,∴c²+a²=b²,∴△ABC是直角三角形,∠ABC=90°.设内切圆的半径为r.根据题意，得S△ABC=12×3×4=12×3×r+12×4×r+12×r×5,∴r=1.(或者r=3+4−52=1)专题检测1.C2.C 如图,∵⊙O的半径为5,点O到直线l 的距离为3,∴CE=2,过点D作AB⊥ OC,垂足为D,交⊙O于A,B两点,且DE=2,∴⊙O上到直线l的距离为2的点为A，B，C，∴⊙O上到直线l的距离为2的点有3个.3.B4.B5.B 如图,连接OA.∵PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点,∴∠PBO=∠PAO=90°,∵∠P=70°,∴∠BOA=360°—∠PBO—∠PAO-∠P=110°,∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO=12(180∘−∠BOA)=12(180 ∘−110 ∘)=35 ∘.6.C 两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值,设圆A的半径为R,则AB=R-1,∵AB =4,圆B半径为1,∴R=5,即圆A的半径等于5,∵AB=4,BC=AD=3,由勾股定理可知AC=5,∴AC=5=R,AD=3C在圆上，点D在圆内.7.D 如图,连接OC,设OA交BC于点T.∵AB=AC=2√5,AO平分∠BAC,∴AO⊥BC,BT=TC=4,∴AT=√AC2−CT2=√(2√5)2−42=2.在Rt△OCT中.有r²=(r-2)²+4²,解得r=5.8.D9.D 连接OC、OD、CD,CD交PA于点E,如图,∵PC,PD与⊙O相切,切点分别为C,D,∴OC⊥CP,PC=PD,OP平分∠CPD.∴OP⊥CD,∴CB̂=DB̂,∴∠COB=∠DOB,∵∠CAD=12∠COD,∴∠COB=∠CAD,在Rt△OCP中, OP=√OC2+PC2=√32+42=5,∴sin∠COP=PCOP =45,∴sin∠CAD=45.10.D 连接AQ、PA,如图,∵PQ切⊙A于点Q,∴AQ⊥PQ,∴∠AQP=90°,∴PQ=√AP2−AQ2=√AP2−1,当AP的长度最小时，PQ的长度最小，∵AP⊥x轴时,AP的长度最小,∴AP⊥x轴时,PQ的长度最小,∵A(-3,2),∴此时P点坐标为(-3,0).11.上 12.55°13.55°或125°分两种情况:(1)点A 与点O 在BC 边同侧时,如图1:∵∠BOC=110°,∴∠BAC =110 ∘×12=55 ∘. (2)点A 与点O 在BC 边两侧时,如图2:∵∠BOC=110°,即BĈ所对的圆心角为110°,∴BDC ̂所对的圆心角为：360°—110°=250°. ∴∠BAC =12×250 ∘=125 ∘. 14.4415.130° ∵PA,PB 是⊙O 的切线,A,B 是切点,∴OA ⊥PA,OB ⊥PB,∴∠OAP=∠OBP=90°,∵∠OAP+∠AOB+∠OBP +∠P=360°,∴∠AOB=360°—90°—90°-50°=130°. 16.25π 如图,连接OP 、OA,∵大圆的弦AB 是小圆的切线,∴OP ⊥AB, ∴AP=BP= 12AB =5, 由勾股定理得OA ²-OP ²=AP ²=25, ∴圆环的面积=π×OA ²-π×OP ²=π×(OA ²-OP ²)=25π.17.解 (1)圆心为C(3,4),半径为2的圆的标准方程为(x-3)²+( y-4)²=4.故答案为：(x-3)²+(y-4)²=4. (2)由题意得圆心为C(2.0),∵A (3,−1),∴AC =√(3−2)2+12= √2<2,∴点A 在⊙C 内部.18.解 (1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB= 12(180 ∘−∠BAC)=12×(180 ∘−42 ∘)=69 ∘,∵BD 为直径,∴∠BCD=90°,∵∠D=∠BAC=42°,∴∠DBC=90°-∠D=90°-42°=48°; ∴∠ACD=∠ABD=∠ABC-∠DBC=69°-48°=21°; (2)如图,连接OD,∵CD ∥AB,∴∠ACD=∠BAC=42°,∵四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∴∠B+∠ADC=180°, ∴∠ADC=180°-∠B=180°-69°=111°,∴∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=180°-42°-111°=27°,∴∠COD=2∠CAD=54°, ∵DE 为切线,∴OD ⊥DE,∴∠ODE=90°,∴∠E=90°-∠DOE=90°-54°=36°. 19.(1)证明如图,过点O 作OH ⊥AB 于点H.∵∠ACB=90°,∴OC ⊥BC.∵BO 为△ABC 的角平分线,OH ⊥AB,∴OH=OC,即OH 为⊙O 的半径. ∵OH ⊥AB,∴AB 为⊙O 的切线.(2)解设⊙O 的半径为3x,则OH=OD=OC=3x.在Rt △AOH 中,∵tanA =34, ∴OHAH =34,∴3xAH =34,∴AH=4x, ∴AO =√OH 2+AH 2=√(3x )2+(4x )2=5x,∵AD=2,∴AO=OD+AD=3x+2,∴3x+2=5x,∴x=1,∴OA=3x+2=5,OH=OD=OC=3x=3 . ∴AC=OA+OC=5+3=8.在Rt △ABC 中, ∵tanA =BCAC ,∴BC =AC ⋅tanA =8×34=6, ∴OB =√OC 2+BC 2=√32+62=3√5.。
中考数学一轮复习 专题30 与圆有关的位置关系(基础训练)(原卷版)
专题30 与圆有关的位置关系【基础训练】一、单选题1．（2021·吉林中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，点P 为边AD 上任意一点（点P 不与点A ，D 重合）连接CP ．若120B ∠=︒，则APC ∠的度数可能为（ ）A ．30B ．45︒C ．50︒D ．65︒2．（2021·吉林长春·中考真题）如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，若35BAC ∠=︒，则ACB ∠的大小为（ ）A ．35︒B ．45︒C ．55︒D ．65︒3．（2021·山东青岛·中考真题）如图，AB 是O 的直径，点E ，C 在O 上，点A 是EC 的中点，过点A 画O 的切线，交BC 的延长线于点D ，连接EC ．若58.5ADB ∠=︒，则ACE ∠的度数为（ ）A ．29.5︒B ．31.5︒C ．58.5︒D ．63︒4．（2021·山东滨州·中考真题）如图，O 是ABC 的外接圆，CD 是O 的直径．若10CD =，弦6AC =，则cos ABC ∠的值为（ ）A ．45B ．35C ．43D ．345．（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，BC 为⊙O 的直径，弦AD BC ⊥于点E ，直线l 切⊙O 于点C ，延长OD 交l 于点F ，若2AE =，22.5ABC ∠=︒，则CF 的长度为（ ）A ．2B ．22C ．23D ．46．（2021·湖北荆门·中考真题）如图，P A ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 是切点，若70P ∠=︒，则ABO ∠=（ ）A ．30B ．35︒C ．45︒D ．55︒7．（2021·广东广州·中考真题）一根钢管放在V 形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm ，若60ACB ∠=︒，则劣弧AB 的长是（ ）A ．8πcmB ．16πcmC ．32πcmD ．192πcm8．（2021·上海中考真题）如图，已知长方形ABCD 中，4,3AB AD ==，圆B 的半径为1，圆A 与圆B 内切，则点,C D 与圆A 的位置关系是（ ）A ．点C 在圆A 外，点D 在圆A 内B ．点C 在圆A 外，点D 在圆A 外 C ．点C 在圆A 上，点D 在圆A 内 D ．点C 在圆A 内，点D 在圆A 外9．（2021·湖南怀化·中考真题）如图，在ABC 中，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点M 、N ；再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ；连结AP 并延长交BC 于点D ．则下列说法正确的是（ ）A ．AD BD AB +<B ．AD 一定经过ABC 的重心 C ．BAD CAD ∠=∠ D ．AD 一定经过ABC 的外心10．（2021·山东临沂·中考真题）如图，PA 、PB 分别与O 相切于A 、B ，70P ∠=︒，C 为O 上一点，则ACB ∠的度数为（ ）A ．110︒B ．120︒C ．125︒D ．130︒11．（2021·海南中考真题）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，BE 是O 的直径，连接AE ．若2BCD BAD ∠=∠，则DAE ∠的度数是（ ）A ．30B ．35︒C ．45︒D ．60︒12．（2021·湖南怀化·中考真题）以下说法错误的是（ ）A ．多边形的内角大于任何一个外角B ．任意多边形的外角和是360︒C ．正六边形是中心对称图形D ．圆内接四边形的对角互补13．（2021·浙江中考真题）如图，已知点O 是ABC 的外心，⊙40A =︒，连结BO ，CO ，则BOC ∠的度数是（ ）．A ．60︒B ．70︒C ．80︒D ．90︒14．（2021·重庆中考真题）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若⊙A =80°，则⊙C 的度数是（ ）A ．80°B ．100°C ．110°D ．120°15．（2021·四川凉山·中考真题）下列命题中，假命题是（ ）A ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半B ．等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合C ．若AB BC =，则点B 是线段AC 的中点D ．三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心16．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知平面内有O 和点A ，B ，若O 半径为2cm ，线段3cm OA =，2cm OB =，则直线AB 与O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相交C ．相切D ．相交或相切 17．（2021·青海西宁·中考真题）如图，ABC 的内切圆О与,,AB BC AC 分别相切于点D ，E ，F ，连接OE ，OF ，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，则阴影部分的面积为（ ）A ．122π-B ．142π-C ．4π-D ．114π- 18．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图，ABC 是O 的内接三角形，23AB =60ACB ∠=︒，连接OA ，OB ，则AB 的长是（ ）A ．3πB ．23πC ．πD ．43π 19．（2021·西藏中考真题）如图，⊙BCD 内接于⊙O ，⊙D ＝70°，OA ⊙BC 交⊙O 于点A ，连接AC ，则⊙OAC 的度数为（ ）A ．40°B ．55°C ．70°D ．110°20．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，⊙BAC ＝36°，点O 在边AB 上，⊙O 与边AC 相切于点D ，交边AB 于点E ，F ，连接FD ，则⊙AFD 等于（ ）A ．27°B ．29°C ．35°D ．37°21．（2021·贵州遵义·中考真题）如图，AB 是⊙O 的弦，等边三角形OCD 的边CD 与⊙O 相切于点P ，连接OA ，OB ，OP ，A D ．若⊙COD +⊙AOB ＝180°，,CD//AB AB ＝6，则AD 的长是（ ）A ．2B ．6C ．13D 1322．（2021·内蒙古赤峰·中考真题）如图，点C ，D 在以AB 为直径的半圆上，120ADC ∠=︒，点E 是AD 上任意一点，连接BE ，CE ，则BEC ∠的度数为（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．60°23．（2021·广西贵港·中考真题）如图，点A ，B ，C ，D 均在⊙O 上，直径AB ＝4，点C 是BD 的中点，点D 关于AB 对称的点为E ，若⊙DCE ＝100°，则弦CE 的长是（ ）A ．3B ．2C 3D ．124．（2021·辽宁营口·中考真题）如图，O 中，点C 为弦AB 中点，连接OC ，OB ，56COB ∠=︒，点D 是AB 上任意一点，则ADB ∠度数为（ ）A ．112︒B ．124︒C ．122︒D ．134︒ 25．（2021·贵州安顺·中考真题）如图，O 与正五边形ABCDE 的两边,AE CD 相切于,A C 两点，则AOC ∠的度数是（ ）A ．144︒B ．130︒C ．129︒D ．108︒26．（2021·广东中考真题）设O 为坐标原点，点A 、B 为抛物线2yx 上的两个动点，且OA OB ⊥．连接点A 、B ，过O 作OC AB ⊥于点C ，则点C 到y 轴距离的最大值（ ） A ．12 B 2C 3D ．127．（2021·福建中考真题）如图，AB 为O 的直径，点P 在AB 的延长线上，,PC PD 与O 相切，切点分别为C ，D ．若6,4AB PC ==，则sin CAD ∠等于（ ）A ．35B ．25C ．34D ．4528．（2021·山西中考真题）如图，在O 中，AB 切O 于点A ，连接OB 交O 于点C ，过点A 作//AD OB 交O 于点D ，连接CD ．若50B ∠=︒，则OCD ∠为（ ）A ．15︒B ．20︒C ．25︒D ．30︒29．（2021·山东泰安·中考真题）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，90B ∠=︒，120BCD ∠=︒，2AB =，1CD =，则AD 的长为（ ）A ．232B ．33C ．43D ．230．（2021·四川广元·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，AE 是以BC 为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．32π+ B ．2π- C ．1 D ．52π- 二、填空题31．（2021·广西河池·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以()23M ，为圆心，AB 为直径的圆与x 轴相切，与y 轴交于A ，C 两点，则点B 的坐标是____________．32．（2021·四川德阳·中考真题）如图，在圆内接五边形ABCDE 中，⊙EAB ⊙+⊙C +⊙CDE +⊙E ＝430°，则⊙CDA ＝_____度．33．（2021·河南中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，D 均在小正方形的顶点上，且点B ，C 在AD 上，22.5∠︒=BAC ，则BC 的长为__________．34．（2021·江苏盐城·中考真题）如图，在⊙O 内接四边形ABCD 中，若100ABC ∠=︒，则ADC ∠=________︒．35．（2021·四川宜宾·中考真题）如图，⊙O 的直径AB ＝4，P 为⊙O 上的动点，连结AP ，Q 为AP 的中点，若点P 在圆上运动一周，则点Q 经过的路径长是______．三、解答题36．（2021·山东济南·中考真题）已知：如图，AB 是O 的直径，C ，D 是O 上两点，过点C 的切线交DA 的延长线于点E ，DE CE ⊥，连接CD ，BC ．（1）求证：2DAB ABC ∠=∠；（2）若1tan 2ADC ∠=，4BC =，求O 的半径． 37．（2021·四川内江·中考真题）如图，AB 是O 的直径，C 、D 是O 上两点，且BD CD =，过点D 的直线DE AC ⊥交AC 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点F ，连结AD 、OE 交于点G ． （1）求证：DE 是O 的切线；（2）若23DG AG =，O 的半径为2，求阴影部分的面积；（3）连结BE ，在（2）的条件下，求BE 的长．38．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径，E 为AB 上一点，BE BC =，延长CE 交AD 于点D ，AD AC =．（1）求证：AD 是O 的切线；（2）若1tan 3ACE ∠=，3OE =，求BC 的长．39．（2021·青海西宁·中考真题）如图，ABC 内接于O ，AB AC =，AD 是O 的直径，交BC 于点E ，过点D 作//DF BC ，交AB 的延长线于点F ，连接BD ．（1）求证：DF 是O 的切线；（2）已知12AC =，15AF =，求DF 的长．40．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图，AB 是O 的直径，AD 与O 交于点A ，点E 是半径OA 上一点（点E 不与点O ，A 重合）．连接DE 交O 于点C ，连接CA ，CB ．若CA CD =，ABC D ∠=∠．（1）求证：AD 是O 的切线．（2）若13AB =，5CA CD ==，则AD 的长是__________．41．（2021·四川德阳·中考真题）如图，已知：AB 为⊙O 的直径，⊙O 交⊙ABC 于点D 、E ，点F 为AC 的延长线上一点，且⊙CBF 12=⊙BOE ．（1）求证：BF 是⊙O 的切线；（2）若AB ＝2⊙CBF ＝45°，BE ＝2EC ，求AD 和CF 的长．42．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，过点C作CE⊙AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，⊙ECD＝⊙BCF．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．43．（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，且⊙AOD＝90°，点C是⊙O外一点，分别连接CA，CB、CD，CA交⊙O于点M，交OD于点N，CB的延长线交⊙O于点E，连接AD，ME，且⊙ACD＝⊙E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连接DM，若⊙O的半径为6，tan E＝13，求DM的长．44．（2021·四川巴中·中考真题）如图，ABC内接于⊙O，且AB＝AC，其外角平分线AD 与CO的延长线交于点D．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AD＝3BC＝6，求图中阴影部分面积．45．（2021·山东滨州·中考真题）如图，在O中，AB为O的直径，直线DE与O相切于点D，割线AC DE⊥于点E且交O于点F，连接DF．（1）求证：AD平分⊙BAC；（2）求证：2DF EF AB=⋅．46．（2021·辽宁盘锦·中考真题）如图，⊙ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点D作//DG BC，DG交线段AC于点G，交AB于点E，交⊙O于点F，连接DB，CF，⊙A ＝⊙D．（1）求证：BD与⊙O相切；（2）若AE＝OE，CF平分⊙ACB，BD＝12，求DE的长．47．（2021·江苏淮安·中考真题）如图，在Rt⊙ABC中，⊙ACB＝90°，点E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CD＝3，DE＝52，求⊙O的直径．48．（2021·西藏中考真题）如图，AB是⊙O的直径，OC是半径，延长OC至点D．连接AD，AC，BC．使⊙CAD＝⊙B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AD＝4，tan⊙CAD＝12，求BC的长．49．（2021·广西梧州·中考真题）如图，在Rt ⊙ACD 中，⊙ACD ＝90°，点O 在CD 上，作⊙O ，使⊙O 与AD 相切于点B ，⊙O 与CD 交于点E ，过点D 作DF ⊙AC ，交AO 的延长线于点F ，且⊙OAB ＝⊙F ．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若OC ＝3，DE ＝2，求tan ⊙F 的值．50．（2021·江苏南通·中考真题）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，弦AE 的延长线与过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，35CAD ∠=︒，连接BC ．（1）求B 的度数；（2）若2AB =，求EC 的长．51．（2021·辽宁丹东·中考真题）如图，O 是ABC 的外接圆，点D 是BC 的中点，过点D 作//EF BC 分别交AB 、AC 的延长线于点E 和点F ，连接AD 、BD ，ABC ∠的平分线BM 交AD 于点M ．（1）求证：EF 是O 的切线；（2）若:5:2AB BE =，14AD DM 的长．52．（2021·贵州毕节·中考真题）如图1，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 为ABC 内一点，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连接CE ，BD 的延长线与CE 交于点F ． （1）求证：BD CE =，BD CE ⊥；（2）如图2．连接AF ，DC ，已知135BDC ∠=︒，判断AF 与DC 的位置关系，并说明理由．53．（2021·贵州毕节·中考真题）如图，O 是ABC 的外接圆，点E 是ABC 的内心，AE 的延长线交BC 于点F ，交O 于点D ，连接BD ，BE ．（1）求证：DB DE =；（2）若3AE =，4DF =，求DB 的长．54．（2021·湖南湘西·中考真题）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ．（1）求证：AC 平分DBA ∠；（2）若8AD =，3tan 4CAB ∠=，求：边AC 及AB 的长．55．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的O 交AC 于点D ，BC 于点E ，直线EF AC ⊥于点F ，交AB 的延长线于点H ．（1）求证：HF 是O 的切线；（2）当16,cos 3EB ABE =∠=时，求tan H 的值． 56．（2021·内蒙古赤峰·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点M ，C ，交对角线BD 于点E ，且CE BE =，连接OE 交BC 于点F ．（1）试判断AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若3255BD =1tan 2CBD ∠=，求⊙O 的半径．57．（2021·广西贵港·中考真题）如图，⊙O 是ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，F 是AD延长线上一点，连接CD ，CF ，且⊙DCF ＝⊙CAD ．（1）求证：CF 是⊙O 的切线； （2）若cos B ＝35，AD ＝2，求FD 的长．58．（2021·辽宁营口·中考真题）如图，AB 是O 直径，点C ，D 为O 上的两点，且AD CD =，连接AC ，BD 交于点E ，O 的切线AF 与BD 延长线相交于点F ，A 为切点．（1）求证：AF AE =；（2）若8AB =，2BC =，求AF 的长．59．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上的一点，AE 和过点C 的切线CD 互相垂直，垂足为E ，AE 与⊙O 相交于点F ，连接AC ．（1）求证：AC 平分EAB ∠；（2）若12AE =，3tan CAB ∠=OB 的长． 60．（2021·贵州铜仁·中考真题）如图，已知ABC ∆内接干O ，AB 是O 的直径，CAB ∠的平分线交BC 于点D ，交O 于点E ，连接EB ，作BEF CAE ∠=∠，交AB 的延长线于点F ．（1）求证：EF 是O 的切线；（2）若10BF =，20EF =，求O 的半径和AD 的长．。
2025年中考数学总复习第一部分考点培优训练第28课时与圆有关的位置关系
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
10.如图，P是☉O外一点，PA、PB分别和☉O切于A、B，C是 AB上任意一点，过C作☉O的切线分别交PA、PB于D、E，若 △PDE的周长为20 cm，则PA长为_____1_0_c_m______.
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是AC边上一点， 以OA为半径的☉O与AB相交于点P，已知CP＝CB. (1)求证：直线CP是☉O的切线.
证明：如图，连接OC. ∵CE是☉O的切线，∴OC⊥CE. ∵AE⊥CE，∴OC∥AE，∴∠EAC＝∠OCA. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠EAC＝∠OAC， ∴DC＝BC，∴BC＝CD.
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
(2)若∠CAB＝40°，求∠DCA的度数.
解：∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵∠CAB＝40°，∴∠ABC＝90°－∠CAB＝50°. ∵四边形ABCD是☉O的内接四边形， ∴∠EDC＝∠ABC＝50°. ∵AE⊥CE，∴∠AEC＝90°， ∴∠ECD＝90°－∠EDC＝90°－50°＝40°. 由 (1) 可 得 ∠ EAC ＝ ∠ CAB ＝ 40° ， ∴ ∠ ECA ＝ 90° － ∠ EAC ＝ 50° ， ∴∠DCA＝∠ECA－∠ECD＝50°－40°＝10°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
C.点P在☉O外
中考数学直线与圆的位置关系专题含答案
【知识梳理】1、点与圆的位置关系：设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d<r⇔点P在⊙O内；d=r⇔点P在⊙O上；d>r⇔点P在⊙O外。
2、直线和圆的位置关系：直线和圆有三种位置关系，具体如下：知识点梳理：直线与圆的位置关系______ ______ ______ 图形公共点的个数______ ______ 0公共点的名称交点______ 无直线名称割线______ 无d与r的关系d________r d________r d________r 【经典例题1】在矩形ABCD 中，AB＝5，BC＝12，点 A 在⊙B 上．如果⊙D 与⊙B 相交，且点 B 在⊙D 内，那么⊙D 的半径长可以等于．(只需写出一个符合要求的数)【解析】∵矩形ABCD中，AB=5，BC=12，∴AC=BD=13，∵点A在B上，∴B的半径为5，∵如果D与B相交，∴D的半径R满足8∵点B在D内，∴R>13，∴14符合要求，故答案为：14(答案不唯一).练习1-1在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等).现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为 ()A.E，F，GB.F，G，HC.G，H，ED.H，E，F练习1-2已知☉O的直径等于12，圆心O到直线l的距离恰好为一元二次方程2x2-10x+3=0的两根的和，那么直线l和☉O的位置关系是.练习1-3如图，平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A、B两点，点P的坐标为(3，－1)，AB＝23．将⊙P沿着与y轴平行的方向平移，使⊙P与x轴相切，则平移距离为_____．练习1-4（20上海中考）如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，点O 在对角线AC 上，⊙O 的半径为2，如果⊙O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是 .320310<<x练习1-5如图，已知矩形ABCD 中，AB=2，BC=32，O 是AC 上一点，AO=m ，且O 的半径长为1，求：(1)线段AB 与O 没有公共点时m 的取值范围。
中考复习圆专题含答案
中考专题复习——圆一、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.转为几何语言：∵CD是直径,CD⊥AB,∴AM=BM,⌒AC=⌒BC，⌒AD=⌒BD如果把条件和结论看成是5个条件，相互间是否还有其它关系呢？如图,在下列五个条件中:①CD是直径,②CD⊥AB,③AM=BM,④⌒AC=⌒BC，⑤⌒AD=⌒BD只要具备其中两个条件，就可推出其余三个结论.你可以写出相应的命题吗?条件结论命题①②③④⑤垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.①③②④⑤平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.①⑤ ②③④ ②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. ②④ ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.②⑤ ①③④ ③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.③⑤ ①②④ ④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.垂径定理是《圆》这一章的重要内容，在实际生活中有着广泛的应用．在各地中考题中对垂径定理的考查频频出现，这类问题常常需要结合勾股定理来解决，现以中考题为例说明如下：类型一 求直径【例1】如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于点P ，且点P 是半径OB 的中点，6 cm CD =，则直径AB 的长是（ ）．A ． 2 3 cmB ． 3 2 cmC ． 4 2 cmD ． 4 3 cm【解析】解决本题的关键是构造直角三角形，根据勾股定理列出方程求解即可．连接OD ，由垂径定理可知PD =362121=⨯=CD (cm)．设半径OD =x cm ，则OP=x OB 2121=(cm)． 在Rt △OPD 中，因为222OP DP OD +=，所以222132x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．解这个方程，得23x =．所以直径AB 的长为342=x (cm)，故应选D ． 类型二 求弦长【例2】如图，AB O 是⊙的直径，弦CD AB ⊥于点E ，60COB ∠=°，⊙O 的半径为 3 cm ，则弦CD 的长为（ ）．A ．3cm 2B ． 3 cmC ． 2 3 cmD ． 9 cm 【解析】因为60COB ∠=°，CD AB ⊥，所以∠CEO =90°，∠OCD =30°．又因为⊙O 3 cm ，所以OE =12OC 3．由勾股定理可得222233(3)22CE OC OE ⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭． 所以CD =2CE =3(cm)．故应选B ． 类型三 求弦心距【例3】⊙O 的半径为10 cm ，弦AB =12 cm ，则圆心到弦AB 的距离为（ ）．A ．2 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm【解析】画出示意图如图，作OC AB ⊥于点C ，连接OA ， 由垂径定理，得AC =1112622AB =⨯=． 在Rt △AOC 中，由勾股定理，得OC =22221068OA AC -=-=(cm)．故应选C ．类型四 求拱高【例4】如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（ ）．A ．5米B ．8米C ．7米D ．53米 【解析】设石拱桥圆弧的圆心为O ，连接OA 、OD ，则OD ⊥AB ．又因为OA =13，由垂径定理可得AD =11241222AB =⨯=． 所以在Rt △AOD 中，OD 222213125OA AD -=-=． 所以CD =OC －OD =13－5=8（米）．故应选B ．类型五 探究线段的最小值【例5】如图，⊙O 的半径 5 cm OA =，弦8 cm AB =，点P 为弦AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离是________cm ．【解析】因为连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短， 所以需作出弦AB 的弦心距．过点O 作OC ⊥AB ， C 为垂足，由垂径定理，知AC=118422AB =⨯=(cm)． 在Rt △AOC 中，由勾股定理可得OC 2222543OA AC -=-=． 故点P 到圆心O 的最短距离为3 cm ．二、 圆周角定理及推论《圆周角》解题技巧在数学里，把一个对象转化为另一个对象，常常可以化繁为简，化未知为已知，从而达到解决问题的目的，这种思考问题的方法，就是“转化”．在研究与圆周角有关的问题时，常进行等角间的转化．【例1】如图，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ．连接AC ，OC ，BC ．（1）求证：∠ACO =∠BCD ．（2）若EB =8 cm ，CD =24 cm ，求⊙O 的直径．【分析】（1）欲证∠ACO =∠BCD ，关键是进行等角间的转化：∠ACO =∠OAC ，∠BCD =∠OAC ，转化的依据是等腰三角形的性质定理和圆周角的“等弧所对的圆周角相等”；（2）借助勾股定理构建方程即可求得⊙O 的直径．解：（1）∵AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB CD 于点E ，∴CE =ED ，︵CB =︵DB ． ∴∠BCD =∠BAC ． ∵OA =OC ， ∴∠OAC =∠OCA ． ∴∠ACO =∠BCD ．（2）设⊙O 的半径为R cm ，则OE =OB －EB =R －8．∴CE =21CD =21×24=12．在Rt△CEO中，由勾股定理可得OC2=OE2＋CE2，即R2=(R－8)2＋122．解得R=13．所以2R=2×13=26．【例2】如图，四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC 上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC．求证：（1）CD⊥DF；（2）BC=2CD．【分析】（1）欲证CD⊥DF，可转化为证明∠FCD+∠CFD=90°．由圆周角的性质有∠FCD=∠ABD，再联系条件∠BAD=2∠CFD，不难向等腰△ABD的内角和定理进行联想，从而找到解题的切入点；（2）欲证BC=2CD，现在还有一个条件∠BFC=∠BAD没有用，注意到∠BFC=∠ABF+∠BAC，∠BAD=∠CAD+∠BAC，从而有∠ABF=∠CAD，而∠CAD=∠CBD，故∠ABF=∠CBD，即∠ABD=∠FBC，而∠ABD=∠ADB=∠FCB，从而∠FBC=∠FCB，于是得FB=FC．思考到这里，不妨再回头看看证题目标BC=2CD，可考虑取BC的中点G，于是问题转化为证明CG=CD，即证△FGC≌△FDC．证明：（1）∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB．在△ABD中，∠BAD+2∠ABD=180°．又∠BAD=2∠DFC，∠FCD=∠ABD，∴2∠DFC+2∠FCD=180°．∴∠DFC+∠FCD=90°．∴∠FDC=90°．∴CD⊥DF．（2）∵∠BFC=∠ABF+∠BAC，∠BAD=∠CAD+∠BAC，∴∠ABF=∠CAD．又∠CAD=∠CBD，∴∠ABF=∠CBD，即∠ABD=∠FBC，而∠ABD=∠ADB=∠FCB，∴∠FBC=∠FCB，∴FB=FC．取BC的中点G，连接FG．∴FG⊥BC．∴∠FGC=90°．∵AB=AD，∴︵AB=︵AD，∴∠ACB=∠ACD．∵∠FGC=∠FDC=90°，FC=FC，∴△FGC≌△FDC．∴CG=CD．∵BC=2CG，∴BC=2CD．三、切线及切线长定理怎样证明直线与圆相切？在直线与圆的各种位置关系中，相切是一种重要的位置关系．现介绍以下三种判别直线与圆相切的基本方法：（1）利用切线的定义——在已知条件中有“半径与一条直线交于该半径的外端”，于是只需直接证明这条直线垂直于这个半径即可．【例1】已知：△ABC内接于⊙O，⊙O的直径AE交BC于F点，点P在BC的延长线上，且∠CAP=∠ABC．求证：PA是⊙O的切线．【证明】连接EC．∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE=90°．∴∠E＋∠EAC=90°．∵∠E=∠B，∠B=∠CAP，∴∠E=∠CAP．∴∠EAC＋∠CAP=∠EAC＋∠E=90°．∴∠EAP=90°．∴PA⊥OA．又PA经过点A，∴PA是⊙O的切线．（2）利用切线的判定定理——在已知条件中，有“一条直线过圆上某一点（即为切点），但没有半径”，于是先连接圆心与这个点成为半径，然后再证明这条直线和这条半径垂直．【例2】以Rt△ABC的直角边BC为直径作⊙O交斜边AB于点P，点Q为AC的中点．求证：PQ为⊙O的切线．B【证明】连接OP，CP．∵BC为直径，∴∠BPC=90°，即∠APC=90°．又点Q为AC的中点，∴QP=QC．∴∠1=∠2．又OP=OC，∴∠3=∠4．又∠ACB=90°，∴∠2＋∠4=∠1＋∠3=∠ACB=90°．∴∠OPQ=90°．∵点P在⊙O上，且点P为半径OP的端点，∴QP为⊙O的切线．说明：要证PQ与半径垂直，即连接OP．这是判别相切中添加辅助线的常用方法．（3）证明“d=R”，在已知条件中“没有半径，也没有明确直线与圆的公共交点”，于是过圆心作直线的垂线，然后再证明这条垂线段的长(d)等于圆的半径(R)即可．【例3】已知，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=12BC，点E，F分别为AB，AC的中点，点O为EF的中点．求证：以EF为直径的圆与BC相切．【证明】作OH⊥BC于点H，设AD与EF交于点M．∵点E，F分别为AB，AC的中点，∴EF=12 BC．∴点M也是AD的中点，即MD=12 AD．又AD=12BC，∴EF=AD，MD=12EF．又AD⊥BC，∴OH∥MD．∴四边形OHDM是矩形．∴OH=MD=12EF．∴OH是⊙O的半径．∴以EF为直径的圆与BC相切．与《切线长定理》相关的中考压轴题1．已知：以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作⊙O ，与斜边AC 交于点D ，过点D 作⊙O 的切线交BC 边于点E ．（1）如图，求证：EB =EC =ED ；（2）试问在线段DC 上是否存在点F ，满足BC 2=4DF •DC ？若存在，作出点F ，并予以证明；若不存在，请说明理由．分析：（1）连接BD ，已知ED 、EB 都是⊙O 的切线，由切线长定理可证得OE 垂直平分BD ，而BD ⊥AC （圆周角定理），则OE ∥AC ；由于O 是AB 的中点，可证得OE 是△ABC 的中位线，即E 是BC 中点，那么Rt △BDC 中，DE 就是斜边BC 的中线，由此可证得所求的结论；（2）由（1）知：BC =2BE =2DE ，则所求的比例关系式可转化为22BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭=DF •DC ，即DE 2=DF •DC ，那么只需作出与△DEC 相似的△DFE 即可，这两个三角形的公共角为∠CDE ，只需作出∠DEF =∠C 即可；①∠DEC ＞∠C ，即180°-2∠C ＞∠C ，0°＜∠C ＜60°时，∠DEF 的EF 边与线段CD 相交，那么交点即为所求的F 点；②∠DEC =∠C ，即180°-2∠C =∠C ，∠C =60°时，F 与C 点重合，F 点仍在线段CD 上，此种情况也成立；③∠DEC＜∠C，即180°-2∠C＜∠C，60°＜∠C＜90°时，∠DEF的EF边与线段的延长线相交，与线段CD没有交点，所以在这种情况下不存在符合条件的F点．解：（1）证明：连接BD．由于ED、EB是⊙O的切线，由切线长定理，得ED=EB，∠DEO=∠BEO，∴OE垂直平分BD．又∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BD．∴AD∥OE．即OE∥AC．又O为AB的中点，∴OE为△ABC的中位线，∴BE=EC，∴EB=EC=ED．（2）解：在△DEC中，由于ED=EC，∴∠C=∠CDE，∴∠DEC=180°-2∠C．①当∠DEC＞∠C时，有180°-2∠C＞∠C，即0°＜∠C＜60°时，在线段DC上存在点F满足条件．在∠DEC内，以ED为一边，作∠DEF，使∠DEF=∠C，且EF交DC于点F，则点F即为所求．这是因为：在△DCE和△DEF中，∠CDE=∠EDF，∠C=∠DEF，∴△DEF∽△DCE．∴DE2=DF•DC．即212BC⎛⎫⎪⎝⎭=DF•DC．∴BC2=4DF•DC．②当∠DEC=∠C时，△DEC为等边三角形，即∠DEC=∠C=60°，此时，C点即为满足条件的F点，于是，DF=DC=DE，仍有BC2=4DE2=4DF•DC．③当∠DEC＜∠C时，即180°﹣2∠C＜∠C，60°＜∠C＜90°；所作的∠DEF ＞∠DEC，此时点F在DC的延长线上，故线段DC上不存在满足条件的点F．点评：此题主要考查了直角三角形的性质、切线长定理、三角形中位线定理及相似三角形的判定和性质；（2）题一定要注意“线段DC上是否存在点F”的条件，以免造成多解．2．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB=8，边BC比AD大6．（1）求边AD、BC的长；（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．分析：过D作DF⊥BC于F，设AD=x，则DE=AD=x，EC=BC=x+6，根据勾股定理就得到一个关于x的方程，就可以解得AD的长；△ADP和△BCP相似，有△ADP∽△BCP和△ADP∽△BPC两种情况进行讨论，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出AP的长．解：（1）方法1：过D作DF⊥BC于F，在Rt△DFC中，DF=AB=8，FC=BC-AD=6，∴DC2=62+82=100，即DC=10．设AD=x，则DE=AD=x，EC=BC=x+6，∴x+(x+6)=10．∴x=2．∴AD=2，BC=2+6=8．方法2：连OD、OE、OC，由切线长定理可知∠DOC=90°，AD=DE，CB=CE，设AD=x，则BC=x+6，由射影定理可得：OE2=DE•EC．即：x(x+6)=16，解得x1=2，x2=-8，（舍去）∴AD=2，BC=2+6=8．（2）存在符合条件的P点．设AP=y，则BP=8-y，△ADP与△BCP相似，有两种情况：①△ADP∽△BCP时，有AD APBC PB=，即288yy=-．∴y=85．②△ADP∽△BPC时，有AD APBP BC=，即288yy=-．∴y=4．故存在符合条件的点P，此时AP=85或4．点评：本题主要考查了相似三角形的判定性质，对应边的比相等的两三角形相似．3．如图，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC=30°．（Ⅰ）求∠P的大小；（Ⅱ）若AB=2，求PA的长（结果保留根号）．分析：（Ⅰ）根据切线的性质及切线长定理可证明△PAC为等边三角形，则∠P的大小可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）知PA=PC，在Rt△ACB中，利用30°的特殊角度可求得AC 的长．解：（Ⅰ）∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴PA⊥AB，∴∠BAP=90°；∵∠BAC=30°，∴∠CAP=90°-∠BAC=60°．又∵PA、PC切⊙O于点A、C，∴PA=PC，∴△PAC为等边三角形，∴∠P=60°．（Ⅱ）如图，连接BC，则∠ACB=90°．在Rt△ACB中，AB=2，∠BAC=30°，∵cos∠BAC=ACAB，∴AC=AB•cos∠BAC=2cos30°3∵△PAC为等边三角形，∴PA=AC，∴PA3．点评：本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．四、 正多边形与圆4．（1）已知如图①所示，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，点P 为︵BC 上一动点，求证PA ＝PB ＋PC ．下面给出一种证明方法，你可以按这一方法补全证明过程，也可以选择另外的证明方法．证明：在AP 上截取AE ＝CP ，连接BE ． ∵△ABC 是正三角形， ∴AB ＝CB ．∴∠1和∠2是同弧所对的圆周角． ∴∠1＝∠2． ∴△ABE ≌△CBP ．③OPFEDBA②ODCBA①21E POCB（2）如图②所示，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 为︵BC 上一动点，求证：PA ＝PC 2PB ．（3）如图③所示，六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，点P 为︵BC 上一动点，请探究PA 、PB 、PC 三者之间有何数量关系，直接写出结论．4．证明：⑥F⑤④（1）如图④所示，延长BP 至E ，使PE ＝PC ，连接CE ． 易知∠CPE ＝∠CAB ＝60°，∴△PCE 是等边三角形． ∴CE ＝PC ，∠ECP ＝60°． ∴∠ECP ＋∠PCB ＝∠BCA ＋∠PCB ， 即∠ECB ＝∠PCA ．在△CAP 和△CBE 中，CA ＝CB ，CP ＝CE ，∠PCA ＝∠ECB ， ∴△CAP ≌△CBE ． ∴PA ＝BE ＝PB ＋PC ．（2）如图⑤所示，过点B 作BE ⊥PB 交PA 于E ． ∵∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°， ∴∠1＝∠3．又∵AB ＝BC，∠BAP ＝∠BCP ， ∴△ABE ≌△CBP ，∴PC ＝AE ．∵∠APB＝45°，∴BP ＝BE ，∴PE PB． ∴PA ＝AE ＋PE ＝PC PB ． （3）PA ＝PC ．证明：如图⑥所示，在AP 上截取AQ ＝PC ，连接BQ ． ∵∠BAP ＝∠BCP ，AB ＝BC ，AQ ＝CP ， ∴△ABQ ≌△CBP ，∴BQ ＝BP ． 又∵∠APB ＝30°，∴PQ ＝3PB ． ∴PA ＝PQ ＋AQ ＝3PB ＋PC ．五、 与圆有关的计算1．如图，将圆沿AB 折叠后，圆弧恰好经过圆心，则弧AMB 的度数是（ ）．A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°2．如图，王虎使一长为4 cm 、宽为3 cm 的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上点A 位置变化为A →A 1→A 2，其中第二次翻滚被桌面上一小木板档住，使木板与桌面成30°角，则点A 翻滚到A 2位置时共走过的路径长为（ ）．A ．10 cmB ．4π cmC ．72π cmD ．52cm3．如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6 cm 的正三角形ABC ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是________cm （结果不取近似值）．4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=3，BC=1，将Rt△ABC绕点C 旋转90°后得Rt△A'B'C，再将Rt△A'B'C绕点B'旋转为Rt△A''B'C'使得点A，C，B'，A''在同一条直线上，则点A运动到点A''所走的路径长为___________．。
中考数学复习题点和圆、直线和圆的位置关系试题(共12页)
点和圆、直线(zhíxiàn)和圆的位置关系一、选择题1．如图，P为圆O外一点，OP交圆O于A点，且OA=2AP．甲、乙两人想作一条通过P 点且与圆O相切的直线，其作法如下：〔甲〕以P为圆心，OP长为半径画弧，交圆O于B点，那么直线PB即为所求；〔乙〕作OP的中垂线，交圆O于B点，那么直线PB即为所求．对于甲、乙两人的作法，以下判断何者正确？〔〕A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确二、解答题2．如图，⊙O是△ACD的外接圆，AB是直径，过点D作直线DE∥AB，过点B作直线BE ∥AD，两直线交于点E，假如∠ACD=45°，⊙O的半径是4cm〔1〕请判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；〔2〕求图中阴影局部的面积〔结果用π表示〕．3．如图，四边形ABCD是平行四边形，以对角线BD为直径(zhíjìng)作⊙O，分别与BC，AD相交于点E，F．〔1〕求证：四边形BEDF为矩形；〔2〕BD2=BE•BC，试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．4．如图，点D是⊙O的直径CA延长线上的一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO．〔1〕求证：BD是⊙O的切线；〔2〕假设点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且∠ABE=105°，S△=8〔BEF﹣1〕，求△ACF的面积和CF的长．5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．〔1〕求证：AC是⊙O的切线．〔2〕过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD=HF．6．如图，AB是⊙O的直径(zhíjìng)，C是⊙O上的一点，过点A作AD⊥CD于点D，交⊙O于点E，且=．〔1〕求证：CD是⊙O的切线；〔2〕假设tan∠CAB=，BC=3，求DE的长．7．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．〔1〕判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；〔2〕求证：BC2=2CD•OE；〔3〕假设cos∠BAD=，BE=，求OE的长．8．如图，BC是以AB为直径的⊙的切线，且BC=AB，连接OC交⊙O于点D，延长AD交BC于点E，F为BE上一点，且DF=FB．〔1〕求证：DF是⊙O的切线；〔2〕假设BE=2，求⊙O的半径．9．如图，在△ABO中，OA=OB，C是边AB的中点(zhōnɡ diǎn)，以O为圆心的圆过点C．〔1〕求证：AB与⊙O相切；〔2〕假设∠AOB=120°，AB=4，求⊙O的面积．10．如图，⊙O中，点C为的中点，∠ACB=120°，OC的延长线与AD交于点D，且∠D=∠B．〔1〕求证：AD与⊙O相切；〔2〕假设点C到弦AB的间隔为2，求弦AB的长．11．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．〔1〕求AC、AD的长；〔2〕试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．12．如图，在⊙O中，直径AB平分(píngfēn)弦CD，AB与CD相交于点E，连接AC、BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA=∠B．〔1〕求证：CF是⊙O的切线．〔2〕假设AC=4，tan∠ACD=，求⊙O的半径．13．如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O与边AB交于点D，E为的中点，连接CE 交AB于点F，AF=AC．〔1〕求证：直线AC是⊙O的切线；〔2〕假设AB=10，BC=8，求CE的长．14．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME=1，AM=2，AE=．〔1〕求证：BC是⊙O的切线；〔2〕求⊙O的半径(bànjìng)．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D点，连接CD．〔1〕求证：∠A=∠BCD；〔2〕假设M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．16．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E 是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D．〔1〕求证：AC是⊙O的切线；〔2〕假设∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影局部的面积．〔结果保存根号和π〕17．如图，⊙O中，FG、AC是直径(zhíjìng)，AB是弦，FG⊥AB，垂足为点P，过点C 的直线交AB的延长线于点D，交GF的延长线于点E，AB=4，⊙O的半径为．〔1〕分别求出线段AP、CB的长；〔2〕假如OE=5，求证：DE是⊙O的切线；〔3〕假如tan∠E=，求DE的长．18．如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，∠CDB=∠OBD=30°．〔1〕求证：AC是⊙O的切线；〔2〕求弦BD的长；〔3〕求图中阴影局部的面积．19．如图，点B、C、D都在⊙O上，过C点作CA∥BD交OD的延长线于点A，连接BC，∠B=∠A=30°，BD=2．〔1〕求证：AC是⊙O的切线；〔2〕求由线段AC、AD与弧CD所围成的阴影局部的面积．〔结果保存π〕20．如图，在△ABC中，以AC为直径(zhíjìng)作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D 是BC中点，DE⊥AB，垂足为E，交AC的延长线于点F．〔1〕求证：直线EF是⊙O的切线；〔2〕假设CF=5，cos∠A=，求BE的长．21．如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为E，F为DC延长线上一点，且∠CBF=∠CDB．〔1〕求证：FB为⊙O的切线；〔2〕假设AB=8，CE=2，求sin∠F．22．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与AC边交于点D，过点D的直线交BC边于点E，∠BDE=∠A．〔1〕判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．〔2〕假设⊙O的半径R=5，tanA=，求线段CD的长．23．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线(zhōngxiàn)，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于G．〔1〕求证：△BGD∽△DMA；〔2〕求证：直线MN是⊙O的切线．24．如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，∠EAB=∠ADB．〔1〕求证：EA是⊙O的切线；〔2〕点B是EF的中点，求证：以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似；〔3〕AF=4，CF=2．在〔2〕条件下，求AE的长．25．如图，点A是⊙O上一点，OA⊥AB，且OA=1，AB=，OB交⊙O于点D，作AC⊥OB，垂足为M，并交⊙O于点C，连接BC．〔1〕求证(qiúzhèng)：BC是⊙O的切线；〔2〕过点B作BP⊥OB，交OA的延长线于点P，连接PD，求sin∠BPD的值．26．如下图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，连接DC，且AC=DC，BC=BD．〔1〕求证：DC是⊙O的切线；〔2〕作CD的平行线AE交⊙O于点E，DC=10，求圆心O到AE的间隔．27．如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=1，ED=2．〔1〕求证：∠ABC=∠D；〔2〕求AB的长；〔3〕延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．28．如图，在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，延长(yáncháng)CA到O，使AO=AC，以O为圆心，OA长为半径作⊙O交BA延长线于点D，连接CD．〔1〕求证：CD是⊙O的切线；〔2〕假设AB=4，求图中阴影局部的面积．29．如图，△ABC中，∠C=90°，点G是线段AC上的一动点〔点G不与A、C重合〕，以AG为直径的⊙O交AB于点D，直线EF垂直平分BD，垂足为F，EF交BC于点E，连结DE．〔1〕求证：DE是⊙O的切线；〔2〕假设cosA=，AB=8，AG=2，求BE的长；〔3〕假设cosA=，AB=8，直接写出线段BE的取值范围．30．如图，⊙O是△ABC外接圆，AB是⊙O的直径，弦DE⊥AB于点H，DE与AC相交于点G，DE、BC的延长线交于点F，P是GF的中点，连接PC．〔1〕求证：PC是⊙O的切线；〔2〕假设⊙O的半径是1， =，∠ABC=45°，求OH的长．内容总结（1）点和圆、直线和圆的位置关系一、选择题1．如图，P为圆O外一点，OP交圆O于A点，且OA=2AP．甲、乙两人想作一条通过P点且与圆O相切的直线，其作法如下：〔甲〕以P为圆心，OP长为半径画弧，交圆O于B点，那么直线PB即为所求（2）〔2〕点B是EF的中点，求证：以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似（3）〔2〕求AB的长。
人教版2023年中考数学专题复习练习直线与圆的位置
第27 讲直线与圆的位置一．切线的性质（共1小题）1．（2021•大连）如图1，△ABC内接于⊙O，直线MN与⊙O相切于点D，OD与BC相交于点E，BC∥MN．（1）求证：∠BAC＝∠DOC；（2）如图2，若AC是⊙O的直径，E是OD的中点，⊙O的半径为4，求AE的长．二．切线与解直角三角形（共1小题）2．（2022•丹东）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE 交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．（1）请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若sin∠ECD=35，CE＝5，求⊙O的半径．三．切线的判定与性质（共9小题）3．（2022•锦州）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，D为BÊ的中点，连接AE，BD并延长交于点C．连接OD，在OD的延长线上取一点F，连接BF，使∠CBF=12∠BAC．（1）求证：BF为⊙O的切线；（2）若AE＝4，OF=92，求⊙O的半径．4．（2022•阜新）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．（1）求证：CD是⊙O的切线；̂的长．（2）若∠A＝60°，AC＝2√3，求BD5．（2021•锦州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD 交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．6．（2021•沈阳）如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O交于点A，点E是半径OA上一点（点E不与点O，A重合）．连接DE交⊙O于点C，连接CA，CB．若CA＝CD，∠ABC＝∠D．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AB＝13，CA＝CD＝5，则AD的长是．7．（2022•鞍山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点E为⊙O上一点，EF∥AC交AB的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若∠BCE=12∠ABC．（1）求证：EF是⊙O的切线．（2）若BF＝2，sin∠BEC=35，求⊙O的半径．8．（2022•沈阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O的直径，AD，BC的延长线交于点E，延长CB交P A于点P，∠BAP+∠DCE＝90°．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）连接AC，sin∠BAC=13，BC＝2，AD的长为．9．（2021•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长CA到点D，以AD为直径作⊙O，交BA的延长线于点E，延长BC到点F，使BF＝EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若OC＝9，AC＝4，AE＝8，求BF的长．10．（2021•盘锦）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点D作DG∥BC，DG交线段AC于点G，交AB于点E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠A＝∠D．（1）求证：BD与⊙O相切；（2）若AE＝OE，CF平分∠ACB，BD＝12，求DE的长．11．（2022•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点A，点B在⊙O上，边DA的延长线交⊙O于点E，对角线DB的延长线交⊙O于点F，连接EF并延长至点G，使∠FBG＝∠F AB．（1）求证：BG与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为1，求AF的长．四．切线与相似三角形（共5小题）12．（2022•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，▱ODEF的顶点O，D在斜边AB上，顶点E，F分别在边BC，AC上，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O恰好经过点D 和点E．（1）求证：BC与⊙O相切；（2）若sin∠BAC=35，CE＝6，求OF的长．13．（2021•营口）如图，AB是⊙O直径，点C，D为⊙O上的两点，且AD̂=CD̂，连接AC，BD交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．（1）求证：AF＝AE；（2）若AB＝8，BC＝2，求AF的长．14．（2022•朝阳）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，AD是△AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．15．（2021•鞍山）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AB上一点，BD＝BC，过点A作AE⊥AB交CD的延长线于点E，CE交⊙O于点G，连接AC，AG，在EA的延长线上取点F，使∠FCA＝2∠E．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若AC＝6，AG=√10，求⊙O的半径．16．（2021•丹东）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D是BĈ的中点，过点D作EF∥BC分别交AB、AC的延长线于点E和点F，连接AD、BD，∠ABC的平分线BM交AD于点M．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AB：BE＝5：2，AD=√14，求线段DM的长．第 27 讲 直线与圆的位置参考答案一．切线的性质（共1小题）1．（1）见解答；（2）2√7．；二．切线与解直角三角形（共1小题）2．（1）结论：CD 是⊙O 的切线，证明见解析部分；（2）256．；三．切线的判定与性质（共9小题）3．（1）证明见解析；（2）3．； 4．（1）见解析；（2）43π．； 5．（1）证明见解答； （2）⊙O 的半径是4.5．； 6．12013； 7．（1）见解答过程； （2）⊙O 的半径为3．；8．6； 9．（1）见解析； （2）656．； 10．（1）证明见解答；（2）DE ＝6√5．；11．（1）见解析； （2）√2．；四．切线与相似三角形（共5小题）12．（1）见解析；（2）2√10．；13．（1）证明见解答过程； （2）8√155．； 14．（1）见解析； （2）365．； 15．（1）见解答过程；（2）5．；16．（1）见详解； （2）2．；。