平新乔课后习题详解(第2讲--间接效用函数与支出函数)
第二讲 间接效用函数与支出函数
• 假设消费者的偏好是良好性状的。
• A点为最初的选择，B点为征从量税的最优选 择，C点为征所得税的最优选择。可见，在政 府向消费者征收相同数量的税收条件下，消费 者在政府课征所得税时的境况要好些。
X2
征从量税的预算线
初始预算线
X2*
B• •C •A
征所得税的预算线
O
X1*
X1
思考：
➢ 在政府征收从量税和等额所得税的情况下，消费 者的境况有没有可能一样好？如果有，是在什么 情况下？ 有，折拗性偏好，例如：完全互补
y p1
p2
请求消费者的马歇尔需求函数。
求解
v(p1,p2,y ) p1
y(p1
p
2
)
2
,
v(
p1,p p 2
2
,y
)
y(p1
p 2 )2
v(p1,p2,y ) y
(p1
p 2 )1
利用罗尔恒等式
v(p ,y )
pi v(p ,y )
xi*
xi(p ,y )
y 0
v(p1,p2,y )
我们有x1(p1,p2,y )
p1 v(p1,p2,y )
y(p1 p 2 )2 (p1 p 2 )1
y
y(p1 p 2 )1
v(p1,p2,y )
x 2(p1,p2,y )
p 2 v(p1,p2,y )
y(p1 p 2 )2 (p1 p 2 )1
y
y(p1 p 2 )1
（三）间接效用函数的应用
• 可以分析价格和收入变动对消费者福利的影 响。
p ， *
u(x* )
i xi
0(偏好满足单调性），pi
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(一般均衡与福利经济学的两个基本定理)
第16讲 一般均衡与福利经济学的两个基本定理1．考虑一种两个消费者、两种物品的交易经济，消费者的效用函数与禀赋如下()()211212,u x x x x = ()118,4e = ()()()21212,ln 2ln u x x x x =+ ()23,6e =（1）描绘出帕累托有效集的特征（写出该集的特征函数式）； （2）发现瓦尔拉斯均衡。
解：（1）由消费者1的效用函数()()211212,u x x x x =，可得121122MU x x =，122122MU x x =，故消费者1的边际替代率为1211112212121212122MU x x x MRS MU x x x ===。
同理可得消费者2的边际替代率为22212212x MRS x =。
在帕累托有效集上的任一点，每个消费者消费两种物品的边际替代率都相同，即：121212MRS MRS = 从而有：122212112x x x x = ① 又因为212210x x =-，211121x x =-，把这两个式子代入①式中，就得到了帕累托有效集的特征函数：1122111110422x x x x -=- ② （2）由于瓦尔拉斯均衡点必然位于契约曲线上，所以在均衡点②式一定成立。
此外在均衡点处，预算线和无差异曲线相切（如图16-1所示），这就意味着边际替代率等于预算线的斜率，即：1112121211211418x p x MRS p x x -===- ③联立②、③两式，解得：1158/4x =，1258/11x =。
进而有21112126/4x x =-=，21221052/11x x =-=。
图16-1 均衡时边际替代率等于预算线的斜率2．证明：一个有n 种商品的经济，如果（1n -）个商品市场上已经实现了均衡，则第n 个市场必定出清。
证明：假设第k 种商品的价格为k p ，{}1,2,,k n ∈。
系统内存在I （I 为正整数）个消费者，第i 个消费者拥有第k 种物品的初始禀赋为ik e ，而第i 个消费者对第k 种商品的消费量为k i x ，根据瓦尔拉斯定律可知系统中的超额的市场价值为零，即：()10ni ik k k k i Ii Ip x e =∈∈-=∑∑∑当前1n -个商品市场已经实现均衡，即前1n -个商品市场的超额需求为零，这时有：()()()11n i i i ik k k n k k k i Ii Ii Ii Ii i nkki Ii Ii i k ki Ii Ip x e p x e p x e x e -=∈∈∈∈∈∈∈∈-+-=∑∑∑∑∑-=∑∑=∑∑由此就可以得出第n 个市场的超额需求也为零，即第n 个商品市场也实现了均衡。
平新乔课后习题详解(第2讲--间接效用函数与支出函数)
平新乔《微观经济学十八讲》第2讲 间接效用函数与支出函数1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。
求该消费者的间接效用函数。
并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。
并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。
解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为：12122,112m ln ax q q s t q p p yq q q α..+=+构造拉格朗日函数：()121122ln L q q q y p p q αλ--=++L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得：1110L p q q αλ∂=-=∂ ① 2210Lp q λ∂=-=∂ ② 11220q Ly p p q λ∂=--=∂ ③ 从①式和②式中消去λ后得：211p q p α*=④再把④式代入③式中得：222y p p q α*-=⑤ 从而解得马歇尔需求函数为：211p q p α*=222y p p q α*-=由⑤式可知：当20y p α->时，20q *>，消费者同时消费商品1和商品2。
将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()2112122,,,ln p v p p y p q q y u p ααα**=+-=②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。
从而解得马歇尔需求函数为：11q y p *=20q *= 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()12121,,,ln v p p y u q p y q α**== （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为：()()2112122,,,lnp v p p y p q q yu p ααα**=+-= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 2222v y p p p α∂=-∂ 21v y p ∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1112121v p p p v y p q p αα*∂∂=-==∂∂ 222222221y p v p p y p y q v p p αα*-∂∂-=-==∂∂②当20y p α-≤时，间接效用函数为()()12121,,,lnv p p y u q p yq α**==，将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 20v p ∂=∂ v y yα∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1111v p p y v y p yq αα*∂∂=-==∂∂ 2200v p v y y q α*∂∂=-==∂∂ （3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。
第二讲间接效用函数与支出函数D
* 故 v( p1 , p2 , m) = x1* x2
m = 4 p1 p2
2
p1 =0.25, p2 =1, m= 2
2 * x1 = 2 × 0.25 = 4 2 * x2 = =1 2 ×1
时
v( p1 , p2 , m) = v(0.5,1, 2) = 4
现在假设政府对商品1按0.25元/ 单位征收消费税，即
两边同时对pj偏微分
∂xi x j + ∑ pi =0 ∂p j i =1
n
∂ v = λ ∂ p j
∑
n
p
i=1
i
∂ x ∂ p
i j
故
∂v = −λ x j ∂p j
（1）
②再求分母
Q v( p, m) = u ( x( p, m))
对m求偏微分
∂v = ∂m
∑
n
i =1 n
∂u ( x ) ∂xi ∂xi ∂m ∂ xi pi ∂m
∂e( p, u ) ⋅ ∂pi
(1)
由谢泼特引理知
∂e = hi ( p , u ) ∂pi
且
hi ( p , u ) = x i ( p , e ( p , u )) = xi ( p , m )
即
∂e = xi ( p, m) ∂p i
代入(1)式变形即可得
∂x j ∂pi = ∂h j ( p, v( p, m)) ∂pi − xi ∂x j ( p, m) ∂m
第二讲间接效用函数与支出函数
•
Outline of Today’s Class
• • • • • 1.间接效用函数 2.罗伊（Roy identity）等式 3.支出最小化问题 支出最小化问题 4.支出函数 5.希克斯（补偿）需求函数
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(第2讲 间接效用函数与支出函数)
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1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。
求该消费者的间接效用函数。
并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。
并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。
解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为：12122,112m ln ax q q s t q p p yq q q α..+=+构造拉格朗日函数：()121122ln L q q q y p p q αλ--=++L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得：1110L p q q αλ∂=-=∂ ① 2210Lp q λ∂=-=∂ ② 11220q Ly p p q λ∂=--=∂ ③ 从①式和②式中消去λ后得：211p q p α*=④再把④式代入③式中得：222y p p q α*-=⑤ 从而解得马歇尔需求函数为：211p q p α*=222y p p q α*-= 由⑤式可知：当20y p α->时，20q *>，消费者同时消费商品1和商品2。
将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()2112122,,,ln p v p p y p q q y u p ααα**=+-=②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。
从而解得马歇尔需求函数为：11q y p *=20q *= 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()12121,,,lnv p p y u q p y q α**== （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为：()()2112122,,,lnp v p p y p q q yu p ααα**=+-= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 2222v y p p p α∂=-∂ 21v y p ∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1112121v p p p v y p q p αα*∂∂=-==∂∂ 22222221y p v p p y p y q v p p αα*-∂∂-=-==∂∂②当20y p α-≤时，间接效用函数为()()12121,,,lnv p p y u q p yq α**==，将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 20v p ∂=∂ v y yα∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1111v p p y v y p y q αα*∂∂=-==∂∂ 2200v p v y yq α*∂∂=-==∂∂ （3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。
平新乔微观经济学十八讲02
5
代 5 入 4 式,得 x 2 的需求函数:
x2 =
y 3 p2
2
6
代 5,6 两式入效用函数中,得到当效用最大化时有间接效用函数:
2y y v( p, y ) = u ( x1 , x 2 ) = x x 2 = 3p 3p 2 1
2 1
2
第二讲 间接效用……
又消费者效用最大化意味着
(x1 , x2 ) ∈ R+2 . 已 知 北 京 的 物 价 为 ( p1a , p 2a ) , 上 海 的 物 价 为 ( p1b , p 2b ) , 并 且
a b p1a p 2 = p1b p 2 , 但 a b p1a ≠ p1b , p 2 ≠ p 2
. 又 知 广 州 的 物 价 为
u = x1 x2 u′ ln u u ′ = ln u 2 p1 p2 e = 2 p1 p2 e = 2 p1 p2u u ′ = ln x1 + ln x2 e′( p1 , p 2 , u ′) = e( p1 , p 2 , u )
根据 5.1 与 5.2 的结果,得到
6
设某消费者的间接效用函数为 v( p1 , p2 , m ) =
y = e( p, v( p, y ))
即可得到支出函数:
e( p, u ) = e( p, v( p, y )) = y = 108 p12 p 2 u
3 考虑下列间接效用函数
(
)
1 3
=
3 2 p12 p 2 u 2
(
)
1 3
v( p1 , p 2 , m ) =
这里 m 表示收入,问:
m p1 + p 2
由 1 式,2 式,得 e( p1 , p2 , u )
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题和强化习题详解(1-3讲)【圣才出品】
lim
→0
1
x1 ln x1 1 x1
+ +
2 2
x2 x2
ln
x2
= exp
1 ln x1 +
2 ln x2
=
x1 1
x2 2
1 + 2 = 1
1
( ) （3）当 → − 时，对效用函数 u( x1, x2 ) = 1x1 + 2 x2 两边变换求极限有：
( ) ( ) lim u
3 / 62
4．设
u
(
x1,
x2
)
=
1 2
ln
x1
+
1 2
ln
x2
，这里
x1，x2
R+
。
（1）证明： x1 与 x2 的边际效用都递减。
（2）请给出一个效用函数形式，但该形式不具备边际效用递减的性质。
答：（1）将 u
关于
x1
和
x2
分别求二阶偏导数得
2u x12
=
−
1 2x12
y)
=
min
x,
y 2
，如图
1-3
所示。
图 1-3 喝一杯汽水就要吃两根冰棍 （4）如图 1-4 所示，其中 x 为中性品。
图 1-4 对于有无汽水喝毫不在意
2．作图：如果一个人的效用函数为 u ( x1, x2 ) = maxx1, x2
2 / 62
（1）请画出三条无差异曲线。 （2）如果 p1 = 1 ， p2 = 2 ， y = 10 。请在图 1-5 上找出该消费者的最优消费组合。 答：（1）由效用函数画出的三条无差异曲线如图 1-5 所示。
平新乔《微观经济学十八讲》模拟试题及详解【圣才出品】
平新乔《微观经济学⼗⼋讲》模拟试题及详解【圣才出品】平新乔《微观经济学⼗⼋讲》配套模拟试题及详解（⼀）⼀、简答题（每题10分，共40分）1．假设政府与流浪者之间存在如下社会福利博弈：请分析下，在这场博弈中政府和流浪汉各⾃有没有优势策略均衡？有没有纳什均衡？在此基础上说明优势策略均衡和纳什均衡的区别和联系。
答：（1）从流浪汉的⾓度来看，如果政府选择“救济”，流浪汉的最佳策略是“游⼿好闲”；如果政府选择“不救济”，流浪汉的最佳策略是“寻找⼯作”。
因此，流浪汉没有优势策略。
从政府的⾓度来看，如果流浪汉选择“寻找⼯作”，政府的最佳策略是“救济”；如果流浪汉选择“游⼿好闲”，政府的最佳策略是“不救济”。
因此，政府也没有优势策略。
从⽽，这场博弈中没有优势策略均衡。
如果流浪汉选择“寻找⼯作”，则政府会选择“救济”；反过来，如果政府选择“救济”，则流浪汉会选择“游⼿好闲”。
因此，（救济，寻找⼯作）不是纳什均衡，同理，可以推断出其他三个策略组合也不是纳什均衡。
所以，这场博弈中也没有纳什均衡。
（2）当博弈的所有参与者都不想改换策略时所达到的稳定状态称为均衡。
⽆论其他参与者采取什么策略，该参与者的唯⼀最优策略就是他的优势策略。
由博弈中所有参与者的优势策略所组成的均衡就是优势策略均衡。
给定其他参与者策略条件下每个参与者所选择的最优策略所构成的策略组合则是纳什均衡。
优势策略均衡与纳什均衡的关系可以概括为：优势策略均衡⼀定是纳什均衡，纳什均衡不⼀定是优势策略均衡。
2．（1）张⼤⼭的偏好关系的⽆差异曲线由下列函数形式表达（为常数）其偏好满⾜严格凸性吗？为什么？（2）李经理的偏好关系的⽆差异曲线由下列函数表达：该偏好满⾜单调性吗？满⾜凸性吗？满⾜严格凸性吗？为什么？（3）崔⼤⽜的偏好关系的⽆差异曲线由下列函数表达：该偏好满⾜单调性吗？满⾜凸性吗？为什么？你能从⽣活中举出⼀个例⼦对应这种偏好关系吗？答：（1）该偏好满⾜严格凸性，理由如下：⽆差异曲线的图像如图1所⽰，可知其偏好满⾜严格凸性。
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平新乔《微观经济学十八讲》第 2讲 间接效用函数与支出函数1 •设一个消费者的直接效用函数为u =• Inq。
求该消费者的间接效用函数。
并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。
并验证：这样得到的需求函数与从直 接效用函数推得的需求函数是相同的。
解：（1）①当y-P 2 .0时，消费者的效用最大化问题为：构造拉格朗日函数:L = : Inq 72 川'；• j y -pq -P 2C 2L 对q 、C 2和，分别求偏导得:从而解得马歇尔需求函数为:y P 2q2二P 2由⑤式可知：当y_「p 2・0时，0，消费者同时消费商品 i 和商品2。
将商品i 和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数:v p , P 2, y ；=u q ”,q2 = In p y -：P iP 2②当y -：巾2 _0时，消费者只消费商品 i ，为角点解的情况。
从而解得马歇尔需求函数为：P i将商品i 和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数:v P i , P 2, y 二 u q ；, q 2 = > In 工P i(2)①当y_「p 2・0时，此时的间接效用函数为：v p,P 2,y ；=u q ",q ^.M n 匹 -P iP 2将间接效用函数分别对 p i 、P 2和y 求偏导得:P t = 0-:C i C ip 2 = 0 池y~ p i q i_ p 2q^= 0OK从①式和②式中消去后得::、沱 P 2q p再把④式代入③式中得：C 2y P 2P 2① ②③④⑤②当y _<_p2^0时，间接效用函数为v P -, P 2, y =u q i”,q 2” ，将间接效用函数分P i别对P i 、P 2和y 求偏导得:由罗尔恒等式，得到:(3)比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。
2•某个消费者的效用函数是 u x i 必i=X 2X 2，商品I 和2的价格分别是p 和P 2，此消费者的收入为m ，求马歇尔需求函数和支出函数。
解：(I )消费者的效用最大化问题为：2max x X 2X i, X2st. px • p 2x 2 二m构造该问题的拉格朗日函数:把⑤式代入④式中得:_/V _ 二印1 — p由罗尔恒等式，得到：a*矽® P i a P 2q i---应出丄P i:-p 2p2p2y :—■ ■:-V :卩2 P 2 P 2y 「二P 2；v 沁 丄P 2P iJv-：p；v ：：yq i”:-v :v :yP iq 2拉格朗日函数对xX 2和■分别求偏导得:从①式和②式中消去■后得:把④式代入③式中得:" 2x i X 2 - 1 P i 二 0 jX i；：L 2-X - - 1 P 2 =0X 2二 P ix - 2P 2X - p,P 2,m )=2m 3P i① ② ③④⑤1P 2.P i—m显P i,P 2,m 五⑤式和⑥式就是商品1和2的马歇尔需求函数。
将马歇尔需求函数代入直接效用函数中，可得间接效用函数：4m 2m4 m 3V P x ，P y ,m2—9 P i 23P 2 27口和2由于支出函数与间接效用函数互为反函数，得支出函数为：1.『27成P 2U~4收入。
2P 1 • P 2 P 1 ' P 2P 1 ' P 22P 1 • P 2 P 1 ' P 2P 1 ' P 24.考虑一退休老人， 他有一份固定收入， 想在北京、上海与广州三城市中选择居住地。
假定他的选择决策只依赖于其效用函数 u r x M ，这里 X ,，冷卢R 2。
已知北京的物价为p a, p l ，上海的物价为p ,b, p 2，并且P i ap f=p ； p ；，但p a= Pi b,廖=p ；。
又知广州的物价为（P C ,P 亠伽F ® +训若该退休老人是理智的，他会选择哪个城市去生 活？解：老人的效用最大化问题为：maxx ,x 2X ,, X 2st p ,x , +p 2x 2 =m构造该问题的拉格朗日函数：L （x i ,x 2，人） = x* +^（m — px i -P 2X 2）拉格朗日函数对X ,、X 2和■分别求偏导得:=2 32P ； P 2Ue P i , P 2，u 二 3 •试根据间接效用函数 VP ，P 2，mJ "— 求出相应的马歇尔需求函数，这里m 表示解：由间接效用函数可得:■v.P 12P 1 - P 2:y _；：P 22P 1 - P 2-------- = ----------------------------- o；:m P ，- P 2根据罗尔恒等式可知商品1和商品 2的马歇尔需求函数分别为（其中i =1 或 2):3 =x i _ • P 2 =0；X 2Lm-px -p 2% =0由①②③三式求解，可得： x(P i ,P 2,m)=-^， X2(p i ,p 2,m)=2 pi2 p2将上述两式代入目标式中就得到了老人的间接效用函数:于是他在北京、上海、广州三地的效用分别为:5- (i )设u =X i X 2，这里x i ,X 2 ]WR 2，求与该效用函数相对应的支出函数 e p i , P 2, u 。
(2)又设u' =l n X i ・lnx 2，这里，卢R 2，求与该效用函数相对应的支出函数e P ,P 2,u 。
(3)证明： e p, P 2,u = e P i , P 2, u ，其中 u=|nu 。
答：(i )消费者的支出最小化问题为：max p x P 2X 2 X i, X2st x x ? =u构造该问题的拉格朗日函数：L x , x 2, ' = p i x i p 2x 2 亠」u —x x 2 拉格朗日函数对X i 、X 2和■分别求偏导得：P i - X 2:L °P 2 - ■ x i =0.x 2综合上述分析可知： 若该退休老人是理性的， 则他会选择在北京或上海生活， 但不会选b，所以该不等式的等号并不成立，则有 V c :：: V a 二V b 。
择去广州生活。
.:L二X 2 -1P i二0v p,p 2,m ]=4 P i P 2V aa a 4p i Pi% _4p i bp bV cc c 4 P i Pi因为P ：P ；=P ； P b，所以 V =v b。
又因为a bc cP P iP i P 2-ab p 2p_2p ai p bip a . p b由于已知abaP i = Pl ，P 2 = P- u - X i X 2 =0把上述两式代入目标函数式中，就得到了消费者的支出函数:e"(p i , p 2,u")=2(p i p 2『e u '2=2、；p i p 2e'(3)证明:=u =ln u = 2 • p i p 2e u=2 pp 2e lnu=2』p i p 2Uu =ln X t 亠1 n x 2|-根据(i )与(2)的结果，可得 e p i , p 2, ^ =ep i , p 2, u 。
6•设某消费者的间接效用函数为 v p,p 2,m 二，这里 几c i 。
什么是该消费P i P 2者对物品i 的希克斯需求函数？答：根据间接效用函数与支出函数是反函数的关系，由于消费者的间接效用函数为v P i ，P 2,m二p :mP =，从中反解出m 关于P i 、P 2和v 的表达式，并用u 替换v ,就得到了消费者的支出函数：e p,u =up ;p 2"-12-12由上述三式解得：X =弋丿把两式代入目标函数式中，就得到了消费者的支出函数:, i2 — e P i , P 2,u =2 p i p ?]屮 =2. p iP 2U(2)消费者的支出最小化问题为:min PX 亠 px 2 X ，X2s.t In x +ln 冷=u "构造该问题的拉格朗日函数:L x, X 2「 - p i X i P 2X 2 亠；.[u -I n X i -Inx 2拉格朗日函数对 x 1、 X 2和，分别求偏导得:■门 P -一 =0.:X i X.：X i 兰 *2-一0.X 2X 2Cf.由①②③三式可解得：X i 二P 2 I P i 丿e u,'2， X 2 e u '2。
u =XX 2根据谢泼特引理，可知物品 1的希克斯需求函数为:把这n -1个等式代入①式中，就有:即:从而解得商品的马歇尔需求函数为：、、一 yX ― i =1,2,l||nP i(2)把每个商品的马歇尔需求函数代入效用函数中，£6fp,u\ 云(UpflD 严)h P ,U =-:P 1/P l1P 2=O(U —I P 1丿7 .考虑含n 种商品的 Cobb-Douglass n效用函数u x = A| ] x i ?，这里A . 0 , Y 匕i =1。
(1) (2) (3) (4) 求每种商品的马歇尔需求函数。
求消费者的间接效用函数。
计算消费者的支出函数。
计算每种商品的希克斯需求函数。
解：(1 )消费者的效用最大化问题为:n _max u x = A ' x' x1，x2 x ni 丄n st ,' P i X = yi -4构造该问题的拉格朗日函数:拉格朗日函数对X i i =1,2,H|n 和，分别求偏导数得:—=A i X：i J| ] X j -^Pi ■ =0 i=1,2,l(|n .Xj圧jL ny P i X =0一1从前n 个等式可知，对任意的i 和j ，都有如下关系成立::i X j P i:jX从而得到，对任意的j -i 都有:X j:jP i X":iPjp i1 i *Pi +±(r[ Xi =y 就得到了消费者的间接效用函数:(3)从间接效用函数中反解出 y 关于p i 、p 2和v 的表达式，并用u 替换v ，就得到了消费者的支出函数：(4)把支出函数两边取对数，得:上式关于p 求导得:e p,u 二In e =汕 u -I nA ：] -：; Il n p —In al.?1；:e :-i再根据谢泼特引理 h p,u 二壬P ,ux得到消费者对物品的希克斯需求函数为:tpiuA 」n ,j =1,2,3,HI,n&以柯布一道格拉斯效用函数为例说明求解效用最大化问题和求解支出最小化问题可 以得到同一需求函数。
答：(i )如果消费者的效用函数为柯布一道格拉斯效用函数， 那么他的效用最大化问题可以描述为：max Ax ：f X 〔，x2st , p,x 卩2冷=m构造该问题的拉格朗日函数:人，冷， H A X -I X 1--? " P m — P i x i —P2%拉格朗日函数对x i 、X 2和，分别求偏导得：——=a Ax 严x 严一 X p = 0 .:x 1AxF x 2二 _ ■ p 2 =0_*2m 「px 「0x 2 =0ck从①式和②式中消去'后得：PXX 2〉P 2把④式代入③式中解得:p,y ]=u x p, y =Ae B px ；二兰二ep,u 」二巴 羽 P j 宀:-j 4am X i⑤P i把⑤式代入④式中解得：X_ 1 m 2P 2⑤、⑥两式就是与柯布一道格拉斯效用函数相对应的马歇尔需求函数, 函数式中，就得到了间接效用函数：（2）消费者的支出最小化问题为:min p X 1 - p 2X 2X〔，X2st , u X 二 AxC ：构造该问题的拉格朗日函数:屮(XX,人)=P i X i +P 2X 2 + 扎(u-A 仪拉格朗日函数对X 1、X 2和，分别求偏导得：p 」；4、纠：七；-‘ -0 各1 p 2 —'# A 1 - ? X <X^ - 0 -X 2u —A /x ；三=0从①式和②式中消去■后得：（1 一G 恥1X 2把④式代入③式中解得商品1的希克斯需求函数为:把⑤式代入④式中解得商品 2的希克斯需求函数为:/ V ue p ，U i=A（3）下面来验证问题的结论：对柯布一道格拉斯效用函数而言，求解效用最大化问题 和求解支出最小化问题可以得到同一需求函数。