第二讲间接效用函数与支出函数D
第二讲 间接效用函数与支出函数
• 假设消费者的偏好是良好性状的。
• A点为最初的选择，B点为征从量税的最优选 择，C点为征所得税的最优选择。可见，在政 府向消费者征收相同数量的税收条件下，消费 者在政府课征所得税时的境况要好些。
X2
征从量税的预算线
初始预算线
X2*
B• •C •A
征所得税的预算线
O
X1*
X1
思考：
➢ 在政府征收从量税和等额所得税的情况下，消费 者的境况有没有可能一样好？如果有，是在什么 情况下？ 有，折拗性偏好，例如：完全互补
y p1
p2
请求消费者的马歇尔需求函数。
求解
v(p1,p2,y ) p1
y(p1
p
2
)
2
,
v(
p1,p p 2
2
,y
)
y(p1
p 2 )2
v(p1,p2,y ) y
(p1
p 2 )1
利用罗尔恒等式
v(p ,y )
pi v(p ,y )
xi*
xi(p ,y )
y 0
v(p1,p2,y )
我们有x1(p1,p2,y )
p1 v(p1,p2,y )
y(p1 p 2 )2 (p1 p 2 )1
y
y(p1 p 2 )1
v(p1,p2,y )
x 2(p1,p2,y )
p 2 v(p1,p2,y )
y(p1 p 2 )2 (p1 p 2 )1
y
y(p1 p 2 )1
（三）间接效用函数的应用
• 可以分析价格和收入变动对消费者福利的影 响。
p ， *
u(x* )
i xi
0(偏好满足单调性），pi
平新乔课后习题详解(第2讲--间接效用函数与支出函数)
平新乔《微观经济学十八讲》第2讲 间接效用函数与支出函数1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。
求该消费者的间接效用函数。
并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。
并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。
解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为：12122,112m ln ax q q s t q p p yq q q α..+=+构造拉格朗日函数：()121122ln L q q q y p p q αλ--=++L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得：1110L p q q αλ∂=-=∂ ① 2210Lp q λ∂=-=∂ ② 11220q Ly p p q λ∂=--=∂ ③ 从①式和②式中消去λ后得：211p q p α*=④再把④式代入③式中得：222y p p q α*-=⑤ 从而解得马歇尔需求函数为：211p q p α*=222y p p q α*-=由⑤式可知：当20y p α->时，20q *>，消费者同时消费商品1和商品2。
将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()2112122,,,ln p v p p y p q q y u p ααα**=+-=②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。
从而解得马歇尔需求函数为：11q y p *=20q *= 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()12121,,,ln v p p y u q p y q α**== （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为：()()2112122,,,lnp v p p y p q q yu p ααα**=+-= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 2222v y p p p α∂=-∂ 21v y p ∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1112121v p p p v y p q p αα*∂∂=-==∂∂ 222222221y p v p p y p y q v p p αα*-∂∂-=-==∂∂②当20y p α-≤时，间接效用函数为()()12121,,,lnv p p y u q p yq α**==，将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 20v p ∂=∂ v y yα∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1111v p p y v y p yq αα*∂∂=-==∂∂ 2200v p v y y q α*∂∂=-==∂∂ （3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。
第二讲间接效用函数与支出函数D
* 故 v( p1 , p2 , m) = x1* x2
m = 4 p1 p2
2
p1 =0.25, p2 =1, m= 2
2 * x1 = 2 × 0.25 = 4 2 * x2 = =1 2 ×1
时
v( p1 , p2 , m) = v(0.5,1, 2) = 4
现在假设政府对商品1按0.25元/ 单位征收消费税，即
两边同时对pj偏微分
∂xi x j + ∑ pi =0 ∂p j i =1
n
∂ v = λ ∂ p j
∑
n
p
i=1
i
∂ x ∂ p
i j
故
∂v = −λ x j ∂p j
（1）
②再求分母
Q v( p, m) = u ( x( p, m))
对m求偏微分
∂v = ∂m
∑
n
i =1 n
∂u ( x ) ∂xi ∂xi ∂m ∂ xi pi ∂m
∂e( p, u ) ⋅ ∂pi
(1)
由谢泼特引理知
∂e = hi ( p , u ) ∂pi
且
hi ( p , u ) = x i ( p , e ( p , u )) = xi ( p , m )
即
∂e = xi ( p, m) ∂p i
代入(1)式变形即可得
∂x j ∂pi = ∂h j ( p, v( p, m)) ∂pi − xi ∂x j ( p, m) ∂m
第二讲间接效用函数与支出函数
•
Outline of Today’s Class
• • • • • 1.间接效用函数 2.罗伊（Roy identity）等式 3.支出最小化问题 支出最小化问题 4.支出函数 5.希克斯（补偿）需求函数
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(第2讲 间接效用函数与支出函数)
平新乔《微观经济学十八讲》第2讲 间接效用函数与支出函数跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。
求该消费者的间接效用函数。
并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。
并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。
解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为：12122,112m ln ax q q s t q p p yq q q α..+=+构造拉格朗日函数：()121122ln L q q q y p p q αλ--=++L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得：1110L p q q αλ∂=-=∂ ① 2210Lp q λ∂=-=∂ ② 11220q Ly p p q λ∂=--=∂ ③ 从①式和②式中消去λ后得：211p q p α*=④再把④式代入③式中得：222y p p q α*-=⑤ 从而解得马歇尔需求函数为：211p q p α*=222y p p q α*-= 由⑤式可知：当20y p α->时，20q *>，消费者同时消费商品1和商品2。
将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()2112122,,,ln p v p p y p q q y u p ααα**=+-=②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。
从而解得马歇尔需求函数为：11q y p *=20q *= 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()12121,,,lnv p p y u q p y q α**== （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为：()()2112122,,,lnp v p p y p q q yu p ααα**=+-= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 2222v y p p p α∂=-∂ 21v y p ∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1112121v p p p v y p q p αα*∂∂=-==∂∂ 22222221y p v p p y p y q v p p αα*-∂∂-=-==∂∂②当20y p α-≤时，间接效用函数为()()12121,,,lnv p p y u q p yq α**==，将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 20v p ∂=∂ v y yα∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1111v p p y v y p y q αα*∂∂=-==∂∂ 2200v p v y yq α*∂∂=-==∂∂ （3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。
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1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。
求该消费者的间接效用函数。
并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。
并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。
解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为：12122,112m ln ax q q s t q p p yq q q α..+=+构造拉格朗日函数：()121122ln L q q q y p p q αλ--=++L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得：1110L p q q αλ∂=-=∂ ① 2210Lp q λ∂=-=∂ ② 11220q Ly p p q λ∂=--=∂ ③ 从①式和②式中消去λ后得：211p q p α*=④再把④式代入③式中得：222y p p q α*-=⑤ 从而解得马歇尔需求函数为：211p q p α*=222y p p q α*-= 由⑤式可知：当20y p α->时，20q *>，消费者同时消费商品1和商品2。
将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()2112122,,,ln p v p p y p q q y u p ααα**=+-=②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。
从而解得马歇尔需求函数为：11q y p *=20q *=将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()12121,,,lnv p p y u q p yq α**== （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为：()()2112122,,,lnp v p p y p q q yu p ααα**=+-= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 2222v y p p p α∂=-∂ 21v y p ∂=∂由罗尔恒等式，得到：1112121v p p p v y p q p αα*∂∂=-==∂∂ 222222221y p v p p y p y q v p p αα*-∂∂-=-==∂∂②当20y p α-≤时，间接效用函数为()()12121,,,lnv p p y u q p yq α**==，将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 20vp ∂=∂ v y y α∂=∂由罗尔恒等式，得到：1111v p p y v y p y q αα*∂∂=-==∂∂ 2200v p v y yq α*∂∂=-==∂∂ （3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。
微观经济学讲义-第二讲_图文_图文
(α＞0,β＞0)
中指数的经济含义。
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微观经济分析44
由（iv），（v）我们可知 代入（vi）可以求得
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微观经济分析36
• （4）： 由（3）直接代入支出函数得 ，进而
故谢泼特引理得证。
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微观经济分析37
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微观经济分析6
关于(p,y)是零次齐次的。 对于y是严格递增的。
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微观经济分析7
对于p是严格递减的。
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微观经济分析42
三、预算份额
• 如果收入为y，消费的商品数量为
(x1,x2,…,xn)，价格为(p1,p2,…,pn)，则
称
为购买xi的收入份额，或
预算份额。
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微观经济分析43
例：Cobb—Douglass效用函数
U(X1,X2)=
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微观经济分析15
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
微观经济分析16
如果初始状态：v(0.25,1,2)=2。若政府要征收 0.5元的所得税，则消费者收入y会从2下降为 1.5元。用间接效用函数来衡量，开征0.5元的 所得税会使消费者的间接效用从2下降至1.5。 如果政府的税收总量仍为0.5，但考虑的是开征 商品税，则效果会有所不同。设政府只对X1（ 例如酒）开征商品税，由于开征商品税会使税
平新乔微观经济学十八讲02
5
代 5 入 4 式,得 x 2 的需求函数:
x2 =
y 3 p2
2
6
代 5,6 两式入效用函数中,得到当效用最大化时有间接效用函数:
2y y v( p, y ) = u ( x1 , x 2 ) = x x 2 = 3p 3p 2 1
2 1
2
第二讲 间接效用……
又消费者效用最大化意味着
(x1 , x2 ) ∈ R+2 . 已 知 北 京 的 物 价 为 ( p1a , p 2a ) , 上 海 的 物 价 为 ( p1b , p 2b ) , 并 且
a b p1a p 2 = p1b p 2 , 但 a b p1a ≠ p1b , p 2 ≠ p 2
. 又 知 广 州 的 物 价 为
u = x1 x2 u′ ln u u ′ = ln u 2 p1 p2 e = 2 p1 p2 e = 2 p1 p2u u ′ = ln x1 + ln x2 e′( p1 , p 2 , u ′) = e( p1 , p 2 , u )
根据 5.1 与 5.2 的结果,得到
6
设某消费者的间接效用函数为 v( p1 , p2 , m ) =
y = e( p, v( p, y ))
即可得到支出函数:
e( p, u ) = e( p, v( p, y )) = y = 108 p12 p 2 u
3 考虑下列间接效用函数
(
)
1 3
=
3 2 p12 p 2 u 2
(
)
1 3
v( p1 , p 2 , m ) =
这里 m 表示收入,问:
m p1 + p 2
由 1 式,2 式,得 e( p1 , p2 , u )
第二章间接效用函数与支出函数
希克斯需求曲线和马歇尔需求曲线
P1
h( p1 , u0 )
p1 '
p
0 1
x1 ( p1 , m0 )
0 h( p1 ' , u0 ) h( p1 , u0 )
x1 ( p1 ' , m0 )
X1
区别
• 希克斯需求曲线反映的是效用不变情况下，价格变化引起 的需求量的变化。体现的仅是替代效应。 • 马歇尔需求曲线反映的是价格变化引起的需求量的变化。 包括替代效应和收入效应。 • 所以马歇尔需求曲线一般来说要比希克斯需求曲线平缓。
支出最小化问题的基本模型
min px h p, u s.t , U x u
希克斯需求函数或 补偿需求函数
特点：完全不可观察的，效用是非客观的
支出最小化的求解过程
补偿的含义？
• 观察价格变化后，保持效用不变的话，支出最小时的支出 要比原来的支出大，说明价格上涨，要想效用不改变，必 须进行一定的货币补偿。
罗伊恒等式证明过程
• 可使用包络定理证明（详见16页） • 另一种证明
罗伊恒等式
• 证明过程可以反映价格和收入变动对均衡解的影响。 • 从恒等式可以倒推出马歇尔需求函数。
间接效用函数的应用
• 间接效用函数描述的是（价格，收入）变化对效用最大化 时的效用的影响。 • 当消费者的决策环境变化了，通过间接效用函数可以直接 了解它的影响。 • 尤其对于消费政策变化的影响分析，非常有效。例如：收 入补贴政策（改变收入）；商品税政策（改变某一商品价 格）等。
A B x2* C
x1*
x1
思考
• 如果政府对穷人的救济方式有： 发放收入和食物折扣券这两种方式 在政府开支是一样的情况下，哪种方式对穷人福利的增加 更多？