金融衍生工具定价
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已知：
22
()
22
(,)()
Z
Z r T
rT
f S T e F Se e dZ
σ
+∞--
-
-∞
=⎰，
(,)
(,)
f S T
S T
S
∂
∆=
∂
，
2
2
(,)(,)
f
S T S T
S
∂
Γ=
∂
，
(,)
(,)
f S T
S T
T
∂
Θ=-
∂
.
求证：22
1
(,)(,)(,)(,)
2
S T S S T rS S T rf S T
σ
Θ=-Γ-∆+.
证明：只需证明22
1
(,)
2
((,)
)
)
,
,
(
S S
f S
r
T f S
rS
T
S T
T
T
σ+-
∆
∂
Γ
=
∂
.
设
2
()
2
(,,)Z r T
G S T Z Se
σ
-
=，(,,)((,,))
H S T Z F G S T Z
=，则
2
2
(,)(,,)
Z
rT
f S T e H S T Z e dZ
+∞-
-
-∞
=. 于是
22
2
22
2
(,)
(,)
(,,)(,,)
(,,)
Z Z
rT rT
Z
rT
f S T
e H S T Z e dZ e H S T Z e dZ
T T
e H
rf S T Z
S e
T dZ
T
+∞+∞
--
--
-∞-∞
+∞-
-
-∞
⎡⎤
∂∂
'
⎡⎤
=+⎥
⎣⎦
∂∂⎥⎦
⎡⎤
∂
=+⎥
∂⎥⎦
-
红色部分证毕.
对第二项，由先求积分后求偏导，变为先求偏导后求积分，则
22
22
(,,)
(,,)
Z Z
rT
rT
H S T Z
e H S T Z e dZ e dZ
T T
-
+∞+∞
--
-
-∞-∞
⎡⎤
∂∂
=
⎥
∂∂
⎥⎦
.
接下来只需证明
2
2
22
1
(,)
(,,)
()
2
,
Z
rT
S S T
H S T Z
e rS S T
dZ
T
σ
-
+∞-
-∞
∂
∆
Γ
=+
∂
.
回忆一下复合函数求导法则：
若(,,)((,,))
H S T Z F G S T Z
=，则
(,,)(,,)
((,,))
H S T Z G S T Z
F G S T Z
T T
∂∂
'
=
∂∂
.
于是有
22
()
2
(,,)
((,,))
2
Z r T
H S T Z
F G S T Z Se r
T
σσ
-⎫
∂
'
=-⎪
∂⎭
.
2
()
2
(,,)
((,,))Z r T
H S T Z
F G S T Z e
S
σ
-
∂
'
=
∂
(这个式子很重要！)，(1)
2
(,,)(,,)
2
H S T Z H S T Z
S r
T S
σ⎫
∂∂
∴=-⎪
∂∂⎭
.
2
2
22
2
2
2
22
(,,)
(,,)
2
(,,)(,,)
2
Z
rT
Z
rT
Z Z rT rT
H S T Z
e dZ
T
H S T Z
S r e dZ
S
H S T Z H S T Z
S e dZ rS e dZ
S S
σ
σ
σ
-
+∞-
-∞
-
+∞-
-∞
--
+∞+∞
--
-∞-∞
∂
∂
⎡⎤⎫
∂
=-
⎢⎥⎪
∂⎭
⎣⎦
∂∂
⎫
=-+
⎪
∂∂
⎭
由
2
2
(,)(,,)
Z
rT
f S T e H S T Z e dZ
+∞-
-
-∞
=⎰和(,)
(,)
f S T
S T
S
∂
∆=
∂
，立刻得
到
2
2
(,,)
(,)
Z
rT H S T Z
S T e dZ
S
-
+∞-
-∞
∂
∆=
∂
⎰. 因此，
22
22
(,,)(,,)
2
,)
(
Z Z rT rT
H S T Z H S T Z
e dZ S e dZ
T S
r S T
S
σ
σ
--
+∞+∞
--
-∞-∞
∂∂⎫
=⎪
∂⎭
+∆
∂
. 绿色部分证毕.
至此，问题转化为证明
2
222
(,,)
2
1
(,)
2
Z
rT
S S
H S T Z
dZ
S
T
S e
σ
σσ
-
+∞-
-∞
∂⎫
=
⎪Γ
∂⎭
.
也即
22
22
(,,)(,,)
2
1
(,)
2
Z Z
rT H S T Z H S T Z
Ze dZ e dZ
S S
S S T
σ
σ
-
+∞+∞
--
-∞-∞
⎡⎤
∂∂
-⎥
∂∂⎥
Γ
=
⎦
⎰.
利用
22
22
Z Z
de Ze dZ
--
=-，凑微分，然后分部积分，得
2
2
22
2
2
22
(,,)
(,,)
(,,)(,,)
Z
Z
Z Z
H S T Z
Ze dZ
S
H S T Z
de
S
H S T Z H S T Z
e e d
S S
+∞-
-∞
+∞-
-∞
+∞
+∞
--
-∞
-∞
∂
∂
∂
=-
∂
⎡⎤
∂∂⎡⎤
=-+
⎢⎥⎢⎥
∂∂
⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦
⎰
⎰
⎰
由(1)
，知
222
()
222
(,,)
((,,))
Z Z
Z r T
H S T Z
e F G S T Z e e
S
σ
---
∂
'
=
∂
.
((,,))
F G S T Z
'表示衍生品期末支付函数对基础资产期末价格的导数，应该有界，