宁波市八年级下学期数学5月月考试卷
浙江省宁波市余姚市子陵中学教育集团2022-2023学年八年级下学期5月月考数学试题
浙江省宁波市余姚市子陵中学教育集团2022-2023学年八年
级下学期5月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ A．B．
C． D．
4
353
二、填空题
11．如果一个正多边形的内角和是720︒，则这个正多边形是正边形．
12．已知y 是关于x 的反比例函数，当2x =-时，3y =，则这个函数的表达式是． 13．已知矩形相邻两边长是一元二次方程2560x x -+=的两个根，那么这个矩形的其中一条对角线长是 ．
14．如图1是一款木制活动衣帽架，图2是该衣帽架的平面示意图，它由3个全等的菱形构成，菱形的边长AB 为30cm ．小南将该衣帽架的两端点B 、E 固定在墙上，使得B 、E 两点间的距离为108cm ．在不考虑材料宽度的情况下，A 、C 两点间的距离是．
15．如图，在ABC 中，点E 是BC 的中点，点D 在ABC 外一点，AD BD ⊥，且AD 平分BAC ∠，连结DE ，若10AB =，2DE =，则AC =．
16．如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°，AB =6．折叠该菱形，使点A 落在边BC 上的点M 处，折痕分别与边AB ，AD 交于点E ，F ．当点M 与点B 重合时，EF 的长为；当点M 的位置变化时，DF 长的最大值为．。
人教版八年级第二学期5月份月考数学试题含答案
一、选择题1．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°，AB=AD=10cm ，BC=8cm ，点P 从点A 出发，以每秒3cm 的速度沿折线A-B-C-D 方向运动，点Q 从点D 出发，以每秒2cm 的速度沿线段DC 方向向点C 运动、已知动点P ，Q 同时出发，当点Q 运动到点C 时，点P ，Q 停止运动，设运动时间为t 秒，在这个运动过程中，若△BPQ 的面积为20cm 2 ， 则满足条件的t 的值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，点O （0，0），B （0，1）是正方形OBB 1C 的两个顶点，以它的对角线OB 1为一边作正方形OB 1B 2C 1，以正方形OB 1B 2C 1的对角线OB 2为一边作正方形OB 2B 3C 2，再以正方形OB 2B 3C 2的对角线OB 3为一边作正方形OB 3B 4C 3，…，依次进行下去，则点B 6的坐标是（ ）A ．(42,0)B ．(42,0)-C ．(8,0)-D ．(0,8)-3．如图，边长为8的正方形ABCD 的对角线交于点O ，点,E F 分别在边,CD DA 上（CE DE <），且90,,EOF OE BC ︒∠=的延长线交于点 ,,G OF CD 的延长线交于点,H E 恰为OG 的中点．下列结论：①OCE ODF ∆∆≌；②OG OH =； ③10GH =其中，正确结论的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．如图，在一张矩形纸片ABCD 中，AB=4，BC=8，点E ，F 分别在AD ，BC 上，将ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 上的一点H 处，点D 落在点G 处，有以下四个结论：①四边形CFHE 是菱形；②EC 平分∠DCH ；③线段BF 的取值范围为3≤BF ≤4；④当点H 与点A 重合时，EF=25．其中正确的结论是（）A ．①②③④B ．①④C ．①②④D ．①③④5．如图，111A B C ∆中，114A B =，115AC =，117B C =．点2A 、2B 、2C 分别是边11B C 、11A C 、11A B 的中点；点3A 、3B 、3C 分别是边22B C 、22A C 、22A B 的中点；；以此类推，则第2019个三角形的周长是（ ）A ．201412B ．201512C ．201612D ．2017126．如图，点P 在长方形OABC 的边OA 上，连接BP ，过点P 作BP 的垂线，交射线OC 于点Q ，在点P 从点A 出发沿AO 方向运动到点O 的过程中，设AP=x ，OQ=y ，则下列说法正确的是（ ）A ．y 随x 的增大而增大B ．y 随x 的增大而减小C ．随x 的增大，y 先增大后减小D ．随x 的增大，y 先减小后增大7．下列命题中，真命题的个数有（ ）①对角线相等的四边形是矩形；②三条边相等的四边形是菱形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个8．矩形纸片ABCD 中，AB ＝5，AD ＝4，将纸片折叠，使点B 落在边CD 上的点B '处，折痕为AE ．延长B E '交AB 的延长线于点M ，折痕AE 上有点P ，下列结论中：①M DAB '∠∠＝；②PB PB '＝；③AE ＝552；④MB CD '＝；⑤若B P CD '⊥，则EB B P ''＝．正确的有（ ）个A ．2B ．3C ．4D ．59．如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝185．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，正方形ABCD 中，延长CB 至E 使2CB EB =，以EB 为边作正方形EFGB ，延长FG 交DC 于M ，连接AM ，AF ，H 为AD 的中点，连接FH 分别与AB ，AM 交于点,N K ．则下列说法：①ANH GNF △≌△；②DAM NFG ∠=∠；③2FN NK =；④:2:7AFN DMKH S S =△四边形．其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题11．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点，点E 、F 分别是直线AB 、AC 上的动点，∠EDF ＝90°，M 、N 分别是EF 、AC 的中点，连结AM 、MN ，若AC =6，AB =5，则AM -MN 的最大值为________．12．在平行四边形ABCD 中，30,23,2A AD BD ∠=︒==，则平行四边形ABCD 的面积等于_____．13．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边CO 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点E 在边BC 上，将该矩形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处．若OA ＝8，CF ＝4，则点E 的坐标是_____．14．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，E 为BC 边上一动点，作EF ⊥AE ，且EF ＝AE ．连接DF ，AF ．当DF ⊥EF 时，△ADF 的面积为_____．15．如图，在正方形ABCD 中，2，点E 在AC 上，以AD 为对角线的所有平行四边形AEDF 中，EF 最小的值是_________．16．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ⊥AB ，AC 与BD 相交于点O ，在同一平面内将△ABC 沿AC 翻折，得到△AB’C ，若四边形ABCD 的面积为24cm 2，则翻折后重叠部分（即S △ACE ) 的面积为________cm 2．17．如图，在菱形ABCD 中，AC 交BD 于P ，E 为BC 上一点，AE 交BD 于F ，若AB=AE ，EAD 2BAE ∠∠=，则下列结论：①AF=AP ；②AE=FD ；③BE=AF ．正确的是______（填序号）．18．如图，正方形ABCD 面积为1，延长DA 至点G ，使得AG AD =，以DG 为边在正方形另一侧作菱形DGFE ，其中45EFG ︒∠=，依次延长, , AB BC CD 类似以上操作再作三个形状大小都相同的菱形，形成风车状图形，依次连结点, , , ,F H M N 则四边形FHMN 的面积为___________．19．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②S△ABG＝32S△FGH；③△DEF∽△ABG；④AG+DF＝FG．其中正确的是_____．（把所有正确结论的序号都选上）20．如图，四边形ABCP是边长为4的正方形，点E在边CP上，PE=1；作EF∥BC，分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG、BE的中点，则MN的长是_________．三、解答题21．如图，矩形OBCD中，OB＝5，OD＝3，以O为原点建立平面直角坐标系，点B，点D分别在x轴，y轴上，点C在第一象限内，若平面内有一动点P，且满足S△POB＝13S矩形OBCD，问：（1）当点P在矩形的对角线OC上，求点P的坐标；（2）当点P到O，B两点的距离之和PO+PB取最小值时，求点P的坐标．22．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（6，6），将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交线段AB于点G，ED 的延长线交线段OA于点H，连结CH、CG．（1）求证：CG平分∠DCB；（2）在正方形ABCO绕点C逆时针旋转的过程中，求线段HG、OH、BG之间的数量关系；（3）连结BD、DA、AE、EB，在旋转的过程中，四边形AEBD是否能在点G满足一定的条件下成为矩形？若能，试求出直线DE的解析式；若不能，请说明理由．23．如图，在正方形ABCD 中，点M 是BC 边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.（1）在如图（1）的AB 边上求作一点N ，连接CN ，使CN AM =；（2）在如图（2）的AD 边上求作一点Q ，连接CQ ，使CQ AM .24．如图，在长方形ABCD 中，8,6AB AD ==． 动点P Q 、分别从点、D A 同时出发向点C B 、运动，点P 的运动速度为每秒2个单位，点Q 的运动速度为每秒1个单位，当点P 运动到点C 时，两个点都停止运动，设运动的时间为()t s ．（1）请用含t 的式子表示线段PC BQ 、的长，则PC ________，BQ =________． （2）在运动过程中，若存在某时刻使得BPQ ∆是等腰三角形，求相应t 的值．25．已知在ABC 和ADE 中， 180ACB AED ∠+∠=︒，CA CB =，EA ED =，3AB =．（1）如图1，若90ACB ∠=︒，B 、A 、D 三点共线，连接CE ： ①若522CE =，求BD 长度； ②如图2，若点F 是BD 中点，连接CF ，EF ，求证：2CE EF =； （2）如图3，若点D 在线段BC 上，且2CAB EAD ∠=∠，试直接写出AED 面积的最小值．26．猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD 与矩形纸片ECGF ，使B ，C ，G 三点在一条直线上，CE 在边CD 上．连结AF ，若M 为AF 的中点，连结DM ，ME ，试猜想DM 与ME 的数量关系，并证明你的结论．拓展与延伸：(1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，其他条件不变，则DM 和ME 的关系为__________________；(2)如图②摆放正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，使点F 在边CD 上，点M 仍为AF 的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半]① ②27．如图，ABC ADC ∆≅∆，90,ABC ADC AB BC ︒∠=∠==，点F 在边AB 上，点E 在边AD 的延长线上，且,DE BF BG CF =⊥，垂足为H ，BH 的延长线交AC 于点G .（1）若10AB =，求四边形AECF 的面积；（2）若CG CB =，求证：2BG FH CE +=.28．如图，四边形ABCD 为正方形.在边AD 上取一点E ，连接BE ，使60AEB ∠=︒.（1）利用尺规作图（保留作图痕迹）：分别以点B 、C 为圆心，BC 长为半径作弧交正方形内部于点T ，连接BT 并延长交边AD 于点E ，则60AEB ∠=︒；（2）在前面的条件下，取BE 中点M ，过点M 的直线分别交边AB 、CD 于点P 、Q . ①当PQ BE ⊥时，求证：2BP AP =；②当PQ BE =时，延长BE ，CD 交于N 点，猜想NQ 与MQ 的数量关系，并说明理由.29．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的直线EF ，GH 分别交边AB 、CD ，AD 、BC 于点E 、F 、G 、H ．（1）观察发现：如图①，若四边形ABCD 是正方形，且EF ⊥GH ，易知S △BOE ＝S △AOG ，又因为S △AOB ＝14S 四边形ABCD ，所以S 四边形AEOG ＝ S 正方形ABCD ； （2）类比探究：如图②，若四边形ABCD 是矩形，且S 四边形AEOG ＝14S 矩形ABCD ，若AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝m ，求AG 的长（用含a 、b 、m 的代数式表示）； （3）拓展迁移：如图③，若四边形ABCD 是平行四边形，且S 四边形AEOG ＝14S ▱ABCD ，若AB ＝3，AD ＝5，BE ＝1，则AG ＝ ．30．已知：正方形ABCD 和等腰直角三角形AEF ，AE=AF （AE ＜AD ），连接DE 、BF ，P 是DE 的中点，连接AP ．将△AEF 绕点A 逆时针旋转．（1）如图①，当△AEF 的顶点E 、F 恰好分别落在边AB 、AD 时，则线段AP 与线段BF 的位置关系为 ，数量关系为 ．（2）当△AEF 绕点A 逆时针旋转到如图②所示位置时，证明：第（1）问中的结论仍然成立．（3）若AB=3,AE=1，则线段AP 的取值范围为 ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】过A 作AH ⊥DC ，由勾股定理求出DH 的长．然后分三种情况进行讨论：即①当点P 在线段AB 上，②当点P 在线段BC 上，③当点P 在线段CD 上，根据三种情况点的位置，可以确定t 的值．【详解】解：过A 作AH ⊥DC ，∴AH =BC =8cm ，DH =22AD AH - =10064-=6． i ）当P 在AB 上时，即1003t ≤≤时，如图，1110382022BPQ S BP BC t =⋅=-⨯=（），解得：53t =；ii ）当P 在BC 上时，即103＜t ≤6时，BP =3t -10，CQ =16-2t ，113101622022BPQ S BP CQ t t =⋅=-⨯-=（）（），化简得：3t 2-34t +100=0，△=-44＜0，∴方程无实数解．iii ）当P 在线段CD 上时，若点P 在线段CD 上，若点P 在Q 的右侧，即6≤t ≤345，则有PQ =34-5t ，13458202BPQ S t =-⨯=（），295t =＜6（舍去）； 若点P 在Q 的左侧时，即3485t ≤＜，则有PQ =5t -34，15348202BPQ S t =-⨯=（）； t =7.8．综上所述：满足条件的t 存在，其值分别为153t =，t 2=7.8．故选B ．【点睛】本题是平行四边形中的动点问题，解决问题时，一定要变动为静，将其转化为常见的几何问题，再进行解答．2．C解析：C【解析】 【分析】根据已知条件如图可得到B 12 ，B 2所在的正方形的对角线长为2(2),B 3所在的正方形的对角线长为3(2),依据规律可得B 6所在的正方形的对角线长为62)=8，再根据B 6在x 轴的负半轴，就可得到B 6的坐标。
人教版八年级(下)学期5月份月考数学试卷及答案
一、选择题1．已知点A（4，0），B（0，﹣4），C（a，2a）及点D是一个平行四边形的四个顶点，则线段CD的长的最小值为（）A．65B．125C．32D．422．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E，F分别在边BC、CD上，45EAF∠=︒．当8EF=时，AEF的面积是（）．A．8 B．16 C．24 D．323．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，DC的中点，P为对角线AC上的一个动点，则下列线段的长等于BP EP+最小值的是( )A．AB B．CE C．AC D．AF4．如图，在长方形ABCD中，AD=6，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连结PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和为（）A．5 B．6C．7 D．85．如图，在▭ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，点P为▭ABCD内一点，点Q在BC边上，则PA+PD+PQ的最小值为( )A3719B．3C．3D．106．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，对角线AC 、BD 交于点O ，∠AOD ＝120°，E 为BD 上任意点，P 为AE 中点，则PO ＋PB 的最小值为 （ ）A ．3B ．13+C ．7D ．37．如图，△ABC 的周长为19，点D ，E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ，若BC=7，则MN 的长度为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．38．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线相交于点O ．过点O 作EF ∥BC 交AB 于E ．交AC 于F ．过点O 作OD ⊥AC 于D ．下列五个结论：其中正确的有（ ）（1） EF=BE+CF ； （2）∠BOC=90°+12∠A ；（3）点O 到△ABC 各边的距离都相等；（4）设OD=m ．若AE 十AF =n ，则S △AEF = mn ；（5）S △AEF=S △FOC ．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9．在ABCF 中，2BC AB =，CD AB ⊥于点D ，点E 为AF 的中点，若50ADE ∠=︒，则B 的度数是（ ）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒10．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 边上的一点，BE=4，EC=8，将正方形边AB 延AE 折叠刀AF ，延长EF 交DC 于G ，连接AG ，现在有如下结论：①∠EAG=45°；②GC=CF ；③FC ∥AG ；④S △GFC =14.4；其中结论正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题11．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D是BC边上一点且CD=1，点P是线段DB上一动点，连接AP，以AP为斜边在AP的下方作等腰Rt△AOP．当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长为_____．，顶点D坐标为12．如图，菱形ABCD的BC边在x轴上，顶点C坐标为(3,0)(0,4)，点E在y轴上，线段//EF x轴，且点F坐标为(8,6)，若菱形ABCD沿x轴左右运动，连接AE、DF，则运动过程中，四边形ADFE周长的最小值是_______．13．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝OB，点E，F分别是OA，OD的中点，连接EF，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，若∠CEF＝45°，FN＝5，则线段BC的长为_____．14．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠A＝120°，E是AB的中点，点F在平行四边形ABCD的边上，若△AEF为等腰三角形，则EF的长为_____．15．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，E 为BC 边上一动点，作EF ⊥AE ，且EF ＝AE ．连接DF ，AF ．当DF ⊥EF 时，△ADF 的面积为_____．16．如图，直线1l ，2l 分别经过点(1,0)和(4,0)且平行于y 轴．OABC 的顶点A ，C 分别在直线1l 和2l 上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为_________．17．如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ，若∠CBF=20°，则∠AED 等于__度．18．已知：如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6AD =．延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为_____秒时，ABP ∆和DCE ∆全等．19．在平行四边形 ABCD 中，AE 平分∠BAD 交边 BC 于 E ，DF 平分∠ADC 交边 BC 于 F ，若 AD=11，EF=5，则 AB= ___．20．如图所示，在四边形ABCD 中，顺次连接四边中点E 、F 、G 、H ，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD 添加一个条件，使四边形EFGH 成一个菱形，这个条件是__________．三、解答题21．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，过点C 的直线//MN AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE BC ⊥，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE（1）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由；（2）当D 为AB 中点时，A ∠等于 度时，四边形BECD 是正方形．22．如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别为OB 、OD 的中点，延长AE 至G ，使EG AE =，连接CG ．（1）求证：AOE COF ∆≅∆；（2）四边形EGCF 是平行四边形吗？请说明理由；（3）若四边形EGCF 是矩形，则线段AB 、AC 的数量关系是______．23．综合与实践．问题情境：如图①，在纸片ABCD □中，5AD =，15ABCD S =，过点A 作AE BC ⊥，垂足为点E ，沿AE 剪下ABE △，将它平移至DCE '的位置，拼成四边形AEE D '．独立思考：（1）试探究四边形AEE D '的形状．深入探究：（2）如图②，在（1）中的四边形纸片AEE D '中，在EE '．上取一点F ，使4EF =，剪下AEF ，将它平移至DE F ''的位置，拼成四边形AFF D '，试探究四边形AFF D '的形状；拓展延伸：（3）在（2）的条件下，求出四边形AFF D '的两条对角线长；（4）若四边形ABCD 为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图③中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论．24．在等边三角形ABC 中，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边在AD 的上方作菱形ADEF ，且∠DAF=60°，连接CF ．（1）（观察猜想）如图（1），当点D 在线段CB 上时，①BCF ∠= ；②,,BC CD CF 之间数量关系为 ．（2）（数学思考）：如图（2），当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中两个结论是否仍然成立？请说明理由．（3）（拓展应用）：如图（3），当点D 在线段BC 的延长线上时，若6AB =，13CD BC =，请直接写出CF 的长及菱形ADEF 的面积．．25．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30C ∠=︒，12AC cm =，点E 从点A 出发沿AB 以每秒1cm 的速度向点B 运动，同时点D 从点C 出发沿CA 以每秒2cm 的速度向点A 运动，运动时间为t 秒（06t <<），过点D 作DF BC ⊥于点F ．（1）试用含t 的式子表示AE 、AD 、DF 的长；（2）如图①，连接EF ，求证四边形AEFD 是平行四边形；（3）如图②，连接DE ，当t 为何值时，四边形EBFD 是矩形？并说明理由．26．已知正方形ABCD ．（1）点P 为正方形ABCD 外一点，且点P 在AB 的左侧，45APB ∠=︒．①如图（1），若点P 在DA 的延长线上时，求证：四边形APBC 为平行四边形．②如图（2），若点P 在直线AD 和BC 之间，以AP ，AD 为邻边作APQD □，连结AQ ．求∠PAQ 的度数．（2）如图（3），点F 在正方形ABCD 内且满足BC=CF ，连接BF 并延长交AD 边于点E ，过点E 作EH ⊥AD 交CF 于点H ，若EH=3，FH=1，当13AE CF =时．请直接写出HC 的长________．27．在矩形ABCD 中，连结AC ，点E 从点B 出发，以每秒1个单位的速度沿着B A →的路径运动，运动时间为t （秒）．以BE 为边在矩形ABCD 的内部作正方形BEHG ．（1）如图，当ABCD 为正方形且点H 在ABC ∆的内部，连结,AH CH ，求证：AH CH =；（2）经过点E 且把矩形ABCD 面积平分的直线有______条；（3）当9,12AB BC ==时，若直线AH 将矩形ABCD 的面积分成1：3两部分，求t 的值．28．如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，AE =AD ，作DF ⊥AE 于点F ． （1）求证：AB ＝AF ；（2）连BF 并延长交DE 于G ．①EG ＝DG ；②若EG ＝1，求矩形ABCD 的面积．29．社团活动课上，数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题：如图1，90MON ∠=，点A 为边OM 上一定点，点B 为边ON 上一动点，以AB 为一边在∠MON 的内部作正方形ABCD ，过点C 作CF OM ⊥，垂足为点F （在点O 、A 之间），交BD 与点E ，试探究AEF ∆的周长与OA 的长度之间的等量关系该兴趣小组进行了如下探索：（动手操作，归纳发现）（1）通过测量图1、2、3中线段AE 、AF 、EF 和OA 的长，他们猜想AEF ∆的周长是OA 长的_____倍．请你完善这个猜想（推理探索，尝试证明）为了探索这个猜想是否成立，他们作了如下思考，请你完成后续探索过程： （2）如图4，过点C 作CG ON ⊥，垂足为点G则90CGB ∠=90GCB CBG ∴∠+∠= 又四边形ABCD 正方形，AB BC =，90ABC ∠=则90CBG ABO ∠+∠=GCB ABO ∴∠=∠在CBE ∆与ABE ∆中，（类比探究，拓展延伸）（3）如图5，当点F 在线段OA 的延长线上时，直接写出线段AE 、EF 、AF 与OA 长度之间的等量关系为 ．30．如图1，点E 为正方形ABCD 的边AB 上一点，EF EC ⊥，且EF EC =，连接AF ，过点F 作FN 垂直于BA 的延长线于点N ．（1）求EAF ∠的度数；（2）如图2，连接FC 交BD 于M ，交AD 于P ，试证明：2BD BG DG AF DM =+=+．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】根据题意可判定此题需分两种情况讨论，如果AB 、CD 为对角线，AB 与CD 交于点F ，当FC ⊥直线y ＝2x 时，CD 最小，根据垂直及F 点坐标可先求的直线FC 的函数解析式，进而通过求得点C 坐标来求CD ；如果CD 是平行四边形的边，则CD ＝AB ＝42况即可求得CD 最小值.【详解】解：如图，由题意点C 在直线y ＝2x 上，如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝2x时，CD最小，易知直线AB为y＝x﹣4，∵AF＝FB，∴点F坐标为（2，﹣2），∵CF⊥直线y＝2x，设直线CF为y＝﹣12x+b′F（2，﹣2）代入得b′＝﹣1∴直线CF为y＝﹣12x﹣1，由2112y xy x=⎧⎪⎨=--⎪⎩解得2545xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴点C坐标（25-，45-）．∴CD＝2CF＝222242255⎛⎫⎛⎫++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭125．如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝421255，∴CD125故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与平行四边形的综合题，解本题的关键是找到何时CD最短.2．D解析：D【分析】如图：△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH，可得AH=AF，∠BAH=∠DAF，进一步求出∠EAH=∠EAF=45°，再利用"边角边"证明△AEF和△AEH全等，再根据全等三角形的面积相等，即可解答.【详解】解：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH，根据旋转的性质可得：AH=AF，∠BAH=∠DAF，∵∠EAF=45°，∠BAD=90°∴∠EAH=∠EAF=45°在△AEF和△AEH中AF=Aн∠EAH=∠EAF=45°，AE=AE∴△AEF≌△AEH（SAS），∴EH=EF=8，∴SAFE=S△A EH=-12×8×8=32.故选：D.【点睛】本题考查了正方形和全等三角形的判定与性质，熟记并灵活应用它们的性质并利用旋转作辅助线、构造出全等三角形是解题的关键.3．D解析：D【解析】【分析】连接DP，当点D，P，E在同一直线上时，由△PCF≌△PCB可得DP=BP,BP EP+的最小值为DE长，依据△ADF≌△DCE，AF=DE,即可得到BP EP+最小值等于线段AF的长.【详解】解：如图，连接DP，∵PC=PC, ∠PCD=∠PCB=45°∴△PCF≌△PCB∴BP=DP∴BP+PE =DP+PE∴当点D，P，E在同一直线上时，BP EP+的最小值为DE长，又∵AB=CD，∠ADF=∠ECD，DF=EC，∴△ADF≌△DCE∴AF=DE，∴BP EP+最小值等于线段AF的长，故选：D．【点睛】本题考查的是轴对称，最短路线问题，根据题意作出A关于BD的对称点C是解答此题的关键．4．C解析：C【分析】连接EG、FH，根据题意可知△AEF与△CGH全等，故EF=GH，同理EG=FH，再证四边形EGHF为平行四边形，所以△PEF和△PGH的面积和是平行四边形的面积一半，平行四边形EGHF的面积等于矩形ABCD的面积减去四周四个小的直角三角形的面积即可求得.【详解】连接EG、FH，如图所示，在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，AF=CG=2，BE=DH=1，∴AE=AB-BE=4-1=3，CH=CD-DH=3，∴AE=CH,在△AEF和△CGH中，AE=CH,∠A=∠C=90°，AF=CG,∴△AEF≌△CGH，∴EF=GH,同理可得△BGE≌△DFH，∴EG=FH,∴四边形EGHF为平行四边形，∵△PEF和△PGH的高的和等于点H到直线EF的距离，∴△PEF和△PGH的面积和=12⨯平行四边形EGHF的面积，求得平行四边形EGHF的面积=4⨯6--12⨯2⨯3-12⨯1⨯（6-2）-12⨯2⨯3-12⨯1⨯（6-2）=14，∴△PEF和△PGH的面积和=1142⨯=7.【点睛】此题主要考察矩形的综合利用.5．C解析：C【分析】如下图，将△APD绕点A逆时针旋转60°至△AFE处，通过边长转换，可将PA+PD+PQ转化为PF+EF+PQ的形式，再利根据两点之间线段最短，得出最小值．【详解】如下图，将△APD绕点A逆时针旋转60°至△AFE处，连接FP，过点E作BC的垂线，交BC于点G，AD于点H，过点A作BC的垂线，交BC于点K∵△AFE是△APD绕点A逆时针旋转60°得到∴∠FAP=60°，∠EAD=60°，AF=AP，EF=PD∴△APF是等边三角形，∴AP=PF∴PA+PD+PQ=PF+FE+PQ≥EG∵四边形ABCD是平行四边形，BC=6∴AE=AD=BC=6，AD∥BC∴在Rt△AHE中，AH=3，3∵HG⊥BC，AK⊥BC，AD∥BC∴AK⊥AD，GH⊥AD，∴AK=HG∵∠ABC=60°，AB=4∴在Rt △ABK 中，BK=2，AK=23 ∴HG=23∴EG=332353+=故选：C【点睛】本题考查最值问题，解题关键是旋转△APD ，将PA +PD +PQ 转化为PF+EF+PQ 的形式．6．C解析：C【分析】设M 、N 分别为AB 、AD 的中点，则MN 为△ABD 的中位线，点P 在MN 上，作点O 关于MN 的对称点'O ，连接'BO ，则'BO 即为PO ＋PB 的最小值，易证△ABO 为等边三角形，过点A 作AH ⊥BO 于H ，求出AH OO ='，然后利用勾股定理求出BO 即可．【详解】解：如图，设M 、N 分别为AB 、AD 的中点，则MN 为△ABD 的中位线，∵P 为AE 中点，∴点P 在MN 上，作点O 关于MN 的对称点'O ，连接'BO ， ∴OP OP ='，∴PO ＋PB =BP O P BO +=''，∵四边形ABCD 是矩形，∠AOD =120°，∴OA =OB ，∠AOB =60°，∴△AOB 为等边三角形，∴AB =BO =4，过点A 作AH ⊥BO 于H ，∴2221=3AH =-，∵MN ∥BD ，点H 关于MN 的对称点为A ，点O 关于MN 的对称点为'O ，∴3AH OO =='OO BD ⊥'，∴2222+=2+(3)=7BO BO OO =''即PO ＋PB 7故选：C ．【点睛】本题考查了利用轴对称求最短路径，矩形的性质，三角形中位线定理，等边三角形的判定及性质，勾股定理的应用，通过作辅助线，得出'BO 为PO ＋PB 的最小值是解题关键．7．C解析：C【分析】证明△BNA ≌△BNE ，得到BA=BE ，即△BAE 是等腰三角形，同理△CAD 是等腰三角形，根据题意求出DE ，根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：∵BN 平分∠ABC ，BN ⊥AE ，∴∠NBA=∠NBE ，∠BNA=∠BNE ，在△BNA 和△BNE 中，ABN EBN BN BNANB ENB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△BNA ≌△BNE ，∴BA=BE ，∴△BAE 是等腰三角形，同理△CAD 是等腰三角形，∴点N 是AE 中点，点M 是AD 中点（三线合一），∴MN 是△ADE 的中位线，∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12，∴DE=BE+CD-BC=5，∴MN=12DE=52． 故选C ．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．8．B解析：B【分析】由在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②1902BOC A ∠=+∠︒正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出BEO ∆和CFO ∆是等腰三角形得出EF BE CF =+故①正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设OD m =，AE AF n +=，则12AEF S mn ∆=，故③错误；E 、F 不可能是三角形ABC 的中点，则EF 不能为中位线故④正确．【详解】 解：在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ， 12OBC ABC ∴∠=∠，12OCB ACB ∠=∠，180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒， 1902OBC OCB A ∴∠+∠=︒-∠， 1180()902BOC OBC OCB A ∴∠=︒-∠+∠=︒+∠；故（2）正确； 在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，OBC OBE ∴∠=∠，OCB OCF ∠=∠，//EF BC ，OBC EOB ∴∠=∠，OCB FOC ∠=∠，EOB OBE ∴∠=∠，FOC OCF ∠=∠，BE OE ∴=，CF OF =，EF OE OF BE CF ∴=+=+，故（1）正确；过点O 作OM AB ⊥于M ，作ON BC ⊥于N ，连接OA ，在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，ON OD OM m ∴===，1111()2222AEF AOE AOF S S S AE OM AF OD OD AE AF mn ∆∆∆∴=+=+=+=；故（3）正确，（4）错误；12EOB S BE OM ∆=，12OCF S FC OD ∆=， OM OD =，BE 不一定等于CF ，EOB S ∆∴不一定等于FOC S ．故（5）错误，综上可知其中正确的结论是（1）（2）（3），故选：B ．【点睛】此题考查了三角形中位线定理的运用，以及平行线的性质、等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．9．D解析：D【分析】连结CE ，并延长CE ，交BA 的延长线于点N ，根据已知条件和平行四边形的性质可证明△NAE ≌△CFE ，所以NE ＝CE ，NA ＝CF ，再由已知条件CD ⊥AB 于D ，∠ADE ＝50°，即可求出∠B 的度数．【详解】解：连结CE ，并延长CE ，交BA 的延长线于点N ，∵四边形ABCF 是平行四边形，∴AB ∥CF ，AB ＝CF ，∴∠NAE ＝∠F ，∵点E 是的AF 中点，∴AE ＝FE ，在△NAE 和△CFE 中，NAE F AE FEAEN FEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△NAE ≌△CFE （ASA ），∴NE ＝CE ，NA ＝CF ，∵AB ＝CF ，∴NA ＝AB ，即BN ＝2AB ，∵BC ＝2AB ，∴BC ＝BN ，∠N ＝∠NCB ，∵CD ⊥AB 于D ，即∠NDC ＝90°且NE ＝CE ，∴DE ＝12NC ＝NE ， ∴∠N ＝∠NDE ＝50°＝∠NCB ，∴∠B ＝80°．故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，在利用等腰三角形的性质解答．10．C解析：C选项①正确．证明∠GAF=∠GAD，∠EAB=∠EAF即可．选项②错误．可以证明DG=GC=FG，显然△GFC不是等边三角形，可得结论．选项③正确．证明CF⊥DF，AG⊥DF 即可．选项④正确．证明FG：EG=3：5，求出△ECG的面积即可．【详解】解：如图，连接DF．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠ABE=∠BAD=∠ADG=∠ECG=90°，由折叠可知：AB=AF，∠ABE=∠AFE=∠AFG=90°，BE=EF=4，∠BAE=∠EAF，∵∠AFG=∠ADG=90°，AG=AG，AD=AF，∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL），∴∠GAF=∠GAD，∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=12(∠BAF+∠DAF)=45°，故①正确，设GD=GF=x，在Rt△ECG中，∵EG2=EC2+CG2，∴(4+x)2=82+(12-x)2，∴x=6，∵CD=BC=BE+EC=12，∴DG=CG=6，∴FG=GC，易知△GFC不是等边三角形，显然FG≠FC，故②错误，∵GF=GD=GC，∴∠DFC=90°，∴CF⊥DF，∵AD=AF，GD=GF，∴AG⊥DF，∴CF∥AG，故③正确，∵S△ECG=12×6×8=24，FG：FE=6：4=3：2，∴FG：EG=3：5，∴S△GFC=35×24=725=14.4，故④正确，故①③④正确，【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题时设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．二、填空题11．22【解析】分析：过O点作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，连接CO，如图，易得四边形OECF为矩形，由△AOP为等腰直角三角形得到OA=OP，∠AOP=90°，则可证明△OAE≌△OPF，所以AE=PF，OE=OF，根据角平分线的性质定理的逆定理得到CO平分∠ACP，从而可判断当P 从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，接着证明CE=12（AC+CP），然后分别计算P点在D点和B点时OC的长，从而计算它们的差即可得到P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长．详解：过O点作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，连接CO，如图，∵△AOP为等腰直角三角形，∴OA=OP，∠AOP=90°，易得四边形OECF为矩形，∴∠EOF=90°，CE=CF，∴∠AOE=∠POF，∴△OAE≌△OPF，∴AE=PF，OE=OF，∴CO平分∠ACP，∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，∵AE=PF，即AC-CE=CF-CP，而CE=CF，∴CE=12（AC+CP），∴2CE=22（AC+CP），当AC=2，CP=CD=1时，OC=22×（2+1）=322， 当AC=2，CP=CB=5时，OC=22×（2+5）=722， ∴当P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径长=722-322=22． 故答案为22．点睛：本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定轨迹的几何特征，然后进行几何计算．也考查了全等三角形的判定与性质．12．18【分析】由题意可知AD 、EF 是定值，要使四边形ADFE 周长的最小，AE ＋DF 的和应是最小的，运用“将军饮马”模型作点E 关于AD 的对称点E 1，同时作DF ∥AF 1，此时AE ＋DF 的和即为E 1F 1，再求四边形ADFE 周长的最小值．【详解】在Rt △COD 中，OC ＝3，OD ＝4，CD ＝22OC +OD =5，∵ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ＝5，∵F 坐标为(8,6)，点E 在y 轴上，∴EF ＝8，作点E 关于AD 的对称点E 1，同时作DF ∥AF 1，则E 1（0，2），F 1（3，6），则E 1F 1即为所求线段和的最小值，在Rt △AE 1F 1中，E 1F 122211EE +EF =-+(8-5)2(62)， ∴四边形ADFE 周长的最小值＝AD ＋EF ＋AE ＋DF ＝ AD ＋EF ＋ E 1F 1＝5＋8＋5＝18．【点睛】本题考查菱形的性质、“将军饮马”作对称点求线段和的最小值，比较综合，难度较大．13．45【分析】设EF＝x，根据三角形的中位线定理表示AD＝2x，AD∥EF，可得∠CAD＝∠CEF＝45°，证明△EMC是等腰直角三角形，则∠CEM＝45°，证明△ENF≌△MNB，则EN＝MN＝12 x，BN＝FN＝5，最后利用勾股定理计算x的值，可得BC的长．【详解】解：设EF＝x，∵点E、点F分别是OA、OD的中点，∴EF是△OAD的中位线，∴AD＝2x，AD∥EF，∴∠CAD＝∠CEF＝45°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝2x，∴∠ACB＝∠CAD＝45°，∵EM⊥BC，∴∠EMC＝90°，∴△EMC是等腰直角三角形，∴∠CEM＝45°，连接BE，∵AB＝OB，AE＝OE∴BE⊥AO∴∠BEM＝45°，∴BM ＝EM ＝MC ＝x ，∴BM ＝FE ，易得△ENF ≌△MNB ，∴EN ＝MN ＝12x ，BN ＝FN ＝5， Rt △BNM 中，由勾股定理得：BN2＝BM2+MN2， 即22215()2x x =+解得，x ＝25，∴BC ＝2x ＝45．故答案为：45． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；解决问题的关键是设未知数，利用方程思想解决问题．14．33或3或57 【分析】△AEF 为等腰三角形，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和30°直角三角形性质、平行四边形的性质可求解．【详解】解：当AE AF =时，如图，过点A 作AH EF ⊥于H ，E 是AB 的中点，132AE AB ∴==， =AE AF ，AH EF ⊥，120A ∠=︒，30AEF AFE ∴∠=∠=︒，FHEH =， 1322AH AE ∴==，333EH AH =， 233EF EH ∴==当AF EF =时，如图2，过点A 作AN CD ⊥于N ，过点F 作FM AB ⊥于M ，图2在平行四边形ABCD 中，6AB =，4BC =，120A ∠=︒，4AD BC ∴==，60ADC ∠=︒，30DAN ∴∠=︒， 122DN AD ∴==，323AN DN ==， //AB CD ，AN CD ⊥，FM AB ⊥，23AN MF ∴==，AF EF =，FM AB ⊥，32AM ME ∴==， 22957124EF ME MF ∴=+=+=； 当3AE EF ==时，如图3，图33EF ∴=，综上所述：EF 的长为33357． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．15．3﹣322【分析】 作辅助线，构建全等三角形和矩形，利用面积法可得AE 的长，根据勾股定理可得BE 的长，设AE ＝x ，证明△ABE ≌△EQF （AAS ），得FQ ＝BE 2，最后根据三角形面积公式可得结论．【详解】解：如图，过D 作DH ⊥AE 于H ，过E 作EM ⊥AD 于M ，连接DE ，∵EF⊥AE，DF⊥EF，∴∠DHE＝∠HEF＝∠DFE＝90°，∴四边形DHEF是矩形，∴DH＝EF＝AE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BAD＝90°，∵∠AME＝90°，∴四边形ABEM是矩形，∴EM＝AB＝2，设AE＝x，则S△ADE＝11AD EM AE DH 22⋅=⋅，∴3×2＝x2，∴x6，∵x＞0，∴x6，即AE6，由勾股定理得：BE22(6)2-2，过F作PQ∥CD，交AD的延长线于P，交BC的延长线于Q，∴∠Q＝∠ECD＝∠B＝90°，∠P＝∠ADC＝90°，∵∠BAE＋∠AEB＝∠AEF＝∠AEB＋∠FEQ＝90°，∴∠FEQ＝∠BAE，∵AE＝EF，∠B＝∠Q＝90°，∴△ABE≌△EQF（AAS），∴FQ＝BE2，∴PF＝22，∴S△ADF＝1AD PF2⋅＝13(22)2⨯⨯＝3﹣322．【点睛】此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，有难度，正确作辅助线构建全等三角形是关键，并用方程的思想解决问题．16．5【分析】过点B 作BD ⊥l 2，交直线l 2于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴，交x 轴于点E ．则OB=22OE BE +．由于四边形OABC 是平行四边形，所以OA=BC ，又由平行四边形的性质可推得∠OAF=∠BCD ，则可证明△OAF ≌△BCD ，所以OE 的长固定不变，当BE 最小时，OB 取得最小值，从而可求．【详解】解：过点B 作BD ⊥l 2，交直线x=4于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴，交x 轴于点E ，直线l 1与OC 交于点M ，与x 轴交于点F ，直线l 2与AB 交于点N ．∵四边形OABC 是平行四边形，∴∠OAB=∠BCO ，OC ∥AB ，OA=BC ，∵直线l 1与直线l 2均垂直于x 轴，∴AM ∥CN ，∴四边形ANCM 是平行四边形，∴∠MAN=∠NCM ，∴∠OAF=∠BCD ，∵∠OFA=∠BDC=90°，∴∠FOA=∠DBC ，在△OAF 和△BCD 中，FOA DBC OA BCOAF BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△OAF ≌△BCD （ASA ），∴BD=OF=1，∴OE=4+1=5，∴OB=22OE BE +．由于OE 的长不变，所以当BE 最小时（即B 点在x 轴上），OB 取得最小值，最小值为OB=OE=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 17．65【分析】先由正方形的性质得到∠ABF 的角度，从而得到∠AEB 的大小，再证△AEB ≌△AED ，得到∠AED 的大小【详解】∵四边形ABCD 是正方形∴∠ACB=∠ACD=∠BAC=∠CAD=45°，∠ABC=90°，AB=AD∵∠FBC=20°，∴ABF=70°∴在△ABE 中，∠AEB=65°在△ABE 与△ADE 中45AB AD BAE EAD AE AE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE≌△ADE∴∠AED=∠AEB=65°故答案为：65°【点睛】本题考查正方形的性质和三角形全等的证明，解题关键是利用正方形的性质，推导出∠AEB 的大小.18．1或7．【分析】存在2种情况满足条件，一种是点P 在BC 上，只需要BP=CE 即可得全等；另一种是点P 在AD 上，只需要AP=CE 即可得全等【详解】设点P 的运动时间为t 秒，当点P 在线段BC 上时，则2BP t =，∵四边形ABCD 为长方形，∴AB CD =，90B DCE ∠=∠=︒，此时有ABP DCE ∆∆≌，∴BP CE =，即22t =，解得1t =；当点P 在线段AD 上时，则2BC CD DP t ++=，∵4AB =，6AD =，∴6BC =，4CD =，∴()()6462162AP BC CD DA BC CD DP t t =++-++=++-=-，∴162AP t =-，此时有ABP CDE ∆∆≌，∴AP CE =，即1622t -=，解得7t =；综上可知当t 为1秒或7秒时，ABP ∆和CDE ∆全等.故答案为：1或7．【点睛】本题考查动点问题，解题关键是根据矩形的性质可得，要证三角形的全等，只需要还得到一条直角边相等即可19．8或3【分析】根据AE 和DF 是否相交分类讨论，分别画出对应的图形，根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边即可得出结论．【详解】解：①当AE 和DF 相交时，如下图所示∵四边形ABCD 为平行四边形，AD=11，EF=5，∴BC=AD=11，AD ∥BC ，AB=CD∴∠DAE=∠BEA ，∠ADF=∠CFD∵AE 平分∠BAD ，DF 平分∠ADC∴∠DAE=∠BAE ，∠ADF=∠CDF∴∠BEA=∠BAE ，∠CFD=∠CDF∴BE=AB ，CF=CD∴BE=AB= CD= CF∵BE ＋CF=BC ＋EF∴2AB=11＋5解得：AB=8；②当AE 和DF 不相交时，如下图所示∵四边形ABCD 为平行四边形，AD=11，EF=5，∴BC=AD=11，AD ∥BC ，AB=CD∴∠DAE=∠BEA ，∠ADF=∠CFD∵AE 平分∠BAD ，DF 平分∠ADC∴∠DAE=∠BAE ，∠ADF=∠CDF∴∠BEA=∠BAE ，∠CFD=∠CDF∴BE=AB，CF=CD∴BE=AB= CD= CF∵BE＋CF＋EF =BC∴2AB＋5=11解得：AB=3综上所述：AB=8或3故答案为：8或3．【点睛】此题考查的是平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等腰三角形的性质，掌握平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边是解决此题的关键．20．答案不唯一，例AC=BD 等【分析】连接AC、BD，先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的特点添加条件即可.【详解】连接AC，∵点E、F分别是AB、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，EF=12 AC，同理HG∥AC，HG=12 AC,∴EF∥HG，EF=HG，∴四边形EFGH是平行四边形，连接BD,同理EH=FG,EF∥FG，当AC=BD时，四边形EFGH是平行四边形，故答案为：答案不唯一，例AC=BD 等.【点睛】此题考查三角形中位线性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定.三、解答题21．（1）四边形BECD是菱形，理由见解析；（2）45【分析】（1）先证明//AC DE ，得出四边形BECD 是平行四边形，再“根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证出CD BD =，得出四边形BECD 是菱形；（2）先求出45ABC ∠=︒，再根据菱形的性质求出90DBE ∠=︒，即可证出结论．【详解】解：当点D 是AB 的中点时，四边形BECD 是菱形；理由如下：∵DE BC ⊥，90DFE ∴∠=︒，∵90ACB ∠=︒，ACB DFB ∴∠=∠，//AC DE ∴，∵//MN AB ，即//CE AD ，∴四边形ADEC 是平行四边形，CE AD ∴=； D 为AB 中点，AD BD ∴=，BD CE ∴=，∵//BD CE ，∴四边形BECD 是平行四边形，∵90ACB ∠=︒，D 为AB 中点，12CD AB BD ∴==， ∴四边形BECD 是菱形；（2）当45A ∠=︒时，四边形BECD 是正方形；理由如下：∵90ACB ∠=︒，45A ∠=︒，45ABC ∴∠=︒，∵四边形BECD 是菱形，12ABC DBE ∴∠=∠， 90DBE ∴∠=︒，∴四边形BECD 是正方形．故答案为：45︒．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性质；根据题意证明线段相等和直角是解决问题的关键．22．（1）见解析；（2）四边形EGCF 为平行四边形，理由见解析；（3）AC=2AB ．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到OE=OF 即可证得结论；（2）利用AOE COF ∆≅∆得到∠EAO=∠FCO ，AE=CF ，由此推出AE ∥CF ，EG=CF 即可证得四边形EGCF 是平行四边形；（3）AC=2AB ，根据平行四边形的性质推出AB=AO ，利用点E 是OB 的中点，得到AG ⊥OB ，即可得到四边形EGCF 是矩形.【详解】（1）四边形ABCD 为平行四边形，OA OC ∴=，OB OD =，点E 、F 分别为OB 、OD 的中点，12OE OB ∴=，12OF OD =， 则OE OF =，在AOE ∆与COF ∆中OA OC AOE COF OE OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AOE COF ∴∆≅∆；（2）AOE COF ∆≅∆，EAO FCO ∴∠=∠，AE CF =，//AE CF ∴，又GE AE =，GE CF ∴=，∴四边形EGCF 为平行四边形；（3）当AC=2AB 时，四边形EGCF 是矩形.∵AC=2AB ，AC=2AO ，∴AB=AO ，∵点E 是OB 的中点，∴AG ⊥OB ，∴∠GEF=90°，∴四边形EGCF 是矩形.故答案为：AC=2AB .【点睛】此题考查了平行四边形的判定及性质，三角形全等的判定及性质，矩形的判定定理，等腰三角形的三线合一的性质，熟练掌握各知识点并运用解题是关键.23．（1）矩形；（2）菱形；（3）4）见解析【分析】（1）由平移推出AD EE '=，即可证得四边形AEE D '是平行四边形，再根据AE BC ⊥，得到90AEE '∠=︒即可得到结论；（2）由平移推出AD FF '=，证得四边形AFF D '是平行四边形，根据AE EF ⊥得到90AEE '∠=︒，再根据勾股定理求出AF=5=AD ，即可证得四边形AFF D '是菱形； （3）先利用勾股定理求出22221310DF E F E D ''=+=+=，再根据菱形的面积求出F A '；（4）在BC 边上取点E ，连接AE ，平移△ABE 得到△DCF ，可得四边形AEFD 是平行四边形.【详解】(1)四边形AEE D '是矩形，在ABCD □中，//AD BC ，AD BC =，由平移可知：BE CE ''=，∴BC EE '=，∴AD EE '=，∴四边形AEE D '是平行四边形，∵AE BC ⊥，∴90AEE '∠=︒，∴四边形AEE D '是矩形；(2)四边形AFF D '是菱形，在矩形AEE D '中，//AD EE ' ，AD EE '=，由平移可知：EF E F =''，∴EE FF ''=，∴AD FF '=，∴四边形AFF D '是平行四边形，∵AE EF ⊥，∴90AEE '∠=︒，在Rt AEF ，2222345AF AE EF =+=+=， ∴AF AD =，∴四边形AFF D '是菱形；(3)连接F A ',在Rt DFE '△中，22221310DF E F E D ''=+=+=，15ABCD AFF D S S '==平行四边形菱形，∴·30F A FD '=，∴310F A '=；(4)在BC 上取一点E ，连接AE ，平移△ABE 得到△DCF ，可得四边形AEFD 是平行四边形.【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定定理，菱形的判定及性质，平移的性质的应用，勾股定理.24．（1）①120°；② BC ＝CD +CF ；（2）不成立，见解析；（3）8，3【分析】（1）①根据菱形的性质以及等边三角形的性质，推出△ACF ≌△ABD ，根据全等三角形的性质即可得到结论；②根据全等三角形的性质得到CF=BD ，再根据BD+CD=BC ，即可得出CF+CD=BC ；（2）依据△ABD ≌△ACF ，即可得到∠ACF+∠BAC=180°，进而得到AB ∥CF ；依据△ABD ≌△ACF 可得BD=CF ，依据CD-BD=BC ，即可得出CD-CF=BC ；（3）依据≅△△ADB AFC ，即可得到8==+=CF BD BC CD ，利用ABC ∆是等边三角形，AH BC ⊥，可得132===BH HC BC ，即可得出HD 的长度，利用勾股定理即可求出AD 的长度，即可得出结论．【详解】解：（1） 在等边△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°∴∠BAD+∠DAC=60°在菱形ADEF 中AD=AF∵∠DAF=∠DAC+∠FAC=60°∴∠CAF=∠DAB又∵AC=AB ，AF=AD∴△ACF ≌△ABD∴∠ACF=∠ABD=60°，CF=BD∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=120°故答案为：120°②∵BC=BD+CD ，BD=CF∴BD=CF+CD故答案为：BC=CD+CF（2）不成立理由：∵ABC ∆是等边三角形∴60BAC ABC ACB ∠=∠=∠=，AB AC =又∵60DAF ∠=∴BAC BAF DAF BAF ∠-∠=∠-∠。
八年级(下)学期5月份月考数学试卷及答案
一、选择题1．□ABCD中，∠A=60°，点E、F分别在边AD、DC上，DE=DF，且∠EBF=60°．若AE=2，FC=3，则EF的长度为（）A．21B．25C．26D．52．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝4，BD＝43，E为AB的中点，点P为线段AC上的动点，则EP+BP的最小值为（）A．4 B．25C．27D．83．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺(△ABC)的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD)的斜边恰好重合．已知AB=43，P、Q分别是AC、BC上的动点,当四边形DPBQ 为平行四边形时，平行四边形DPBQ的面积是（）A．33B．63C．92D．94．如图，已知直线l//AB，l与AB之间的距离为2．C、D是直线l上两个动点（点C在D 点的左侧），且AB=CD=5．连接AC、BC、BD，将△ABC沿BC折叠得到△A′BC．下列说法：①四边形ABDC的面积始终为10；②当A′与D重合时，四边形ABDC是菱形；③当A′与D 不重合时，连接A′、D，则∠CA′D+∠BC A′=180°；④若以A′、C、B、D为顶点的四边形为矩形，则此矩形相邻两边之和为35或7．其中正确的是( )A．①②③④B．①③④C．①②④D．①②③5．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，DC的中点，P为对角线AC上的一个动点，则下列线段的长等于BP EP +最小值的是( )A ．AB B ．CEC ．ACD ．AF6．如图，菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，AC 与BD 交于O ，E 为CD 延长线上的一点，且CD DE =，连结BE 分别交AC ，AD 于点F ，G ，连结OG 则下列结论：①12OG AB =；②与EGD ∆全等的三角形共有5个；③ABF S S ∆>四边形ODGF ；④由点A ，B ，D ，E 构成的四边形是菱形．其中正确的是（ ）A ．①④B ．①③④C ．①②③D ．②③④ 7．如图，正方形ABCD 的边长为5，4AG CH ==，3BG DH ==，连接GH ，则线段GH 的长为（ ）A ．35B ．75 C 2 D ．528．如图，分别以Rt ACB ∆的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE ．给出下列结论：①CE BG =；②EC BG ⊥③22222FG BF BD BC +=+④222222BC GE AC AB +=+其中正确的是（ ）A ．②③④B ．①②③C ．①②④D ．①②③④9．线段AB 上有一动点C （不与A ，B 重合），分别以AC ，BC 为边向上作等边△ACM 和等边△BCN ，点D 是MN 的中点，连结AD ，BD ，在点C 的运动过程中，有下列结论：①△ABD 可能为直角三角形；②△ABD 可能为等腰三角形；③△CMN 可能为等边三角形；④若AB=6，则AD+BD 的最小值为37. 其中正确的是（ ）A ．②③B ．①②③④C ．①③④D ．②③④10．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，点P 在边AD 上从点A 到点D 运动，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，作PF ⊥BD 于点F ，已知AB=3，AD=4，随着点P 的运动，关于PE+PF 的值，下面说法正确的是（ ）A ．先增大，后减小B ．先减小，后增大C ．始终等于2.4D ．始终等于3二、填空题11．如图，正方形ABCD 中，AB=4，E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，则PE+PB 的最小值为 ．12．如图，在等边ABC 和等边DEF 中，FD 在直线AC 上，33,BC DE ==连接,BD BE ，则BD BE +的最小值是______．13．如图,在平面直角坐标系中,直线112y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，以AB 为边在第二象限内作正方形ABCD ，则D 点坐标是_______；在y 轴上有一个动点M ，当MDC △的周长值最小时，则这个最小值是_______．14．如图，已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点M 是AC 边上任意一点，连接MB ，以MB 、MC 为邻边作平行四边形MCNB ，连接MN ，则MN 的最小值是______15．已知：如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6AD =．延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为_____秒时，ABP ∆和DCE ∆全等．16．如图，正方形ABCD 面积为1，延长DA 至点G ，使得AG AD =，以DG 为边在正方形另一侧作菱形DGFE ，其中45EFG ︒∠=，依次延长, , AB BC CD 类似以上操作再作三个形状大小都相同的菱形，形成风车状图形，依次连结点, , , ,F H M N 则四边形FHMN 的面积为___________．17．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处，点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG ＝45°；②S △ABG ＝32S △FGH ；③△DEF ∽△ABG ；④AG+DF ＝FG ．其中正确的是_____．（把所有正确结论的序号都选上）18．已知：如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为点D ，BE AC ⊥，垂足为点E ，M 为AB 边的中点，连结ME 、MD 、ED ，设4AB =，30DAC ∠=︒则EM =______；EDM 的面积为______，19．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以AC 为斜边作Rt △ADC ，若∠CAD ＝∠BAC ＝45°，则下列结论：①CD ∥EF ；②EF ＝DF ；③DE 平分∠CDF ；④∠DEC ＝30°；⑤AB ＝2CD ；其中正确的是_____（填序号）20．如图，在平行四边形ABCD 中，53AB AD ==，，BAD ∠的平分线AE 交CD 于点E ，连接BE ，若BAD BEC ∠=∠，则平行四边形ABCD 的面积为__________．三、解答题21．如图1所示，把一个含45°角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C 重合，点E ，F 分别在正方形的边CB ，CD 上，连接AE 、AF ．(1)求证：AE ＝AF ；(2)取AF 的中点M ，EF 的中点N ，连接MD ，MN ．则MD ，MN 的数量关系是 ，MD 、MN 的位置关系是(3)将图2中的直角三角板ECF ，绕点C 旋转180°，如图3所示，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．22．如图，四边形OABC 中，BC ∥AO ，A （4，0），B （3，4），C （0，4）．点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ．（1）当t 为何值时，四边形BNMP 为平行四边形？（2）设四边形BNPA 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式．（3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图1，在正方形ABCD 中，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，AM 、AN 分别交BD 于点P 、Q ，连接CQ 、MQ ．且CQ MQ =．（1）求证：QAB QMC ∠=∠（2）求证：90AQM ∠=︒（3）如图2，连接MN ，当2BM =，3CN =，求AMN 的面积图1 图224．如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，AE =AD ，作DF ⊥AE 于点F ． （1）求证：AB ＝AF ；（2）连BF 并延长交DE 于G ．①EG ＝DG ；②若EG ＝1，求矩形ABCD 的面积．25．社团活动课上，数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题：如图1，90MON ∠=，点A 为边OM 上一定点，点B 为边ON 上一动点，以AB 为一边在∠MON 的内部作正方形ABCD ，过点C 作CF OM ⊥，垂足为点F （在点O 、A 之间），交BD 与点E ，试探究AEF ∆的周长与OA 的长度之间的等量关系该兴趣小组进行了如下探索：（动手操作，归纳发现）（1）通过测量图1、2、3中线段AE 、AF 、EF 和OA 的长，他们猜想AEF ∆的周长是OA 长的_____倍．请你完善这个猜想（推理探索，尝试证明）为了探索这个猜想是否成立，他们作了如下思考，请你完成后续探索过程：（2）如图4，过点C 作CG ON ⊥，垂足为点G则90CGB ∠=90GCB CBG ∴∠+∠= 又四边形ABCD 正方形，AB BC =，90ABC ∠=则90CBG ABO ∠+∠=GCB ABO ∴∠=∠在CBE ∆与ABE ∆中，（类比探究，拓展延伸）（3）如图5，当点F 在线段OA 的延长线上时，直接写出线段AE 、EF 、AF 与OA 长度之间的等量关系为 ．26．我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论.（发现与证明．．）ABCD 中，AB BC ≠，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D . 结论1：'AB C ∆与ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形；结论2：'B D AC .试证明以上结论.（应用与探究）在ABCD 中，已知2BC =，45B ∠=，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D .若以A 、C 、D 、'B 为顶点的四边形是正方形，求AC 的长.（要求画出图形）27．类比等腰三角形的定义，我们定义：有三条边相等的凸四边形叫做“准等边四边形”．（1）已知：如图1，在“准等边四边形”ABCD 中，BC ≠AB ，BD ⊥CD ，AB =3，BD =4，求BC 的长；（2）在探究性质时，小明发现一个结论：对角线互相垂直的“准等边四边形”是菱形．请你判断此结论是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例；（3）如图2，在△ABC 中，AB =AC=2，∠BAC =90°．在AB 的垂直平分线上是否存在点P ，使得以A ，B ，C ，P 为顶点的四边形为“准等边四边形”． 若存在，请求出该“准等边四边形”的面积；若不存在，请说明理由．28．感知：如图①，在正方形ABCD 中，E 是AB 一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE ＝，求证：CE CF ＝；拓展：在图①中，若G 在AD ，且45GCE ∠︒＝，则GE BE GD +＝成立吗？为什么？ 运用：如图②在四边形ABCD 中，()//AD BC BC AD ＞，90A B ∠∠︒＝＝，16AB BC ＝＝，E 是AB 上一点，且45DCE ∠︒＝，4BE ＝，求DE 的长．29．在正方形中，连接，为射线上的一个动点（与点不重合），连接，的垂直平分线交线段于点，连接，.提出问题：当点运动时，的度数是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点的两个特殊位置：①当点与点重合时，如图1所示，____________②当时，如图2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：__________；（填“变化”或“不变化”）（2）然后考察点的一般位置：依题意补全图3，图4，通过观察、测量，发现：（1）中①的结论在一般情况下_________；（填“成立”或“不成立”）（3）证明猜想：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图3和图4中任选一个进行证明；若不成立，请说明理由.30．如图，在矩形ABCD中，AB a，BC b=，点F在DC的延长线上，点E在AD上，且有12CBE ABF ∠=∠．（1）如图1，当a b =时，若60CBE ∠=︒，求证：BE BF =；（2）如图2，当32b a =时， ①请直接写出ABE ∠与BFC ∠的数量关系：_________； ②当点E 是AD 中点时，求证：2CF BF a +=；③在②的条件下，请直接写出:BCF ABCD S S ∆矩形的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】由DE=DF ，AE=2，FC=3可知AB-BC=1，过点E 作EM ⊥AB 于M ，根据30°角所对的直角等于斜边的一半可得AM=1，进而得出BM=BC ，将△BEM 顺时针旋转120°得△BEN ，连接FN ，可证△BEF ≌△BFN ，即可得出EF=FN ，过点N 作NG ⊥DC 交DC 的延长线于点G ，利用勾股定理即可求出答案.【详解】解：过点E 作EM ⊥AB 于M ，在Rt △AEM 中，∠A=60°，∴∠AEM=30°，∴AM=12AE=1，∴又∵DE=DF ，AE=2，FC=3，∴DC -AD=1，即AB-BC=1，∴BM=BC ，将△BEM 顺时针旋转120°得△BEN ，连接FN ，则BE=BN ，∵∠EBF=60°，∠EBN=120°，∴∠NBF=60°，∴∠EBF=∠NBF又∵BE=BN ，BF=BF ，∴△BEF≌△BFN ，∴EF=FN ，过点N 作NG⊥DC 交DC 的延长线于点G ，∵∠GCN=180°-60°-90°=30°，∴NG=1232= ∴FG=3+32=92=.【点睛】此题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识，合理添加辅助线是解题关键.2．C解析：C【解析】【分析】连结DE 交AC 于点P ，连结BP ，根据菱形的性质推出AO 是BD 的垂直平分线，推出PE+PB=PE+PD=DE 且值最小，根据勾股定理求出DE 的长即可．【详解】如图，设AC ，BD 相交于O ，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝12AC，BO＝12BD＝3∵AB＝4，∴AO＝2，连结DE交AC于点P，连结BP，作EM⊥BD于点M，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且DO＝BO，即AO是BD的垂直平分线，∴PD＝PB，∴PE+PB＝PE+PD＝DE且值最小，∵E是AB的中点，EM⊥BD，∴EM＝12AO＝1，BM＝12BO2，∴DM＝DO+OM＝32BO＝3，∴DE2222E DM1(33)27M+=+=，故选C．【点睛】此题考查了轴对称-最短路线问题，关键是根据菱形的判定和三角函数解答．3．D解析：D【解析】【分析】由于四边形DPBQ为平行四边形，则BC∥DP，即DP⊥AC，P为AC中点，作出平行四边形，再利用平行线的距离相等可知：PC就是□DPBQ的边PD所对应的高，代入面积公式求出面积即可．求得面积．【详解】当点P运动到边AC中点（如图），即CP=3时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上．∵四边形DPBQ为平行四边形，∴BC∥DP，∵∠ACB=90°，∴∠DPC=90°，即DP⊥AC．而在Rt△ABC中，AB3，BC3∴根据勾股定理得：AC=6，∵△DAC为等腰直角三角形，∴DP=CP=12AC=3，∵BC∥DP，∴PC是平行四边形DPBQ的高，∴S平行四边形DPBQ=DP•CP=33=9．故选D.【点睛】本题是四边形的综合题，考查了一副三角板所形成的四边形的边和角的关系；根据动点P 的运动路线确定其所形成的边和角的关系，利用三角函数和勾股定理求边和角的大小，得出结论．4．A解析：A【解析】【分析】①根据平行四边形的判定方法可得到四边形ABCD为平行四边形，然后根据平行四边形的面积公式计算；②根据折叠的性质得到AC=CD，然后根据菱形的判定方法可判断四边形ABDC是菱形；③连结A′D，根据折叠性质和平行四边形的性质得到CA′=CA=BD，AB=CD=A′B，∠1=∠CBA=∠2，可证明△A′CD≌△A′BD，则∠3=∠4，然后利用三角形内角和定理得到得到∠1=∠4，则根据平行线的判定得到A′D∥BC；④讨论：当∠CBD=90°，则∠BCA=90°，由于S△A1CB=S△ABC=5，则S矩形A′CBD=10，根据勾股定理和完全平方公式进行计算；当∠BCD=90°，则∠CBA=90°，易得BC=2，而CD=5，于是得到结论．【详解】①∵AB=CD=5，AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABDC的面积=2×5=10；故①正确；②∵四边形ABDC是平行四边形，∵A′与D 重合时，∴AC=CD ，∵四边形ABDC 是平行四边形，∴四边形ABDC 是菱形；故②正确；③连结A′D ，如图，∵△ABC 沿BC 折叠得到△A′BC ，∴CA′=CA=BD ，AB=CD=A′B ，在△A′CD 和△A′BD 中CA BD CD BA A D A D ＝＝＝'⎧⎪'⎨⎪''⎩，∴△A′CD ≌△A′BD （SSS ），∴∠3=∠4，又∵∠1=∠CBA=∠2，∴∠1+∠2=∠3+∠4，∴∠1=∠4，∴A′D ∥BC ，∴∠CA′D+∠BCA′=180°；故③正确；④设矩形的边长分别为a ，b ，当∠CBD=90°，∵四边形ABDC 是平行四边形，∴∠BCA=90°，∴S △A′CB =S △ABC =12×2×5=5， ∴S 矩形A′CBD =10，即ab=10，而BA′=BA=5，∴a 2+b 2=25，∴（a+b ）2=a 2+b 2+2ab=45，∴5当∠BCD=90°时，∵四边形ABDC 是平行四边形，∴∠CBA=90°，∴BC=3，而CD=5，∴（a+b）2=（2+5）2=49，∴a+b=7，∴此矩形相邻两边之和为35或7．故④正确．故选A．【点睛】本题考查了四边形综合题：熟练掌握平四边形的判定与性质以及特殊平行四边形的判定与性质；会运用折叠的性质确定相等的线段和角．5．D解析：D【解析】【分析】+的最小值连接DP，当点D，P，E在同一直线上时，由△PCF≌△PCB可得DP=BP,BP EP+最小值等于线段AF的长.为DE长，依据△ADF≌△DCE，AF=DE,即可得到BP EP【详解】解：如图，连接DP，∵PC=PC, ∠PCD=∠PCB=45°∴△PCF≌△PCB∴BP=DP∴BP+PE =DP+PE+的最小值为DE长，∴当点D，P，E在同一直线上时，BP EP又∵AB=CD，∠ADF=∠ECD，DF=EC，∴△ADF≌△DCE∴AF=DE，+最小值等于线段AF的长，∴BP EP故选：D．【点睛】本题考查的是轴对称，最短路线问题，根据题意作出A关于BD的对称点C是解答此题的关键．6．A解析：A【分析】连结AE，可说明四边形ABDE是平行四边形，即G是BE的中点；由有题意的可得O是BD的中点，即可判定①；运用菱形和平行四边形的性质寻找判定全等三角形的条件，找出与其全等的三角形即可判定②；证出OG 是△ABD 的中位线，得出OG//AB ，OG=12AB ，得出△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，由相似三角形的性质和面积关系得出S 四边形0DGF =S △ABF .即可判定③；先说明△ABD 是等边三角形,则BD=AB,即可判定④．【详解】解：如图：连结AE ．DE CD AB ==，//CD AB ，∴四边形ABDE 是平行四边形，G ∴是BE 的中点，∵O 是BD 的中点1122OG DE AB ∴==，①正确； 有BGA ∆，BGD ∆，AOD ∆，COD ∆，COB ∆，AOB ∆，共6个，②错误； ∵OB=OD ，AG=DG ，∴OG 是△ABD 的中位线，∴OG//AB，OG=12AB ， ∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，∵△GOD 的面积=14△ABD 的面积，△ABF 的面积=△OGF 的面积的4倍，AF:OF=2:1， ∴△AFG 的面积=△OGF 的面积的2倍，又∵△GOD 的面积=△A0G 的面积=△B0G 的面积，.∴=ABF S S ∆四边形ODGF ；不正确；③错误；60AB AD BAD =⎧⎨∠=︒⎩ABD ∴∆是等边三角形．BD AB ∴=，ABDE ∴是菱形，④正确．故答案为A ．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识；考查知识点较多、难道较大，解题的关键在于对所学知识的灵活应用．解析：C【分析】延长BG 交CH 于点E ，根据正方形的性质证明△ABG ≌△CDH ≌△BCE ，可得GE=BE-BG=1，HE=CH-CE=1，∠HEG=90°，由勾股定理可得GH 的长．【详解】解：如图，延长BG 交CH 于点E ，在△ABG 和△CDH 中，AB CD AG CH BG DH =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABG ≌△CDH （SSS ），AG 2+BG 2=AB 2，∴∠1=∠5，∠2=∠6，∠AGB=∠CHD=90°，∴∠1+∠2=90°，∠5+∠6=90°，又∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°，∴∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6，在△ABG 和△BCE 中，1324AB BC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABG ≌△BCE （ASA ），∴BE=AG=4，CE=BG=3，∠BEC=∠AGB=90°，∴GE=BE -BG=4-3=1，同理可得：HE=1，在Rt △GHE 中，2222112GE EH +=+故选：C.【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE 为等腰直角三角形是解题的关键．8．C【分析】利用SAS 证明△AGB ≌△ACE ，即可判断①；证明∠BNM=∠MAE=90︒，即可判断②；假设③成立，利用勾股定理对等式变形证得AC =BC ，而AC 与BC 不一定相等，即可判断③；利用勾股定理证得2222BC EG BE CG +=+，从而证得结论④成立．【详解】∵四边形ACFG 和四边形ABDE 都是正方形，∴AC=AG ，AB=AE ，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC ，即∠GAB=∠CAE ，在△AGB 和△ACE 中，∵AG AC GAB CAE AB AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AGB ≌△ACE(SAS)，∴GB=CE ，故①正确；设BA 、CE 相交于点M ，∵△AGB ≌△ACE ，∴∠GBA=∠CEA ，又∵∠BMN=∠EMA ，∴∠BNM=∠MAE=90︒，∴EC BG ⊥，故②正确；设正方形ACFG 和正方形ABDE 的边长分别为a 和b ,∵ACB 为直角三角形，且AB 为斜边，∴22222AB AC b a BC -=-=，假设22222FG BF BD BC +=+成立，则有()22222a a BC b BC ++=+，整理得：()2222a BC b a =-，即2a BC BC =，∴a BC =，即AC BC =，∵AC 与BC 不一定相等，∴假设不成立，故③不正确；连接CG ，BE ，设BG 、CE 相交于N ，∵EC BG ⊥，∴222222222222BC EG BN NC EN NG BN EN NC NG BE CG +=+++=+++=+， ∵四边形ACFG 和四边形ABDE 都是正方形，∴222BE AB =，222CG AC =，∴222222BC EG AB AC +=+，故④正确；综上，①②④正确，故选：C ．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键．9．D解析：D【分析】根据题意并结合图形，我们可以得出当C 为AB 的中点时，可判断所给结论正确与否．【详解】解：当C 为AB 中点时，有图如下，∵ACM 与BCN 为等边三角形，∵C 为AB 中点，∴AM=AC=MC=NC=BC=NB，MD=ND ，∵MCN 60∠=︒∴CMN CNM 60∠∠==︒∴CMN 为等边三角形，③正确；∵AMD BND 120∠∠==︒∴AMD BND ≅∴AD=BD，△ABD 此时为等腰三角形，②正确；当C 为AB 中点时，AD+BD 值最小，∵D 为MN 的中点，∴CD 为MN 的垂直平分线， ∴1MD 4AB =，∵AB=6，∴CD 2==∴AD ==∵AD=BD∴AD+BD=若△ABD 可能为直角三角形，则ADB 90∠=︒，∴CD 为AB 的垂直平分线∴ADC 45∠=︒∴AC=CD，与所求结论不符，①错误．故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理及性质，弄清题意，画出当C 为AB 中点时的图形是解题的关键． 10．C解析：C【分析】在矩形ABCD 中，由矩形边长，可得矩形面积是12，进而得134AOD ABCD S S ==矩形，由矩形对角线相等且互相平分得AO OC =，OB OD =，AC BD =，利用勾股定理可解得5AC =,则52OA OD ==，111()3222AOD AOP DOP S S S OA PE OD PF OA PE PF =+=+=+==，即可求出PE+PF 的值．【详解】解：连接PO ，如下图：∵在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，∴12ABCD S AB BC ==矩形,AO OC =，OB OD =，AC BD =，225AC AB +BC ， ∴1112344AOD ABCD S S ==⨯=矩形, 52OA OD ==， 11115()()322222AOD AOP DOP S S S OA PE OD PF OA PE PF PE PF =+=+=+=⨯+=，∴12 2.45PE PF +==； 故选C ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，利用等积法间接求三角形的高线长及用勾股定理求直角三角形的斜边；利用面积法求解，是本题的解题突破点． 二、填空题11．5【详解】由于点B 与点D 关于AC 对称，所以如果连接DE ，交AC 于点P ，那PE+PB 的值最小．在Rt △CDE 中，由勾股定理先计算出DE 的长度，即为PE+PB 的最小值．连接DE ，交AC 于点P ，连接BD ．∵点B 与点D 关于AC 对称，∴DE 的长即为PE+PB 的最小值，∵AB=4，E 是BC 的中点，∴CE=2，在Rt △CDE 中，5考点：(1)、轴对称-最短路线问题；(3)、正方形的性质．12．37【分析】如图，延长CB到T，使得BT=DE，连接DT，作点B关于直线AC的对称点W，连接TW，DW，过点W作WK⊥BC交BC的延长线于K．证明BE=DT，BD=DW，把问题转化为求DT+DW的最小值．【详解】解：如图，延长CB到T，使得BT=DE，连接DT，作点B关于直线AC的对称点W，连接TW，DW，过点W作WK⊥BC交BC的延长线于K．∵△ABC，△DEF都是等边三角形，BC=3DE=3，∴BC=AB=3，DE=1，∠ACB=∠EDF=60°，∴DE∥TC，∵DE=BT=1，∴四边形DEBT是平行四边形，∴BE=DT，∴BD+BE=BD+AD，∵B，W关于直线AC对称，∴CB=CW=3，∠ACW=∠ACB=60°，DB=DW，∴∠WCK=60°，∵WK⊥CK，∴∠K=90°，∠CWK=30°，∴CK=12CW=32，333，∴TK=1+3+32=112，∴=∴DB+BE=DB+DT=DW+DT≥TW ，∴∴BD+BE，．【点睛】本题考查轴对称-最短问题，等边三角形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 13．(3,2)-【分析】如图（见解析），先根据一次函数的解析式可得点A 、B 的坐标，从而可得OA 、OB 、AB 的长，再根据正方形的性质可得90BAD ∠=︒，DA AB =，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得,AE OB DE OA ==，由此即可得出点D 的坐标；同样的方法可求出点C 的坐标，再根据轴对称的性质可得点C '的坐标，然后根据轴对称的性质和两点之间线段最短得出MDC △的周长值最小时，点M 的位置，最后利用两点之间的距离公式、三角形的周长公式即可得．【详解】如图，过点D 作DE x ⊥轴于点E ，作点C 关于y 轴的对称点C '，交y 轴于点F ，连接C D '，交y 轴于点M '，连接C M '，则CF y ⊥轴 对于112y x =+ 当0y =时，1102x +=，解得2x =-，则点A 的坐标为(2,0)A - 当0x =时，1y =，则点B 的坐标为(0,1)B2,1,OA OB AB ∴====四边形ABCD 是正方形90BAD ∴∠=︒，CD DA AB ===90DAE OAB ABO OAB ∴∠+∠=∠+∠=︒DAE ABO ∴∠=∠在ADE 和BAO 中，90AED BOA DAE ABO DA AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE BAO AAS ∴≅1,2AE OB DE OA ∴====213OE OA AE ∴=+=+=则点D 的坐标为(3,2)D -同理可证：CBF BAO ≅1,2CF OB BF OA ∴====123OF OB BF ∴=+=+=则点C 的坐标为(1,3)C -由轴对称的性质得：点C '的坐标为(1,3)C '，且CM C M '=MDC ∴△的周长为5CD DM CM DM C M '++=++由两点之间线段最短得：当点M 与点M '重合时，DM C M '+取得最小值DC ' (3,2),(1,3)D C '-22(31)(23)17DC '∴=--+-=则MDC △的周长的最小值为5517DC '+=+故答案为：(3,2)-，517+．【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、轴对称的性质等知识点，正确找出MDC △的周长最小时，点M 的位置是解题关键． 14．12013【分析】设MN 与BC 交于点O ，连接AO ，过点O 作OH ⊥AC 于H 点，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求AO 和OH 长，若MN 最小，则MO 最小即可，而O 点到AC 的最短距离为OH 长，所以MN 最小值是2OH ．【详解】解：设MN 与BC 交于点O ，连接AO ，过点O 作OH ⊥AC 于H 点，∵四边形MCNB 是平行四边形，∴O 为BC 中点，MN ＝2MO ．∵AB ＝AC ＝13，BC ＝10，∴AO ⊥BC ．在Rt △AOC 中，利用勾股定理可得AO =12．利用面积法：AO ×CO ＝AC ×OH ，即12×5＝13×OH ，解得OH ＝6013． 当MO 最小时，则MN 就最小，O 点到AC 的最短距离为OH 长， 所以当M 点与H 点重合时，MO 最小值为OH 长是6013． 所以此时MN 最小值为2OH ＝12013． 故答案为：12013． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短、勾股定理、等腰三角形的性质，解题的关键是分析出点到某线段的垂线段最短，由此进行转化线段，动中找静．15．1或7．【分析】存在2种情况满足条件，一种是点P 在BC 上，只需要BP=CE 即可得全等；另一种是点P 在AD 上，只需要AP=CE 即可得全等【详解】设点P 的运动时间为t 秒，当点P 在线段BC 上时，则2BP t =，∵四边形ABCD 为长方形，∴AB CD =，90B DCE ∠=∠=︒，此时有ABP DCE ∆∆≌，∴BP CE =，即22t =，解得1t =；当点P 在线段AD 上时，则2BC CD DP t ++=，∵4AB =，6AD =，∴6BC =，4CD =，∴()()6462162AP BC CD DA BC CD DP t t =++-++=++-=-，∴162AP t =-，此时有ABP CDE ∆∆≌，∴AP CE =，即1622t -=，解得7t =；综上可知当t 为1秒或7秒时，ABP ∆和CDE ∆全等.故答案为：1或7．【点睛】本题考查动点问题，解题关键是根据矩形的性质可得，要证三角形的全等，只需要还得到一条直角边相等即可16．1382+【分析】如图所示，延长CD交FN于点P，过N作NK⊥CD于点K，延长FE交CD于点Q，交NS于点R，首先利用正方形性质结合题意求出AD=CD=AG=DQ=1，然后进一步根据菱形性质得出DE=EF=DG=2，再后通过证明四边形NKQR是矩形得出QR=NK=2，进一步可得2221382=+=+，再延长NS交ML于点Z，利用全等三角形性质与判定证FN FR NR明四边形FHMN为正方形，最后进一步求解即可.【详解】如图所示，延长CD交FN于点P，过N作NK⊥CD于点K，延长FE交CD于点Q，交NS于点R，∵ABCD为正方形，∴∠CDG=∠GDK=90°，∵正方形ABCD面积为1，∴AD=CD=AG=DQ=1，∴DG=CT=2，∵四边形DEFG为菱形，∴DE=EF=DG=2，同理可得：CT=TN=2，∵∠EFG=45°，∴∠EDG=∠SCT=∠NTK=45°，∵FE∥DG，CT∥SN，DG⊥CT，∴∠FQP=∠FRN=∠DQE=∠NKT=90°，∴2FQ=FE+EQ=22+∵∠NKT=∠KQR=∠FRN=90°，∴四边形NKQR是矩形，∴2，∴FR=FQ+QR=222=，+，NR=KQ=DK−2121∴22213FN FR NR=+=+再延长NS交ML于点Z，易证得：△NMZ≅△FNR(SAS)，∴FN=MN，∠NFR=∠MNZ，∵∠NFR+∠FNR=90°，∴∠MNZ+∠FNR=90°，即∠FNM=90°，同理可得：∠NFH=∠FHM=90°，∴四边形FHMN为正方形，∴正方形FHMN的面积=213FN=+故答案为：13+【点睛】本题主要考查了正方形和矩形性质与判定及与全等三角形性质与判定的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.17．①②④．【分析】利用折叠性质得∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，则可得到∠EBG=12∠ABC，于是可对①进行判断；在Rt△ABF中利用勾股定理计算出AF=8，则DF=AD-AF=2，设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=4，利用勾股定理得到x2+42=（8-x）2，解得x=3，所以AG=3，GF=5，于是可对②④进行判断；接着证明△ABF∽△DFE，利用相似比得到43DE AFDF AB==，而623ABAG==，所以AB DEAG DF≠，所以△DEF与△ABG不相似，于是可对③进行判断.【详解】解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，∴∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，BF＝BC＝10，BH＝BA＝6，AG＝GH，∴∠EBG＝∠EBF+∠FBG＝12∠CBF+12∠ABF＝12∠ABC＝45°，所以①正确；在Rt△ABF中，AF＝8，∴DF＝AD﹣AF＝10﹣8＝2，设AG＝x，则GH＝x，GF＝8﹣x，HF＝BF﹣BH＝10﹣6＝4，在Rt△GFH中，∵GH2+HF2＝GF2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴GF＝5，∴AG+DF＝FG＝5，所以④正确；∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，∴∠BFE＝∠C＝90°，∴∠EFD +∠AFB ＝90°，而∠AFB +∠ABF ＝90°，∴∠ABF ＝∠EFD ，∴△ABF ∽△DFE ， ∴AB DF ＝AF DE ， ∴DE DF ＝AF AB ＝86＝43， 而AB AG ＝63＝2， ∴AB AG ≠DE DF， ∴△DEF 与△ABG 不相似；所以③错误． ∵S △ABG ＝12×6×3＝9，S △GHF ＝12×3×4＝6， ∴S △ABG ＝32S △FGH ，所以②正确． 故答案是：①②④．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在利用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算线段的长．也考查了折叠和矩形的性质．18．23【分析】根据EM 是Rt ABE △斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出EM 的长；根据已知条件推导出DME 是等边三角形，且边长为2，进一步计算即可得解．【详解】解：∵AD BC ⊥，M 为AB 边的中点，4AB =∴在Rt ABD △中，114222DM AM AB ===⨯= 同理，在Rt ABE △中，114222EM AM AB ===⨯= ∴MDA MAD ∠=∠，MEA MAE ∠=∠∵2BME MEA MAE MAE ∠=∠+∠=∠，2BMD MDA MAD MAD ∠=∠+∠=∠ ∴DME BME BMD ∠=∠-∠22MAE MAD =∠-∠()2MAE MAD =∠-∠2DAC =∠60=︒∵=DM EM∴DME 是等边三角形，且边长为2∴122EDM S =⨯=故答案是：2【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的外角定理、角的和差以及等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是进行推理论证的前提．19．①②③⑤【分析】根据三角形中位线定理得到EF ＝12AB ，EF ∥AB ，根据直角三角形的性质得到DF ＝12AC ，根据三角形内角和定理、勾股定理计算即可判断．【详解】∵E ，F 分别是BC ，AC 的中点，∴EF ＝12AB ，EF ∥AB ， ∵∠ADC ＝90°，∠CAD ＝45°，∴∠ACD ＝45°，∴∠BAC ＝∠ACD ，∴AB ∥CD ，∴EF ∥CD ，故①正确；∵∠ADC ＝90°，F 是AC 的中点，∴DF ＝CF=12AC ， ∵AB=AC ，EF ＝12AB ， ∴EF ＝DF ，故②正确；∵∠CAD=∠ACD=45°，点F 是AC 中点，∴△ACD 是等腰直角三角形，DF ⊥AC ，∠FDC=45°，∴∠DFC=90°，∵EF//AB ，∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°，∴∠EFD=∠EFC+∠DFC=135°，∴∠FED ＝∠FDE ＝22.5°，∵∠FDC ＝45°，∴∠CDE=∠FDC-∠FDE=22.5°，∴∠FDE=∠CDE ，∴DE 平分∠FDC ，故③正确；∵AB ＝AC ，∠CAB ＝45°，∴∠B ＝∠ACB ＝67.5°，∴∠DEC ＝∠FEC ﹣∠FED ＝45°，故④错误；∵△ACD 是等腰直角三角形，∴AC 2=2CD 2，∴AC=2CD ，∵AB=AC ，∴AB ＝2CD ，故⑤正确；故答案为：①②③⑤．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识．掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．20．102【分析】根据平行四边形的性质、角平分线的性质证明AD=DE=3，再根据BAD BEC ∠=∠证明BC=BE ，由此根据三角形的三线合一及勾股定理求出BF ，即可求出平行四边形的面积.【详解】过点B 作BF CD ⊥于点F ，如图所示．∵AE 是BAD ∠的平分线，∴DAE BAE ∠=∠．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴53CD AB BC AD BAD BCE AB CD ====∠=∠，，，∥， ∴BAE DEA ∠=∠，∴DAE DEA ∠=∠，∴3DE AD ==，∴2CE CD DE =-=．∵BAD BEC ∠=∠，∴BCE BEC ∠=∠，∴BC=BE,∴112CF EF CE===，∴22223122BF BC CF=-=-=．∴平行四边形ABCD的面积为225102BF CD⋅=⨯=．故答案为：102.【点睛】此题考查平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，等腰三角形的等角对等边的性质、三线合一的性质，勾股定理.三、解答题21．(1)见解析；(2)相等，垂直；(3)成立，理由见解析【分析】(1)由等腰直角△ECF得到CE=CF，再由正方形ABCD进一步得到BE=DF，最后证明△ABE≌△ADF即可求解；(2)MN是△AEF的中位线，得到AE=2MN，又M是直角三角形ADF斜边上的中点，得到AF=2MD，再由(1)中的AE=AF即可得到MN=MD；由∠DMF＝∠DAF+∠ADM，∠FMN＝∠FAE，∠DAF＝∠BAE，∠ADM＝∠DAF＝∠BAE，由此得到∠DMN＝∠BAD＝90°；(3)连接AE，同(1)中方法证明△ABE≌△ADF，进而得到AE=AF，此时MN是△AEF中位线，MD是直角△ADF斜边上的中线，证明方法等同(2)中即可求解．【详解】解：(1)证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠ADF＝90°，∵△CEF是等腰直角三角形，∠C＝90°，∴CE＝CF，∴BC﹣CE＝CD﹣CF，即BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），。
人教版八年级第二学期5月份月考数学试卷含答案
一、选择题1．如图，在边长为5的正方形ABCD 中，以A 为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD 的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．在边长为2的正方形ABCD 中，P 为AB 上的一动点，E 为AD 中点，PE 交CD 延长线于Q ，过E 作EF PQ ⊥交BC 的延长线于F ，则下列结论：①APE DQE ∆≅∆；②PQ EF =；③当P 为AB 中点时，2CF =；④若H 为QC 的中点，当P 从A 移动到B 时，线段EH 扫过的面积为12，其中正确的是（ ）A ．①②B ．①②④C ．②③④D ．①②③3．对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n .”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x ，再取最小整数n ．甲：如图2，思路是当x 为矩形对角线长时就可移转过去；结果取13n =．乙：如图3，思路是当x 为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n ＝14． 丙：如图4，思路是当x 为矩形的长与宽之和的22倍时就可移转过去；结果取13n =． 下列正确的是（ ）A ．甲的思路错，他的n 值对B ．乙的思路和他的n 值都对C ．甲和丙的n 值都对D ．甲、乙的思路都错，而丙的思路对4．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点(点P 不与点B 、D 重合)，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP ＝EF ；②AP ⊥EF ；③仅有当∠DAP ＝45°或67.5°时，△APD 是等腰三角形；④∠PFE ＝∠BAP ：⑤22PD ＝EC ．其中有正确有( )个．A ．2B ．3C ．4D ．55．在正方形 ABCD 中， P 为 AB 的中点，BE PD ⊥的延长线于点 E ，连接 AE 、 BE ，FA AE ⊥ 交 DP 于点 F ，连接 BF 、FC ，下列结论：① ABE ADF ≅ ；② FB = AB ；③ CF PD ⊥ ；④ FC = EF . 其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．①②③D ．①②③④6．如图，在正方形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后，折痕DF 分别交AB 、AC 于点E 、G ，连解FG ，下列结论：（1）∠AGD ＝112.5°；（2）E 为AB 中点；（3）S △AGD ＝S △OCD ；（4）正边形AEFG 是菱形；（5）BE ＝2OG ，其中正确结论的个是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 7．如图，正方形ABCD 的边长为10，8AG CH ==，6BG DH ==，连接GH ，则线段GH 的长为（ ）A．835B．22C．145D．1052-8．如图，在ABC中，AB=AC=6，∠B=45°，D是BC上一个动点，连接AD，以AD为边向右侧作等腰ADE，其中AD=AE，∠ADE=45°，连接CE．在点D从点B向点C运动过程中，CDE△周长的最小值是（）A．62B．626+C．92D．926+9．如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则折痕MN的长是（）A．53cm B．55cm C．46cm D．45cm10．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（）A．0.5 B．2.5 C2D．1二、填空题11．已知：点B是线段AC上一点，分别以AB，BC为边在AC的同侧作等边ABD△和等边BCE，点M，N分别是AD，CE的中点，连接MN．若AC=6，设BC=2，则线段MN的长是__________．12．如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，点G 是EF 的中点，连接CG ，BG ，BD ，DG ，下列结论：①BC=DF ；②135DGF ︒∠=；③BG DG ⊥；④34AB AD =，则254BDG FDG S S =，正确的有__________________．13．如图，在等边ABC 和等边DEF 中，FD 在直线AC 上，33,BC DE ==连接,BD BE ，则BD BE +的最小值是______．14．如图,长方形纸片ABCD 中,AB ＝6 cm,BC ＝8 cm 点E 是BC 边上一点，连接AE 并将△AEB 沿AE 折叠, 得到△AEB′，以C ，E ，B′为顶点的三角形是直角三角形时,BE 的长为___________cm.15．如图，在平行四边形ABCD 中，AD=2AB ．F 是AD 的中点，作CE ⊥AB, 垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论：(1)∠DCF+12∠D ＝90°；(2)∠AEF+∠ECF ＝90°；(3)BEC S =2CEF S ； (4)若∠B=80︒，则∠AEF=50°．其中一定成立的是______ (把所有正确结论的字号都填在横线上)．16．如图，在矩形ABCD 中，∠ACB =30°，BC =23，点E 是边BC 上一动点（点E 不与B ，C 重合），连接AE ，AE 的中垂线FG 分别交AE 于点F ，交AC 于点G ，连接DG ，GE ．设AG =a ，则点G 到BC 边的距离为_____（用含a 的代数式表示），ADG 的面积的最小值为_____．17．如图,在平面直角坐标系中,直线112y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，以AB 为边在第二象限内作正方形ABCD ，则D 点坐标是_______；在y 轴上有一个动点M ，当MDC △的周长值最小时，则这个最小值是_______．18．如图，在矩形ABCD 中，16AB =，18BC =，点E 在边AB 上，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把EBF △沿EF 折叠，点B 落在点B '处．若3AE =，当CDB '是以DB '为腰的等腰三角形时，线段DB '的长为__________．19．如图，点E 、F 分别在平行四边形ABCD 边BC 和AD 上（E 、F 都不与两端点重合），连结AE 、DE 、BF 、CF ，其中AE 和BF 交于点G ，DE 和CF 交于点H ．令AF n BC=，EC m BC=．若m n =，则图中有_______个平行四边形（不添加别的辅助线）；若1m n +=，且四边形ABCD 的面积为28，则四边形FGEH 的面积为_______．20．如图，有一张长方形纸片ABCD ，4AB =，3AD =．先将长方形纸片ABCD 折叠，使边AD 落在边AB 上，点D 落在点E 处，折痕为AF ；再将AEF ∆沿EF 翻折，AF 与BC 相交于点G ，则FG 的长为___________．三、解答题21．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若5AE =，3OE =，求线段CE 的长．22．在ABCD 中，以AD 为边在ABCD 内作等边ADE ∆，连接BE ．（1）如图1，若点E 在对角线BD 上，过点A 作AH BD ⊥于点H ，且75DAB ∠=︒，AB 6=，求AH 的长度； （2）如图2，若点F 是BE 的中点，且CF BE ⊥，过点E 作MN CF ，分别交AB ，CD 于点,M N ，在DC 上取DG CN =，连接CE ，EG ．求证：①CEN DEG ∆∆≌；②ENG ∆是等边三角形．23．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、交于点O ，分别过点C D 、作//,//CF BD DF AC ，连接BF 交AC 于点E ．(1)求证: FCE BOE ≌；(2)当ADC ∠等于多少度时，四边形OCFD 为菱形?请说明理由．24．已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交于BE 的延长线于点F ，且AF=DC ，连接CF ．（1）求证：D 是BC 的中点；（2）如果AB=AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．25．如图，M 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点.过M 作BD 的垂线交AD 于E ，连BE ，取BE 中点O ．（1）如图1，连AO MO 、，试证明90AOM ︒∠=；（2）如图2，连接AM AO 、，并延长AO 交对角线BD 于点N ，试探究线段DM MN NB 、、之间的数量关系并证明；（3）如图3,延长对角线BD 至Q 延长DB 至P ,连,CP CQ 若2,9PB PQ ==,且135PCQ ︒∠=，则PC ．（直接写出结果）26．如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝5cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，过点E 作EF ∥AB 交PQ 于F ，连接BF ．（1）求证：四边形BFEP 为菱形；（2）当E 在AD 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随着移动．①当点Q 与点C 重合时， （如图2），求菱形BFEP 的边长；②如果限定P 、Q 分别在线段BA 、BC 上移动，直接写出菱形BFEP 面积的变化范围．27．如图1，在正方形ABCD （正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB ＝8，P 为线段BC 上一点，连接AP ，过点B 作BQ ⊥AP ，交CD 于点Q ，将△BQC 沿BQ 所在的直线对折得到△BQC ′，延长QC ′交AD 于点N ．（1）求证：BP ＝CQ ；（2）若BP ＝13PC ，求AN 的长； （3）如图2，延长QN 交BA 的延长线于点M ，若BP ＝x （0＜x ＜8），△BMC '的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式．28．如图，锐角ABC ∆，AB AC =，点D 是边BC 上的一点，以AD 为边作ADE ∆，使AE AD =，EAD BAC ∠=∠．（1）过点E 作//EF DC 交AB 于点F ，连接CF （如图①）①请直接写出EAB ∠与DAC ∠的数量关系；②试判断四边形CDEF 的形状，并证明；（2）若60BAC ∠=，过点C 作//CF DE 交AB 于点F ，连接EF （如图②），那么（1）②中的结论是否任然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．29．如图，在矩形 ABCD中， AB=16 ， BC=18 ，点 E在边 AB 上，点 F 是边 BC 上不与点B、C 重合的一个动点，把△EBF沿 EF 折叠，点B落在点 B' 处.(I)若 AE=0 时，且点 B' 恰好落在 AD 边上，请直接写出 DB' 的长；(II)若 AE=3 时，且△CDB' 是以 DB' 为腰的等腰三角形，试求 DB' 的长；(III)若AE=8时，且点 B' 落在矩形内部（不含边长），试直接写出 DB' 的取值范围.30．已知：如图，在ABC中，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，CF BA交PQ于点F，连接AF．过点C作//(1)求证：四边形AECF是菱形；AC=，AE=5，则求菱形AECF的面积．(2)若8【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】分别以3为底和以3为腰构造等腰三角形即可.注意等腰三角形的大小不同.【详解】①以A为圆心，以3为半径作弧，交AD、AB两点，连接即可,此时三角形为腰为3的等腰三角形；②连接AC，在AC上，以A为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交AD、AB两点，连接即可理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAC=∠DAC=45°，∵EF⊥AC∴△AEH与△AHF为等腰直角三角形∴EF=EH+FH=AH+AH=3.且故△AEF为底为3的等腰三角形；③以A为端点在AB上截取3个单位，以截取的点为圆心，以3个单位为半径画弧，交BC 一个点，连接即可，此时三角形为腰为3的等腰三角形；④连接AC，在AC上，以C为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交BC、DC两点，然后连接A与这两个点即可；理由如下：与②同理可证EF=3，且EC=FC，在△DEC和△DFC中，∵AC=AC,∠ACE=∠ACF，EC=FC∴△DEC≌△DFC∴AE=AF,故△AEF为底为3的等腰三角形.⑤以A为端点在AB上截取3个单位，再作着个线段的垂直平分线交CD一点，连接即可根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等，三角形为底为3的等腰三角形．故满足条件的所有图形如图所示：故选C.【点睛】本题考查作图——应用与设计作图, 等腰三角形的性质与判定, 勾股定理, 正方形的性质. 明确等腰三角形的性质是解答本题的关键.2．B解析：B【分析】利用正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识依次判断即可；【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=90°，∵∠A=∠EDQ，∠AEP=∠QED，AE=ED，∴△AEP≌△DEQ，故①正确，②作PG⊥CD于G，EM⊥BC于M，∴∠PGQ=∠EMF=90°，∵EF⊥PQ，∴∠PEF=90°，∴∠PEN+∠NEF=90°，∵∠NPE+∠NEP=90°，∴∠NPE=∠NEF，∵PG=EM，∴△EFM≌△PQG，∴EF=PQ，故②正确，③连接QF．则QF=PF，PB2+BF2=QC2+CF2，设CF=x，则（2+x）2+12=32+x2，∴x=1，故③错误，④当P在A点时，Q与D重合，QC的中点H在DC的中点S处，当P运动到B时，QC的中点H与D重合，故EH扫过的面积为△ESD的面积=12，故④正确，则正确的是①②④，故选B．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，难度较大．3．B解析：B【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出矩形的对角线长，即可判断甲和乙，丙中图示情况不是最长．【详解】甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为n=2261265+=≈14；乙的思路与计算都正确，n=2261265+=≈14；丙的思路与计算都错误，图示情况不是最长，n=（12+6）×2=92≈13．故选B．【点睛】本题考查了矩形的性质与旋转的性质，熟练运用矩形的性质是解题的关键．4．D解析：D【分析】过P作PG⊥AB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP≌△FPE 后即可证明①AP=EF；④∠PFE=∠BAP；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得DP=2EC，得出⑤正确，即可得出结论．【详解】过P作PG⊥AB于点G，如图所示：∵点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，∴GP=EP ，在△GPB 中，∠GBP=45°，∴∠GPB=45°，∴GB=GP ，同理：PE=BE ，∵AB=BC=GF ，∴AG=AB-GB ，FP=GF-GP=AB-GB ，∴AG=PF ，在△AGP 和△FPE 中，90AG PF AGP FPE PG PE ⎧⎪⎨⎪∠∠⎩︒＝＝＝＝，∴△AGP ≌△FPE （SAS ），∴AP=EF ，①正确，∠PFE=∠GAP ，∴∠PFE=∠BAP ，④正确；延长AP 到EF 上于一点H ，∴∠PAG=∠PFH ，∵∠APG=∠FPH ，∴∠PHF=∠PGA=90°，∴AP ⊥EF ，②正确，∵点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上任意一点，∠ADP=45°，∴当∠PAD=45°或67.5°时，△APD 是等腰三角形，除此之外，△APD 不是等腰三角形，故③正确．∵GF ∥BC ，∴∠DPF=∠DBC ，又∵∠DPF=∠DBC=45°，∴∠PDF=∠DPF=45°，∴PF=EC ，∴在Rt △DPF 中，DP 2=DF 2+PF 2=EC 2+EC 2=2EC 2，∴EC ，即2PD=EC ，⑤正确． ∴其中正确结论的序号是①②③④⑤，共有5个．故选D ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．5．D解析：D【解析】【分析】根据已知和正方形的性质推出∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，AB=AD，证△ABE≌△ADF即可；取EF的中点M，连接AM，推出AM=MF=EM=DF，证∠AMB=∠FMB，BM=BM，AM=MF，推出△ABM≌△FBM即可；求出∠FDC=∠EBF，推出△BEF≌△DFC即可．【详解】解：∵正方形ABCD，BE⊥ED，EA⊥FA，∴AB=AD=CD=BC，∠BAD=∠EAF=90°=∠BEF，∵∠APD=∠EPB，∴∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，∵AB=AD，∴△ABE≌△ADF，∴①正确；∴AE=AF，BE=DF，∴∠AEF=∠AFE=45°，取EF的中点M，连接AM，∴AM⊥EF，AM=EM=FM，∴BE∥AM，∵AP=BP，∴AM=BE=DF，∴∠EMB=∠EBM=45°，∴∠AMB=90°+45°=135°=∠FMB，∵BM=BM，AM=MF，∴△ABM≌△FBM，∴AB=BF，∴②正确；∴∠BAM=∠BFM，∵∠BEF=90°，AM⊥EF，∴∠BAM+∠APM=90°，∠EBF+∠EFB=90°，∴∠APF=∠EBF，∵AB∥CD，∴∠APD=∠FDC，∴∠EBF=∠FDC，∵BE=DF，BF=CD，∴△BEF≌△DFC，∴CF=EF，∠DFC=∠FEB=90°，∴③正确；④正确；故选D．【点睛】本题主要考查对正方形的性质，等腰直角三角形，直角三角形斜边上的中线性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．6．B解析：B【解析】【分析】利用翻折不变性可知：AG=GF，AE=EF，∠ADG=∠GDF=22.5°，再通过角度计算证明AE=AG，即可得到答案，具体见详解．【详解】因为∠GAD＝∠ADO＝45°，由折叠可知：∠ADG＝∠ODG＝22.5°．（1）∠AGD＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，故（1）正确；（2）设OG＝1，则AG＝GF2，又∠BAG＝45°，∠AGE＝67.5°，∴∠AEG＝67.5°，∴AE＝AG2，则AC＝2AO＝22+1），∴AB2+12（）＝2，∴AE≠EB，故（2）错误；（3）由折叠可知：AG＝FG，在直角三角形GOF中，斜边GF＞直角边OG，故AG＞OG，两三角形的高相同，则S△AGD＞S△OGD，故（3）错误；（4）中，AE＝EF＝FG＝AG，故（4）正确；（5）∵GF＝EF，∴BE2EF2GF22OG＝2OG，∴BE＝2OG，故（5）正确．故选B．【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，菱形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．B解析：B【分析】延长DH 交AG 于点E ，利用SSS 证出△AGB ≌△CHD ，然后利用ASA 证出△ADE ≌△DCH ，根据全等三角形的性质求出EG 、HE 和∠HEG ，最后利用勾股定理即可求出HG ．【详解】解：延长DH 交AG 于点E∵四边形ABCD 为正方形∴AD=DC=BA=10，∠ADC=∠BAD=90°在△AGB 和△CHD 中AG CH BA DC BG DH =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△AGB ≌△CHD∴∠BAG=∠DCH∵∠BAG ＋∠DAE=90°∴∠DCH ＋∠DAE=90°∴CH 2＋DH 2=82＋62=100= DC 2∴△CHD 为直角三角形，∠CHD=90°∴∠DCH ＋∠CDH=90°∴∠DAE=∠CDH ，∵∠CDH ＋∠ADE=90°∴∠ADE=∠DCH在△ADE 和△DCH 中ADE DCH AD DCDAE CDH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△DCH∴AE=DH=6，DE=CH=8，∠AED=∠DHC=90°∴EG=AG －AE=2，HE= DE －DH=2，∠GEH=180°－∠AED=90°在Rt △GEH 中，2222EG HE +=故选B ．【点睛】此题考查是正方形的性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握正方形的性质、全等三角形的判定及性质和利用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键．8．B解析：B【分析】 如图（见解析），先根据等腰直角三角形的判定与性质可得90,62,2BAC DAE BC DE AD ∠=∠=︒==，再根据三角形全等的判定定理与性质可得BD CE =，从而可得CDE △周长为2BC AD +，然后根据垂线段最短可求出AD 的最小值，由此即可得．【详解】在ABC 中，6,45AB AC B ==∠=︒，ABC ∴是等腰直角三角形，2290,62BAC BC AB AC ∠=︒=+=，在ADE 中，,45AD AE ADE =∠=︒，ADE ∴是等腰直角三角形，2290,2DAE DE AD AE AD ∠=︒=+=，90BAD CAD CAE CAD ∴∠+∠=∠+∠=︒，BAD CAE ∴∠=∠，在ABD △和ACE △中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ACE SAS ∴≅，BD CE ∴=，CDE ∴周长为622CD CE DE CD BD DE BC DE AD ++=++=+=+， 则当AD 取得最小值时，CDE △的周长最小，由垂线段最短可知，当AD BC ⊥时，AD 取得最小值，AD ∴是BC 边上的中线（等腰三角形的三线合一），1322AD BC ∴==（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， CDE ∴周长的最小值为62232626+⨯=+，故选：B ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、三角形全等的判定定理与性质、垂线段最短等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．9．D解析：D【分析】连接DE ，因为点D 是中点，所以CE 等于4，根据勾股定理可以求出DE 的长，过点M 作MG ⊥CD 于点G ，则由题意可知MG ＝BC ＝CD ，证明△MNG ≌△DEC ，可以得到DE =MN ，即可解决本题．【详解】解：如图，连接DE ．由题意，在Rt △DCE 中，CE ＝4cm ，CD ＝8cm ，由勾股定理得：DE 22CE CD +2248+45．过点M 作MG ⊥CD 于点G ，则由题意可知MG ＝BC ＝CD ．连接DE ，交MG 于点I ．由折叠可知，DE ⊥MN ，∴∠NMG +MIE ＝90°，∵∠DIG +∠EDC ＝90°，∠MIE ＝∠DIG （对顶角相等），∴∠NMG ＝∠EDC ．在△MNG 与△DEC 中，90NMG EDC MG CDMGN DCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴△MNG ≌△DEC （ASA ）．∴MN ＝DE ＝45．故选D ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠以及全等三角形，能够合理的作出辅助线并找出全等的条件是解决本题的关键．10．B解析：B【分析】由题意分析可知，点F 为主动点，G 为从动点，所以以点E 为旋转中心构造全等关系，得到点G 的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG 最小值．【详解】由题意可知，点F 是主动点，点G 是从动点，点F 在线段上运动，点G 也一定在直线轨迹上运动，如图，将ΔEFB 绕点E 旋转60°，使EF 与EG 重合，得到ΔEFB ≅ΔEHG ，从而可知ΔEBH 为等边三角形，点G 在垂直于HE 的直线HN 上，如图，作CM ⊥HN ，则CM 即为CG 的最小值，作EP ⊥CM ，可知四边形HEPM 为矩形，则1351=2.5222CM MP CP HE EC =+=+=+=. 故选B ．【点睛】 本题考查了线段极值问题，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G 的运动轨迹，是解本题的关键．二、填空题1121【分析】如图（见解析），先根据等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质可得//,4ME AB ME AB ==，再根据平行线的性质可得60FEM C ∠=∠=︒，然后利用直角三角形的性质、勾股定理可得2,23EF MF ==，从而可得3FN =，最后在Rt FMN 中，利用勾股定理即可得．【详解】如图，连接ME ，过点M 作MF CE ⊥，交CE 延长线于点F ，ABD △和BCE 都是等边三角形，2BC =，60,2,A CBE C BE CE AD A C B B ∴∠=∠=∠=︒====，//AD BE ∴，6AC =，624AD AB ∴==-=，点M ，N 分别是AD ，CE 的中点，112,122AM AD EN CE ∴====， AM BE ∴=，∴四边形ABEM 是平行四边形，//,4ME AB ME AB ∴==， 60FEM C ∴∠=∠=︒，在Rt EFM △中，906030EMF ∠=︒-︒=︒，2212,232EF ME MF ME EF ∴===-=， 123FN EN EF ∴=+=+=，则在Rt FMN 中，22223(23)21MN FN MF =+=+=，故答案为：21．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形和平行四边形是解题关键．12．①③④【分析】由矩形的性质可得AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD ，由角平分线的性质和余角的性质可得∠F=∠FAD=45°，可得AD=DF=BC ，可判断①；通过证明△DCG ≌△BEG ，可得∠BGE=∠DGC ，BG=DG ，即可判断②③；过点G 作GH ⊥CD 于H ，设AD=4x=DF ，AB=3x ，由勾股定理可求BD=5x ，由等腰直角三角形的性质可得HG=CH=FH=12x ，52，由三角形面积公式可求解，可判断④． 【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴∠F=∠FAD ，∴AD=DF ，∴BC=DF ，故①正确；∵∠EAB=∠BEA=45°，∴AB=BE=CD ，∵∠CEF=∠AEB=45°，∠ECF=90°，∴△CEF 是等腰直角三角形，∵点G 为EF 的中点，∴CG=EG ，∠FCG=45°，CG ⊥AG ，∴∠BEG=∠DCG=135°，在△DCG 和△BEG 中，===BE CD BEG DCG CG EG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△DCG ≌△BEG （SAS ）．∴∠BGE=∠DGC ，BG=DG ，∵∠BGE ＜∠AEB ，∴∠DGC=∠BGE ＜45°，∵∠CGF=90°，∴∠DGF ＜135°，故②错误；∵∠BGE=∠DGC ，∴∠BGE+∠DGA=∠DGC+∠DGA ，∴∠CGA=∠DGB=90°，∴BG ⊥DG ，故③正确；过点G 作GH ⊥CD 于H ，∵34AB AD =， ∴设AD=4x=DF ，AB=3x ，∴CF=CE=x ，22AB AD x +，∵△CFG ，△GBD 是等腰直角三角形，∴HG=CH=FH=12x ，DG=GB=522x ，∴S△DGF=12×DF×HG=x2，S△BDG=12DG×GB=254x2，∴254BDG FDGS S，故④正确；故答案为：①③④．【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．13．37【分析】如图，延长CB到T，使得BT=DE，连接DT，作点B关于直线AC的对称点W，连接TW，DW，过点W作WK⊥BC交BC的延长线于K．证明BE=DT，BD=DW，把问题转化为求DT+DW的最小值．【详解】解：如图，延长CB到T，使得BT=DE，连接DT，作点B关于直线AC的对称点W，连接TW，DW，过点W作WK⊥BC交BC的延长线于K．∵△ABC，△DEF都是等边三角形，BC=3DE=3，∴BC=AB=3，DE=1，∠ACB=∠EDF=60°，∴DE∥TC，∵DE=BT=1，∴四边形DEBT是平行四边形，∴BE=DT，∴BD+BE=BD+AD，∵B，W关于直线AC对称，∴CB=CW=3，∠ACW=∠ACB=60°，DB=DW，∴∠WCK=60°，∵WK⊥CK，∴∠K=90°，∠CWK=30°，∴CK=12CW=32，333，∴TK=1+3+32=112，∴TW=2222113322TK WK⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=37，∴DB+BE=DB+DT=DW+DT≥TW，∴BD+BE≥37，∴BD+BE的最小值为37，故答案为37．【点睛】本题考查轴对称-最短问题，等边三角形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．14．3或6【详解】①∠B′EC=90°时，如图1，∠BEB′=90°，由翻折的性质得∠AEB=∠AEB′=12×90°=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴BE=AB=6cm；②∠EB′C=90°时，如图2，由翻折的性质∠AB′E=∠B=90°，∴A、B′、C在同一直线上，AB′=AB，BE=B′E，由勾股定理得，222268AB BC+=+，∴B′C=10-6=4cm，设BE=B′E=x，则EC=8-x，在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2=EC2，即x2+42=（8-x）2，解得x=3，即BE=3cm，综上所述，BE的长为3或6cm．故答案为3或6．15．(1) (2) (4)【分析】由平行四边形的性质和等腰三角形的性质得出(1)正确；由ASA证明△AEF≌△DMF，得出EF=MF，∠AEF=∠M，由直角三角形斜边上的中线性质得出CF=1 2EM=EF，由等腰三角形的性质得出∠FEC=∠ECF，得出(2)正确；证出S△EFC=S△CFM，由MC＞BE，得出S△BEC＜2S△EFC，得出(3)错误；由平行线的性质和互余两角的关系得出(4)正确；即可得出结论．【详解】(1)∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD=AB，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∠BCD+∠D=180°，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=12∠BCD，∴∠DCF+12∠D=90°，故(1)正确；(2)延长EF，交CD延长线于M，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DMF中，A FDMAF DFAFE DFM∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEF≌△DMF(ASA)，∴EF=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴CF=12EM=EF ， ∴∠FEC=∠ECF ， ∴∠AEF+∠ECF=∠AEF+∠FEC=∠AEC=90°，故(2)正确；(3)∵EF=FM ，∴S △EFC =S △CFM ，∵MC ＞BE ，∴S △BEC ＜2S △EFC ，故(3)错误；(4)∵∠B=80°，∴∠BCE=90°-80°=10°，∵AB ∥CD ，∴∠BCD=180°-80°=100°，∴∠BCF=12∠BCD=50°， ∴∠FEC=∠ECF=50°-10°=40°，∴∠AEF=90°-40°=50°，故(4)正确．故答案为：(1)(2)(4)．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明△AEF ≌△DMF 是解题关键．16．42a - 【分析】先根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理得AB =2，AC =4，从而得CG 的长，作辅助线，构建矩形ABHM 和高线GM ，如图2，通过画图发现：当GE ⊥BC 时，AG 最小，即a 最小，可计算a 的值，从而得结论．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B =90°，∵∠ACB =30°，BC =，∴AB =2，AC =4，∵AG =a ，∴CG =4a -，如图1，过G 作MH ⊥BC 于H ，交AD 于M ，Rt△CGH中，∠ACB=30°，∴GH=12CG=42a-，则点G到BC边的距离为42a-，∵HM⊥BC，AD∥BC，∴HM⊥AD，∴∠AMG=90°，∵∠B=∠BHM=90°，∴四边形ABHM是矩形，∴HM=AB=2，∴GM=2﹣GH=422a--=2a，∴S△ADG11323222a aAD MG=⋅=⨯⨯=，当a最小时，△ADG的面积最小，如图2，当GE⊥BC时，AG最小，即a最小，∵FG是AE的垂直平分线，∴AG=EG，∴42aa -=，∴43a=，∴△ADG 34233=，故答案为：42a-，233．【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、矩形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，确定△ADG 的面积最小时点G 的位置是解答此题的关键．17．(3,2)-【分析】如图（见解析），先根据一次函数的解析式可得点A 、B 的坐标，从而可得OA 、OB 、AB 的长，再根据正方形的性质可得90BAD ∠=︒，DA AB =，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得,AE OB DE OA ==，由此即可得出点D 的坐标；同样的方法可求出点C 的坐标，再根据轴对称的性质可得点C '的坐标，然后根据轴对称的性质和两点之间线段最短得出MDC △的周长值最小时，点M 的位置，最后利用两点之间的距离公式、三角形的周长公式即可得．【详解】如图，过点D 作DE x ⊥轴于点E ，作点C 关于y 轴的对称点C '，交y 轴于点F ，连接C D '，交y 轴于点M '，连接C M '，则CF y ⊥轴 对于112y x =+ 当0y =时，1102x +=，解得2x =-，则点A 的坐标为(2,0)A - 当0x =时，1y =，则点B 的坐标为(0,1)B2,1,OA OB AB ∴====四边形ABCD 是正方形90BAD ∴∠=︒，CD DA AB ===90DAE OAB ABO OAB ∴∠+∠=∠+∠=︒DAE ABO ∴∠=∠在ADE 和BAO 中，90AED BOA DAE ABO DA AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE BAO AAS ∴≅1,2AE OB DE OA ∴====213OE OA AE ∴=+=+=则点D 的坐标为(3,2)D -同理可证：CBF BAO ≅1,2CF OB BF OA ∴====123OF OB BF ∴=+=+=则点C 的坐标为(1,3)C -由轴对称的性质得：点C '的坐标为(1,3)C '，且CM C M '=MDC ∴△的周长为5CD DM CM DM C M '++=++由两点之间线段最短得：当点M 与点M '重合时，DM C M '+取得最小值DC ' (3,2),(1,3)D C '-22(31)(23)17DC '∴=--+-=则MDC △的周长的最小值为5517DC '+=+故答案为：(3,2)-，517+．【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、轴对称的性质等知识点，正确找出MDC △的周长最小时，点M 的位置是解题关键． 18．16或10【分析】等腰三角形一般分情况讨论：（1）当DB'=DC=16；（2）当B'D=B'C 时，作辅助线，构建平行四边形AGHD 和直角三角形EGB'，计算EG 和B'G 的长，根据勾股定理可得B'D 的长；【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴DC=AB=16，AD=BC=18．分两种情况讨论：（1）如图2，当DB'=DC=16时，即△CDB'是以DB'为腰的等腰三角形（2）如图3，当B'D=B'C 时，过点B'作GH ∥AD ，分别交AB 与CD 于点G 、H ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，∠A=90°又GH ∥AD ，∴四边形AGHD 是平行四边形，又∠A=90°，∴四边形AGHD 是矩形，∴AG=DH ，∠GHD=90°，即B'H ⊥CD ，又B'D=B'C ，∴DH ＝HC ＝183CD =，AG=DH=8，∵AE=3，∴BE=EB'=AB-AE=16-3=13，EG=AG-AE=8-3=5，在Rt △EGB'中，由勾股定理得：GB′2213512，∴B'H=GH ×GB'=18-12=6，在Rt △B'HD 中，由勾股定理得：B′D 226810+=综上，DB'的长为16或10．故答案为： 16或10【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形一般需要分类讨论 ． 19．7【分析】①若m n =，则AF EC =，先根据平行四边形的性质得出//,AD BC AD BC =，再根据平行四边形的判定（一组对边平行且相等或两组对边分别平行）即可得；②先根据平行四边形的性质与判定得出四边形ABEF 、四边形CDFE 都是平行四边形，从而可得11,44EFG ABEF EFH CDFE S S S S ∆∆==，再根据28ABCD ABEF CDFE S S S =+= 和1144EFG EFH ABEF CDFE FGEH S S S S S ∆∆=+=+四边形即可得出答案．【详解】 四边形ABCD 是平行四边形//,AD BC AD BC ∴= ,,AF EC n m BC BC m n === AF EC ∴= AD AF BC EC ∴-=-，即DF BE =∴四边形AECF 、四边形BEDF 都是平行四边形//,//AE CF BF DE ∴∴四边形EGFH 是平行四边形综上，图中共有4个平行四边形如图，连接EF1,,AF EC n m BC B n Cm ==+= AF EC BC AD ∴+==AF DF AD +=EC DF ∴=AF BE ∴=∴四边形ABEF 、四边形CDFE 都是平行四边形11,44EFG ABEF EFH CDFE S S S S ∆∆∴== 28ABCD ABEF CDFE S S S =+=1144EFG EFH ABEF CDFE FGEH S S S S S ∆∆∴=+=+四边形1()4ABEF CDFE S S =+12874=⨯= 故答案为：4；7．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定与性质是解题关键． 202【解析】【分析】根据折叠的性质可得∠DAF=∠BAF=45°，再由矩形性质可得FC=ED=1，然后由勾股定理求出FG即可．【详解】由折叠的性质可知，∠DAF=∠BAF=45°，∴AE=AD=3，EB=AB-AD=1，∵四边形EFCB为矩形，∴FC=BE=1，∵AB∥FC，∴∠GFC=∠DAF=45°，∴GC=FC=1，∴FG===．【点睛】本题考查了折叠变换，矩形的性质是一种对称变换，理解折叠前后图形的大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解决此题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2【分析】（1）根据题意先证明四边形ABCD是平行四边形，再由AB=AD可得平行四边形ABCD是菱形；（2）根据菱形的性质得出OA的长，根据直角三角形斜边中线定理得出OE=12AC，在Rt ACE∆应用勾股定理即可解答．【详解】（1）证明：∵AB CD∥，∴OAB DCA∠=∠，∵AC为DAB∠的平分线，∴OAB DAC∠=∠，∴DCA DAC∠=∠，∴CD AD AB==，∵AB CD∥，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD AB=，∴ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD 是菱形∴AO CO =∵CE AB ⊥∴90AEC ∠=︒∴26AC OE ==在Rt ACE ∆中，2211CE AC AE -故答案为（211．【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．22．（1）3AH 2）①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠DAE ＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠DAH ＝∠EAH ，求出∠HAB ＝45°，根据等腰直角三角形的性质计算，得到答案；（2）①根据线段垂直平分线的性质得到CB ＝CE ，根据平行四边形的性质得到AD ＝BC ，得到DE ＝CE ，利用SAS 定理证明结论；②根据全等三角形的性质得到EN ＝EG ，根据等边三角形的判定定理证明即可．【详解】（l ）∵ADE ∆是等边三角形，∴60DAE ∠=︒.∵AH BD ⊥，∴1302DAH HAE DAE ︒∠=∠=∠=. ∵75DAB ∠=︒，∴753045BAH BAD DAH ︒︒︒∠=∠-∠=-=. ∴232AB AH BH === （2）①∵点F 是BE 的中点，且CF BE ⊥，∴线段CF 是线段BE 的垂直平分线.∴CE CB =，ECF BCF ∠=∠.∵ADE ∆是等边三角形，∴DE AD =.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，∴DE CE =.∴EDC ECD ∠=∠.在DEG ∆和CEN ∆中，DG CN GDE NCE DE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，。
2019学年浙江省宁波市)八年级5月月考(期中)数学试卷【含答案及解析】
2019学年浙江省宁波市）八年级5月月考（期中）数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、单选题1. 下列计算正确的是（）A. B. C. D.2. 在下列图形中，即是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3. 为了比较甲、乙两块地的小麦哪块长得更整齐，应选择的统计量为（）A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差4. 用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应先假设（）A. 四边形中没有一个角是钝角或直角B. 四边形中至多有一个钝角或直角C. 四边形中没有一个角是锐角D. 四边形中没有一个角是钝角5. 若n边形的内角和等于外角和的2倍,则边数n为（）A. n=4B. n=5C. n=6D. n=76. 已知一元二次方程x2﹣8x+12=0的两个解恰好是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC 的周长为（）A. 14B. 10C. 11D. 14或107. 平行四边形的对角线分别为a和b ,一边长为12，则a和b的值可能是下面各组的数据中的（）A. 8和4B. 10和14C. 18和20D. 10和388. 已知：如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC,∠ADE=∠CDE,那么∠BDC等于（）A. 60°B. 45°C. 30°D. 22.5°9. 如图，在等腰中，，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形，③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A. ①②③B. ①④⑤C. ①③④D. ③④⑤10. 如图，△ABC的周长为26，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P．若BC=10，则PQ的长是（）A. 1.5B. 2C. 3D. 4二、填空题11. 当时，二次根式的值是_______12. 顺次连接一个四边形的各边中点，所得到的四边形一定是_________________。
八年级数学第二学期5月份月考测试卷含解析
一、选择题1．如图，正方形ABCD 的边长为定值，E 是边CD 上的动点（不与点C ，D 重合），AE 交对角线BD 于点F ， FG AE ⊥交BC 于点G ，GH BD ⊥于点H ，连结AG 交BD 于点N ．现给出下列命题：① AF FG =；②DF DE =；③FH 的长度为定值；④GE BG DE =+；⑤222BN DF NF +=．真命题有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．如图，四边形ABCD 中，,,,AC a BD b AC BD ==⊥顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形1111D C B A ，再顺次连接四边形1111D C B A 各边中点，得到四边形2222A B C D ...如此进行下去，得到四边形.n n n n A B C D 则下列结论正确的个数有（ ） ①四边形1111D C B A 是矩形；②四边形4444A B C D 是菱形；③四边形5555A B C D 的周长为4a b +； ④四边形n n n n A B C D 的面积是12n ab +．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3．如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠后点D 与B 重合.若原矩形的长宽之比为3:1,则AE BF的值为（ ）A ．12B ．13C ．34D ．454．下列命题：①一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；②一组邻角相等的平行四边形是矩形；③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形；④如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形．其中真命题个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．如图，正方形ABCD 的边长为1，顺次连接正方形ABCD 四边的中点得到第一个正方形1111D C B A ，又顺次连接正方形1111D C B A 四边中点得到第二个正方形2222A B C D ，……，以此类推，则第六个正方形6666A B C D 的面积是（ ）A ．164B ．116C ．132D ．186．如图，分别以Rt ACB ∆的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE ．给出下列结论：①CE BG =；②EC BG ⊥③22222FG BF BD BC +=+④222222BC GE AC AB +=+其中正确的是（ ）A ．②③④B ．①②③C ．①②④D ．①②③④7．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CE 平分DCB ∠交BD 于点F ，且60ABC ∠=︒，2AB BC =，连接OE ，下列结论：①30ACD ∠=︒；②·ABCD S AC BC =；③:1:4OE AC =．其中正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BF＝4CF ，四边形DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．89．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AG BC ⊥于G ，作AH CD ⊥于H ，且45GAH ∠=︒，2AG =，3AH =，则平行四边形的面积是（ ）A ．62B ．122C ．6D ．1210．如图，在□ABCD 中，AD=2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上（E 不与A 、B 重合），连接EF 、CF ，则下列结论中一定成立的是 ( )①∠DCF=12∠BCD ；②EF=CF ；③2BEC CEF S S ∆∆<；④∠DFE=4∠AEF A ．①②③④B ．①②③C ．①②D ．①②④ 二、填空题11．如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A ，B 两点，“九曲桥”的每一段与AC 平行或BD 平行，若AB ＝100m ，∠A ＝∠B ＝60°，则此“九曲桥”的总长度为_____．12．如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，取BC 边中点E ，作//ED AB ，//EF AC ，得到四边形EDAF ，它的周长记作1C ；取BE 中点1E ，作11//E D FB ，11//E F EF ，得到四边形111E D FF ，它的周长记作2C ．照此规律作下去，则2020C =______．13．如图所示，菱形ABCD，在边AB上有一动点E，过菱形对角线交点O作射线EO与CD 边交于点F，线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，得到四边形EGFH，点E 在运动过程中，有如下结论：①可以得到无数个平行四边形EGFH；②可以得到无数个矩形EGFH；③可以得到无数个菱形EGFH；④至少得到一个正方形EGFH．所有正确结论的序号是__．14．如图，在平行四边形ABCD，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB 上，连接EF、CF，则下列结论：①∠BCD＝2∠DCF；②EF＝CF；③S△CDF＝S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF，－定成立的是_________．(把所有正确结论的序号都填在横线上)15．在ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高．将ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则DEF的周长为______．16．菱形ABCD的周长为24，∠ABC=60°，以AB为腰在菱形外作底角为45°的等腰△ABE，连结AC，CE，则△ACE的面积为___________.17．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AD的延长线上一点，且DE＝DC，点P为边AD上一动点，且PC⊥PG，PG＝PC，点F为EG的中点．当点P从D点运动到A点时，则CF的最小值为___________18．如图，菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，若将菱形绕点O 以每秒45︒的速度逆时针旋转，则第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为__________．19．在平行四边形 ABCD 中，AE 平分∠BAD 交边 BC 于 E ，DF 平分∠ADC 交边 BC 于 F ，若 AD=11，EF=5，则 AB= ___．20．如图，在平行四边形ABCD 中，53AB AD ==，，BAD ∠的平分线AE 交CD 于点E ，连接BE ，若BAD BEC ∠=∠，则平行四边形ABCD 的面积为__________．三、解答题21．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、交于点O ，分别过点C D 、作//,//CF BD DF AC ，连接BF 交AC 于点E ．(1)求证: FCE BOE ≌；(2)当ADC ∠等于多少度时，四边形OCFD 为菱形?请说明理由．22．在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，点P 是边AD 上一点，PF ⊥BD 于点F ，PA ＝PF ． （1）试判断四边形AGFP 的形状，并说明理由．（2）若AB ＝1，BC ＝2，求四边形AGFP 的周长．23．在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于点F（如图1和图2），然后展开铺平，连接BE，EF．（1）操作发现：①在矩形ABCD中，任意折叠所得的△BEF是一个三角形；②当折痕经过点A时，BE与AE的数量关系为．（2）深入探究：在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝23．①当△BEF是等边三角形时，求出BF的长；②△BEF的面积是否存在最大值，若存在，求出此时EF的长；若不存在，请说明理由．24．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，AE=AD，作DF⊥AE于点F．（1）求证：AB＝AF；（2）连BF并延长交DE于G．①EG＝DG；②若EG＝1，求矩形ABCD的面积．25．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，∠A的角平分线交边CD于点E．点P从点A出发沿射线AE以每秒2个单位长度的速度运动，Q为AP的中点，过点Q作QH⊥AB于点H，在射线AE的下方作平行四边形PQHM（点M在点H的右侧），设P点运动时间为t秒．（1）直接写出AQH 的面积（用含t 的代数式表示）．（2）当点M 落在BC 边上时，求t 的值．（3）在运动过程中，整个图形中形成的三角形是否存在全等三角形？若存在，请写出所有全等三角形，并求出对应的t 的值；若不存在请说明理由（不能添加辅助线）．26．在平面直角坐标中，四边形OCNM 为矩形，如图1，M 点坐标为（m ，0），C 点坐标为（0，n ），已知m ，n 满足550n m -+-=．（1）求m ，n 的值；（2）①如图1，P ，Q 分别为OM ，MN 上一点，若∠PCQ ＝45°，求证：PQ ＝OP+NQ ； ②如图2，S ，G ，R ，H 分别为OC ，OM ，MN ，NC 上一点，SR ，HG 交于点D ．若∠SDG ＝135°，55HG 2=，则RS ＝______； （3）如图3，在矩形OABC 中，OA ＝5，OC ＝3，点F 在边BC 上且OF ＝OA ，连接AF ，动点P 在线段OF 是（动点P 与O ，F 不重合），动点Q 在线段OA 的延长线上，且AQ ＝FP ，连接PQ 交AF 于点N ，作PM ⊥AF 于M ．试问：当P ，Q 在移动过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若不变求出线段MN 的长度；若变化，请说明理由．27．探究：如图①，△ABC 是等边三角形，在边AB 、BC 的延长线上截取BM =CN ，连结MC 、AN ，延长MC 交AN 于点P ．（1）求证：△ACN ≌△CBM ；（2）∠CPN = °；（给出求解过程）（3）应用：将图①的△ABC 分别改为正方形ABCD 和正五边形ABCDE ，如图②、③，在边AB 、BC 的延长线上截取BM =CN ，连结MC 、DN ，延长MC 交DN 于点P ，则图②中∠CPN = °；（直接写出答案）（4）图③中∠CPN = °；（直接写出答案）（5）拓展：若将图①的△ABC 改为正n 边形，其它条件不变，则∠CPN = °（用含n的代数式表示，直接写出答案）．28．如图，在四边形OABC 是边长为4的正方形点P 为OA 边上任意一点（与点O A 、不重合），连接CP ，过点P 作PM CP ⊥，且PM CP =，过点M 作MN AO ∥，交BO 于点,N 联结BM CN 、，设OP x =.（1）当1x =时，点M 的坐标为（ ， ）（2）设CNMB S y =四形边，求出y 与x 的函数关系式，写出函数的自变量的取值范围.（3）在x 轴正半轴上存在点Q ，使得QMN 是等腰三角形，请直接写出不少于4个符合条件的点Q 的坐标（用x 的式子表示）29．如图，等腰直角三角形OAB 的三个定点分别为(0,0)O 、(0,3)A 、(3,0)B -，过A 作y 轴的垂线1l .点C 在x 3D 在1l 上以每秒332+的速度同时从点A 出发向右运动，当四边形ABCD 为平行四边形时C 、D 同时停止运动，设运动时间为t .当C 、D 停止运动时，将△OAB 沿y 轴向右翻折得到△1OAB ，1AB 与CD 相交于点E ，P 为x 轴上另一动点.(1)求直线AB 的解析式，并求出t 的值.(2)当PE+PD 取得最小值时，求222PD PE PD PE ++⋅的值.(3)设P 的运动速度为1，若P 从B 点出发向右运动，运动时间为x ，请用含x 的代数式表示△PAE 的面积.30．如图，矩形ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD于点E，F．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）若四边形DEBF是菱形，则需要增加一个条件是_________________，试说明理由；（3）在（2）的条件下，若AB=8，AD=6，求EF的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据题意，连接CF，由正方形的性质，可以得到△ABF≌△CBF，则AF=CF，∠BAF=∠BCF，由∠BAF=∠FGC=∠BCF，得到AF=CF=FG，故①正确；连接AC，与BD相交于点O，由正方形性质和等腰直角三角形性质，证明△AOF≌△FHG，即可得到EH=AO，则③正确；把△ADE顺时针旋转90°，得到△ABM，则证明△MAG≌△EAG，得到MG=EG，即可得到EG=DE+BG，故④正确；②无法证明成立，即可得到答案.【详解】解：连接CF，在正方形ABCD 中，AB=BC ，∠ABF=∠CBF=45°， 在△ABF 和△CBF 中，45AB BC ABF CBF BF BF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△CBF （SAS ），∴AF=CF ，∠BAF=∠BCF ，∵FG ⊥AE ，∴在四边形ABGF 中，∠BAF+∠BGF=360°-90°-90°=180°， 又∵∠BGF+∠CGF=180°，∴∠BAF=∠CGF ，∴∠CGF=∠BCF∴CF=FG ，∴AF=FG ；①正确；连接AC 交BD 于O ．∵四边形ABCD 是正方形，HG ⊥BD ，∴∠AOF=∠FHG=90°，∵∠OAF+∠AFO=90°，∠GFH+∠AFO=90°， ∴∠OAF=∠GFH ，∵FA=FG ，∴△AOF ≌△FHG ，∴FH=OA=定值，③正确；如图，把△ADE 顺时针旋转90°，得到△ABM ，∴AM=AE ，BM=DE ，∠BAM=∠DAE ，∵AF=FG ，AF ⊥FG ，∴△AFG 是等腰直角三角形，∴∠FAG=45°，∴∠MAG=∠BAG+∠DAE=45°，∴∠MAG=∠FAG ，在△AMG 和△AEG 中，45AM AE EAG MAG AG AG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AMG ≌△AEG ，∴MG=EG ，∵MG=MB+BG=DE+BG ，∴GE= DE+BG ，故④正确；如图，△ADE 顺时针旋转90°，得到△ABM ，记F 的对应点为P ，连接BP 、PN ， 则有BP=DF ，∠ABP=∠ADB=45°，∵∠ABD=45°，∴∠PBN=90°，∴BP 2+BN 2=PN 2，由上可知△AFG 是等腰直角三角形，∠FAG=45°，∴∠MAG=∠BAG+∠DAE=45°，∴∠MAG=∠FAG ，在△ANP 和△ANF 中，45AP AF EAG MAG AN AN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ANP ≌△ANF ，∴PN=NF ，∴BP 2+BN 2=NF 2，即DF 2+BN 2=NF 2，故⑤正确；根据题意，无法证明②正确，∴真命题有四个，故选C.【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构造出等腰三角形和全等三角形．2．A解析：A【分析】首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD 中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：①根据矩形的判定与性质作出判断；②根据菱形的判定与性质作出判断；③由四边形的周长公式：周长=边长之和，来计算四边形A 5B 5C 5D 5的周长；④根据四边形A n B n C n D n 的面积与四边形ABCD 的面积间的数量关系来求其面积．【详解】解：如下图，连接连接A 1C 1，B 1D 1，∵在四边形ABCD 中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1， ∴A 1D 1∥BD ，B 1C 1∥BD ，C 1D 1∥AC ，A 1B 1∥AC ；∴A 1D 1∥B 1C 1，A 1B 1∥C 1D 1，∴四边形A 1B 1C 1D 1是平行四边形，∵AC 丄BD ，∴四边形A 1B 1C 1D 1是矩形，故①正确；∴B 1D 1=A 1C 1（矩形的两条对角线相等）；∴A 2D 2=C 2D 2=C 2B 2=B 2A 2（中位线定理），∴四边形A 2B 2C 2D 2是菱形；依次类推，可知当n 为奇数时四边形A n B n C n D n 是矩形，当n 为偶数时四边形A n B n C n D n 是菱形，故②正确； 根据中位线的性质可知，553311553311111111,248248A B A B A B AC B C B C B C BD ======， ∴四边形A 5B 5C 5D 5的周长是12()84a b a b +⨯+=， 故③正确；∵四边形ABCD 中，AC=a ，BD=b ，且AC 丄BD ，∴S 四边形ABCD =ab÷2；由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半， 四边形A n B n C n D n 的面积是12n ab +， 故④正确；综上所述，①②③④正确．故选：A ．【点睛】本题考查中点四边形，中位线定理，菱形的性质和判定，矩形的性质和判定．理解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题关键． 3．D解析：D【分析】根据折叠的性质得到ED ′＝BE ，∠D ′EF ＝∠BEF ，根据平行线的性质得到∠D ′EF ＝∠EFB ，求得BE ＝BF ，设AD ′＝BC ′＝3x ，AB ＝x ，根据勾股定理得到BE ＝53x ，于是得到结论．【详解】如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠后点D 与B 重合，∴ED ′＝BE ，∠D ′EF ＝∠BEF ，∵AD ′∥BC ′，∴∠D ′EF ＝∠EFB ，∴∠BEF ＝∠EFB ，∴BE ＝BF ，∵原矩形的长宽之比为3：1，∴设AD′＝BC′＝3x，AB＝x，∴AE＝3x−ED′＝3x−BE，∵AE2＋AB2＝BE2，∴（3x−BE）2＋x2＝BE2，解得：BE＝53 x，∴BF＝BE＝53x，AE＝3x−BE=43x∴AEBF＝4335xx=45，故选：D．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．4．B解析：B【分析】根据平行四边形的判定方法对①进行判断；根据矩形的判定方法对②进行判断即可；根据三角形中位线性质和菱形的判定方法对③进行判断；根据正方形的判定方法对④进行判断．【详解】解：①错误，反例为等腰梯形；②正确，理由一组邻角相等，且根据平行四边形的性质，可得它们都为直角，从而推得矩形；③正确，理由：得到的四边形的边长都等于矩形对角线的一半；④正确．故答案为B．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．判定一个命题的真假关键在于对基本知识的掌握．5．A解析：A【分析】计算前三个正方形的面积从而得出一般规律求解.【详解】顺次连接正方形ABCD 四边的中点得到第一个正方形1111D C B A则正方形1111D C B A 的面积为11122⨯= 正方形2222A B C D 的面积为111224⨯= 正方形3333A B C D 的面积为11112228⨯⨯= 正方形n n n n A B C D 的面积为11()22n n = 根据规律可得，第六个正方形6666A B C D 的面积为66111()2264== 【点睛】 本题考查了特殊正方形中的面积计算，解题的关键在于找出规律，根据规律求解.6．C解析：C【分析】利用SAS 证明△AGB ≌△ACE ，即可判断①；证明∠BNM=∠MAE=90︒，即可判断②；假设③成立，利用勾股定理对等式变形证得AC =BC ，而AC 与BC 不一定相等，即可判断③；利用勾股定理证得2222BC EG BE CG +=+，从而证得结论④成立．【详解】∵四边形ACFG 和四边形ABDE 都是正方形，∴AC=AG ，AB=AE ，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC ，即∠GAB=∠CAE ，在△AGB 和△ACE 中，∵AG AC GAB CAE AB AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AGB ≌△ACE(SAS)，∴GB=CE ，故①正确；设BA 、CE 相交于点M ，∵△AGB ≌△ACE ，∴∠GBA=∠CEA ，又∵∠BMN=∠EMA ，∴∠BNM=∠MAE=90︒，∴EC BG ⊥，故②正确；设正方形ACFG 和正方形ABDE 的边长分别为a 和b ,∵ACB 为直角三角形，且AB 为斜边，∴22222AB AC b a BC -=-=，假设22222FG BF BD BC +=+成立，则有()22222a a BC b BC ++=+，整理得：()2222a BC b a =-，即2a BC BC =，∴a BC =，即AC BC =，∵AC 与BC 不一定相等，∴假设不成立，故③不正确；连接CG ，BE ，设BG 、CE 相交于N ，∵EC BG ⊥，∴222222222222BC EG BN NC EN NG BN EN NC NG BE CG +=+++=+++=+， ∵四边形ACFG 和四边形ABDE 都是正方形，∴222BE AB =，222CG AC =，∴222222BC EG AB AC +=+，故④正确；综上，①②④正确，故选：C ．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键．7．C解析：C【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据角平分线的定义得到∠DCE=∠BCE=60°推出△CBE 是等边三角形，证得∠ACB=90°，求出∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；由AC ⊥BC ，得到S ▱ABCD =AC •BC ，故②正确，根据直角三角形的性质得到AC =，根据三角形的中位线的性质得到OE=12BC ，于是得到OE ：∶6；故③错误；【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， 60ABC ADC ∴∠=∠=︒，120BCD ∠=︒∵CE 平分BCD ∠交AB 于点E ，∴60DCE BCE ∠=∠=︒，∴CBE △是等边三角形，∴BE BC CE ==．∵2AB BC =，∴AE BE CE ==，∴90ACB ∠=︒，∴30ACD CAB ∠=∠=︒，故①正确；∵AC BC ⊥，∴ABCD S AC BC =⋅，故②正确；在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，∴AC =．AO OC =，AE BE =， ∴1OE BC 2=， 1::62OE AC BC ∴==，故③错误． 故选：C ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△BCE 是等边三角形，OE 是△ABC 的中位线是关键．8．D解析：D【分析】连接EC ，过A 作AM ∥BC 交FE 的延长线于M ，求出平行四边形ACFM ，根据等底等高的三角形面积相等得出△BDE 的面积和△CDE 的面积相等，△ADE 的面积和△AME 的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形ACFM 的面积的一半，求出CF×h CF 的值即可．【详解】连接DE 、EC ，过A 作AM ∥BC 交FE 的延长线于M ，∵四边形CDEF 是平行四边形，∴DE ∥CF ，EF ∥CD ，∴AM ∥DE ∥CF ，AC ∥FM ，∴四边形ACFM 是平行四边形，∵△BDE 边DE 上的高和△CDE 的边DE 上的高相同，∴△BDE 的面积和△CDE 的面积相等，同理△ADE 的面积和△AME 的面积相等，即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM 的面积的一半，是12×CF×h CF ， ∵△ABC 的面积是24，BC ＝3CF ∴12BC×h BC ＝12×3CF×h CF ＝24， ∴CF×h CF ＝16， ∴阴影部分的面积是12×16＝8， 故选：D ．【点睛】此题考查平行四边形的判定及性质，同底等高三角形面积的关系，解题中注意阴影部分面积的求法，根据图形的特点选择正确的求法是解题的关键.9．A 解析：A【分析】设B x ∠=，先根据平行四边形的性质可得,180,D B x BAD x AB CD ∠=∠=∠=︒-=，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得45x =︒，然后根据等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理可得22AB =22CD =，最后利用平行四边形的面积公式即可得．【详解】设B x ∠=，四边形ABCD 是平行四边形，,180180,D B x BAD B x AB CD ∴∠=∠=∠=︒-∠=︒-=，,AG BC AH CD ⊥⊥， 9090,9090BAG B x DAH D x ∴∠=︒-∠=︒-∠=︒-∠=︒-，又180,45BAG DAH BAD GAH x GAH ∠+︒-∠+∠=∠∠=︒=，909100458x x x ︒-+︒-=∴︒+︒-，解得45x =︒，即45B ∠=︒，Rt ABG ∴是等腰直角三角形，2,BG AG AB ∴====CD ∴=，∴平行四边形ABCD的面积是3AH CD ⋅=⨯=，故选：A ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的两锐角互余、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．10．B解析：B【分析】分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF ≌△DMF （ASA ），得出对应线段之间关系进而得出答案．【详解】解：①∵F 是AD 的中点，∴AF =FD ．∵在▱ABCD 中，AD =2AB ，∴AF =FD =CD ，∴∠DFC =∠DCF ．∵AD ∥BC ，∴∠DFC =∠FCB ，∴∠DCF =∠BCF ，∴∠DCF =12∠BCD ，故①正确； 延长EF ，交CD 延长线于M ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠A =∠MDF ．∵F 为AD 中点，∴AF =FD ．在△AEF 和△DFM 中，A FDM AF DF AFE DFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEF ≌△DMF （ASA ），∴FE =MF ，∠AEF =∠M ． ∵CE ⊥AB ，∴∠AEC =90°，∴∠AEC =∠ECD =90°．∵FM =EF ，∴EF =CF ，故②正确；③∵EF =FM ，∴S △EFC =S △CFM ．∵MC ＞BE ，∴S △BEC ＜2S △EFC故③正确；④设∠FEC =x ，则∠FCE =x ，∴∠DCF =∠DFC =90°﹣x ，∴∠EFC =180°﹣2x ，∴∠EFD =90°﹣x +180°﹣2x =270°﹣3x ．∵∠AEF =90°﹣x ，∴∠DFE =3∠AEF ，故④错误．故答案为B ．点睛：本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF ≌△DMF 是解题的关键．二、填空题11．200m【分析】如图，延长AC 、BD 交于点E ，延长HK 交AE 于F ，延长NJ 交FH 于M ，则四边形EDHF ，四边形MNCF ，四边形MKGJ 是平行四边形，△ABC 是等边三角形，由此即可解决问题．【详解】如图，延长AC 、BD 交于点E ，延长HK 交AE 于F ，延长NJ 交FH 于M由题意可知，四边形EDHF ，四边形MNCF ，四边形MKGJ 是平行四边形∵∠A ＝∠B ＝60°∴18060E A B ∠=-∠-∠=∴△ABC 是等边三角形∴ED ＝FM+MK+KH ＝CN+JG+HK ，EC ＝EF+FC ＝JN+KG+DH∴“九曲桥”的总长度是AE+EB ＝2AB ＝200m故答案为：200m ．【点睛】本题考查了平行四边形、等边三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、等边三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解．12．201812【分析】根据几何图形特征，先求出1C 、2C 、3C ，根据求出的结果，找出规律，从而得出2020C ．【详解】∵点E 是BC 的中点，ED ∥AB ，EF ∥AC∴DE 、EF 是△ABC 的中位线∵等边△ABC 的边长为1∴AD=DE=EF=AF =12 则1C =1422⨯= 同理可求得：2C =1，3C =12发现规律：规律为依次缩小为原来的12 ∴2020C =201812 故答案为：201812．【点睛】 本题考查找规律和中位线的性质，解题关键是求解出几组数据，根据求解的数据寻找规律．13．①③④【分析】由“AAS ”可证△AOE ≌△COF ，△AHO ≌△CGO ，可得OE =OF ，HO =GO ，可证四边形EGFH 是平行四边形，由EF ⊥GH ，可得四边形EGFH 是菱形，可判断①③正确，若四边形ABCD 是正方形，由“ASA ”可证△BOG ≌△COF ，可得OG =OF ，可证四边形EGFH 是正方形，可判断④正确，即可求解．【详解】解：如图，∵四边形ABCD 是菱形，∴AO ＝CO ，AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠BAO ＝∠DCO ，∠AEO ＝∠CFO ，∴△AOE ≌△COF （AAS ），∴OE ＝OF ，∵线段EF 的垂直平分线分别交BC 、AD 边于点G 、H ，∴GH 过点O ，GH ⊥EF ，∵AD ∥BC ，∴∠DAO ＝∠BCO ，∠AHO ＝∠CGO ，∴△AHO ≌△CGO （AAS ），∴HO ＝GO ，∴四边形EGFH 是平行四边形，∵EF ⊥GH ，∴四边形EGFH 是菱形，∵点E 是AB 上的一个动点，∴随着点E 的移动可以得到无数个平行四边形EGFH ，随着点E 的移动可以得到无数个菱形EGFH ，故①③正确；若四边形ABCD 是正方形，∴∠BOC ＝90°，∠GBO ＝∠FCO ＝45°，OB ＝OC ；∵EF ⊥GH ，∴∠GOF ＝90°；∠BOG +∠BOF ＝∠COF +∠BOF ＝90°，∴∠BOG ＝∠COF ；在△BOG 和△COF 中，∵BOG COF BO CO GBO FCO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BOG ≌△COF （ASA ）；∴OG ＝OF ，同理可得：EO ＝OH ，∴GH ＝EF ；∴四边形EGFH 是正方形，∵点E 是AB 上的一个动点，∴至少得到一个正方形EGFH ，故④正确，故答案为：①③④．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是关键．14．①②④【分析】①根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质即可判断；②延长EF ，交CD 延长线于点M ，首先根据平行四边形的性质证明AEFDFM ≅△△，得出,FE MF AEFM =∠=∠，进而得出90ECD AEC ∠=∠=︒，从而利用直角三角形斜边中线的性质即可判断；③由FE MF =，得出EFC CFMS S =，从而可判断正误；④设FEC x ∠= ，利用三角形内角和定理分别表示出∠DFE 和∠AEF ，从而判断正误．【详解】①∵点F 是AD 的中点，∴AF FD = ．∵在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ，//,AD BC AF FD CD ∴==，,DFC FCB DFC DCF ∴∠=∠∠=∠ ，FCB DCF ∴∠=∠，∴∠BCD ＝2∠DCF ，故①正确；②延长EF ，交CD 延长线于点M ，∵四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，A MDF ∴∠=∠，∵点F 是AD 的中点，∴AF FD = ．在AEF 和DFM 中，A FDM AF DFAFE DFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()AEF DFM ASA ∴≅△△,FE MF AEF M ∴=∠=∠．CE AB ⊥ ，90AEC ∴∠=︒，90ECD AEC ∴∠=∠=︒，12CF EM EF ∴==，故②正确； ③∵FE MF =，∴EFC CFM S S = ．CFM CDF MDF S S S =+△△△CDF EFC S S ∴<△△，故③错误；④设FEC x ∠= ，则FCE x ∠=，90DCF DFC x ∴∠=∠=︒- ，1802EFC x ∴∠=︒-，9018022703EFD x x x ∴∠=︒-+︒-=︒- ．90AEF x ∠=︒- ，3DFE AEF ∴∠=∠，故④正确；综上所述，正确的有①②④，故答案为 ：①②④．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，掌握这些性质和定理是解题的关键．15．15.5【分析】先根据折叠的性质可得,AE DE EAD EDA =∠=∠，再根据垂直的定义、直角三角形的性质可得B BDE ∠=∠，又根据等腰三角形的性质可得BE DE =，从而可得6DE AE BE ===，同理可得出5DF AF CF ===，然后根据三角形中位线定理可得1 4.52EF BC ==，最后根据三角形的周长公式即可得． 【详解】由折叠的性质得：,AE DE EAD EDA =∠=∠AD 是BC 边上的高，即AD BC ⊥90B EAD ∴∠+∠=︒，90BDE EDA ∠+∠=︒B BDE ∴∠=∠BE DE ∴=1112622DE AE BE AB ∴====⨯= 同理可得：1110522DF AF CF AC ====⨯= 又,AE BE AF CF ==∴点E 是AB 的中点，点F 是AC 的中点EF ∴是ABC 的中位线119 4.522EF BC ∴==⨯= 则DEF 的周长为65 4.515.5DE DF EF ++=++=故答案为：15.5．【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质等知识点，利用折叠的性质和等腰三角形的性质得出BE DE =是解题关键．16．9或1)．【分析】分两种情况画图，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理矩形计算即可．【详解】解：①如图1，延长EA交DC于点F，∵菱形ABCD的周长为24，∴AB=BC=6，∵∠ABC=60°，∴三角形ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，当EA⊥BA时，△ABE是等腰直角三角形，∴AE=AB=AC=6，∠EAC=90°+60°=150°，∴∠FAC=30°，∵∠ACD=60°，∴∠AFC=90°，∴CF=12AC=3，则△ACE的面积为：12AE×CF=12×6×3=9；②如图2，过点A作AF⊥EC于点F，由①可知：∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°+60°=150°，∵AB=BE=BC=6，∴∠BEC=∠BCE=15°，∴∠AEF=45°-15°=30°，∠ACE=60°-15°=45°，∴AF=12AE，AF=CF=22AC=32∵AB=BE=6，∴AE=2∴2236AE AF-=∴EC=EF+FC=3632则△ACE的面积为：12EC×AF=1(3632)329(31)2⨯⨯=．故答案为：9或31)．【点睛】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．17．22【分析】由正方形ABCD的边长为4，得出AB=BC=4，∠B=90°，得出AC=42，当P与D重合时，PC=ED=PA，即G与A重合，则EG的中点为D，即F与D重合，当点P从D点运动到A点时，则点F运动的路径为DF，由D是AE的中点，F是EG的中点，得出DF是△EAG 的中位线，证得∠FDA=45°，则F为正方形ABCD的对角线的交点，CF⊥DF，此时CF最小，此时CF=12AG=22．【详解】解：连接FD∵正方形ABCD的边长为4，∴AB=BC=4，∠B=90°，∴AC=2，当P与D重合时，PC=ED=PA，即G与A重合，∴EG的中点为D，即F与D重合，当点P从D点运动到A点时，则点F运动的轨迹为DF，∵D是AE的中点，F是EG的中点，∴DF是△EAG的中位线，∴DF∥AG，∵∠CAG=90°，∠CAB=45°，∴∠BAG=45°，∴∠EAG=135°，∴∠EDF=135°，∴∠FDA=45°，∴F为正方形ABCD的对角线的交点，CF⊥DF，此时CF最小，此时CF=12AG=22故答案为：【点睛】本题主要考查了正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．18．（-，0）【分析】先计算得到点D 的坐标，根据旋转的性质依次求出点D 旋转后的点坐标，得到变化的规律即可得到答案．【详解】∵菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，∴对角线的交点D 的坐标是（2,2），∴OD ==将菱形绕点O 以每秒45︒的速度逆时针旋转，旋转1次后坐标是（0，），旋转2次后坐标是（-2,2），旋转3次后坐标是（-，0），旋转4次后坐标是（-2，-2），旋转5次后坐标是（0，-旋转6次后坐标是（2，-2），旋转7次后坐标是（,0），旋转8次后坐标是（2,2）旋转9次后坐标是（0，由此得到点D 旋转后的坐标是8次一个循环，∵201982523÷=，∴第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为（-，0）故答案为：（-0）．【点睛】此题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角坐标系中点坐标的变化规律，根据点D 的坐标依次求出旋转后的坐标得到变化规律是解题的关键．19．8或3【分析】根据AE 和DF 是否相交分类讨论，分别画出对应的图形，根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边即可得出结论．【详解】解：①当AE 和DF 相交时，如下图所示∵四边形ABCD为平行四边形，AD=11，EF=5，∴BC=AD=11，AD∥BC，AB=CD∴∠DAE=∠BEA，∠ADF=∠CFD∵AE 平分∠BAD，DF 平分∠ADC∴∠DAE=∠BAE，∠ADF=∠CDF∴∠BEA=∠BAE，∠CFD=∠CDF∴BE=AB，CF=CD∴BE=AB= CD= CF∵BE＋CF=BC＋EF∴2AB=11＋5解得：AB=8；②当AE和DF不相交时，如下图所示∵四边形ABCD为平行四边形，AD=11，EF=5，∴BC=AD=11，AD∥BC，AB=CD∴∠DAE=∠BEA，∠ADF=∠CFD∵AE 平分∠BAD，DF 平分∠ADC∴∠DAE=∠BAE，∠ADF=∠CDF∴∠BEA=∠BAE，∠CFD=∠CDF∴BE=AB，CF=CD∴BE=AB= CD= CF∵BE＋CF＋EF =BC∴2AB＋5=11解得：AB=3综上所述：AB=8或3故答案为：8或3．【点睛】此题考查的是平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等腰三角形的性质，掌握平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边是解决此题的关键．20．2【分析】根据平行四边形的性质、角平分线的性质证明AD=DE=3，再根据BAD BEC ∠=∠证明BC=BE ，由此根据三角形的三线合一及勾股定理求出BF ，即可求出平行四边形的面积.【详解】过点B 作BF CD ⊥于点F ，如图所示．∵AE 是BAD ∠的平分线，∴DAE BAE ∠=∠．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴53CD AB BC AD BAD BCE AB CD ====∠=∠，，，∥， ∴BAE DEA ∠=∠，∴DAE DEA ∠=∠，∴3DE AD ==，∴2CE CD DE =-=．∵BAD BEC ∠=∠，∴BCE BEC ∠=∠，∴BC=BE, ∴112CF EF CE ===， ∴22223122BF BC CF =-=-=∴平行四边形ABCD 的面积为225102BF CD ⋅==． 故答案为：2【点睛】此题考查平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，等腰三角形的等角对等边的性质、三线合一的性质，勾股定理.三、解答题21．（1）见解析；（2）当ADC 满足90ADC ∠=︒时，四边形OCFD 为菱形，证明详见解析【分析】（1）证明四边形OCFD 是平行四边形，得出OD=CF ，证出OB=CF ，再证明全等即可（2）证出四边形ABCD 是矩形，由矩形的性质得出OC=OD ，即可得出四边形OCFD 为菱形.【详解】(1)证明:∵//,//CF BD DF AC ，∴四边形OCFD 是平行四边形， OBE CFE ∠=∠，∴OD CF =，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB OD =，∴OB CF =，在FCE △和BOE △中， OBE CFE BEO FEC OB CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()FCE BOE AAS ≌．(2)当ADC 满足90ADC ∠=︒时，四边形OCFD 为菱形.理由如下:∵90ADC ∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形∴,,,OA OC OB OD AC BD ===∴OC OD =，∴四边形OCFD 为菱形【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，平行四边形和菱形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质和菱形的判定是解题的关键.22．（1）四边形AGFP 是菱形，理由见解析；（2）四边形AGFP的周长为：2【分析】（1）根据矩形的性质和菱形的判定解答即可；（2）根据全等三角形的判定和性质，以及利用勾股定理解答即可．【详解】解：（1）四边形AGFP 是菱形，理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAP ＝90°，∵PF ⊥BD ，PA ＝PF ，∴∠PBA ＝∠PBF ，∵AE ⊥BD ，∴∠PBF+∠BGE ＝90°，∵∠BAP ＝90°，∴∠PBA+∠APB ＝90°，∴∠APB ＝∠BGE ，∵∠AGP ＝∠BGE ，∴∠APB ＝∠AGP ，∴AP ＝AG ，∵PA ＝PF ，∴AG ＝PF ，∵AE ⊥BD ，PF ⊥BD ，。
人教版八年级第二学期5月份 月考检测数学试卷含解析
一、选择题1．在菱形ABCD 中，60ADC ∠=︒，点E 为AB 边的中点，点P 与点A 关于DE 对称，连接DP 、BP 、CP ，下列结论：①DP CD =；②222AP BP CD +=；③75DCP ∠=︒；④150CPA ∠=︒，其中正确的是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④2．如图，正方形ABCD 的边长为2a ，点E 从点A 出发沿着线段AD 向点D 运动(不与点A 、D 重合)，同时点F 从点D 出发沿着线段DC 向点C 运动(不与点D 、C 重合)，点E 与点F 的运动速度相同．BE 与AF 相交于点G ，H 为BF 中点，则有下列结论：①∠BGF 是定值；②BF 平分∠CBE ；③当E 运动到AD 中点时，GH=52a ；④当C △AGB = (2)6a +时，S 四边形GEDF =16a 2 ，其中正确的是( )A ．①③B ．①②③C ．①③④D ．①④3．如图，在平行四边形ABCD 中，120C ∠=︒，28AD AB ==，点H 、G 分别是边AD 、BC 上的动点．连接AH 、HG ，点E 为AH 的中点，点F 为GH 的中点，连接EF ．则EF 的最大值与最小值的差为（ ）A ．2B ．32-C 3D ．434．如图，依次连结第一个菱形各边的中点得到一个矩形，再依次连结矩形各边的中点得到第二个菱形，按此方法继续下去．已知第一个菱形的面积为1，则第4个菱形的面积是（ ）A．14B．116C．132D．1645．如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片，使AD落在BC 上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB，AC于点E、G，连结GF，给出下列结论①∠AGD＝110.5°；②S△AGD＝S△OGD；③四边形AEFG是菱形；④BF＝2OF；⑤如果S△OGF＝1，那么正方形ABCD的面积是12+82，其中正确的有（）个．A．2个B．3个C．4个D．5个6．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD＝12AC，M、N、P分别是OA、OB、CD的中点，下列结论：①CN⊥BD；②MN＝NP；③四边形MNCP是菱形；④ND平分∠PNM．其中正确的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个7．如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，过点E作EF∥CD，交AD于F，交对角线BD于G，取DG的中点H，连结AH，EH，FH．下列结论：①∠EFH＝45°；②△AHD≌△EHF；③∠AEF+∠HAD＝45°；④若BEEC＝2，则1113BEHAHESS．其中结论正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④8．如图，在ABCD 中，2,AB AD F =是CD 的中点，作BE AD ⊥于点E ，连接EF BF 、，下列结论:①CBF ABF ∠=∠；②FE FB =；③2EFB S S ∆=四边形DEBC ；④3BFE DEF ∠=∠；其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，ABCD 的对角线,AC BD 交于点,O DE 平分ADC ∠交BC 于点,60,E BCD ∠=︒2,AD AB =连接OE ．下列结论：ABCD S AB BD =⋅①；DB ②平分ADE ∠；AB DE =③；CDE BOC S S =④，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP=EF ；②△APD 一定是等腰三角形；③AP ⊥EF ；④22PD=EF ．其中正确结论的番号是（ ）A ．①③④B ．①②③C ．①③D ．①②④二、填空题11．在平行四边形ABCD 中， BC 边上的高为4 ，AB =5 ，25AC =，则平行四边形ABCD 的周长等于______________ ．-，顶点D坐标为12．如图，菱形ABCD的BC边在x轴上，顶点C坐标为(3,0)(0,4)，点E在y轴上，线段//EF x轴，且点F坐标为(8,6)，若菱形ABCD沿x轴左右运动，连接AE、DF，则运动过程中，四边形ADFE周长的最小值是_______．∠的平分线交DC于点E，若P，Q分别是AD和AE上13．如图，正方形ABCD中，DAC的动点，则DQ+PQ能取得最小值4时，此正方形的边长为______________．14．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF，其中正确的有_____．15．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF=20°，则∠AED等于__度．16．在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上运动，点M为线段AB的中点．点D、E分别在x轴、y轴的负半轴上运动，且DE＝AB＝10．以DE为边在第三象限内作正方形DGFE，则线段MG长度的最大值为_____．17．已知：一组邻边分别为6cm 和10cm 的平行四边形ABCD ，DAB ∠和ABC ∠的平分线分别交CD 所在直线于点E ，F ，则线段EF 的长为________cm ．18．如图，矩形纸片ABCD ，AB =5，BC =3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP =OF ，则AF 的值为______．19．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若点D 是斜边AB 的中点，则CD ＝12AB ，运用：如图2，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED 连接BE ，CE ，DE ，则CE 的长为_____．20．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以AC 为斜边作Rt △ADC ，若∠CAD ＝∠BAC ＝45°，则下列结论：①CD ∥EF ；②EF ＝DF ；③DE 平分∠CDF ；④∠DEC ＝30°；⑤AB ＝2CD ；其中正确的是_____（填序号）三、解答题21．如图，在矩形ABCD 中，AD nAB =，E ，F 分别在AB ，BC 上．（1）若1n =，①如图，AF DE ⊥，求证：AE BF =；②如图，点G 为点F 关于AB 的对称点，连结AG ，DE 的延长线交AG 于H ，若AH AD =，猜想AE 、BF 、AG 之间的数量关系，并证明你的猜想．（2）如图，若M 、N 分别为DC 、AD 上的点，则EM FN的最大值为_____（结果用含n 的式子表示）；（3）如图，若E 为AB 的中点，ADE EDF ∠=∠．则CF BF的值为_______（结果用含n 的式子表示）．22．在数学的学习中，有很多典型的基本图形．（1）如图①，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为D 、E ．试说明ABD CAE ≌；（2）如图②，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、A 、F 在同一条直线上，BD DF ⊥，3AD =，4BD =．则菱形AEFC 面积为______．（3）如图③，分别以Rt ABC 的直角边AC 、AB 向外作正方形ACDE 和正方形ABFG ，连接EG ，AH 是ABC 的高，延长HA 交EG 于点I ，若6AB =，8AC =，求AI 的长度．23．如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别为OB 、OD 的中点，延长AE 至G ，使EG AE =，连接CG ．（1）求证：AOE COF ∆≅∆；（2）四边形EGCF 是平行四边形吗？请说明理由；（3）若四边形EGCF 是矩形，则线段AB 、AC 的数量关系是______．24．如图1所示，把一个含45°角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C 重合，点E ，F 分别在正方形的边CB ，CD 上，连接AE 、AF ．(1)求证：AE ＝AF ；(2)取AF 的中点M ，EF 的中点N ，连接MD ，MN ．则MD ，MN 的数量关系是 ，MD 、MN 的位置关系是(3)将图2中的直角三角板ECF ，绕点C 旋转180°，如图3所示，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．25．感知：如图①，在正方形ABCD 中，E 是AB 一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE ＝，求证：CE CF ＝；拓展：在图①中，若G 在AD ，且45GCE ∠︒＝，则GE BE GD +＝成立吗？为什么？ 运用：如图②在四边形ABCD 中，()//AD BC BC AD ＞，90A B ∠∠︒＝＝，16AB BC ＝＝，E 是AB 上一点，且45DCE ∠︒＝，4BE ＝，求DE 的长．26．在平面直角坐标中，四边形OCNM 为矩形，如图1，M 点坐标为（m ，0），C 点坐标为（0，n ），已知m ，n 满足550n m -+-=．（1）求m ，n 的值；（2）①如图1，P ，Q 分别为OM ，MN 上一点，若∠PCQ ＝45°，求证：PQ ＝OP+NQ ； ②如图2，S ，G ，R ，H 分别为OC ，OM ，MN ，NC 上一点，SR ，HG 交于点D ．若∠SDG ＝135°，55HG =，则RS ＝______； （3）如图3，在矩形OABC 中，OA ＝5，OC ＝3，点F 在边BC 上且OF ＝OA ，连接AF ，动点P 在线段OF 是（动点P 与O ，F 不重合），动点Q 在线段OA 的延长线上，且AQ ＝FP ，连接PQ 交AF 于点N ，作PM ⊥AF 于M ．试问：当P ，Q 在移动过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若不变求出线段MN 的长度；若变化，请说明理由．27．（1）问题探究：如图①，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E 是BC 的中点，AE 是∠BAD的平分线，则线段AB ，AD ，DC 之间的等量关系为 ；（2）方法迁移：如图②，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AF 与DC 的延长线交于点F ，E 是BC 的中点，AE 是∠BAF 的平分线，试探究线段AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论；（3）联想拓展：如图③，AB ∥CF ，E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，∠EDF ＝∠BAE ，试探究线段AB ，DF ，CF 之间的数量关系，并证明你的结论．28．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是AC 的一点，连接EB ，过点A 做AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 与BD 相交于点F ．（1）猜想：如图（1）线段OE 与线段OF 的数量关系为 ；（2）拓展：如图（2），若点E 在AC 的延长线上，AM ⊥BE 于点M ，AM 、DB 的延长线相交于点F ，其他条件不变，（1）的结论还成立吗？如果成立，请仅就图（2）给出证明；如果不成立，请说明理由．29．如图，在四边形OABC 是边长为4的正方形点P 为OA 边上任意一点（与点O A 、不重合），连接CP ，过点P 作PM CP ⊥，且PM CP =，过点M 作MN AO ∥，交BO 于点,N 联结BM CN 、，设OP x =.（1）当1x =时，点M 的坐标为（ ， ）（2）设CNMB S y =四形边，求出y 与x 的函数关系式，写出函数的自变量的取值范围.（3）在x 轴正半轴上存在点Q ，使得QMN 是等腰三角形，请直接写出不少于4个符合条件的点Q 的坐标（用x 的式子表示）30．如图，在矩形 ABCD中， AB=16 ， BC=18 ，点 E在边 AB 上，点 F 是边 BC 上不与点B、C 重合的一个动点，把△EBF沿 EF 折叠，点B落在点 B' 处.(I)若 AE=0 时，且点 B' 恰好落在 AD 边上，请直接写出 DB' 的长；(II)若 AE=3 时，且△CDB' 是以 DB' 为腰的等腰三角形，试求 DB' 的长；(III)若AE=8时，且点 B' 落在矩形内部（不含边长），试直接写出 DB' 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】如图，设DE交AP于0，根据菱形的性质、翻折不变性-判断即可解决问题；【详解】解：如图，设DE交AP于O.∵四边形ABCD 是菱形∴DA=DC=AB∵A.P 关于DE 对称，∴DE ⊥AP ，OA=OP∴DA=DP∴DP=CD ，故①正确∵AE=EB ，AO=OP∴OE//PB ，∴PB ⊥PA∴∠APB=90°∴2222PA PB AB CD +==，故②正确若∠DCP=75°，则∠CDP=30°∵LADC=60°∴DP 平分∠ADC ，显然不符合题意，故③错误；∵∠ADC=60°，DA=DP=DC∴∠DAP=∠DPA ，∠DCP=∠DPC ，∠CPA=（360°-60°）=150°，故④正确. 故选：C【点睛】本题考查菱形的性质、轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.2．A解析：A【解析】【分析】根据题意很容易证得△BAE ≌△ADF ，即可得到AF=BE ，利用正方形内角为90°，得出AF ⊥DE,即可判断①，②无法判断，③根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解. ④根据△BAE ≌△ADF ，即可得到S 四边形GEDF ,ABG S = 即可求解.【详解】①证明：∵E 在AD 边上(不与A.D 重合),点F 在DC 边上(不与D.C 重合).又∵点E.F 分别同时从A. D 出发以相同的速度运动，∴AE =DF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴,90AB DA BAE D =∠=∠=，在△BAE 和△ADF 中，90AE DE BAE ADF AB AD =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩， ∴△BAE ≌△ADF (SAS )，∴∠1=∠2，∵2390∠+∠=∴1390∠+∠=即90AGB ∠=90,BGF ∠=∠BGF 是定值；正确.②无法判断GBF ∠与CBF ∠的大小， BF 平分∠CBE ；错误.③当E 运动到AD 中点时，点F 运动到CD 中点，1,2CF CD a == 225,BF BC CF a =+= GH=15,2BF ==正确. ④△BAE ≌△ADF,则S 四边形GEDF ,ABG S = 当C △AGB =)62a 时， 6,AG GB a +=()222226,AG GB AG AG GB GB a +=+⋅+=22224,AG BG AB a +==222,AG GB a ∴⋅=211,22ABG S AG GB a =⋅=S 四边形GEDF =12a 2 ，故S 四边形GEDF =16a 2 ，错误. 故选A.【点睛】 考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.3．C解析：C【分析】如图，取AD 的中点M ，连接CM 、AG 、AC ，作AN ⊥BC 于N ．首先证明∠ACD ＝90°，求出AC ，AN ，利用三角形中位线定理，可知EF ＝12AG ，求出AG 的最大值以及最小值即可解决问题．【详解】解：如图，取AD 的中点M ，连接CM 、AG 、AC ，作AN ⊥BC 于N ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD ＝120°，28AD AB ==∴∠D ＝180°−∠BCD ＝60°，AB ＝CD ＝4，∵AM ＝DM ＝DC ＝4，∴△CDM 是等边三角形，∴∠DMC ＝∠MCD ＝60°，AM ＝MC ，∴∠MAC ＝∠MCA ＝30°，∴∠ACD ＝90°，∴AC ＝43在Rt △ACN 中，∵AC ＝3ACN ＝∠DAC ＝30°，∴AN ＝12AC ＝3∵AE ＝EH ，GF ＝FH ，∴EF ＝12AG ， ∵点G 在BC 上，∴AG 的最大值为AC 的长，最小值为AN 的长，∴AG 的最大值为4323∴EF 的最大值为233∴EF 3【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明∠ACD＝90°，属于中考选择题中的压轴题．4．D解析：D【分析】易得第二个菱形的面积为（12）2，第三个菱形的面积为（12）4，依此类推，第n个菱形的面积为（12）2n-2，把n=4代入即可．【详解】解：已知第一个菱形的面积为1；则第二个菱形的面积为原来的（12）2，第三个菱形的面积为（12）4，依此类推，第n个菱形的面积为（12）2n-2，当n=4时，则第4个菱形的面积为（12）2×4-2=(12)6=164．故选：D．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．5．B解析：B【分析】①由四边形ABCD是正方形，可得∠GAD＝∠ADO＝45°，又由折叠的性质，可求得∠ADG 的度数，从而求得∠AGD；②证△AEG≌△FEG得AG＝FG，由FG＞OG即可得；③先计算∠AGE＝∠GAD+∠ADG＝67.5°，∠AED=∠AGD－∠EAG=67.5°，从而得到∠AGE＝∠AED，易得AE=AG，由AE＝FE、AG＝FG即可得证；④设OF＝a，先求得∠EFG＝45°，易得∠GFO＝45°，在Rt△OFG中，GF a，从而可证得BF＝EF＝GF；⑤由S△OGF＝1求出a2，再表示出BE及AE的长，利用正方形的面积公式可得出结论．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAG=∠GAD＝∠ADO＝45°，∠AOB=90°，由折叠的性质可得：∠ADG＝12∠ADO＝22.5°，∴∠AGD＝180°－∠GAD－∠ADG＝112.5°，故①错误；由折叠的性质可得：AE＝EF，∠AEG＝∠FEG，在△AEG和△FEG中，AE FEAEG FEGEG EG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEG≌△FEG（SAS），∴AG＝FG，∵在Rt△GOF中，AG＝FG＞GO，∴S△AGD＞S△OGD，故②错误；∵∠AGE＝∠GAD+∠ADG＝67.5°，∠AED=∠AGD－∠EAG=67.5°，∴∠AGE＝∠AED，∴AE＝AG，又∵AE＝FE，AG＝FG，∴AE＝EF＝GF＝AG，∴四边形AEFG是菱形，故③正确；设OF＝a，∵△AEG≌△FEG，∴∠EFG＝∠EAG=45°，又∵∠EFO＝90°，∴∠GFO＝45°，∴在Rt△OFG中，GF，∵∠EFO＝90°，∠EBF＝45°，∴在Rt△EBF中，BF＝EF＝GFa，即BFOF，故④正确；∵S△OGF＝1，∴12OF2＝1，即12a2＝1，则a2＝2，∵BF＝EFa，且∠BFE＝90°，∴BE＝2a，又∵AE＝EF，∴AB＝AE+BE+2a＝)a，则正方形ABCD的面积是)2a2＝(6+＝12+故选：B．【点睛】本题考查了四边形的综合，熟练掌握正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及全等三角形、菱形的判定与性质等知识是解题的关键.6．C解析：C【分析】证出OC＝BC，由等腰三角形的性质得CN⊥BD，①正确；证出MN是△AOB的中位线，得MN∥AB，MN＝12AB，由直角三角形的性质得NP＝12CD，则MN＝NP，②正确；周长四边形MNCP是平行四边形，无法证明四边形MNCP是菱形；③错误；由平行线的性质和等腰三角形的性质证出∠MND＝∠PND，则ND平分∠PNM，④正确；即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，OA＝OC＝12 AC，∵AD＝12 AC，∴OC＝BC，∵N是OB的中点，∴CN⊥BD，①正确；∵M、N分别是OA、OB的中点，∴MN是△AOB的中位线，∴MN∥AB，MN＝12 AB，∵CN⊥BD，∴∠CND＝90°，∵P是CD的中点，∴NP＝12CD＝PD＝PC，∴MN＝NP，②正确；∵MN∥AB，AB∥CD，∴MN∥CD，又∵NP＝PC，MN＝NP，∴MN＝PC，∴四边形MNCP是平行四边形，无法证明四边形MNCP是菱形；③错误；∵MN∥CD，∴∠PDN＝∠MND，∵NP＝PD，∴∠PDN ＝∠PND ，∴∠MND ＝∠PND ，∴ND 平分∠PNM ，④正确；正确的个数有3个，故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质等；熟练掌握三角形中位线定理、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．7．A解析：A【分析】①根据正方形的性质证明∠ADB ＝45°，进而得△DFG 为等腰直角三角形，根据等腰三角形的三线合一性质得∠EFH ＝12∠EFD ＝45°，故①正确； ②根据矩形性质得AF ＝EB ，∠BEF ＝90°，再证明△AFH ≌△EGH 得EH ＝AH ，进而证明△EHF ≌△AHD ，故②正确；③由△EHF ≌△AHD 得∠EHF ＝∠AHD ，怀AH ＝EH 得∠AEF +∠HEF ＝45°，进而得∠AEF +∠HAD ＝45°，故③正确；④如图，过点H 作MN ⊥AD 于点M ，与BC 交于点N ，设EC ＝FD ＝FG ＝x ，则BE ＝AF ＝EG ＝2x ，BC ＝DC ＝AB ＝AD ＝3x ，HM ＝12x ，AM ＝52x ，HN ＝52x ，由勾股定理得AH 2，再由三角形的面积公式得BEH AHE S S ，便可判断④的正误．【详解】 证明：①在正方形ABCD 中，∠ADC ＝∠C ＝90°，∠ADB ＝45°，∵EF ∥CD ，∴∠EFD ＝90°，∴四边形EFDC 是矩形．在Rt △FDG 中，∠FDG ＝45°，∴FD ＝FG ，∵H 是DG 中点，∴∠EFH＝12∠EFD＝45°故①正确；②∵四边形ABEF是矩形，∴AF＝EB，∠BEF＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠EBG＝∠EGB＝45°，∴BE＝GE，∴AF＝EG．在Rt△FGD中，H是DG的中点，∴FH＝GH，FH⊥BD，∵∠AFH＝∠AFE+∠GFH＝90°+45°＝135°，∠EGH＝180°﹣∠EGB＝180°﹣45°＝135°，∴∠AFH＝∠EGH，∴△AFH≌△EGH（SAS），∴EH＝AH，∵EF＝AD，FH＝DH，∴△EHF≌△AHD（SSS），故②正确；③∵△EHF≌△AHD，∴∠EHF＝∠AHD，∴∠AHE＝∠DHF＝90°，∵AH＝EH，∴∠AEH＝45°，即∠AEF+∠HEF＝45°，∵∠HEF＝∠HAD，∴∠AEF+∠HAD＝45°，故③正确；④如图，过点H作MN⊥AD于点M，与BC交于点N，设EC＝FD＝FG＝x，则BE＝AF＝EG＝2x，∴BC＝DC＝AB＝AD＝3x，HM＝12x，AM＝52x，HN＝52x，∴22225113222AH x x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝， ∴211021132BEH AHE BE HN S =S AH ⋅=， 故④错误；故选：A ．【点睛】本题主要考查正方形的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，这是一道几何综合型题，关键是根据正方形的性质得到线段的等量关系，然后利用矩形、等腰三角形的性质进行求解即可．8．C解析：C【分析】由平行四边形的性质结合AB=2AD ，CD=2CF 可得CF=CB ，从而可得∠CBF=∠CFB ，再根据CD ∥AB ，得∠CFB=∠ABF ，继而可得CBF ABF ∠=∠，可以判断①正确；延长EF 交BC 的延长线与M ，证明△DFE 与△CFM(AAS)，继而得EF=FM=12EM ，证明∠CBE=∠AEB=90°，然后根据直角三角形斜边中线的性质即可判断②正确；由上可得S △BEF =S △BMF ，S △DFE =S △CFM ，继而可得S △EBF =S △BMF =S △EDF +S △FBC ，继而可得2EFB S S ∆=四边形DEBC ，可判断③正确；过点F 作FN ⊥BE ，垂足为N ，则∠FNE=90°，则可得AD//FN ，则有∠DEF=∠EFN ，根据等腰三角形的性质可得∠BFE=2∠EFN ，继而得∠BFE=2∠DEF ，判断④错误.【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，AB=CD ，AD//BC ，∵AB=2AD ，CD=2CF ，∴CF=CB ，∴∠CBF=∠CFB ，∵CD ∥AB ，∴∠CFB=∠ABF ，∴CBF ABF ∠=∠，故①正确；延长EF 交BC 的延长线与M ，∵AD//BC ，∴∠DEF=∠M ，又∵∠DFE=∠CFM ，DF=CF ，∴△DFE 与△CFM(AAS)，∴EF=FM=12EM ， ∵BF ⊥AD ，∴∠AEB=90°，∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠CBE=∠AEB=90°，∴BF=12EM ， ∴BF=EF ，故②正确；∵EF=FM ，∴S △BEF =S △BMF ，∵△DFE ≌△CFM ，∴S △DFE =S △CFM ，∴S △EBF =S △BMF =S △EDF +S △FBC ，∴2EFB S S ∆=四边形DEBC ，故③正确；过点F 作FN ⊥BE ，垂足为N ，则∠FNE=90°，∴∠AEB=∠FEN ，∴AD//EF ，∴∠DEF=∠EFN ，又∵EF=FB ，∴∠BFE=2∠EFN ，∴∠BFE=2∠DEF ，故④错误，所以正确的有3个，故选C.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判断与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.9．D解析：D【分析】求得∠ADB ＝90°，即AD ⊥BD ，即可得到S ▱ABCD ＝AD•BD ；依据∠CDE ＝60°，∠BDE ＝30°，可得∠CDB ＝∠BDE ，进而得出DB 平分∠CDE ；依据Rt △BCD 中，斜边上的中线DE ＝斜边BC 的一半，即可得到AD ＝BC ＝2DE ，进而得到AB ＝DE ；依据OE 是中位线，即可得到OE∥CD，因为两平行线间的距离相等，进而得到S△CDE＝S△OCD，再根据OC是△BCD的中线，可得S△BOC＝S△COD，即可得到S△CDE＝S△BOC．【详解】∵∠BCD＝60°，四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝180°－∠BCD＝120°，BC//AD，BC＝AD，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠CED＝60°＝∠BCD，∴△CDE是等边三角形，∴CE＝CD＝ AD＝ BC，∴E是BC的中点，∴DE＝BE，∴∠BDE＝∠CED＝30°，∴∠CDB＝90°，即CD⊥BD，∴S▱ABCD＝CD•BD＝AB•BD，故①正确；∵∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，∴∠ADB＝30°＝∠BDE，∴DB平分∠CDE，故②正确；∵△CDE是等边三角形，∴DE＝CD＝AB，故③正确；∵O是BD的中点，E是BC的中点，∴OE是△CBD的中位线，∴OE∥CD，∴S△OCD＝S△CDE，∵OC是△BCD的中线，∴S△BOC＝S△COD，∴S△CDE＝S△BOC，故④正确，故选D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线、平行线间的距离相等、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关性质与定理是解题的关键.10．C解析：C【分析】过P作PG⊥AB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP≌△FPE 后即可证明①AP=EF；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得2DP EC，即可得到答案．【详解】证明：过P作PG⊥AB于点G，∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，∴GP=EP，在△GPB中，∠GBP=45°，∴∠GPB=45°，∴GB=GP，同理，得PE=BE，∵AB=BC=GF，∴AG=AB-GB，FP=GF-GP=AB-GB，∴AG=PF，∴△AGP≌△FPE，∴AP=EF；故①正确；延长AP到EF上于一点H，∴∠PAG=∠PFH，∵∠APG=∠FPH，∴∠PHF=∠PGA=90°，即AP⊥EF；故③正确；∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP=45度，∴当∠PAD=45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形，除此之外，△APD不是等腰三角形，故②错误．∵GF∥BC，∴∠DPF=∠DBC，又∵∠DPF=∠DBC=45°，∴∠PDF=∠DPF=45°，∴PF=EC，∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，∴22DP EC，故④错误．∴正确的选项是①③；故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．二、填空题11．12或20【分析】根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．【详解】解：情况一：当BC边上的高在平行四边形的内部时，如图1所示：在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=25，在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222(25)42CE AC AE，在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222=-=-=,BE AB AE543∴BC=BE+CE=3+2=5,此时平行四边形ABCD的周长等于2×(AB+BC)=2×(5+5)=20；情况二：当BC边上的高在平行四边形的外部时，如图2所示：在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE=4，AB=5，AC=25在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222CE AC AE，(25)42在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222-=-,BE AB AE543∴BC=BE-CE=3-2=1,∴平行四边形ABCD的周长为2×(AB+BC)=2×(5+1)=12,综上所述，平行四边形ABCD的周长等于12或20．故答案为：12或20．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，分高在平行四边形内部还是外部讨论是解题关键．12．18【分析】由题意可知AD、EF是定值，要使四边形ADFE周长的最小，AE＋DF的和应是最小的，运用“将军饮马”模型作点E关于AD的对称点E1，同时作DF∥AF1，此时AE＋DF的和即为E 1F 1，再求四边形ADFE 周长的最小值．【详解】在Rt △COD 中，OC ＝3，OD ＝4，CD ＝22OC +OD =5，∵ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ＝5，∵F 坐标为(8,6)，点E 在y 轴上，∴EF ＝8，作点E 关于AD 的对称点E 1，同时作DF ∥AF 1，则E 1（0，2），F 1（3，6），则E 1F 1即为所求线段和的最小值，在Rt △AE 1F 1中，E 1F 1＝22211EE +EF =-+(8-5)=52(62)， ∴四边形ADFE 周长的最小值＝AD ＋EF ＋AE ＋DF ＝ AD ＋EF ＋ E 1F 1＝5＋8＋5＝18．【点睛】本题考查菱形的性质、“将军饮马”作对称点求线段和的最小值，比较综合，难度较大． 13．2【分析】作P 点关于线段AE 的对称点P '，根据轴对称将DQ PQ +转换成DP '，然后当DP AC '⊥的时候DP '是最小的，得到DP '长，最后求出正方形边长DC ．【详解】∵AE 是DAC ∠的角平分线，∴P 点关于线段AE 的对称点一定在线段AC 上，记为P '由轴对称可以得到PQ P Q '=，∴DQ PQ DQ P Q DP ''+=+=，如图，当DP AC '⊥的时候DP '是最小的，也就是DQ PQ +取最小值4，∴4DP '=，由正方形的性质P '是AC 的中点，且DP P C ''=，在Rt DCP '中，2222443242DC DP P C ''=+=+==．故答案是：42．【点睛】本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是能够分析出DQ PQ +取最小值的状态，并将它转换成DP '去求解．14．①②③④【分析】①根据角平分线的定义可得∠BAE =∠DAE =45°，可得出△ABE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE 2=，从而得到AE =AD ，然后利用“角角边”证明△ABE 和△AHD 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE =DH ，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE =∠AED =67.5°，根据平角等于180°求出∠CED =67.5°，从而判断出①正确； ②求出∠AHB =67.5°，∠DHO =∠ODH =22.5°，然后根据等角对等边可得OE =OD =OH ，判断出②正确；③求出∠EBH =∠OHD =22.5°，∠AEB =∠HDF =45°，然后利用“角边角”证明△BEH 和△HDF 全等，根据全等三角形对应边相等可得BH =HF ，判断出③正确；④根据全等三角形对应边相等可得DF =HE ，然后根据HE =AE ﹣AH =BC ﹣CD ，BC ﹣CF =BC ﹣（CD ﹣DF ）=2HE ，判断出④正确；⑤判断出△ABH 不是等边三角形，从而得到AB ≠BH ，即AB ≠HF ，得到⑤错误．【详解】 ∵在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，∴∠BAE =∠DAE =45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AE 2=． ∵AD 2=，∴AE =AD ．在△ABE 和△AHD 中，∵90BAE DAE ABE AHD AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△AHD （AAS ），∴BE =DH ，∴AB =BE =AH =HD ，∴∠ADE =∠AED 12=（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED =180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED =∠CED ，故①正确；∵∠AHB 12=（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE =∠AHB （对顶角相等），∴∠OHE =∠AED ，∴OE =OH ．∵∠DOH =90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH =67.5°﹣45°=22.5°，∴∠DOH =∠ODH ，∴OH =OD ，∴OE =OD =OH ，故②正确；∵∠EBH =90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH =∠OHD ．在△BEH 和△HDF 中，∵EBH OHD BE DH AEB HDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BEH ≌△HDF （ASA ），∴BH =HF ，HE =DF ，故③正确；由上述①、②、③可得CD =BE 、DF =EH =CE ，CF =CD ﹣DF ，∴BC ﹣CF =（CD +HE ）﹣（CD ﹣HE ）=2HE ，所以④正确；∵AB =AH ，∠BAE =45°，∴△ABH 不是等边三角形，∴AB ≠BH ，∴即AB ≠HF ，故⑤错误；综上所述：结论正确的是①②③④．故答案为①②③④．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．15．65【分析】先由正方形的性质得到∠ABF 的角度，从而得到∠AEB 的大小，再证△AEB ≌△AED ，得到∠AED 的大小【详解】∵四边形ABCD 是正方形∴∠ACB=∠ACD=∠BAC=∠CAD=45°，∠ABC=90°，AB=AD∵∠FBC=20°，∴ABF=70°∴在△ABE 中，∠AEB=65°在△ABE 与△ADE 中45AB AD BAE EAD AE AE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE≌△ADE∴∠AED=∠AEB=65°故答案为：65°【点睛】本题考查正方形的性质和三角形全等的证明，解题关键是利用正方形的性质，推导出∠AEB 的大小.16．10+55【分析】取DE 的中点N ，连结ON 、NG 、OM ．根据勾股定理可得55NG =．在点M 与G 之间总有MG ≤MO+ON+NG （如图1），M 、O 、N 、G 四点共线，此时等号成立（如图2）．可得线段MG 的最大值．【详解】如图1，取DE 的中点N ，连结ON 、NG 、OM ．∵∠AOB＝90°，∴OM＝12AB ＝5． 同理ON ＝5． ∵正方形DGFE ，N 为DE 中点，DE ＝10，∴222210555NG DN DG ++＝＝＝．在点M 与G 之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1），如图2，由于∠DNG 的大小为定值，只要∠DON＝12∠DNG，且M 、N 关于点O 中心对称时，M 、O 、N 、G 四点共线，此时等号成立，∴线段MG取最大值5故答案为：5【点睛】此题考查了直角三角形的性质，勾股定理，四点共线的最值问题，得出M、O、N、G四点共线，则线段MG长度的最大是解题关键．17．2或14【分析】利用当AB=10cm,AD=6cm，由于平行四边形的两组对边互相平行，又AE平分∠BAD，由此可以推出所以∠BAE=∠DAE，则DE=AD=6cm；同理可得：CF=CB=6cm，而EF=CF+DE-DC，由此可以求出EF长；同理可得：当AD=10cm,AB=6cm时，可以求出EF长【详解】解：如图1，当AB=10cm,AD=6cm∵AE平分∠BAD∴∠BAE=∠DAE，又∵AD∥CB∴∠EAB=∠DEA，∴∠DAE=∠AED，则AD=DE=6cm同理可得：CF=CB=6cm∵EF=DE+CF-DC=6+6-10=2(cm)如图2，当AD=10cm,AB=6cm,∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE又∵AD∥CB∴∠EAB=∠DEA，∴∠DAE=∠AED则AD=DE=10cm同理可得，CF=CB=10cm EF=DE+CF-DC=10+10-6=14（cm）故答案为：2或14.图1 图2【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行四边形的性质、平行线的性质等知识，关键是平行四边形的不同可能性进行分类讨论．18．207【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE 、CP=EP ，由“AAS”可证△OEF ≌△OBP ，可得出OE=OB 、EF=BP ，设EF=x ，则BP=x 、DF=5-x 、BF=PC=3-x ，进而可得出AF=2+x ，在Rt △DAF 中，利用勾股定理可求出x 的值，即可得AF 的长．【详解】解：∵将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，∴DC =DE =5，CP =EP ．在△OEF 和△OBP 中，90EOF BOP B E OP OF ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩, ∴△OEF ≌△OBP （AAS ），∴OE =OB ，EF =BP ．设EF =x ，则BP =x ，DF =DE -EF =5-x ，又∵BF =OB +OF =OE +OP =PE =PC ，PC =BC -BP =3-x ，∴AF =AB -BF =2+x ．在Rt △DAF 中，AF 2+AD 2=DF 2，∴（2+x ）2+32=（5-x ）2，∴x =67∴AF =2+67=207故答案为：207 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题时常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．19 【分析】根据12•BC •AH ＝12•AB •AC ，可得AH ＝13，根据 12AD •BO ＝12BD •AH ，得OB ＝13，再根据BE ＝2OB ＝13，运用勾股定理可得EC ． 【详解】设BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，由勾股定理得：BC∵点D 是BC 的中点，∴AD ＝DC ＝DB ， ∵12•BC •AH ＝12•AB •AC ，∴AH ∵AE ＝AB ，DE ＝DB ，∴点A 在BE 的垂直平分线上，点D 在BE 的垂直平分线上，∴AD 垂直平分线段BE ， ∵12AD •BO ＝12BD •AH ，∴OB ＝13，∴BE ＝2OB ＝13， ∵DE ＝DB=CD ， ∴∠DBE=∠DEB ，∠DEC=∠DCE ，∴∠DEB+∠DEC=12×180°=90°，即：∠BEC=90°，∴在Rt △BCE 中，EC =13．故答案为：13．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，勾股定理以及翻折的性质，掌握“直角三角形斜边长的中线等于斜边的一半”以及面积法求三角形的高，是解题的关键．20．①②③⑤【分析】根据三角形中位线定理得到EF＝12AB，EF∥AB，根据直角三角形的性质得到DF＝12AC，根据三角形内角和定理、勾股定理计算即可判断．【详解】∵E，F分别是BC，AC的中点，∴EF＝12AB，EF∥AB，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，∴∠ACD＝45°，∴∠BAC＝∠ACD，∴AB∥CD，∴EF∥CD，故①正确；∵∠ADC＝90°，F是AC的中点，∴DF＝CF=12 AC，∵AB=AC，EF＝12 AB，∴EF＝DF，故②正确；∵∠CAD=∠ACD=45°，点F是AC中点，∴△ACD是等腰直角三角形，DF⊥AC，∠FDC=45°，∴∠DFC=90°，∵EF//AB，∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°，∴∠EFD=∠EFC+∠DFC=135°，∴∠FED＝∠FDE＝22.5°，∵∠FDC＝45°，∴∠CDE=∠FDC-∠FDE=22.5°，∴∠FDE=∠CDE，∴DE平分∠FDC，故③正确；∵AB＝AC，∠CAB＝45°，∴∠B＝∠ACB＝67.5°，∴∠DEC ＝∠FEC ﹣∠FED ＝45°，故④错误；∵△ACD 是等腰直角三角形，∴AC 2=2CD 2，∴AC=2CD ，∵AB=AC ，∴AB ＝2CD ，故⑤正确；故答案为：①②③⑤．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识．掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．三、解答题21．（1）①见解析；②AG FB AE =+，证明见解析；（2）21n ；（3）241n -【分析】（1）①证明△ADE ≌△BAF （ASA ）可得结论．②结论：AG=BF+AE ．如图2中，过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ，证明AE=BK ，AG=GK ，即可解决问题．（2）如图3中，设AB=a ，AD=na ，求出ME 的最大值，NF 的最小值即可解决问题． （3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，求出CF ，BF 即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，n=1，∴AD=AB ，∴四边形ABCD 是正方形，∴∠DAB=∠B=90°，∵AF ⊥DE ，∴∠ADE+∠DAF=90°，∠DAF+∠BAF=90°，∴∠ADE=∠BAF ，∴△ADE ≌△BAF （ASA ），∴AE=BF ；。
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宁波市八年级下学期数学5月月考试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共10题；共20分)
1. （2分） (2019七上·孝感月考) |－2|的相反数与2 的和是（）
A . 2
B . －2
C . 0
D . 4
2. （2分） (2019八下·海安月考) 某鞋店老板为了解各种运动鞋的销售情况，从而为进货做参考，统计了一段时间所销售的100双运动鞋的尺码，则鞋店老板最需要知道这些运动鞋尺码的（）
A . 平均数
B . 众数
C . 中位数
D . 方差
3. （2分）直角三角形两直角边边长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为（）
A . 10cm
B . 3cm
C . 4cm
D . 5cm
4. （2分） (2019八下·海安月考) 一次函数的图象经过二、三、四象限，则实数m的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分） (2019八下·海安月考) 如图，已知菱形的对角线，的长分别为6cm，8cm，
于点，则的长是（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2019八下·海安月考) 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，如果△ABC的周长比△AOB 的周长长10厘米，则矩形边AD的长是（）
A . 5厘米
B . 10厘米
C . 7.5厘米
D . 不能确定
7. （2分）已知一次函数y＝kx＋b的图像，如图所示，当x＜0时，y的取值范围是（）
A . y＞0
B . y＜0
C . －2＜y＜0
D . y＜－2
8. （2分） (2019八下·海安月考) 下列一元二次方程中，两根之和是-1的方程是（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分） (2019八下·海安月考) 如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q 分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（）
A . 2
B . 4
C .
D .
10. （2分） (2019八下·海安月考) 如图，是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y（元）与销售量x （件）之间的函数图象.下列说法：①售2件时甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家的合算；③买3件时买甲家的合算；④买乙家的1件售价为1元，其中正确的说法是（）
A . ①②
B . ①②③
C . ②③④
D . ①②③④
二、填空题 (共8题；共8分)
11. （1分）在九年级体育考试中，某校某班参加仰卧起坐测试的8名女生成绩如下（单位：次/分）：44，45，42，48，46，43，47，45，则这组数据的众数为________．
12. （1分）已知，可以取，，，中任意一个值，则直线的图象经过第四象限的概率是________.
13. （1分） (2019八下·海安月考) 若关于x的方程没有实数根,则的取值范围是________.
14. （1分） (2019八下·海安月考) 已知x1、x2是方程x2﹣3x+1=0的两个实根.则x12+3x2+1的值是________.
15. （1分） (2019八下·海安月考) 如果 =1-2a,则a的取值范围是________.
16. （1分） (2019八下·海安月考) 直线y＝—2x＋4向右平移5个单位所得的解析式为________.
17. （1分） (2019八下·海安月考) 如图，有一矩形纸片ABCD，AB=3cm，BC=9cm，现将纸片沿EF折叠，使B与D重合,折痕EF的长为________.
18. （1分） (2019八下·海安月考) 如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连结BP，过P作PQ⊥BP，
PQ交CD于Q，若AP=4 ，CQ=10，则正方形ABCD的面积为________.
三、解答题 (共8题；共100分)
19. （10分） (2019七下·甘井子期中) 解下列方程组:
（1）
（2）
20. （15分） (2019八上·兰州期末) 四川雅安发生地震后，某校学生会向全校1900名学生发起了“心系雅安”捐款活动，为了解捐款情况，学会生随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列是问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为________，图①中m的值是________；
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
21. （15分） (2019八下·海安月考) 已知直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4）.
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
（3）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4≥kx+b的解集.
22. （10分） (2019八下·海安月考) 已知关于x的方程有两个不相等的实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
23. （15分） (2019八下·海安月考) 已知：如图，在□ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点.
（1）试判断四边形AECF是什么四边形？为什么？
（2）当AB⊥AC时，四边形AECF是什么四边形？
（3）结合图形，请你添加一个条件，使其与原已知条件共同能推出四边形AECF是矩形.
24. （5分） (2019八下·海安月考) 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，每件商品降价多少元时，商场日盈利可到达2100元？
25. （15分） (2019八下·海安月考) 甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地480千米的目的地，乙车比甲车晚出发2小时(从甲车出发时开始计时).图中折线、线段分别表示甲、乙两车所行路程 (千米)与时间 (小时)之间的函数关系对应的图象(线段表示甲出发不足2小时因故停车检修).请根据图象所提供的信息，解决如下问题：
（1）求乙车所行路程与时间的函数关系式；
（2）求两车在途中第二次相遇时，它们距出发地的路程；
（3）乙车出发多长时间，甲、乙两车相距80千米？(写出解题过程)
26. （15分） (2019八下·海安月考) 直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形ABCD如图放置在平面直角坐标系中，其中点D在x轴负半轴上，直线y=x+m经过点C，交x轴于点E.
（1）请直接写出点C、点D的坐标，并求出m的值；
（2）点P（0，t）是线段OB上的一个动点（点P不与O、B重合），经过点P且平行于x轴的直线交AB于M、交CE于N.设线段MN的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
（3）点P（0，t）是y轴正半轴上的一个动点，为何值时点P、C、D恰好能组成一个等腰三角形？
参考答案一、单选题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共8题；共8分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
18-1、
三、解答题 (共8题；共100分)
19-1、
19-2、
20-1、
20-2、
20-3、
21-1、
21-2、
21-3、
22-1、
22-2、
23-1、
23-2、23-3、
24-1、
25-1、25-2、
25-3、
26-1、26-2、
26-3、。