第2讲 效用函数与需求函数
第二讲 间接效用函数与支出函数
• 假设消费者的偏好是良好性状的。
• A点为最初的选择，B点为征从量税的最优选 择，C点为征所得税的最优选择。可见，在政 府向消费者征收相同数量的税收条件下，消费 者在政府课征所得税时的境况要好些。
X2
征从量税的预算线
初始预算线
X2*
B• •C •A
征所得税的预算线
O
X1*
X1
思考：
➢ 在政府征收从量税和等额所得税的情况下，消费 者的境况有没有可能一样好？如果有，是在什么 情况下？ 有，折拗性偏好，例如：完全互补
y p1
p2
请求消费者的马歇尔需求函数。
求解
v(p1,p2,y ) p1
y(p1
p
2
)
2
,
v(
p1,p p 2
2
,y
)
y(p1
p 2 )2
v(p1,p2,y ) y
(p1
p 2 )1
利用罗尔恒等式
v(p ,y )
pi v(p ,y )
xi*
xi(p ,y )
y 0
v(p1,p2,y )
我们有x1(p1,p2,y )
p1 v(p1,p2,y )
y(p1 p 2 )2 (p1 p 2 )1
y
y(p1 p 2 )1
v(p1,p2,y )
x 2(p1,p2,y )
p 2 v(p1,p2,y )
y(p1 p 2 )2 (p1 p 2 )1
y
y(p1 p 2 )1
（三）间接效用函数的应用
• 可以分析价格和收入变动对消费者福利的影 响。
p ， *
u(x* )
i xi
0(偏好满足单调性），pi
平新乔课后习题详解(第2讲--间接效用函数与支出函数)
平新乔《微观经济学十八讲》第2讲 间接效用函数与支出函数1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。
求该消费者的间接效用函数。
并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。
并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。
解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为：12122,112m ln ax q q s t q p p yq q q α..+=+构造拉格朗日函数：()121122ln L q q q y p p q αλ--=++L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得：1110L p q q αλ∂=-=∂ ① 2210Lp q λ∂=-=∂ ② 11220q Ly p p q λ∂=--=∂ ③ 从①式和②式中消去λ后得：211p q p α*=④再把④式代入③式中得：222y p p q α*-=⑤ 从而解得马歇尔需求函数为：211p q p α*=222y p p q α*-=由⑤式可知：当20y p α->时，20q *>，消费者同时消费商品1和商品2。
将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()2112122,,,ln p v p p y p q q y u p ααα**=+-=②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。
从而解得马歇尔需求函数为：11q y p *=20q *= 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()12121,,,ln v p p y u q p y q α**== （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为：()()2112122,,,lnp v p p y p q q yu p ααα**=+-= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 2222v y p p p α∂=-∂ 21v y p ∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1112121v p p p v y p q p αα*∂∂=-==∂∂ 222222221y p v p p y p y q v p p αα*-∂∂-=-==∂∂②当20y p α-≤时，间接效用函数为()()12121,,,lnv p p y u q p yq α**==，将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 20v p ∂=∂ v y yα∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1111v p p y v y p yq αα*∂∂=-==∂∂ 2200v p v y y q α*∂∂=-==∂∂ （3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。
需求函数,收入效应和替代效应：理论和实证
需求函数，收入效应和替代效应：理论和实证David Autor14.03 2004 秋季1马歇尔需求中的价格变化●消费者预算的微小变化（即I的上升或者下降）都涉及到消费线自原始位置向内或向外平行移动。
这样的经济学是很简单的。
既然这样的移动保持了价格比率，那么它对消费者的边际替代率（MRS）就没有任何影响，，除非选定的商品组合在一开始或者最终处于边角解答中。
●保持其他商品价格和收入不变，一种商品的价格上升在经济学上有着更复杂的效应：— 它使得预算线由原始位置向内移动了。
换言之，消费者现在更穷了。
与之相对的是“收入效应”。
— 它改变了预算线的斜率，这样消费者就面临了一个不同的市场交易比率。
与之相对的是“价格效应”。
●尽管两种移动是同时发生的，但它们的概念是有区别的，而且对消费者行为而言也存在不同的含意。
1.1收入效应首先，考虑“收入效应”。
在一个两商品的经济体中，预算线由原始位置向内移动有什么影响：1.总消费？[下降]2.效用？[下降]3.对的消费？[答案取决于是正常物品或是低档物品]4.对的消费？[答案取决于是正常物品或是低档物品]1.2替代效应●在同一个两商品的经济体中，对的消费会有什么变化，若：而且效用保持不变？●换句话说，我们想要得出：●在应用MRS递减公理的情况下，我们有●总之，保持效用不变，替代效应总是负的。
●相反地，按照上面的推理，收入效应的符号却是不确定的，取决于是正常物品还是低档物品。
1.3商品的类型替代效应总是负的而收入效应却是不确定的，这就引出了三种类型的商品的划分：1.正常物品：。
对于这种商品，价格的上升和收入的下降有着相同的影响 — 更少的消费量。
尽管只观察了从到的移动，我们也能理解这种移动由两个部分组成：从到的移动（替代效应）和从到的移动（收入效应）。
2.低档物品：。
对于这种商品，收入和替代效应是相互抵消的。
为什么？甚至于尽管导数是同号的，它们的效应也是相反的。
因为价格的上升减少了实际收入 — 从而通过收入效应增加了消费，即便是替代效应同时也使消费减少。
《效用函数》课件
05
效用最大化问题
消费者剩余和生产者剩余
消费者剩余
消费者在购买某一商品时愿意支付的 最高价格与实际支付价格之间的差额 。消费者剩余反映了消费者对商品的 主观评价和实际支付之间的差异。
无差异曲线法
预算约束法
通过选择无差异曲线上的点来实现效用最 大化，无差异曲线上的点表示能给消费者 带来相同效用的不同商品组合。
在预算约束条件下，选择能够使总效用最 大的商品组合。
06
效用函数的发展趋势和未来展望
效用函数在经济学中的发展趋势
跨学科融合
随着经济学与其他学科的交叉研究， 效用函数的理论和应用将进一步融入 心理学、社会学和环境科学等领域， 以更全面地解释人类行为和经济现象 。
效用函数作为决策分析的重要工 具，为决策者提供了一套完整的 分析框架和方法。
04
效用函数的性质
边际替代效应
边际替代效应是指消费者在保持总效 用不变的情况下，通过改变消费组合 中不同商品的消费量，以获得最大效 用。
边际替代效应反映了消费者对于不同 商品之间的替代关系，是消费者行为 的一个重要特征。
对同一种商品的效用评价可能不同。
效用具有主观性和个体差异性，反映了消费者的个人偏好和价
03
值取向。
效用函数的定义
01
效用函数：表示消费者对不同消费组合的效用评价 的函数。
02
效用函数将商品的数量或消费组合映射到效用值上 ，反映了消费者的偏好和价值取向。
03
效用函数有多种形式，常见的有线性效用函数、二 次效用函数、对数效用函数等。
中级微观经济学讲义-2
第二讲 消费者理论
四、显示偏好简介
（一）显示偏好弱公理
与古典的从偏好关系到效用函数再到需 求函数的逻辑思路不同， 求函数的逻辑思路不同，萨缪尔森从行为结 果本身推导人的行为准则，抛却了效用理论 果本身推导人的行为准则， 中的许多主管假定，而仅需要一些隐含的、 中的许多主管假定，而仅需要一些隐含的、 弱的要求，比如一致性。 弱的要求，比如一致性。
第二讲 消费者理论
二、效用最大化与支出最小化
（二）效用最大化－续（2） 效用最大化－
罗伊恒等式】 【罗伊恒等式】 构造拉格朗日函数 L( x , λ ) = u( x ) + λ ( y − px )， ∂v ( p, y ) ∂L( x * , λ* ) 根据包络定理， 根据包络定理， = = λ*以及 ∂y ∂y ∂v ( p, y ) ∂L( x * , λ* ) = = − λ* x i*，可以得到 ∂ pi ∂p i ∂v ( p , y ) − ∂ pi x i* = x i ( p, y ) = ∂v ( p , y ) ∂y
x 2 f x1 , ∀t ∈ [0,1] ⇒ x t = tx 2 + (1 − t )x1 ~ x1 f ~ 公理 7 : 严格凸性 x 2 ≠ x1 , x 2 f x1 ⇒ x t f x1 ~ (排除了无差异集凹向原 点 < 多元化消费 > )
第二讲 消费者理论
一、偏好、效用与预算 偏好、
第二讲 消费者理论
一、偏好、效用与预算 偏好、
（一）偏好关系－续（1） 偏好关系－
偏好公理： 偏好公理： 公理 4 : 局部非饱和性 公理 5 : 严格单调性 公理 6 : 凸性 ∀x 0 ∈ R n , ∃ε > 0 , ∃x ∈ B ε ( x 0 ) I R n ⇒ x f x 0 + + (排除了无差异区域的存 在 ) ∀x 0， x1 ∈ R n ， x1 ≥ x 0 ⇒ x1 f x 0 + ~ (排除了无差异集向上弯 曲)
平新乔微观经济学十八讲02
5
代 5 入 4 式,得 x 2 的需求函数:
x2 =
y 3 p2
2
6
代 5,6 两式入效用函数中,得到当效用最大化时有间接效用函数:
2y y v( p, y ) = u ( x1 , x 2 ) = x x 2 = 3p 3p 2 1
2 1
2
第二讲 间接效用……
又消费者效用最大化意味着
(x1 , x2 ) ∈ R+2 . 已 知 北 京 的 物 价 为 ( p1a , p 2a ) , 上 海 的 物 价 为 ( p1b , p 2b ) , 并 且
a b p1a p 2 = p1b p 2 , 但 a b p1a ≠ p1b , p 2 ≠ p 2
. 又 知 广 州 的 物 价 为
u = x1 x2 u′ ln u u ′ = ln u 2 p1 p2 e = 2 p1 p2 e = 2 p1 p2u u ′ = ln x1 + ln x2 e′( p1 , p 2 , u ′) = e( p1 , p 2 , u )
根据 5.1 与 5.2 的结果,得到
6
设某消费者的间接效用函数为 v( p1 , p2 , m ) =
y = e( p, v( p, y ))
即可得到支出函数:
e( p, u ) = e( p, v( p, y )) = y = 108 p12 p 2 u
3 考虑下列间接效用函数
(
)
1 3
=
3 2 p12 p 2 u 2
(
)
1 3
v( p1 , p 2 , m ) =
这里 m 表示收入,问:
m p1 + p 2
由 1 式,2 式,得 e( p1 , p2 , u )
《效用与需求》PPT课件
• 消费可能性 • 偏好
Copyright © 1998 Addison Wesley Longman, Inc.
TM 8-‹#›
1.消费可能性
• 家庭消费选择受家庭收入和价格的限
制。
• 这些限制用预算线进行描述。
IP•xQxP•yQy
Copyright © 1998 Addison Wesley Longman, Inc.
Copyright © 1998 Addison Wesley Longman, Inc.
TM 8-‹#›
总效用和边际效用
总效用是一个人从物品与劳务的消费中 得到的总利益。 边际效用是一种物品的消费量增加一单 位所引起的总效用的变动量。
Copyright © 1998 Addison Wesley Longman, Inc.
Copyright © 1998 Addison Wesley Longman, Inc.
TM 8-‹#›
思考
• 是基数效用论合理一些，还是序数效
用论更合理一些，为什么？
Copyright © 1998 Addison Wesley Longman, Inc.
TM 8-‹#›
一、家庭（消费者）消费选择
• 基数效用论——第8章 • 序数效用论——第9章
Copyright © 1998 Addison Wesley Longman, Inc.
TM 8-‹#›
基数效用
• 基数效用是指可以用基数1.2.3.5……等具体数
量测量商品的效用。效用还可以加总求和。
• 基数效用论者认为，效用的大小是可以用基数
TM 8-‹#›
消费可能性
电影 ($6)
效用函数需求决策是家庭在预算限制下追求效用极大所推导出的U=f
偏好與效用
食衣住行育樂都是消費行為 消費是為了滿足慾望 滿足慾望需要資源的投入
欲望無窮 資源有限，因此，必須有所取捨trade-offs
人的偏好preference就是就是決定取捨的基準 給定資源 (時間資源體力 )限制條件，消費者會選擇一 種最喜歡 是自己最高興的資源分配方式。 例如，費用、時間、體力有限，在星期假日如何選擇 活動? 那就看個人的偏好。
最適點的詮釋 (二)
在最適點 : MRS
MU1 P 1 MU2 P2
MU1 MU2 MU1 MU2 上式若不成立，表示 : 或 P P2 P P2 1 1
若 MU1/P1 > MU2/P2，表示花一元買 X1 (買到 1/P1 單位) 所 創造的效用增量 (乘以 MU1)，大於花一元買 X2 (買到 1/P2 單位) 其所創造的效用增量 (乘以 MU2)。這表示此時消費 者應將一元由購買 X2 挪用為購買 X1，如此可在不增加預 算的情況下增加效用，故消費者未達最適。 同理，若 MU1/P1 < MU2/P2，消費者也未達最適。
預算限制的代數與幾何表達 (二)
AB 線段斜率的絕對值是
P1 / P2 代表消費者在市場上 面對兩種商品的客觀交換比。
4.3.2消費者的最適選擇
人們的需求行為是「在預算限制 之下追求效用極大」。 如何在消費者的預算限制 （△ABO 中）找到使其效用最大 的點？ l ：效用最高，但買不起。
l m n
效用函數
需求決策是家庭在預算限制下追求效用極大所推導出的。 U = f (X1, X2, …, Xn ) (4.1) 為一典型之效用函數utility function。 U 為效用utility水準，刻劃消費者的滿足程度； (X1, X2, …, Xn ) 為對 n 種商品的消費量。 相同的(X1, X2, …, Xn ) 組合對不同的人構成的滿足程度各 有不同，因為每個人的偏好不一樣。 以效用函數刻劃characterize偏好、以效用水準代表滿足程 度，並不涉及自私或不自私，也可以是利他的行為。。 例如范仲淹的效用函數可能是： U = f (天下人的消費, 自己的消費) 父母的效用函數可能是： U = f (子女的消費, 自己的消費)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x
U A[a x b y ]
1/ 0
y
16
列昂剔夫型效用函数的等效用曲线
U A [a x b y ]
x
, 1/
或 U Ax / 1, y / 2
y
17
第二节 效用最大法则与需求函数
问题？
简述：求极值的方法。
18
一、效用最大的数学模型
Max s.t
U ( x1, x2 ) p1x1 p2 x2 M
a1/(1 ) 1
a p 1/(1 ) 1
/( 1) 1
p /( 1) 1
a1/(1 ) 2
p /( 1) 2
M
31
x1
0 a1 x1 1 p1
x2
0 a2 x2 1 p2
a1x1 1 / p1 a2x2 1 / p2
p1x1 p2 x2 M
p1x1
a1/(1 ) 1
等效用曲线
x
U A xa yb
y
12
第2种类型： 不变替代弹性型、或者CES型
U A[a1x1 an xn ]
1
பைடு நூலகம்
13
•线性生产函数形式：
x
U A[a x b y ]
1
y
14
•CD生产函数形式：
x
U A[a x b y ]
1/ 0
y
15
•一般CES生产函数形式：
p2 /( 1) a 1/(1 )
2
p /( 1) 2
M
34
• 于是可得最优支出比例为：
1
p1x1 :
p2 x2
a b
1
p1 p2
1
35
•效用函数的推导
练习：
如果某人对商品x和y的效用函数CES型效用函数。 已知两种商品支出比例的对数值与其价格比的对数 值符合下式，求效用函数的数学表达式。
19
二、效用最大法则:
通过求解消费者效用最大法则，就可以得到是 需求函数的数学表达式。
U (x1, x2 ) U (x1, x2 )
x1 x2
p1
p2
p1x1 p2 x2 M
20
效用最大数学模型
max
U
A
xa1 1
xa2 2
s.t
p1x1 p2 x2 M
ai 0, ai 1
效用最大法则
需求函数
p1 x1
a1
a1 a2
M
U (x1, x2 ) U (x1, x2 )
x1 x2
p1
p2
p1x1 p2 x2 M
p1x2
a2 a1 a2
M
21
问题？
选择题： a.需求函数与效用函数值的大小有关系。 b.需求函数与效用函数值的大小没有关系。 c.需求函数与效用函数值大小的关系不确
x2
0 a2 x2 1 p2
a1x1 1 / p1 a2x2 1 / p2
p1x1 p2 x2 M
30
那么，极值的必要条件为：
x1
0 a1 x1 1 p1
x2
0 a2 x2 1 p2
a1x1 1 / p1 a2x2 1 / p2
p1x1 p2 x2 M
p1x1
• 什么是效用？ • 效用函数的解释变量是谁？
3
一、效用、效用函数的定义
• 经济学可以简单地定义如下：利用有限 的资源，合理安排生产，生产的产品在 消费者中进行合理的分配，达到人类现 在与未来的最大满足。
• 根据以上的定义，学习或者研究数量经 济学的首要任务是：如何用数学公式来 表示人类的满足程度和个人的满足程度。
求实现效用最大化的最优支出比例为多少？
p1x1 : p2 x2 ?
33
• 利用需求函数表达式可以求出：
p1 x1
a 1/(1 ) 1
a 1/(1 ) 1
p /( 1) 1
p /( 1) 1
a 1/(1 ) 2
p /( 1) 2
M
p2
x2
a 1/(1 ) 1
a 1/(1 ) 2
p /( 1) 1
定，有时候有关系，有时候没有关系。
22
问题：
有人认为，效用函数值的大小不能测量， 所以应该全盘否定西方经济学。 这一句话有没有道理？
23
练习： 如果人们收入中有60%购工业品， 数量为x, 40%购农业品，数量为y,
写出效用函数的数学表达式。
24
练习：如果人们收入中有60%购工业品，数 量为x, 40%购农业品，数量为y,写出效用函
数的数学表达式。
U A x0.6 y0.4
自己练习课后习题二
25
•最优支出比例的计算 练习
请求解：
Max s.t
U a1x1 a2 x2 p1x1 p2 x2 M
26
解: 可以根据高等数学当中求极值的方法来 求解以上问题 。 作拉格朗日函数:
a1x1 a2 x2 (M p1x1 p2 x2 )
a p 1/(1 ) 1
/( 1)
1
p /( 1) 1
a1/(1 ) 2
p /( 1) 2
M
p2 x2
a1/(1 ) 1
a p 1/(1 ) 2
/( 1) 2
p /( 1) 1
a1/(1 ) 2
p /( 1) 2
M
32
练习：
若效用函数为：
Max s.t
U (a1x1 a2 x2 )1/ p1x1 p2 x2 M
27
那么，极值的必要条件为：
x1
0
a1x1 1
p1
x2
0
a2x2 1
p2
28
那么，极值的必要条件为：
x1
0 a1 x1 1 p1
x2
0 a2 x2 1 p2
a1x1 1 / p1 a2x2 1 / p2
29
那么，极值的必要条件为：
x1
0 a1 x1 1 p1
x1
x2
2U (x1, x12
x2
)
0
2U (x1, x22
x2 )
0
9
三、效用函数的主要形式及等效用曲线
• 问题
• 学习《计量经济学》过程中， 接触过哪些生产函数？
10
练习：写出效用函数的数学表达式
第1种类型：
对数线性型、或者柯布——道格拉斯型
U
Ax1a1
xan n
ai 0, ai 1
11
第一章
效用函数与需求函数
1
主要学习内容：
第一节 效用函数的数学表达式及其特性 第二节 效用最大法则与需求函数 第三节 效用函数、需求函数的实际应用
主要掌握内容：
• 效用函数的各种数学表达式 • 运用效用最大法则推导需求函数 • 效用函数、需求函数在实际中的简单应用
2
第一节 效用函数的数学表达式及其特性
4
衣着
食品 住宅 交通
U 效用函数或生活水平
函数
闲暇 安全 健康 家庭 荣誉
5
x1
…
xn
效用函数
U (x1, , xn )
6
二、效用函数的特性
•递增函数 二阶导数为负
效用函数递增法则 边际效用递减法则
U
E C
F A
D
U ( x)
x
B
1
2
3
7
8
U (x1, x2 ) 0 U (x1 , x2 ) 0