第四章 随机解释变量问题
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第四章随机解释变量问题
1
所以参数OLS估计量 ˆ 0 , ˆ 1 仍然是无偏一致估计量
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(4-12) (4-13) （4-14）
分三种不同情况：
2．如果X与 同期不相关而异期相关，得到的参数OLS估计量有偏，但却
是一致的。由(4-12)式易知，尽管X
t与
t 同期无关，但对任一
t ，k
1
zi yi zi xi
zi
(1xi
zi xi
i
)
1
zi i
zi xi
于是
E(1)1E(
zii )
zixi
（4-23）
（4-24）
因
Z
和
X
都是随机变量，在一般情况下E(
zi i zi xi
)
0
，故
E(1) 1
（4-25）
上式说明工具变量法估计量一般不具有无偏性。
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0 ( 1 ) 1 ( 1 ) Y t C t 1 t t 1 （4-9）
在该模型中，作为解释变量的C t 1 不仅是一个随机解释变量，而且与模型的
随机干扰项 t t1 高度相关(因为C t 1 与 t 1 高度相关)，属于随机解释变量
与随机干扰项同期相关的情况。
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第二节 随机解释变量的影响
计量经济学模型一旦出现随机解释变量，且与随机干扰 项相关的话，如果仍采用普通最小二乘法估计模型参数，则 不同性质的随机解释变量问题会产生不同的后果。
以一元线性回页。
图4-1
从图形 (图4-1)上看，如果随机解释变量与随机干扰项正相关，则在抽 取样本时，容易出现X值较小的点在总体回归线下方，而X值较大的点在总 体回归线上方的情况，因此，拟合的样本回归线则可能低估(underestimate) 了截距项，而高估(overestimate)斜率项。反之，如果随机解释变量与随机 干扰项负相关，则往往导致拟合的样本回归线高估截距项，而低估斜率项。
计量经济学随机解释变量问题
P134.第四章习 题 第 2 题： 一元线性回归模 型 Yi = β0 + β 1 X i + µi；已知 var ( µi ) = σ i2 ,
Yi β 0 X i µi 1 模型： + β1 + ，对其进行 以权 变换得 二元 模型： = σi σi σi σi σi OLS 估计，证明该模型随机 干扰项满足同方差，并 求此 估计， 干扰项满足同方差， 估计量。 模型中 的 β 1 估计量。
λC t -1 − λµt -1 − λβ0 = β1Yt -1
e
随机解释变量问题. 模型存在 随机解释变量问题
随机解释变量问题对模型参数估计的影响
1. 不相关时， 当随机解释变量 X 2 与随机干扰项 µt 不相关时， 估计仍然无偏。 模型的 OLS 估计仍然无偏。 2.当 cov ( X 2 , µ ) ≠ 0时 , 模型的 OLS 估计是一定是有偏的， 估计是一定是有偏的，
* * Yi* = β0 X 1 + β1 X 2 + µ* (为二元线性回归模型 ) i
(
ˆ Y − Yi*
* i
) = ∑(
2
ˆ * ˆ * Y − β0 X 1 − β 1 X 2
* i
)
2
∂ ∑ e i2 =0 ˆ * ˆ * * 2∑ Yi* − β0 X 1 − β1 X 2 X 1 = 0; ∂β0 ⇒ 2 ˆ * ˆ * * ∂ ∑ ei 2∑ Yi* − β0 X 1 − β1 X 2 X 2 = 0; =0 ∂β 1
S4.4随机解释变量问题 随机解释变量问题
当单方程计量经济学模型的解释变 量不是假设当中的确定性变量， 量不是假设当中的确定性变量，而是随 机变量，并且与随机误差项相关时， 机变量，并且与随机误差项相关时，这 种情形我们称之为随机解释变量问题 随机解释变量问题。 种情形我们称之为随机解释变量问题。
Yi β 0 X i µi 1 模型： + β1 + ，对其进行 以权 变换得 二元 模型： = σi σi σi σi σi OLS 估计，证明该模型随机 干扰项满足同方差，并 求此 估计， 干扰项满足同方差， 估计量。 模型中 的 β 1 估计量。
λC t -1 − λµt -1 − λβ0 = β1Yt -1
e
随机解释变量问题. 模型存在 随机解释变量问题
随机解释变量问题对模型参数估计的影响
1. 不相关时， 当随机解释变量 X 2 与随机干扰项 µt 不相关时， 估计仍然无偏。 模型的 OLS 估计仍然无偏。 2.当 cov ( X 2 , µ ) ≠ 0时 , 模型的 OLS 估计是一定是有偏的， 估计是一定是有偏的，
* * Yi* = β0 X 1 + β1 X 2 + µ* (为二元线性回归模型 ) i
(
ˆ Y − Yi*
* i
) = ∑(
2
ˆ * ˆ * Y − β0 X 1 − β 1 X 2
* i
)
2
∂ ∑ e i2 =0 ˆ * ˆ * * 2∑ Yi* − β0 X 1 − β1 X 2 X 1 = 0; ∂β0 ⇒ 2 ˆ * ˆ * * ∂ ∑ ei 2∑ Yi* − β0 X 1 − β1 X 2 X 2 = 0; =0 ∂β 1
S4.4随机解释变量问题 随机解释变量问题
当单方程计量经济学模型的解释变 量不是假设当中的确定性变量， 量不是假设当中的确定性变量，而是随 机变量，并且与随机误差项相关时， 机变量，并且与随机误差项相关时，这 种情形我们称之为随机解释变量问题 随机解释变量问题。 种情形我们称之为随机解释变量问题。
计量经济学分章习题与答案
计量经济学分章习题与答案第一章导论一、名词解释1、截面数据2、时间序列数据3、虚变量数据4、内生变量与外生变量二、单项选择题1、同一统计指标按时间顺序记录的数据序列称为（）A 、横截面数据B 、虚变量数据C 、时间序列数据D 、平行数据2、样本数据的质量问题，可以概括为完整性、准确性、可比性和（）A 、时效性B 、一致性C 、广泛性D 、系统性3、有人采用全国大中型煤炭企业的截面数据，估计生产函数模型，然后用该模型预测未来煤炭行业的产出量，这是违反了数据的哪一条原则。
（） A 、一致性 B 、准确性 C 、可比性 D 、完整性4、判断模型参数估计量的符号、大小、相互之间关系的合理性属于什么检验？（）A 、经济意义检验B 、统计检验C 、计量经济学检验D 、模型的预测检验5、对下列模型进行经济意义检验，哪一个模型通常被认为没有实际价值？（）A 、i C （消费）5000.8i I =+（收入）B 、di Q （商品需求）100.8i I =+（收入）0.9i P +（价格）C 、si Q （商品供给）200.75i P =+（价格）D 、i Y （产出量）0.60.65i K =（资本）0.4i L （劳动）6、设M 为货币需求量，Y 为收入水平，r 为利率，流动性偏好函数为012M Y r βββμ=+++，1?β和2β分别为1β、2β的估计值，根据经济理论有（） A 、1β应为正值，2β应为负值 B 、1?β应为正值，2β应为正值 C 、1?β应为负值，2?β应为负值 D 、1?β应为负值，2?β应为正值三、填空题1、在经济变量之间的关系中，、最重要，是计量经济分析的重点。
2、从观察单位和时点的角度看，经济数据可分为、、。
3、根据包含的方程的数量以及是否反映经济变量与时间变量的关系，经济模型可分为、、。
四、简答题1、计量经济学与经济理论、统计学、数学的联系是什么？2、模型的检验包括哪几个方面？具体含义是什么？五、计算分析题1、下列假想模型是否属于揭示因果关系的计量经济学模型？为什么？（1）t S =112.0+0.12t R ,其中t S 为第t 年农村居民储蓄增加额（单位：亿元），t R 为第t 年城镇居民可支配收入总额（单位：亿元）。
计量经济学随机解释变量的问题
合理预期的消费函数模型
合理预期理论认为消费是由对收入的预期所决定 的，或者说消费是有计划的，而这个计划是根据对 收入的预期制定的。于是有：
Ct 0 1Yt e t
C t 1 0 1Yt e 1 t 1
e Y 其中 t 表示 t 期收入预期值。
而预期收入与实际收入之间存在差距，表现为：
0 (1 ) 1 (1 )Yt Ct 1 t t 1
在该模型中，作为解释变量的Ct-1不仅是一个随 机解释变量，而且与模型的随机误差项(t-t-1)高 度相关（因为Ct-1与t-1高度相关）。属于上述第3种 情况。
二、随机解释变量的后果
三、工具变量法 Instrumental Variables Method
1、工具变量的选取
工具变量：在模型估计过程中被作为工具使用， 以替代模型中与随机误差项相关的随机解释变量。
选择为工具变量的变量必须满足以下条件： （1）与所替代的随机解释变量高度相关； （2）与随机误差项不相关； （3）与模型中其它解释变量不相关，以避免出 现多重共线性。
此时，我们即可认为， a,b1,b2,b3这些参 数的估计准确度基本不受影响。
• 如果将i换成时间t，则表示的是同一块土地 上每年的要素投入量，试想一下，前面的 “同期不相关”指的是什么意思？
• 2.如果随机解释变量与随机扰动项之间，随 着样本数量的增多，而渐渐地不相关，那 么估计出的参数满足一致性。 • 例如，国家统计局的数据统计一年比一年 精确，那么如果用年度数据进行模型估计， 就会出现渐近不相关的现象。
• （二）对显著性假设检验的影响
仪器 : T
i 0 2
SSTi (1 Ri2 )
南财计量经济学第四章 随机解释变量问题
一、单项选择题 1 、 C 2、 D 3 、 D 4 、 A 5 、 D 6 、 D 7 、 A 8、 D 9、D 10、D 二、多项选择题 ABD AC AC BD BC 三、判断题 1、× 2、× 3、√ 4、×5、×6、×7、×8、 × 9、× 10、× 11、× 12、√
2 答： • 基本思路：工具变量法就是当随机解释变 量与随机误差项相关时，寻找一个与随机 解释变量高度相关，但与随机误差项不想 管的变量，用该变量替代模型中的随机解 释变量，进行模型的参数估计。 • 选择原则：工具变量Z与所替代的随机解 释变量X高度相关，即；工具变量与随机 干扰项不相关，即；工具变量与模型中其 他解释变量不相关，以避免出现多重共线 性。
3 •
•
答： 随机解释变量来源：由于经济变量的不可控， 使得解释变量的观测值具有随机性；由于随机 干扰项中包括了ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ型中略却的解释变量，而略 去的解释变量与模型中的解释变量往往是相关 的，结果造成随机干扰项与模型中的解释变量 相关。 随机解释变量带来何种后果取决于它与随机干 扰项是否相关，以及相关的性质。有三种情形： （1）如果二者不相关，采用OLS得到的参数估 计量仍是无偏估计量；（2）如果二者同期不相 关，异期相关，此时参数的OLS估计量在小样 本下是有偏的，在大样本下具有一致性；（3） 如果二者同期相关，则无论是小样本还是大样 本，所得的参数估计量均是有偏且非一致的。
五、计算分析题 1、解： • （1）由于地方政府往往是根据过去的经验、当前的经济状况 以及期望的经济发展前景来定制地区最低限度工资水平的， 而这些因素没有反映在上述模型中，而是被归结到了模型的 随机扰动项中，因此 MIN1 与不仅异期相关，而且往往是同 期相关的，这将引起OLS估计量的偏误，甚至当样本容量增 大时也不具有一致性。 • （2）全国最低限度的制定主要根据全国国整体的情况而定， 因此MIN基本与上述模型的随机扰动项无关。 • （3）由于地方政府在制定本地区最低工资水平时往往考虑全 国的最低工资水平的要求，因此MIN1与MIN具有较强的相关 性。结合（2）知MIN可以作为MIN1的工具变量使用。
随机解释变量问题
三、工具变量法估计量的性质
1．工具变量法估计量是有偏估计量
2．工具变量法估计量是一致估计量
1．工具变量法估计量是有偏估计量
用工具变量法所求的参数估计量 1 与总体参数真值 之间的关系为 1
1
zy zx z ( x zx
i i i i i 1 i i i
于是
以一元线性回归模型为例进行说明。
图4-1
从图形 (图4-1)上看，如果随机解释变量与随机干扰项正相关，则在抽 取样本时，容易出现X值较小的点在总体回归线下方，而X值较大的点在总 体回归线上方的情况，因此，拟合的样本回归线则可能低估(underestimate) 了截距项，而高估(overestimate)斜率项。反之，如果随机解释变量与随机 干扰项负相关，则往往导致拟合的样本回归线高估截距项，而低估斜率项。
C ov(Z i , X i ) 0
2．工具变量法估计量是一致估计量
如果工具变量 Z 选取恰当，则由（4-16）、（4-17）有
P lim 1 n P lim 1
C ov(Z i , i ) 0
zi xi C o v ( Z i , X i ) 0 zi i C ov ( Z i , i ) 0
按照工具变量的选择条件选择 z为 X 的工具变量 得正规方程组：
ˆ ˆ Y n X i 0 1 i 2 ˆ ˆ X iYi 0 X i 1 X i
Yi n 0 1 X i Z iYi 0 Z i 1 Z i X i
(4-6)
该模型表示，耐用品的存量 Q t 由前一个时期的存量 Q t 1 和当期收入 Y t 共同决定。这是一个滞后被解释变量作为解释变量的模型。但是，如果模型不 存在随机干扰项的序列相关性，那么随机解释变量 Q t 1只与 t 1 相关，与 t 不相关，属于随机解释变量与随机干扰项同期无关，但异期相关的情况。
第四章4随机解释变量问题
由于：居民人均消费支出（CONSP）与人均国内 生产总值（GDPP）相互影响，因此，
容易判断GDPP与同期相关（往往是正相关）， OLS估计量有偏并且是非一致的（低估截距项而高 估计斜率项 ）。
OLS估计结果：
(13.51) (53.47) R2=0.9927 F=2859.23 DW=0.5503 SSR=23240.7
工具变量法是GMM的一个特例。 6、要找到与随机扰动项不相关而又与随机解释 变量相关的工具变量并不是一件很容易的事
可以用Xt-1作为原解释变量Xt的工具变量。
五、案例——中国居民人均消费函数
例4.4.1 在例2.5.1的中国居民人均消费函数的估 计中，采用OLS估计了下面的模型：
CONSP 0 1GDPP
如果用GDPPt-1为工具变量，可得如下工具变 量法估计结果：
(14.84) (56.04) R2 =0.9937 F=3140.58 DW=0.6691 SSR=18366.5
• 如果1个随机解释变量可以找到多个互相独立的 工具变量，人们希望充分利用这些工具变量的信 息，就形成了广义矩方法（GMM）。在GMM中， 矩条件大于待估参数的数量，于是如何求解成为 它的核心问题。
一元回归中，工具变量法估计量为
~1
zi (1xi
zi xi
i )
1
zi i
zi xi
两边取概率极限得：
P
lim( ~1 )
1
P lim P lim
1 n
1 n
zi i
zi xi
如果工具变量Z选取恰当，即有
P lim 1
n
zi i cov(Zi , i ) 0
P lim 1
n
zi xi cov(Zi , X i ) 0
容易判断GDPP与同期相关（往往是正相关）， OLS估计量有偏并且是非一致的（低估截距项而高 估计斜率项 ）。
OLS估计结果：
(13.51) (53.47) R2=0.9927 F=2859.23 DW=0.5503 SSR=23240.7
工具变量法是GMM的一个特例。 6、要找到与随机扰动项不相关而又与随机解释 变量相关的工具变量并不是一件很容易的事
可以用Xt-1作为原解释变量Xt的工具变量。
五、案例——中国居民人均消费函数
例4.4.1 在例2.5.1的中国居民人均消费函数的估 计中，采用OLS估计了下面的模型：
CONSP 0 1GDPP
如果用GDPPt-1为工具变量，可得如下工具变 量法估计结果：
(14.84) (56.04) R2 =0.9937 F=3140.58 DW=0.6691 SSR=18366.5
• 如果1个随机解释变量可以找到多个互相独立的 工具变量，人们希望充分利用这些工具变量的信 息，就形成了广义矩方法（GMM）。在GMM中， 矩条件大于待估参数的数量，于是如何求解成为 它的核心问题。
一元回归中，工具变量法估计量为
~1
zi (1xi
zi xi
i )
1
zi i
zi xi
两边取概率极限得：
P
lim( ~1 )
1
P lim P lim
1 n
1 n
zi i
zi xi
如果工具变量Z选取恰当，即有
P lim 1
n
zi i cov(Zi , i ) 0
P lim 1
n
zi xi cov(Zi , X i ) 0
计量经济学随机解释变量问题
（4-16）
不相关，即
（4-17）
C o vZ ( i, 0 i)
3. 工具变量 Z 与模型中其他解释变量不相关，以避免出现多重共线性。
二、工具变量的应用（以一元回归模型为例说明）
记一元线性回归模型如下：
Y X i 0 1 i i
用普通最小二乘法估计模型(4-18)式 得正规方程组： 得正规方程组：
于是 （4-20）
于是
ˆ1
xy x
i 2 i
i
1
z y zx
i
i
（4-21）
i i
二、工具变量的应用（以多元线性回归模型为例说明）
其矩阵形式为
YX β
采用参数估计量得到的 正规方程组为
1 = ( Z X ) Z Y
采用工具变量法得到的 正规方程组为
Z Y= Z X
以一元线性回归模型为例进行说明。
图4-1
从图形 (图4-1)上看，如果随机解释变量与随机干扰项正相关，则在抽 取样本时，容易出现X值较小的点在总体回归线下方，而X值较大的点在总 体回归线上方的情况，因此，拟合的样本回归线则可能低估(underestimate) 了截距项，而高估(overestimate)斜率项。反之，如果随机解释变量与随机 干扰项负相关，则往往导致拟合的样本回归线高估截距项，而低估斜率项。
通常，对于没有选择另外的变量 作为工具变量的解释变量，可以认为 用自身作为工具变量。于是Z称为工 具变量矩阵。
（4-22）
Z
其中
1 Z1 X 21 X k1
1 Z2 X 22 X k2
1 Zn X 2n X kn
三、工具变量法估计量的性质
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参考答案
第四章 随机解释变 量问题
一、单项选择题
1 、C 6 、D
2、 D 7、 A
3、D 8、D
4、A 9 、D
5、D 10、D
二、多选题
1、ABD
2、AC
3、AC
4、BD 5、BC
三、判断题
1.× 7.×
2. × 8. ×
3.√ 9.×
4.× 10.√
5. × 11. ×
五、计算分析题
1.（1）由于地方政府往往是根据过去的经验、当前的经济
状况以及期望的经济发展前景来定制地区最低限度工资水平 的，而这些因素没有反映在上述模型中，而是被归结到了模 型的随机扰动项中，因此 MIN1 与不仅异期相关，而且往 往是同期相关的，这将引起OLS估计量的偏误，甚至当样本 容量增大时也不具有一致性。 （2）全国最低限度的制定主要根据全国国整体的情况而定 ，因此MIN基本与上述模型的随机扰动项无关。 （3）由于地方政府在制定本地区最低工资水平时往往考虑 全国的最低工资水平的要求，因此MIN1与MIN具有较强的相 关性。结合（2）知MIN可以作为MIN1的工具变量使用。
6. × 12.√
四、简答题
1、什么是参数估计量的一致性？试通过一元模型证明工具变量法得到的斜率
估计量 是 Байду номын сангаас的一致估计。
1
2.简述工具变量法的基本思路以及选择工具变量应遵循的原则。
3.随机解释变量产生的原因有哪些？随机解释变量会造成那些后果？ 随机解释变量来源：由于经济变量的不可控，使得解释变量的观测 值具有随机性；由于随机干扰项中包括了模型中略却的解释变量，而略 去的解释变量与模型中的解释变量往往是相关的，结果造成随机干扰项 与模型中的解释变量相关。 随机解释变量带来何种后果取决于它与随机干扰项是否相关，以及 相关的性质。有三种情形： （1）如果二者不相关，采用OLS得到的参数估计量仍是无偏估计量； （2）如果二者同期不相关，异期相关，此时参数的OLS估计量在小样本 下是有偏的，在大样本下具有一致性； （3）如果二者同期相关，则无论是小样本还是大样本，所得的参数估计 量均是有偏且非一致的。
2 、能消除。在基本假设下，X ，X2t 与应是 t不相关的， 1t 由此知，由X1t与X2t估计出的Y t 应与t不相关。
3、
第四章 随机解释变 量问题
一、单项选择题
1 、C 6 、D
2、 D 7、 A
3、D 8、D
4、A 9 、D
5、D 10、D
二、多选题
1、ABD
2、AC
3、AC
4、BD 5、BC
三、判断题
1.× 7.×
2. × 8. ×
3.√ 9.×
4.× 10.√
5. × 11. ×
五、计算分析题
1.（1）由于地方政府往往是根据过去的经验、当前的经济
状况以及期望的经济发展前景来定制地区最低限度工资水平 的，而这些因素没有反映在上述模型中，而是被归结到了模 型的随机扰动项中，因此 MIN1 与不仅异期相关，而且往 往是同期相关的，这将引起OLS估计量的偏误，甚至当样本 容量增大时也不具有一致性。 （2）全国最低限度的制定主要根据全国国整体的情况而定 ，因此MIN基本与上述模型的随机扰动项无关。 （3）由于地方政府在制定本地区最低工资水平时往往考虑 全国的最低工资水平的要求，因此MIN1与MIN具有较强的相 关性。结合（2）知MIN可以作为MIN1的工具变量使用。
6. × 12.√
四、简答题
1、什么是参数估计量的一致性？试通过一元模型证明工具变量法得到的斜率
估计量 是 Байду номын сангаас的一致估计。
1
2.简述工具变量法的基本思路以及选择工具变量应遵循的原则。
3.随机解释变量产生的原因有哪些？随机解释变量会造成那些后果？ 随机解释变量来源：由于经济变量的不可控，使得解释变量的观测 值具有随机性；由于随机干扰项中包括了模型中略却的解释变量，而略 去的解释变量与模型中的解释变量往往是相关的，结果造成随机干扰项 与模型中的解释变量相关。 随机解释变量带来何种后果取决于它与随机干扰项是否相关，以及 相关的性质。有三种情形： （1）如果二者不相关，采用OLS得到的参数估计量仍是无偏估计量； （2）如果二者同期不相关，异期相关，此时参数的OLS估计量在小样本 下是有偏的，在大样本下具有一致性； （3）如果二者同期相关，则无论是小样本还是大样本，所得的参数估计 量均是有偏且非一致的。
2 、能消除。在基本假设下，X ，X2t 与应是 t不相关的， 1t 由此知，由X1t与X2t估计出的Y t 应与t不相关。
3、