间接效用函数与支出函数

(2)
∂ψ ∂x j
= α j Ax1α1 LL xαj j −1L xnα n
− λp j1 = 0
(3)
∂ψ ∂x1
=
αn
Ax1α1
xα 2 2
LLL
xnα
n
−1
−
λpn
=0
(4)
∑ ∂ψ
∂λ
n
=m−
i =1
pi xi
=0
(5)
由 (2) 得: (3)
xi
=
αi pjxj α j pi
;
把上两式分别代入（5）式得:
1
1
1
( ) e( p,u) =
p1⎜⎜⎝⎛
2up2 p1
⎟⎟⎠⎞3
+
p2 ⎜⎜⎝⎛
up12 4 p22
⎟⎟⎠⎞ 3
=
2up12 p2
1 3
+
⎜⎜⎝⎛
up12 p2 4
⎟⎟⎠⎞
3
1
e(
p,u)
=
3⎜⎜⎝⎛
up12 p2 4
⎟⎟⎠⎞ 3
也可根据间接效用函数与支出函数互为倒函数的关系直接得出：
1
v( p, m)
=
αim
n
pi α j
j =1
；因为
n
αj
j =1
=
1 ；所以
xi
(
p,
m)
=
αim pi
；
我们还可以通过对其效用函数进行单调变化，进而可方便的得出其马歇尔需求函数；
n
∑ ln u(x) = ln A + αi ⋅ ln xi i =1
（2）把上所得的马歇尔需求函数代入目标函数得间接效用函数：
∏ v( p, m)
p,u)
=
∂e(
p, u ( x)) ∂pi
可知：
h1(
p,u)
=
∂e( p,u) ∂p1
=
∂(up1α p12−α ∂p1
)
=
αu⎜⎜⎝⎛
p2 p1
⎟⎟⎠⎞1−α
7 为了让我们看得更清楚，我们写得稍慢一点：
（1） 构造拉氏方程：
max = u(x) x
n
s.t.
∑ pi xi = m
i =1
n
n
∏ ∑ ψ (x,λ) = A
+
p1b p2b n
=2
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第二讲 间接效用函数与支出函数
所以：
p1a p2b + p1b p2a ≥ p1a p2a + p1b p2b
va ( p, m) = vb ( p, m) ≥ vc ( p, m)
这个退休老人在有一固定收入的前提下，想效用最大化，他会选择生活在北京或上海。
=
A⎜⎜⎝⎛
α1m p1
⎟⎟⎠⎞α1
⋅
⎜⎜⎝⎛
α2m p2
⎟⎟⎠⎞α2
LLL⎜⎜⎝⎛
αnm pn
⎟⎟⎠⎞αn
=
n
∑αi Am i=1
n i=1
(αi )αi pi
∑ ∏ n
αi
i =1
= 1 ；所以 v( p, m)
=
Am
n i=1
(α i pi
)αi
（3）因为间接效用函数和支出函数之间的关系为互为反函数，根据（2）的结论
v( p, m) = m2 4 p1 p2
把题设条件的三城市的价格代入间接效用函数得：
va ( p, m) =
m2 4 p1a p2a
= vb ( p, m) =
m2 4 p1b p2b
（2） （3）
vc ( p, m) =
p1a p2a
+
m2 p1b p2b + p1a p2b +
p1b p2a
由条件
∂ψ ∂x2
=
x1
− λp2
=0
∂ψ ∂λ
=m−
p1x1 −
p2 x2
=0
由 (1) 得: (2)
x1
=
p2 x2 p1
;
把上两式分别代入（3）式得马歇尔需求函数：
x2
=
p1x1 p2
x1(
p, m)
=
m 2 p1
；
x2 ( p, m)
=
m 2 p2
把上所得的马歇尔需求函数代入目标函数得间接效用函数：
=
p2 x2 p1
;
x2
=
p1x1 p2
把上两式分别代入（3）式得希克斯需求函数：
1
1
h1 (
p,u)
=
⎜⎜⎝⎛
up2 p1
⎟⎟⎠⎞ 2
；
h2
(
p,
u)
=
⎜⎜⎝⎛
up1 p2
⎟⎟⎠⎞
2
把上所得的希克斯需求函数代入目标函数得支出函数：
e(
p,
m)
=
2(up1
p2
)1 2
（2） （3）
（2）设 u′(x) = ln u(x)
xα i i
+ λ(m −
pi xi )
i =1
i =1
∂ψ ∂x1
= α1Ax1α1 −1xα2 2 LLL xnα n
− λp1
=0
(1)
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第二讲 间接效用函数与支出函数
∂ψ ∂xi
= αi Ax1α1 L xiαi −1LL xnα n
− λpi = 0
把上所得的马歇尔需求函数代入目标函数得间接效用函数：
v(
p,
m)
=
4m3 33 p12 p2
min x
p1x1
+
p2 x2
s.t. u(x) = x12x2
构造拉氏方程：
ψ (x,λ) = p1x1 + p2x2 + λ(u − x12x2 )
∂ψ ∂x1
=
p1 − 2λx1x2
=0
∂ψ ∂x2
=
p2
v(m,
p)
=
α
lnα
+
α
ln
p2
−α
ln
p1
+
m
− αp2 p2
根据罗尔恒等式：
xi
(
p, m)
=
−
∂v ∂v
/ /
∂pi ∂m
会得出同样的马歇尔需求函数：
x1( p, m)
=
−
∂v / ∂p1 ∂v / ∂m
=
−
−α 1/
/ p1
=
αp2 p1
x2 ( p, m)
=
− ∂v / ∂p2 ∂v / ∂m
α α
n j
)
p
j
x
j
=
m
(8)
整理为马歇尔需求函数：
( α1 αn
+
α2 αn
+
L
αi αn
LL +
αn αn
) pn xn
=
m
(9)
x1( p, m) =
p1
(α1 α1
+ α2 α1
m
+
LLLL
+
αn α1
)
x2 ( p, m) =
p2
( α1 α2
+ α2 α2
m
+
LLLL
+
α α
n 2
)
xi ( p, m) =
min x
p1x1
+
p2 x2
s.t. ln u = ln x1 + ln x2
构造拉氏方程： ψ (x,λ) = p1x1 + p2x2 + λ(ln u − ln x1 − ln x2 )
∂ψ ∂x1
=
p1 −
λ x1
=0
∂ψ ∂x2
=
p2
−
λ x2
=0
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p1a
p2a
=
p1b
p2b
=
n
；又由定理
x
>
0; x
+
1 x
≥
2 可知，主要是比较 vc ( p, m) 分母中
的后两项，同时除以 p1a p2a = p1b p2b = n 得：
p1a p2b = p2b ； p1a p2a p2a
p1b p2a = p2a p1b p2b p2b
则：
p 2b p2a
第二讲 间接效用函数与支出函数
第二讲
max u(x) x s.t. m
min px x
s.t. u(x)
马歇尔需求函数：x( p, m)
代
入
罗尔恒等式：
目
xi
(
p,
m)
=
−
∂v ∂v
/ /
∂pi ∂m
标 函
数
代入 u = v( p, m)
代入 m = e( p,u)
代入间接效 用函数（支 出函数）得 出目标函数
=0
∂ψ ∂λ
=m−
p1x1 −
p2 x2
=0
由 (1) 得: (2)
x1
=
2 p2 x2 p1
;
把上两式分别代入（3）式得马歇尔需求函数：
x2
=
p1x1 2 p2