决策分析效用函数

2500 抽奖 a 2 0.5
0.5 0度影响 其对后果的实际价值判断。
圣彼得堡悖论 (St. Petersburg Paradox/game)
圣彼得堡悖论是数学家丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）的表兄 尼古拉·伯努利(Nicolaus Bernoulli)在1738提出的一个概率期望值 悖论，它来自于一种掷币游戏，即圣彼得堡游戏(表1)。
3.1 引言
例3.1 考虑钱对同一个人的价值。假设一个学生手头紧张，正好有机会挣 100元钱，但是所要做的是他相当讨厌的工作。 （1）如他经济情况差，他会认为100元钱的实际价值足够大，所要做的 工作即使是相当讨厌的，他仍会去干； （2）如他先有了10000元，要为100元钱去干这份让他讨厌的工作，他 就很可能不干了。
3.2 效用的定义和公理系统
3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 效用的定义 效用存在性公理 效用的公理化定义和效用的存在性 基数效用与序数效用
3.2.1 效用的定义
效用（ 效用（utility）：消费者从消费商品中得 ） 到的满足程度。 效用完全是消费者的一种主观心理感受。
满足程度越高，效用越大； 满足程度越低，效用越小。
以上的故事说明效用完全是个人的心理感觉。 不同的偏好决定了对同一种商品效用大小的不同评价。
3.2.1 效用的定义
在决策理论中，后果对决策人的实际价值，即决策人对 后果的偏好次序是用效用 效用(utility)来描述的。 效用 效用就是偏好的量化，是数(实值函数 效用就是偏好的量化，是数 实值函数)。 实值函数 1738年，Daniel Bernoulli就指出：若一个人面临从给定 行动集(风险性展望集)中作选择的决策问题，如果他知 道与给定行动有关的将来的自然状态，且这些状态出现 的概率已知或可以估计，则他应选择对各种可能后果的 偏好的期望值最高 期望值最高的行动。 偏好 期望值最高
圣彼得堡悖论的解释3： 圣彼得堡悖论的解释 ：
(三)效用上限论 三 效用上限论
也有一种观点认为奖金的效用可能有一个上限，这样，期望效用 之和就有了一个极限值。Menger认为效用上限是惟一能消解该悖论的 方法。设效用值等于货币值，上限为100 单位，则游戏的期望效用为 7.56l25，如表3所示。
3.1 引言
由上面例子可知：在进行决策分析时，存在如何描述 或表达后果对决策人的实际价值，以便反映决策的人 心目中各种后果的偏好次序（preference order）的问 偏好次序（ 偏好次序 ） 题。 偏好次序是决策人的个性与价值观的反映，它与决策 人所处的社会地位、经济地位、文化素养、心理和生 理（身体）状态有关。
问题：你愿意花100元来参加一次圣彼得堡游戏吗？
圣彼得堡悖论的解释1： 圣彼得堡悖论的解释 ：
(一)边际效用递减论 一 边际效用递减论
Daniel Bernoulli在提出这个问题的时候就给出一种解决办法。 他认为游戏的期望值计算不应该是金钱，而应该是金钱的期望效 用，即利用众所周知的“期望效用递减律”，将金钱的效用测度 函数用货币值的对数来表示:效用=log(货币值)，如表 2所示。所 有结果的效用期望值之和将为一个有限值log(4)≈ 0.60206，如果 这里的效用函数符合实际，则理性决策应以4元为界。
圣彼得堡悖论的解释2： 圣彼得堡悖论的解释 ：
(二)风险厌恶论 二 风险厌恶论
圣彼得堡悖论对于奖金额大小没有限制。 比如连续投掷40次才成功的话，奖金为1.1万亿元。但是这一奖金 出现的概率极小，1.1万亿次才可能出现一次。实际上，游戏有一 半的机会，其奖金为 2元，四分之三的机会得奖4元和2元。奖金 越少，机会越大，奖金越大，机会越小。 Hacking（1980）所说：花25元的费用冒险参与游戏将是非常愚 蠢的，虽有得大奖的机会，但是风险太大。 因此，考虑采用风险厌恶因素的方法可以消解矛盾。Pual Weirich 就提出在期望值计算中加人一种风险厌恶因子，并得出了游戏费 用的有限期望值，认为这种方法实际上解决了该悖论。
圣彼得堡悖论的解释4： 圣彼得堡悖论的解释 ：
(四)结果有限论 四 结果有限论
Gustason认为，要避免矛盾，必须对期望值概念进行 限制，其一是限制其结果的数目；其二是把其结果值 的大小限制在一定的范围内。 这是典型的结果有限论，这一观点是从实际出发的。 因为实际上，游戏的投掷次数总是有限的数。 比如对游戏设定某一个投掷的上限数L，在投掷到这个 数的时候，如果仍然没有成功，也结束游戏，不管你 还能再投多少，就按照L付钱。因为你即便不设定L， 实际上也总有投到头的时候，人的寿命总是有限的， 任何原因都可以使得游戏中止。现在设定了上限，期 望值自然也就可以计算了。
对效用的理解:《最好吃的东西》 对效用的理解 《最好吃的东西》
兔子和猫争论，世界上什么东西最好吃。 兔子说，“世界上萝卜最好吃。萝卜又甜又脆又解渴，我一想起 萝卜就要流口水。” 猫不同意，说，“世界上最好吃的东西是老鼠。老鼠的肉非常嫩， 嚼起来又酥又松，味道美极了！” 兔子和猫争论不休、相持不下，跑去请猴子评理。 猴子听了，不由得大笑起来：“瞧你们这两个傻瓜蛋，连这点儿 常识都不懂！世界上最好吃的东西是什么？是桃子！桃子不但美 味可口，而且长得漂亮。我每天做梦都梦见吃桃子。” 兔子和猫听了，全都直摇头。那么，世界上到底什么东西最好吃？
实际价值
0
100
钱 100000 100100
这个例子说明：即使是数值量表示的后果，它对决策人的实际价值仍有待确定。
3.1 引言
例3.2 决策人面临图3.1中决策树所示的选择：
①确定收入礼品1000元； ②参与一次抽奖：有50%的机会得0元，50%的机会得2500元。
1.0 礼品 a1 1000
有人选确定性的1000元的收入。抽奖 的期望值虽大，风险也大，实际价值 还不如保险的1000元。 而有人认为礼品不如抽奖，因为 抽奖提供了获得2500元的机会。
3 效用函数
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 引言 效用的定义和公理系统 效用函数的构造 风险与效用 货币的效用 阿莱斯悖论(Allais’s paradox)
3.1 引言
在定量评价可能的行动的各种后果时， 会遇到两个主要问题:
(1) 后果本身是用语言表述，可能没有任何 合适的直接测量标度。 (2) 即使有一个明确的标度可以测量后果， 按这个标度测得的量也可能并不反映后果对 决策人的真正价值。