第二章间接效用函数与支出函数
第二讲 间接效用函数与支出函数
• 假设消费者的偏好是良好性状的。
• A点为最初的选择，B点为征从量税的最优选 择，C点为征所得税的最优选择。可见，在政 府向消费者征收相同数量的税收条件下，消费 者在政府课征所得税时的境况要好些。
X2
征从量税的预算线
初始预算线
X2*
B• •C •A
征所得税的预算线
O
X1*
X1
思考：
➢ 在政府征收从量税和等额所得税的情况下，消费 者的境况有没有可能一样好？如果有，是在什么 情况下？ 有，折拗性偏好，例如：完全互补
y p1
p2
请求消费者的马歇尔需求函数。
求解
v(p1,p2,y ) p1
y(p1
p
2
)
2
,
v(
p1,p p 2
2
,y
)
y(p1
p 2 )2
v(p1,p2,y ) y
(p1
p 2 )1
利用罗尔恒等式
v(p ,y )
pi v(p ,y )
xi*
xi(p ,y )
y 0
v(p1,p2,y )
我们有x1(p1,p2,y )
p1 v(p1,p2,y )
y(p1 p 2 )2 (p1 p 2 )1
y
y(p1 p 2 )1
v(p1,p2,y )
x 2(p1,p2,y )
p 2 v(p1,p2,y )
y(p1 p 2 )2 (p1 p 2 )1
y
y(p1 p 2 )1
（三）间接效用函数的应用
• 可以分析价格和收入变动对消费者福利的影 响。
p ， *
u(x* )
i xi
0(偏好满足单调性），pi
8效用函数、间接效用函数和支出函数
j 1,
,n
证明： ①先求分子
v( p, m) u( x( p, m))
v u xi p j i 1 xi p j
n
u 又 pi xi
(i 1,
, n)
（最大化一阶条件）
n xi v pi p j p j i 1
同时 即
px m
max u x max u x tp x tm t 0 px m
（二） p ' p时 , v p ', m v p, m 证：记 B x px m B x px m
显然 B B
v x j p j (1)
v m
(2)
包络定理
• 考察参数变化对值函数的影响 • 假设f(x,a)是x和a的函数，a为决定于所研究 问题之外的一个参数，x为所研究的变量。 假定选择x来最大化这一函数，对于每一个 a，存在一个不同的x的最优选择。 • 定义值函数M(a)=f(x(a),a) • 现在我们想知道a的变动如何影响M(a)的变 动，即dM(a)/da
故 v( p1 , p2 , m) x x
* * 1 2 2
m 4 p1 p2
p1 0.25, p2 1, m 2
2 * x1 2 0.25 4 2 * x2 1 2 1
时
v( p1 , p2 , m) v(0.5,1, 2) 4
maxu ( x )满足x属于B B， B B B k，因为v(p, m) k和v(p, m) k
（五）罗伊（Roy identity）等式：
v p, m 0 如果 m
平新乔课后习题详解(第2讲--间接效用函数与支出函数)
平新乔《微观经济学十八讲》第2讲 间接效用函数与支出函数1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。
求该消费者的间接效用函数。
并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。
并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。
解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为：12122,112m ln ax q q s t q p p yq q q α..+=+构造拉格朗日函数：()121122ln L q q q y p p q αλ--=++L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得：1110L p q q αλ∂=-=∂ ① 2210Lp q λ∂=-=∂ ② 11220q Ly p p q λ∂=--=∂ ③ 从①式和②式中消去λ后得：211p q p α*=④再把④式代入③式中得：222y p p q α*-=⑤ 从而解得马歇尔需求函数为：211p q p α*=222y p p q α*-=由⑤式可知：当20y p α->时，20q *>，消费者同时消费商品1和商品2。
将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()2112122,,,ln p v p p y p q q y u p ααα**=+-=②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。
从而解得马歇尔需求函数为：11q y p *=20q *= 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()12121,,,ln v p p y u q p y q α**== （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为：()()2112122,,,lnp v p p y p q q yu p ααα**=+-= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 2222v y p p p α∂=-∂ 21v y p ∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1112121v p p p v y p q p αα*∂∂=-==∂∂ 222222221y p v p p y p y q v p p αα*-∂∂-=-==∂∂②当20y p α-≤时，间接效用函数为()()12121,,,lnv p p y u q p yq α**==，将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 20v p ∂=∂ v y yα∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1111v p p y v y p yq αα*∂∂=-==∂∂ 2200v p v y y q α*∂∂=-==∂∂ （3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。
第二讲间接效用函数与支出函数D
* 故 v( p1 , p2 , m) = x1* x2
m = 4 p1 p2
2
p1 =0.25, p2 =1, m= 2
2 * x1 = 2 × 0.25 = 4 2 * x2 = =1 2 ×1
时
v( p1 , p2 , m) = v(0.5,1, 2) = 4
现在假设政府对商品1按0.25元/ 单位征收消费税，即
两边同时对pj偏微分
∂xi x j + ∑ pi =0 ∂p j i =1
n
∂ v = λ ∂ p j
∑
n
p
i=1
i
∂ x ∂ p
i j
故
∂v = −λ x j ∂p j
（1）
②再求分母
Q v( p, m) = u ( x( p, m))
对m求偏微分
∂v = ∂m
∑
n
i =1 n
∂u ( x ) ∂xi ∂xi ∂m ∂ xi pi ∂m
∂e( p, u ) ⋅ ∂pi
(1)
由谢泼特引理知
∂e = hi ( p , u ) ∂pi
且
hi ( p , u ) = x i ( p , e ( p , u )) = xi ( p , m )
即
∂e = xi ( p, m) ∂p i
代入(1)式变形即可得
∂x j ∂pi = ∂h j ( p, v( p, m)) ∂pi − xi ∂x j ( p, m) ∂m
第二讲间接效用函数与支出函数
•
Outline of Today’s Class
• • • • • 1.间接效用函数 2.罗伊（Roy identity）等式 3.支出最小化问题 支出最小化问题 4.支出函数 5.希克斯（补偿）需求函数
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(第2讲 间接效用函数与支出函数)
平新乔《微观经济学十八讲》第2讲 间接效用函数与支出函数跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。
1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。
求该消费者的间接效用函数。
并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。
并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。
解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为：12122,112m ln ax q q s t q p p yq q q α..+=+构造拉格朗日函数：()121122ln L q q q y p p q αλ--=++L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得：1110L p q q αλ∂=-=∂ ① 2210Lp q λ∂=-=∂ ② 11220q Ly p p q λ∂=--=∂ ③ 从①式和②式中消去λ后得：211p q p α*=④再把④式代入③式中得：222y p p q α*-=⑤ 从而解得马歇尔需求函数为：211p q p α*=222y p p q α*-= 由⑤式可知：当20y p α->时，20q *>，消费者同时消费商品1和商品2。
将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()2112122,,,ln p v p p y p q q y u p ααα**=+-=②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。
从而解得马歇尔需求函数为：11q y p *=20q *= 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()12121,,,lnv p p y u q p y q α**== （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为：()()2112122,,,lnp v p p y p q q yu p ααα**=+-= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 2222v y p p p α∂=-∂ 21v y p ∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1112121v p p p v y p q p αα*∂∂=-==∂∂ 22222221y p v p p y p y q v p p αα*-∂∂-=-==∂∂②当20y p α-≤时，间接效用函数为()()12121,,,lnv p p y u q p yq α**==，将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 20v p ∂=∂ v y yα∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1111v p p y v y p y q αα*∂∂=-==∂∂ 2200v p v y yq α*∂∂=-==∂∂ （3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(第2讲 间接效用函数与支出函数).doc
平新乔《微观经济学十八讲》第2讲 间接效用函数与支出函数跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。
1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。
求该消费者的间接效用函数。
并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。
并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。
解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为：12122,112m ln ax q q s t q p p yq q q α..+=+构造拉格朗日函数：()121122ln L q q q y p p q αλ--=++L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得：1110L p q q αλ∂=-=∂ ① 2210Lp q λ∂=-=∂ ② 11220q Ly p p q λ∂=--=∂ ③ 从①式和②式中消去λ后得：211p q p α*=④再把④式代入③式中得：222y p p q α*-=⑤ 从而解得马歇尔需求函数为：211p q p α*=222y p p q α*-= 由⑤式可知：当20y p α->时，20q *>，消费者同时消费商品1和商品2。
将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()2112122,,,ln p v p p y p q q y u p ααα**=+-=②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。
从而解得马歇尔需求函数为：11q y p *=20q *=将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()12121,,,lnv p p y u q p yq α**== （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为：()()2112122,,,lnp v p p y p q q yu p ααα**=+-= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 2222v y p p p α∂=-∂ 21v y p ∂=∂由罗尔恒等式，得到：1112121v p p p v y p q p αα*∂∂=-==∂∂ 222222221y p v p p y p y q v p p αα*-∂∂-=-==∂∂②当20y p α-≤时，间接效用函数为()()12121,,,lnv p p y u q p yq α**==，将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 20vp ∂=∂ v y y α∂=∂由罗尔恒等式，得到：1111v p p y v y p y q αα*∂∂=-==∂∂ 2200v p v y yq α*∂∂=-==∂∂ （3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。
chapter04 间接 效用函数与支出函数
20
A
C
价格变动的 替代效应
A
C
h 0, 0 x1 p1 p2 , u
希克斯
h 1, 0 x1 p1 p2 , u
需求曲线
间接效用函数与支出函数
21
如果u ()是连续且严格递增的， 那么，当p 0时， 支出函数e( p, u )在点（p o , u 0 )对于p可微，并且 e（p o , u 0 ) h o 0 x（ p , u ) i 1,2, n i pi
x p x , p y , I
2 px I 2 2 px py
x, y为两种商品， I为收入。
Why or why not?
间接效用函数与支出函数
12
2.设一个消费者的直接效用函数为
u ln q1 q2
构造出该消费者的间接效用函数，并且运用罗尔等式其关于 两种物品的需求函数。验证这样得到的需求函数与直接效用 函数推导的需求函数是相同的。
间接效用函数与支出函数
间接效用函数与支出函数
1
Which is better？
政府决定对化妆品征税，那么到底是
征收所得税好还是商品税好呢？
间接效用函数与支出函数
2
设效用函数为
x1 x2 x1 x2
1 2
ux1, x2 x1x2
m ax L
s.t . p x 1 p x2 y L 1 x1 x1 2
间接效用函数与支出函数
10
0 0 如 p, y 在点 p , y 是可导且 p ,y 0 y
0
0
p 0 , y 0 pi 0 0 i 1,2,, n 则有xi p , y 0 0 p , y y 0
间接效用函数
一、间接效用函数
• 2.间接效用函数
• （1）基本概念
• 若 v(p,y)ux成(p 立,y，)则
就v为( p间, 接y )效用函数。
• 间接效用函数表示收入和价格两个变量下消费者
的最优消费时的效用。
• 间接效用函数的存在对于说明政府水平的福利影 响有比较便利的条件
一、间接效用函数
• （2）间接效用函数的性质
p 1 2
x1
1
y
p
1
1
p 1 1
p 1 2
1
p1 p2
1
一、间接效用函数
令
r 1
x1 x2
y
p
r 1 1
p
r 1
p
r 2
y
p
r 1 2
p
r 1
p
r 2
一、间接效用函数
• （3）马歇尔需求函数的性质 • A.在价格和收入上，需求函数是零次齐次的。
即对于任意给定的p、y，都有a>0，使得 成立。 x(ap,ay)x(p,y) • B.瓦尔拉斯定理。即最优的消费束都在预算线 的上界。 xR,pxy
w
| x x ( p ,w )
v( p,w ) p
L (x,
p
)
| x x ( p , w )
x
二、支出函数
• 1.支出函数： • 这是个支出最小化问题，选择合适的x使得满足
约束条件
m in
px
s .t
u (x) u
L = p x - u ( x ) - u
L
xi L pi pj
u ( x 1 ,x 2 ) ( x 1 x 2 ) 1 , 0 1 , 求 x i x i ( p 1 ,p 2 ,y ) , i 1 ,2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
间接效用函数及其性质
将马歇尔需求函数 x x( p, m)代入U ( x)中， 得到效用最大值，构成 间接效用函数 v( p, m) U ( x( p, m))
意义：知道消费者的收 入和价格，就可以知道 最大效用在哪。 可通过控制价格和收入 来影响消费者行为。政 策的应用价值。
间接效用函数的例题
U x1, x2 x1x2
p1 0.25, p2 1, m 2
假设政府决定征税，税 收总量为0.5， 求政府对x1开征商品税和征收所得 税，对效用影响如何？
x2
征商品税的预算线，最优点为B点，满足： (P1+t)X1*+P2X2*=M 征所得税后的预算线：满足P1X1+P2X2=M-tX1* 可以判断：两条预算线在B点相交。
支出函数
e p, u p h p, u
支出函数性质
是价格p的一次齐次函数： e(tp, u) t e( p, u)
支出函数性质:支出函数与补偿需求函数的关系
• 谢泼德引理
e p, u hij p, u p j
j 1, 2 n
谢泼德引理的证明
谢泼德引理
• 可以从支出函数求出希克斯需求函数 • 可以判断出：随着价格增加，支出函数是单调递增的。 • 如何递增？
谢泼德引理图示
谢泼德引理图示
* 惰性支出函数e p1 x1 pi xi* i 2 n
支出函数是P的凹函数
• 表明支出函数总是根据价格变化相应调整消费束，从而做 到在每个价格水平上它都是支出最小的。 • 对于懒惰的消费者，由于不能根据价格变化而灵活调整自 己的消费束，从而很难做到其支出是最小的。往往高于支 出函数的支出额。
支出函数是关于价格的凹函数的证明
• 凹函数的定义：
对于函数f ( x)的定义域中任意两个量 x1 , x 2 , 取0 t 1, 如果满足： tf ( x1 ) (1 t ) f ( x 2 ) f (tx1 (1 t ) x 2 ),则该函数为凹函数。
• 支出函数：
如果支出函数满足： te( p1 , u ) (1 t ) f ( p 2 , u ) e(tp1 (1 t ) p1 , u ),则该支出函数为凹函数 。
希克斯需求曲线和马歇尔需求曲线
P1
h( p1 , u0 )
p1 '
p
0 1
x1 ( p1 , m0 )
0 h( p1 ' , u0 ) h( p1 , u0 )
x1 ( p1 ' , m0 )
X1
区别
• 希克斯需求曲线反映的是效用不变情况下，价格变化引起 的需求量的变化。体现的仅是替代效应。 • 马歇尔需求曲线反映的是价格变化引起的需求量的变化。 包括替代效应和收入效应。 • 所以马歇尔需求曲线一般来说要比希克斯需求曲线平缓。
间接效用函数的零次其次性质
• 约束条件：
tp x tm p x m
• 约束条件并没有改变，所以间接效用函数也没有改变
v(tp, tm) t v( p, m) v( p, m)
0
• 作用：如果是两种商品，可将非重点研究的商品价格处理 为1，从而只有一个独立的相对价格。
练习
支出最小化问题的基本模型
min px h p, u s.t , U x u
希克斯需求函数或 补偿需求函数
特点：完全不可观察的，效用是非客观的
支出最小化的求解过程
补偿的含义？
• 观察价格变化后，保持效用不变的话，支出最小时的支出 要比原来的支出大，说明价格上涨，要想效用不改变，必 须进行一定的货币补偿。
支出函数是凹函数的证明
作业
min p1 x1 p2 x2 1.5 s . t . x 1 x2 u 求：希克斯需求函数和 支出函数，并验证谢泼 德引理。
练习题
• 第二讲课后习题：1,2,3,4,5,6,7
思考
• 希克斯需求函数与马歇尔需求函数的区别和联系是什么？
希克斯需求曲线和马歇尔需求曲线
P1
h( p1 , u0 )
p1 '
p
0 1
0 h( p1 ' , u0 ) h( p1 , u0 )
X1
马歇尔需求函数的含义
h1 ( p1 ' , u0 )
( p10 , m0 ) x1 ( p1 ' , m0 ) h1 ( p10 , u0 ) x1 ( p10 , m0 )
A B x2* C
x1*
x1
思考
• 如果政府对穷人的救济方式有： 发放收入和食物折扣券这两种方式 在政府开支是一样的情况下，哪种方式对穷人福利的增加 更多？
消费者的选择
• 当收入，价格既定时，如何选择效用才能最大？ • 消费者还可能面临： 如果要达到一定的效用水平，当价格既定时，如何选择才 能花的钱最少？ 这两个问题都涉及消费者最优选择的问题。前者是极大值， 后者是极小值。
1.5 U x1 x2 m p1 x1 p2 x2
求间接效用函数，并验 证其零次齐次特点。
（Roy ' sidentity） 罗伊恒等式
• 间接效用函数与马歇尔需求函数的关系：
v( p, m) pi xi ( p, m) v( p, m) m
罗伊恒等式证明过程
思考
• 与效用函数（或直接效用函数）的区别在哪？
间接效用函数的性质
如果直接效用函数是连 续且严格递增的，则间 接效用函数： 1.连续的； 2.是关于（p, m）的零次齐次函数。即 v(tp, tm) t 0 v( p, m) 3.对于y严格递增； 4.对于p严格递减； 5.罗伊恒等式（Roy' sidentity）
罗伊恒等式
• 证明过程可以反映价格和收入变动对均衡解的影响。 • 从恒等式可以倒推出马歇尔需求函数。
间接效用函数的应用
• 间接效用函数描述的是（价格，收入）变化对效用最大化 时的效用的影响。 • 当消费者的决策环境变化了，通过间接效用函数可以直接 了解它的影响。 • 尤其对于消费政策变化的影响分析，非常有效。例如：收 入补贴政策（改变收入）；商品税政策（改变某一商品价 格）等。