概率论第三章部分习题解答

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概率论~第三章习题参考答案与提示

设二维随机变量xy的概率密度为6第三章习题参考答案与提示?2121yxyxyxf?xy?其中1yx?和2yx?都是二维正态密度函数且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为13和13它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是0方差都是1
第三章习题参考答案与提示
第三章随机变量的数字特征习题参考答案与提示
22．已知 X 、 Y 分别服从正态分布 N (0，32 ) 和 N (1，42 ) ，且 X 与Y 的相关系数 ρ XY = −1/ 2 ，设 Z = X / 3 + Y / 2 ，求：
（1）求数学期望 EZ ，方差 DZ ；（2）Y 与 Z 的相关系数 ρYZ ；答案与提示：本题要求熟悉数学期望、方差、协方差的性质、计算及有关正态分布的性质。
X
Y
0
1
0
0.1
0.2
1
0.3
0.4
求：（1） EX ， EY ， DX ， DY ；
（2）( X ， Y )的协方差，相关系数，协方差阵，相关阵。
答案与提示：（1） EX = 0.7 ， DX = 0.21， EY = 0.6 ， DY = 0.24 。
（2） EXY = 0.4 ； Cov ( X ,Y ) = −0.02 ， ρXY = 0.089 ；
（1） X 的概率密度；
（2）Y = 1 − 2 X 的概率密度。
答案与提示：考查服从正态分布随机变量的概率密度的一般表达形式、参数的
几何意义及正态分布随机变量的性质。
（1） f (x) = 1 e−(x−1.7)2 /6 (−∞ < x < +∞) 6π
（2） f ( y) = 1 e−( y+2.4)2 / 24 2 6π

概率论与数理统计第三章习题及答案

概率论与数理统计习题第三章多维随机变量及其分布习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律.（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=0习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它,0,42,20),6(),(y x y x k y x f（1）确定常数k ；（2）求{}3,1<<Y X P （3）求{}5.1<X P ；（4）求{}4≤+Y X P . 分析：利用P {(X , Y)∈G}=⎰⎰⎰⎰⋂=oD G Gdy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分，其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o解：（1）∵⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞---==2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴81=k （2）83)6(81)3,1(321⎰⎰=--=<<dy y x dxY X P （3）3227)6(81),5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P （4）32)6(81)4(4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dxY X P x习题3-3 将一枚硬币掷3次，以X 表示前2次出现H 的次数，以Y 表示3次中出现H 的次数，求Y X ,的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律。

概率论与数理统计第三章课后习题答案

概率论与数理统计第三章课后习题答案概率论与数理统计第三章课后习题答案习题三1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：（2）随机变量（X ，Y ）的分布函数；（3）P {0≤X <1，0≤Y <2}.【解】（1）由-(34)0(,)d d e d d 112x y Af x y x y A x y +∞+∞+∞+∞+-∞-∞===??得 A =12（2）由定义，有(,)(,)d d yx F x y f u v u v -∞-∞=??(34)340012ed d (1e )(1e )0,0,0,0,y yu v x y u v y x -+--??-->>?==?? 其他(3){01,02}P X Y ≤<≤<12(34)3800{01,02}12ed d (1e )(1e)0.9499.x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈?5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=<<<<--.,0,42,20),6(其他y x y x k（1）确定常数k ；（2）求P {X ＜1，Y ＜3}；（3）求P {X <1.5}；（4）求P {X +Y ≤4}. 【解】（1）由性质有242(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞-∞-∞=--==??故18R =（2） 13{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞<<=??130213(6)d d 88k x y y x =--=?? (3)11.5{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y<<=如图 1.542127d (6)d .832x x y y =--=?(4)24{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y+≤+≤=如图b 240212d (6)d .83xx x y y -=--=??题5图6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为f Y （y ）=>-.,0,0,55其他y y e求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2）P {Y ≤X }.题6图【解】（1）因X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为1,00.2,()0.20,.X x f x ?<而55e ,0,()0,.y Y y f y -?>=?其他所以(,),()()XY f x y X Y f x f y g 独立5515e25e ,00.20,0.20,0,yy x y --<<>?==??且其他.5()(,)d d 25e d d y y xDP Y X f x y x y x y-≤≤=如图0.20.2-550-1d 25e d (5e 5)d =e 0.3679.xy x x y x-==-+≈7.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为F （x ，y ）=>>----.,0,0,0),1)(1(24其他y x y x e e求（X ，Y ）的联合分布密度. 【解】(42)28e ,0,0,(,)(,)0,x y x y F x y f x y x y -+?>>?==?其他.8.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=4.8(2),01,0,0,.y x x y x -≤≤≤≤??求边缘概率密度.【解】()(,)d X fx f x y y+∞-∞=?x204.8(2)d 2.4(2),01,=0,.0,y x y x x x ??--≤≤?=??其他()(,)d Y f y f x y x+∞-∞=?12y 4.8(2)d 2.4(34),01,=0,.0,y x x y y y y ?-?-+≤≤?=??其他题8图题9图9.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=<<-.,0,0,其他e y x y求边缘概率密度.【解】()(,)d Xf x f x y y +∞-∞=?e d e ,0,=0,.0,y x x y x +∞--??>?=??其他()(,)d Y f y f x y x+∞-∞=?0e d e ,0,=0,.0,yy x x y y --??>?=??其他题10图10.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=≤≤.,0,1,22其他y x y cx（1）试确定常数c ；（2）求边缘概率密度. 【解】（1） (,)d d (,)d d Df x y x y f x y xy+∞+∞-∞-∞如图2112-14=d d 1.21xx cx y y c ==??得214c =.(2)()(,)d X f x f x y y+∞-∞=?212422121(1),11,d 840,0,.x x x x x y y ??--≤≤??==其他()(,)d Y f y f x y x+∞-∞=?522217d ,01,420,0,.y y x y x y y -??≤≤??==其他11.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=?<<<.,0,1其他x x y求条件概率密度f Y ｜X （y ｜x ），f X ｜Y （x ｜y ）.题11图【解】()(,)d Xf x f x y y +∞-∞=?1d 2,01,0,.x x y x x -?=<111d 1,10,()(,)d 1d 1,01,0,.y Y y x y y f y f x y x x y y -+∞-∞=+-<<??其他所以|1,||1,(,)(|)2()0,.Y X X y x f x y f y x xf x ?<其他, 1,1(,)1(|),1,()10,.X Y Y y x y f x y f x y y x f y y<<?-?==-<<?+其他12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X ，最大的号码为Y .（1）求X 与Y 的联合概率分布；（2） X 与Y 是否相互独立？【解】（1） X 与Y 的联合分布律如下表1 3511C 10=3522C 10= 3533C 10= 610 2 0 3511C 10=3522C 10= 310 30 02511C 10=110{}i P Y y =110310(2) 因6161{1}{3}{1,3},101010010P X P Y P X Y ===?=≠===g 故X 与Y 不独立13.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律为2 5 80.4 0.80.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03 （1）求关于X 和关于Y 的边缘分布；（2） X 与Y 是否相互独立？【解】（1）X 和Y 的边缘分布如下表2 5 8 P {Y=y i } 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.80.05 0.12 0.03 0.2{}i P X x =0.20.420.38(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===?g 0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独立.XYX Y14.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为f Y （y ）=>-.,0,0,212/其他y y e（1）求X 和Y 的联合概率密度；（2）设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0，试求a 有实根的概率. 【解】（1）因1,01,()0,Xx fx <21e ,1,()20,yY y f y -?>?==其他.故/21e01,0,(,),()()20,.y X Y x y f x y X Y f x f y -?<<>?=g 独立其他题14图(2) 方程220aXa Y ++=有实根的条件是 2(2)40X Y ?=-≥故X 2≥Y ，从而方程有实根的概率为：22{}(,)d d x yP X Y f x y x y ≥≥=??21/2001d e d 212[(1)(0)]0.1445.x yx yπ-==-Φ-Φ=??15.设X 和Y 分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X 和Y 相互独立，且服从同一分布，其概率密度为f （x ）=>.,0,1000,10002其他x x求Z =X /Y 的概率密度.【解】如图,Z 的分布函数(){}{}ZXF z P Z z P z Y =≤=≤(1) 当z ≤0时，()0ZF z =（2）当0<="" p="">）(如图a) 3366102222101010()d d d d yz Z zxy zF z x y y x x y x y +∞≥==??33610231010=d 2z zy yzy +∞-=题15图(3) 当z ≥1时，（这时当y =103时，x =103z ）（如图b ）3366222210101010()d d d d zy Z xy zF z x y y xx y x y +∞≥==??336231010101=d 12y yzy z +∞-=-即11,1,2(),01,20,.Z z z zf z z ?-≥=<<??其他故21,1,21(),01,20,.Z z z f z z ?≥=<<??其他16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N （160，202）分布.随机地选取4 只，求其中没有一只寿命小于180的概率. 【解】设这四只寿命为X i (i =1,2,3,4)，则X i ~N （160，202），从而123412{min(,,,)180}{180}{180}i P X X X X X P X P X ≥≥≥g 之间独立34{180}{180}P X P X ≥≥g1234[1{180}][1{180}][1{180}][1{180}]P X P X P X P X =-<-<-<-<="" p="">44144180160[1{180}]120[1(1)](0.158)0.00063.P X ?-=-<=-Φ=-Φ==17.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其分布律分别为P {X =k }=p （k ），k =0，1，2，…， P {Y =r }=q （r ），r =0，1，2，…. 证明随机变量Z =X +Y 的分布律为P {Z =i }=∑=-ik k i q k p 0)()(，i =0，1，2，….【证明】因X 和Y 所有可能值都是非负整数，所以{}{}Z i X Y i ==+={0,}{1,1}{,0}X Y i X Y i X i Y =====-==U UL U于是{}{,},ik P Z i P X k Y i k X Y =====-∑相互独立0{}{}ik P X k P Y i k ===-∑g()()ik p k q i k ==-∑18.设X ，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n ，p 的二项分布.证明Z =X +Y 服从参数为2n ，p 的二项分布.【证明】方法一：X +Y 可能取值为0，1，2，…，2n .0{}{,}ki P X Y k P X i Y k i =+====-∑00202(){}2ki k i n i k i n k ii kk n ki k n k P X i P Y k i n n p q p q i k i n n p q i k i n p q k =---+=-=-===-= ? ?-= ???-??= ???∑∑∑g方法二：设μ1,μ2,…,μn ;μ1′,μ2′,…，μn ′均服从两点分布（参数为p ），则X =μ1+μ2+…+μn，Y =μ1′+μ2′+…+μn ′,X +Y =μ1+μ2+…+μn +μ1′+μ2′+…+μn ′,所以，X +Y 服从参数为（2n ,p )的二项分布.19.设随机变量（X ，Y ）的分布律为(1) 求P {X =2｜Y =2}，P {Y =3｜X =0}；（2）求V =max （X ，Y ）的分布律；（3）求U =min （X ，Y ）的分布律；（4）求W =X +Y 的分布律.【解】（1）{2,2}{2|2}{2}P X Y P X Y P Y ======5{2,2}0.051,0.252{,2}i P X Y P X i Y ========∑{3,0}{3|0}{0}P Y X P Y X P X ======3{0,3}0.011;0.033{0,}j P X Y P X Y j ========∑（2）{}{max(,)}{,}{,}P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i =====<+≤= 10{,}{,},i ik k P X i Y k P X k Y i -=====+==∑∑0,1,2,3,4,5i =所以V 的分布律为(3){}{min(,)}P U i P X Y i ===351{,}{,}{,}{,}k i k i P X i Y i P X i Y i P X i Y k P X k Y i ==+==≥+>====+==∑∑0,1,2,3,i =于是 (4)类似上述过程，有26 3 9 4 9 2 520.雷达的圆形屏幕半径为R ，设目标出现点（X ，Y ）在屏幕上服从均匀分布. （1）求P {Y ＞0｜Y ＞X }；（2）设M =max{X ，Y }，求P {M ＞0}.题20图【解】因（X ，Y ）的联合概率密度为22221,,(,)π0,.x y R f x y R+≤?=其他（1）{0,}{0|}{}P Y Y X P Y Y X P Y X >>>>=> 0(,)d (,)d y y xy xf x y f x y σσ>>>=π2π/405π42π/401d d π1d d πRR r r R r r R θθ=??3/83;1/24==(2){0}{max(,)0}1{max(,)0}P M P X Y P X Y >=>=-≤00131{0,0}1(,)d 1.44x y P X Y f x y σ≤≤=-≤≤=-=-=??21.设平面区域D 由曲线y =1/x 及直线y =0，x =1,x=e 2所围成，二维随机变量（X ，Y ）在区域D 上服从均匀分布，求（X ，Y ）关于X 的边缘概率密度在x =2处的值为多少？题21图【解】区域D 的面积为 22e e 0111d ln 2.S x x x===?（X ,Y ）的联合密度函数为211,1e ,0,(,)20,.x y f x y x≤≤<≤?=其他（X ，Y ）关于X 的边缘密度函数为1/2011d ,1e ,()220,.x X y x f x x=≤≤?=其他所以1(2).4Xf=22.设随机变量X 和Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X ，Y ）联合分布律及关于X 和Y 的边缘分布律中的部分数值.试将其余。

概率论第三章习题及答案

02
题目8
一个盒子里有100个球，其中红球有30个，蓝球有40个，黄球有20个，
绿球有10个。随机抽取一个球并记录其颜色，然后放回盒子中。连续抽
取三次，求三次抽取中抽到红球的次数的期望值。
03
题目9
一个袋子中有5个红球和5个蓝球，从中随机抽取3个球，求抽取到红球
的个数X的分布律。
02 答案部分
基础题目答案
在处理复杂事件时，应先分解为简单事件，再根据概率的加
法原则进行计算。
注意区分必然事件和不可能事件，它们在概率论中具有特殊
地位。
知识点回顾与巩固
知识点回顾概率的基本性质：概率具有非负性、规范性、有限可加性。
事件的独立性及其性质。
知识点回顾与巩固
条件概率的定义及其性质。贝叶斯公式的应用场景和推导方法。
挑战题目解题思路与技巧
总结词
综合运用知识
详细描述
对于挑战题目，需要综合运用概率论中的知识，如随机变量的分布、随机过程的性质等。要能够准确理解题目的背景和要求，构建合适的概率模型，并运用适当的数学方法进行求解。
示例
题目问的是“一个袋子中有3个红球和2个白球，每次从中随机取出1个球并放回，连续取 5次。求取出的5个球中至少有3个红球的概率。”解题时，应先计算取出的5个球中都是白球的概率，再用1减去这个概率，得出至少有3个红球的概率。
未来学习计划与展望
• 学习随机过程的基本概念和性质，了解常见的随机过程如泊松过程、马尔可夫链等。
未来学习计划与展望
展望
学习概率论与其他数学分支的交叉知识，如统计学、线性代数等。
将概率论的知识应用于实际问题和科学研究，加深对理论知识的理解和掌握。

概率论第三章习题解答

第三章习题解1 在一箱子中装有12只开关，其中2 只是次品，在其中任取两次，每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。

定义随机变量X ，Y 如下：0,1X ⎧=⎨⎩若第一次取出的是正品，，若第一次取出的是次品。

0,Y 1⎧=⎨⎩若第二次取出的是正品，，若第二次取出的是次品。

试分别就（1），（2）两种情况写出X ，Y 的联合分布律。

解（1）放回抽样由于每次抽取时都是12只开关，第一次取到正品有10种可能，即第一次取到正品的概率为 105{0}126P X ===，第一次取出的是次品的概率为 21{1}126P X === 同理，第二次取到正品的概率105{0}126P Y ===第二次取到次品的概率为21{1}126P Y ===由乘法公式得X ，Y 的联合分布率为{,}{|}{}{}{}P X i Y j P Y j X i P X i P X i P Y j =========，0,1i =，0,1j =。

具体地有5525{0,0}6636P X Y ===⨯=，515{0,1}6636P X Y ===⨯=， 155{1,0}6636P X Y ===⨯=，111{1,1}6636P X Y ===⨯=用表格的形式表示为（2 5{0}6P X ==，1{1}6P X == 因为第二次抽取时，箱子里只有11只开关，当第一次抽取的是正品，则箱子中有9只正品）。

所以9{0|0}11P Y X ===， 2{1|0}11P Y X === 10{0|1}11P Y X ===， 1{1|1}11P Y X ===则5945{0,0}61166P X Y ===⨯= 5210{0,1}61166P X Y ===⨯=，11010{1,0}61166P X Y ===⨯=，111{1,1}61166P X Y ===⨯= 用表格表示为2 （14只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律。

概率论与数理统计(经管类)第三章课后习题答案

P Z 40 P X 20, Y 20 20 6
P Z 30 P X 10, Y 20 20 3
P Z 20 P X 20, Y 0 20
P Z 10 P X 10, Y 0 P X 20, Y
P Z 0 P X 10, Y 则 Z=X‐Y 的分布律为
2 10 20
Z=X‐Y ‐40 ‐30 ‐20 ‐10 0
4. 设随机变量 X,Y 相互独立,且服从[0,1]上的均匀分布,求 X+Y 的概率密度. 解: 因 X,Y 都服从[0,1]上的均匀分布,且相互独立故fX x fY y 1, f x, y fX x fY y
设 Z=X+Y
当0 z 1时
Z ZX
FZ
f x, y dydx
Z ZX
1dydx
Z
z xdx
;
P X 1, Y 0 P X 1 P Y 0
;
P X 1, Y 1 P X 1 P Y 1
;
(X,Y)的分布律与边缘分布律为
Y
X
0
1
p·
16
4
20
0
25 25 25
4
1
1
1
25 25
5
p·
20 25
1 5
(2) 不放回抽样的情况:
P X 0, Y 0 P X 0 P Y 0
;
P X 0, Y 1 P X 0 P Y 1
0, 其他.
0, 其他.
关于 Y 的边缘密度为
fY y
1
√2 24xydx , 0 y
0, 其他.
1 , 6x, 0 √3 =
y
1,
√3
0, 其他.
注意积分限为 Y 的值域,后面却要写 X 的值域哦~

概率论第3章习题解答袁德美

概率教材第三章勘误说明：红线为要纠正的部分.（一）70页习题3.2答案：1a b +=且0,0a b ≥≥. （二）76页例3.6(2) ()(),d d x yP X Y f x y x y >>=∫∫10041d d d d 42Gxx y xy x xy y ===∫∫∫∫.（三）77页例3.7()||1000P X Y ≤−()||1000,d d x y f x y x y −≤=∫∫61d d 610Hx y =×∫∫400010006200030001d d 610x x y +=×∫∫ 1.3= （四）79页习题3.13（2）答案应为0.3 . （五）84习题3.18 单位:千小时.第3章二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布习题3.13.1比较二维随机变量与一维随机变量的分布函数的性质有何异同？3.2 设1(,)F x y 和2(,)F x y 都是联合分布函数，试问常数a ，b 满足什么条件时，12(,)(,)aF x y bF x y +也是联合分布函数？解：因为1(,)F x y 和2(,)F x y 都是联合分布函数，有1(, )1F ∞∞=，2(, )1F ∞∞=.若12(,)(,)aF x y bF x y +也是联合分布函数，则12(, )(, )1aF bF ∞∞+∞∞=，即1a b +=.又因为联合分布函数12(,)(,)aF x y bF x y +满足单调性,所以0,0a b ≥≥.可以验证,当0,0a b ≥≥且1a b +=时, 12(,)(,)aF x y bF x y +是联合分布函数.3.3 设二维随机变量1+, 0,0,(,)~(,) 0, x y x y xy e e e x y X Y F x y −−−−− −−≥≥=其它. 求：（1）()0.5,0.3P X Y ≤≤；（2）()0.5,0.3 1.3P X Y ≤<≤；（3）()10, 12P X Y −<≤<≤.解: (1)()0.50.30.950.5,0.3(0.5,0.3)1P X Y F ee e −−−≤≤==−−+;（2）()()()0.5,0.3 1.30.5, 1.30.5,0.3P X Y P X Y P X Y ≤<≤=≤≤−≤≤(0.5,1.3)(0.5,0.3)F F =−0.3 2.45 1.30.95e e e e −−−−=+−−;（3）()10, 12(0,2)(1,1)(0,1)(1,2)P X Y F F F F −<≤<≤=+−−−− 00000=+−−=.*3.4 设()10,00,0.1, 01,01,,0.5, 01,11,01,1,x y x y F x y x y x y << ≤<≤<= ≤<≥≥≤<其它或或和()20, 00,0.2, 01,01,,0.5, 01,11,01,1,x y x y F x y x y x y << ≤<≤<= ≤<≥≥≤< 其它或或是两个不同的分布函数，验证它们关于X 和关于Y 的边缘分布函数相同.解: 当 0x <时, ()1,0F x y =,有1(,)0F x ∞=.当01x ≤<时,()10, 0,,0.1,01,0.5, 1.y F x y y y <=≤< ≥ 有1(,)0.5F x ∞=.当1x ≥时,()10, 0,,0.5,01,1, 1.y F x y y y <=≤< ≥有1(,)1F x ∞=.因此()1,F x y 关于X 的边缘分布函数为10,0,(,)0.5, 01,1,x F x x <∞=≤< 其它.类似可求()1,F x y 关于Y 的边缘分布函数为10,0,(,)0.5, 01,1,y F y y <∞=≤< 其它.()2,F x y 关于X 和关于Y 的边缘分布函数为20, 0,(,)0.5, 01,1,x F x x < ∞=≤< 其它与 20,0,(,)0.5, 01,1,y F y y <∞=≤<其它.因此它们关于X 和关于Y 的边缘分布函数相同.习题3.23.5 盒子里装有2只白球，2只红球，3只黑球，在其中任取4只球，以X 表示取到白球的只数，以Y 表示取到黑球的只数，求(,)X Y 的联合分布列及边缘分布列.解: 按古典概率计算,从7只球中取4只球,共有4735C =种取法.在4只球中,白球有i 只,黑球有j 只(剩下4i j −−只红球)的取法数为: 4232iji j C C C −−种. 因此 (,)X Y 的联合分布列为423247(,)ij i jC C C P X i Y j C −−===,0,1,2i =,0,1,2,3j =,24i j ≤+≤. 于是2232473(0,2)35C C P X Y C ====, 3132472(0,3)35C C P X Y C ====, 112232476(1,1)35C C C P X Y C ====, 1212324712(1,2)35C C C P X Y C ====, 1323472(1,3)35C C P X Y C ====, 2222471(2,0)35C C P X Y C ====,211232476(2,1)35C C C P X Y C ====, 2223473(2,2)35C C P X Y C ====, (,)X Y 的联合分布列与边缘分布列为3.6 一批产品工有100件，其中一等品60件，二等品30件，三等品10件. 从这批产品中有放回的任取3件，以X 和Y 分别表示取出的3件产品中一等品、二等品的件数，求:(1) (,)X Y 的联合分布列；(2) (1,2)P X Y ≤≤.解: (1) 因为X 和Y 的可能取值为0,1,2,3, 事件{,}X i Y j ==表示取出的3件产品中一等品有i 件、二等品有j 件(三等品有3i j −−件)的取法, 取法总数为3!!!(3)!i j i j −−种,而对于每种取法的概率为 3631101010ij i j−−,因此(,)X Y 的联合分布列为33!631(,)!!(3)!101010iji jP X i Y j i j i j −−===−− ， ,0,1,2,3i j =,3i j +≤.(,)X Y 的联合分布列与边缘分布列为(2)(1,2)(0,0)(0,1)(0,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ≤≤===+==+==(1,0)(1,1)(1,2)0.325P X Y P X Y P X Y +==+==+===.3.7 设事件A ，B 满足1()4P A =，1(|)(|)2P B A P A B ==. 记 1, 0 A X A =若发生，，若不发生, 1, 0 B Y B =若发生，，若不发生. 求,)X Y (的联合分布列及边缘分布列.解（1）由于()111()()428P AB P A P B A ==×=，()()181()124P AB P B P A B ===，所以，1(1,1)()8P X Y P AB ====，1(1,0)(()()8P X Y P AB P A P AB ====−=， 1(0,1)()()(),8P X Y P AB P B P AB ====−=(0,0)()1()P X Y P AB P A B ====−U =51()()()8P A P B P AB −−+=,所以(,)X Y 的联合分布列及边缘分布列为3.8 (,)X Y 的联合分布列为求：(1) (0)P X =；(2) (2)P Y ≤；(3) (1,2)P X Y <≤.解 (1) (0)(0,1)(0,2)(0,3)P X P X Y P X Y P X Y ====+==+==0.10.10.30.5=++=；(2) (2)1(3)1(0,3)(1,3)P Y P Y P X Y P X Y ≤=−==−==−==10.30.250.45=−−=；(3)(1,2)(0,1)(0,2)0.10.10.2P X Y P X Y P X Y <≤===+===+=.习题3.33.9 设二维随机变量()35(1)(1), 0,0,,~(,)0, x y e e x y X Y F x y −− −−≥≥= 其它.试求,)X Y (的联合概率密度(, )f x y .解当0,0x y >>时,35(,)(1)(1)x y F x y e e −−=−−.对(, )F x y 求二阶偏导，得(, )X Y 的联合概率密度为()2,(,)F x y f x y x y∂=∂∂(35)15x y e −+=.当0x <或0y <时, (,)0F x y =, ()2,(,)0F x y f x y x y∂==∂∂.于是,)X Y (的联合概率密度(35)15, 0,0,(, )0, x y e x y f x y −+ ≥≥= 其他.3.1010 设二维随机变量()22,(,),(1)(1)AX Y f x y x y =++ 求：(1)常数A ；(2)联合分布函数(,)F x y ；(3) 概率()(),P X Y D ∈，其中D 是以(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)为顶点的正方形区域.解 (1)由联合概率密度(,)f x y 的正则性，221(,)d d d d (1)(1)A f x y x y x y x y +∞+∞+∞+∞−∞−∞−∞−∞==++∫∫∫∫2π1A ==, 得21πA =. (2) 2221(,)(,)d d d d (1)(1)x yxyF x y f s t s t s t s t π−∞−∞−∞−∞==++∫∫∫∫21(arctan )(arctan 22x y πππ=++. (3)()(),(1,1)(0,0)(0,1)(1,0)PX Y D F F F F ∈=+−−913311648816=+−−=. 3.1.111设二维随机变量(),(,)X Y f x y ，则(1)P X >等于 (A) 1d (,)d x f x y y ∞−∞−∞∫∫. (B) 1d (,)d x f x y y ∞∞−∞∫∫.(C)1(,)d f x y x −∞∫. (D)1(,)d f x y x ∞∫.解选(B).因为1(1)(1,)d (,)d P X P X Y x f x y y ∞∞−∞>=<<∞−∞<<∞=∫∫.3.12 设二维随机变量() (6), 02,24,,~(,)0, k x y x y X Y f x y −−<<<< =其它. 求：(1) 常数k ；(2) (1,3)P X Y <<；(3) ( 1.5)P X <；(4) (4)P X Y +<.解（1）由于联合概率密度(,)f x y 满足正则性,于是2421(,)d d d (6)d 8f x y x y x k x y y k +∞+∞−∞−∞==−−=∫∫∫∫所以81=k . （2）130213(1,3)d (6)d 88P X Y x x y y <<=−−=∫∫. （3） 1.5402127( 1.5)( 1.5,)d (6)d 832P X P X Y x x y y <=<<∞=−−=∫∫.（4）(,)f x y 的非零区域与{4}x y +<的交集{(,)|02,24}G x y x y x =<<<<−.()24024112(4),d d (6)d d d (6)d 883x x y GP X Y f x y x y x y x y x x y y −+<+<==−−=−−=∫∫∫∫∫∫.3.13 设二维随机变量()(2),01,0,,~(,)0,cy x x y x X Y f x y −≤≤≤≤ =其它. 求：(1)常数c ；(2)(1)P X Y +≤；(3)边缘概率密度.解（1）由于联合概率密度(,)f x y 满足正则性,于是1051(,)d d d (2)d 24xf x y x y x cy x y c +∞+∞−∞−∞==−=∫∫∫∫，所以 4.8c =.（2）(,)f x y 的非零区域与{1}x y +≤的交集1{(,)|1,0}2G x y y x y y =≤≤−≤≤.()11201(1),d d 4.8(2)d d d 4.8(2)d 0.3y yx y GP X Y f x y x y y x x y y y x x −+≤+≤==−=−=∫∫∫∫∫∫.(3) , X Y （）关于X 的边缘密度函数204.8(2) 2.4(2)01()(,)0x X y x dy x x x f x f x y dy +∞−∞−=−≤≤== ∫∫其它.关于Y 的边缘密度函数124.8(2) 2.4(34)01()(,)0y Y y x dx y y y y f y f x y dx +∞−∞−=−+≤≤== ∫∫其它.3.14 设二维随机变量(,)X Y 在由x 轴、y 轴及直线22x y +=所围成的三角形区域上D 服从均匀分布，求边缘概率密度()X f x 和()Y f y .解区域}01,0{(,)|22x y D x y x ≤≤≤≤=−的面积为1(22)d 1S x x =−=∫.因此(,)X Y 的联合概率密度为01,0122(,)0x y x f x y ≤≤≤≤− = ，，，其他．, X Y （）关于X 的边缘密度函数220d 22, 01()(,)d 0, xX y x x f x f x y y −+∞−∞=−≤≤== ∫∫其它.关于Y 的边缘密度函数220d 1, 02()(,)d 20, y Y yx y f y f x y x −+∞−∞=−≤≤ ==∫∫其它. 3.15设(,)X Y 的联合概率密度分别为(1) 4,01,01,(,)0,xy x y f x y ≤≤≤≤ =其它.(2) 21, 01,02,(,)30, x xy x y f x y +<<<< = 其它.(3) , 0,(,) 0, y e x y f x y − <<= 其它.试分别求, X Y （）的边缘概率密度.解 (1) 因为, X Y （）关于X 的边缘密度函数14d 2, 01()(,)d 0, X xy y x x f x f x y y +∞−∞=≤≤ == ∫∫其它.关于Y 的边缘密度函数104d 2,01,()(,)d 0, ,Y xy x y y f y f x y x +∞−∞=≤≤==∫∫其它(2) 因为, X Y （）关于X 的边缘密度函数222012()d 2, 01()(,)d 330, X x xy y x x x f x f x y y +∞−∞+=+<< == ∫∫其它.关于Y 的边缘密度函数120111()d ,02,()(,)d 3360, .Y x xy x y y f y f x y x +∞−∞+=+<< ==∫∫其它 (3) 因为, X Y （）关于X 的边缘密度函数≤>===∫∫+∞−−∞+∞−0,00,),()(x x e dy e dy y x f x f xx y X 关于Y 的边缘密度函数≤>===∫∫−−∞+∞−,0,0,0,),()(0y y ye dx e dx y x f y f y y y Y习题3.43.16 甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X 与Y 分别表示甲和乙的命中次数，试求(,)X Y 的联合分布列及边缘分布列.解甲命中次数(2.0.2)X B ,乙命中次数(2,0.5)Y B ,且X 与Y 相互独立,于是(,)X Y 的联合分布列为2222(,)()()0.20.80.50.5ii i j j j P X i Y j P X i P Y j C C −−======,(,0,1,2)i j =.因此(,)X Y 的联合分布列及边缘分布列为3.17 [1999[1999年1]1]设随机变量X 与Y 相互独立，试完成下表：1x a 1/8 b g 2x 1/8 c d h j p g1/6ef1解设表中空格数据为由11211p p p +=g ，即1186p +=，得1124p =；由于X 与Y 相互独立，有1111p p p =?g g ，即111246p =?g ，得114p =g ；由1112131p p p p ++=g ，即131112484p ++=，得13112p =；由1221p p p =?g g ，即21184p =?g ，得212p =g ；由12222p p p +=g ，即221182p +=，得2238p =；由1231p p p ++=g g g ，即311162p ++=g ，得313p =g ；由13233p p p +=g ，即2311123p +=，得2314p =；由121p p +=g g ，即2114p +=g ，得234p =g .填表如下：3.18 [1990年3]一电子仪器由两个部件构成，随机变量X 与Y 分别表示这两个部件的寿命(单位：千小时) ，已知()2221, 0,0,,~(,) 0, x y x y e e e x y X Y F x y +−−− −−+≥≥= 其它.(1) 问X 与Y 是否相互独立？(2) 求这两个部件的寿命都超过100小时的概率.解（1）(, )X Y 关于X 的边缘分布函数为()()0.51,0,,0,0,x X e x F x F x x − −≥=∞=< (, )X Y 关于Y 的边缘分布函数为()()0.51,0,,0,0,y Y e y F y F y y − −≥=∞=<因为()()(),X Y F x y F x F y =，故X 与Y 相互独立．（2）()()()()()()()0.10.1,0.10.10.110.110.1X Y P X Y P X P Y F F e−>>=>>=−−=．3.19 设X 与Y 独立同均匀分布[1,3]U ，并且13a <<，记事件{}A X a =≤，{}B Y a =≥，且()7/9P A B =U ，求常数a .解因为X 与Y 相互独立,所以事件A 与事件B 也相互独立. 因此111()()d 22aa P A P X a x −=≤==∫,313()()d 22a aP B P Y a x −=≥==∫, ()(1)(3)()()4a a P AB P A P B −−==.于是()()()()13(1)(3)72249a a a a P A B P A P B P AB −−−−=+−=+−=U ,解得53a =或73.3.2020 某码头只能容纳一只船，现预知某日将有两只船独立来到，且在24小时内各时刻来到的可能性相等，如果它们需要停靠的时间分别为3小时及4小时，试求有一只船要在江中等待的概率．解设X ，Y 分别表示此二船到达码头的时间，则X , Y 的概率密度函数分别为1,024()240, ,X x f x ≤< = ，其它 1,024()240, ,Y y f x ≤< = ，其它则X 与Y 相互独立，其联合概率密度为()21,024,024,,()()240,X Y x y f x y f x f y ≤<≤<== 其他, 于是按题意，所求概率为(34).P Y X −≤−≤ 区域{(,)|024,024,34}G x y X Y Y X =≤≤≤≤−≤−≤ 所求概率为(34)P Y X −≤−≤21(,)d d 24Gf x y x y G ==×∫∫的面积3110.271152==. 3.21 设X 与Y 独立同均匀分布[0,1]U ，求方程20t Xt Y ++=有实根的概率. 解 X , Y 的概率密度分别为1, 01()0, ,X x f x << = ，其它 1, 01()0, ,Y y f x << =，其它由于X 与Y 相互独立，其联合概率密度为()1,01,01,,()()0,X Y x y f x y f x f y <<<< ==其他. 方程20t Xt Y ++=有实根的充要条件是判别式240X Y ∆=−≥,概率22211240401(40)(,)d d d d d 412x x y x P X Y f x y x y x y x −≥−≥====∫∫∫∫∫. 3.22二维随机变量(,)X Y 在区域D 上服从均匀分布，求边缘概率密度()X f x ,()Y f y ,并判断X 和Y 是否相互独立.（1）{(,)|01,23}D x y x y =≤≤≤≤；（2）22{(,)|1}4y D x y x =+≤；（3）22{(,)|2}D x y x y y =+≤.解（1）因为区域D 的面积1,D S = , X Y （）的联合概率密度1, (,),(,)0, .x y D f x y ∈ = 其他因为, X Y （）关于X 的边缘密度函数32d 1, 01()(,)d 0, X y x f x f x y y +∞−∞=≤≤ == ∫∫其他.关于Y 的边缘密度函数10d 1, 23,()(,)d 0, ,Y x y f y f x y x +∞−∞=≤≤==∫∫其他所以，对任意实数x ，y 均有(,)()(),X Y f x y f x f y =故X 与Y 是相互独立的. （2）因为区域D 的面积2π,D S = , X Y （）的联合概率密度1, (,),(,)2π0, .x y D f x y ∈ = 其他因为, X Y （）关于X 的边缘密度函数1()(,)d 0, X y x f x f x y y +∞−−∞=≤ ==∫∫其它. 关于Y 的边缘密度函数2()(,)d 0 Y y f y f x y x +∞−∞≤== ∫，，其它；所以，对任意实数x ，y 均有(,)()(),X Y f x y f x f y ≠故X 与Y 是相互独立的.（3）因为区域D 的面积π,D S = , X Y （）的联合概率密度1, (,),(,)π0, .x y D f x y ∈ = 其他因为, X Y （）关于X 的边缘密度函数111d 1()(,)d 0, X y x f x f x y y π+∞−∞=≤ ==∫∫其它.关于Y 的边缘密度函数02()(,)d 0 Y y f y f x y x +∞−∞≤≤== ∫，，其它；所以，对任意实数x ，y 均有(,)()(),X Y f x y f x f y ≠故X 与Y 是相互独立的.习题3.53.23 设(,)X Y 的联合分布列为求在1X =条件下，Y 的条件分布列.解 (1)(1,0)(1,1)(1,2)P X P X Y P X Y P X Y ====+==+==0.20.10.10.4=++= 在1X =条件下，Y 的条件分布列为(1,0)0.21(0|1)(1)0.42P X Y P Y X P X ========，(1,1)0.11(1|1)(1)0.44P X Y P Y X P X ========，(1,2)0.11(2|1)(1)0.44P X Y P Y X P X ========.或写成0 1 2111(1)24|4Y P Y k X ==.3.24 设二维随机变量(),X Y 的概率分布表为求：(1) (),X Y 关于X 的边缘分布列；(2) ()2P X Y +≤；(3)()00P Y X ==. 解 (1)(),X Y 关于X 的边缘分布列为0 20.3 0.7X P ；(2) ()()212,110.30.7P X Y P X Y +≤=−===−=.(3)()()()0,00.220000.33P X Y P Y X P X ========. 3.25 设二维随机变量 ()3, 0,0,,~(,)2 0, x xyx ex y X Y f x y −− >> =其它. 求：(1)边缘概率密度()X f x ；(2) 条件概率密度|(|)Y X f y x . 解 (1) 因为, X Y （）关于X 的边缘密度函数320d , 0,()(,)d 220, x xy xX x x e y e x f x f x y y ∞−−−∞−∞=>==∫∫其它. (2) 当0>x 时,条件概率密度|, 0,(,)(|)()0, 0.xy Y X X xe y f x y f y x f x y − >== ≤(3) 当12X =时,条件概率密度 2|11, 0,(|)220, 0.yY X e y f y y − > =≤ 3.26 设直线1x =，0y =以及曲线2y x =所围区域为G ， (,)X Y 在区域G 上服从二维均匀分布，试求：(1) (,)X Y 的联合概率密度(,)f x y ；(2) 条件概率密度|(|)Y X f y x 及|(|)X Y f x y ；(3) |(|1)Y X f y 及()|1/9X Y f x .解(1) 如图,区域2}01,0{(,)|x y x G x y <<<<=的面积为1201d 3S x x ==∫因此(,)X Y 的联合概率密度为201,03(,)0x y x f x y <<<< =，，，其他．(2) , X Y （）关于X 的边缘密度函数例3.26插图220 3 d 3, 01()(,)d 0, x X y x x f x f x y y +∞−∞=<<== ∫∫其它.关于Y 的边缘密度函数13(1 01()(,)d 0, Y x y f y f x y x +∞−∞=<<== ∫其它.当01x <<时，条件概率密度|(|)Y X f y x22|2031(,)(|)3() 0Y X X y x f x y f y x x xf x << ===，，，其他．当01y <<时，条件概率密度|(|)X Y f x y1(,)(|)() 0X Y Y x f x y f x y f y <<== ，，其他． (3) 当1x =时，条件概率密度|101(|1)0Y X y f y << =，，，其他．当19y =时，条件概率密度|3111(|2390X Y x f x << =，，，其他．习题3.63.27 有一本100页的书，每页错别字数服从参数为0.01的泊松分布，假定各页错别字数相互独立，求这本书上错别字总数的概率分布. 解设i X 表示此书第i 页上的错别字数, 则(0.01)i X P , 其中1,2,,100i =L .因为相互独立的泊松随机变量的和仍服从泊松分布,因此这本书上错别字总数1001()ii XP λ=∑ , 其中1000.011λ=×=.3.23.288设两个随机变量X 和Y 相互独立且同分布：()()111/2P X P Y =−==−=，()()111/2P X P Y ====，则下列各式成立的是（A）()12P X Y ==．（B）()1P X Y ==．（C）()104P X Y +==．（C）()114P XY ==．解因为X 与Y 相互独立，由边缘分布列可得联合分布列..111111442111144211122i jY p X p −− 由此得()()()1111,11,1442P X Y P X Y P X Y ===−=−+===+=，故（A）正确，（B）错误．另外，由()()()11101,11,1442P X Y P X Y P X Y +===−=+==−=+=知（C）错误，由{}00P XY ==知（D）错误．*3.29 设随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，Y 服从二项分布(,)B m p ，且X 与Y 相互独立，证明X Y +服从二项分布(,)B n m p +. 证: 因(,)X B n p ,(,)Y B m p ,所以()(1)k kn k n P X k C p p −==−，0,1,2,,.k n =L ()(1)k k m k m P Y k C p p −==−，0,1,2,,.k m =L而X Y +可能取值为0,1,2,,n m +L ,且X 与Y 相互独立,由卷积公式有00()()()= (1)(1)iik k n k i k i km i k n m k k P X Y i P X k P Y i k C p p C p p −−−−+==+====−−−∑∑= (1)= (1)ik i k i n m i i i n m in m n m k C C p p C p p −+−+−+=−−∑,0,1,2,,i n m =+L . 注:由超几何分布列的正则性可知,01k i k in m ik n mC C C −=+=∑.因此0ik i k in m n m k C C C −+==∑. 3.30设X 与Y 独立同分布，X 的分布列为1{}2k P X k ==，1,2,k =L .试求：(1)Z X Y =+的分布列；(2) min{,}Z X Y =的分布列.解 (1)Z X Y =+可能取值为2,3,L ,且X 与Y 相互独立,由卷积公式有1111()()()()= 222nnk n k nk k nP Z n P X Y n P X k P Y n k −====+====−=∑∑,2,3,n =L . (2)min{,}Z X Y =可能取值为1,2,3,L ,且X 与Y 相互独立,()(min{,})P Z n P X Y n ===11(,)(,)(,)k n k n P X n Y n P X n Y k P X k Y n ∞∞=+=+===+==+==∑∑11()()()()()()k n k n P X n P Y n P X n P Y k P X k P Y n ∞∞=+=+===+==+==∑∑12211111111322122222412n n n k n n n k n ∞+−=+=+=+=−∑’ 即min{,}Z X Y =的分布列为3()4n P Z n ==,1,2,n =L .3.31设X 与Y 相互独立，X 服从均匀分布[0,1]U ，Y 服从参数为2的指数分布，求：（1）,X Y （）的联合概率密度；（2）(1)P X Y +≤.解 (1)X 与Y 的概率密度分别为()1, 01,0, X x f x ≤≤ = 其他与 ()22e , 00, 0y Y y f y y − = ≤ ＞由于X 与Y 独立，因此,X Y （）的联合概率密度为()()()22e ,01,0,0, .y X Y x y f x y f x f y − ≤≤== ＞, 其他（2）()11122220111(1), d d d 2e d (1e )d 22xy x x y P X Y f x y x y x y x e−−−+≤+≤===−=+∫∫∫∫∫. 3.32 设X 与Y 独立同均匀分布[0,1]U ，求Z X Y =+的概率密度. 解 Z X Y =+的概率密度1()()()d ()d Z X Y Y f z f x f z x x f z x x ∞−∞=−=−∫∫作变量变换, 令t z x =−,得1()()d zZ Y z f z f t t −=∫当0z <时, ()0Z f z =. 当 01z ≤<时, 1()()d d zzZ Y z f z f t t t z −===∫∫.当 011z ≤−<时, 即 12z ≤<时, 1111()()d d 2Z Y z z f z f t t t z −−===−∫∫.当11z −≥时, 即 2z ≥时, 11()()d 0Z Y z f z f t t −==∫.于是Z X Y =+的概率密度为, 01,()2, 12,0, Z z z f z z z <≤=−<≤当当其他.*3.33 设()(2)2,0,0,,~(,) 0, x y e x y X Y f x y −+ >>= 其它.求随机变量2Z X Y =+的分布函数.解随机变量2Z X Y =+取值为(0,)∞当0z ≤时, ()()(2)0Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤=; 当0z >时, 设区域{(,)|0,0,2}G x y x y x y z =>>+≤,(){}{}2Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤()()22,2x y x y zf x y dxdy edxdy −++≤==∫∫∫∫G220d 2d 1z xzx y z z e x e y e ze −−−−−==−−∫∫.于是，随机变量Y X Z 2+=的分布函数为()1,00,0z z Z e ze z F z z −− −−≥= <．★可进一步求得随机变量Z 的密度函数为(),00,0z Z ze z f z z − ≥= <．*3.34设X 与Y 独立同标准正态分布(0,1)N ，随机变量Z =,验证Z 的概率密度为()2/2, 0,0,z z ze z f z − ≥ = 其它，称Z 服从瑞利（Rayleigh）分布.解已知X 、Y 的分布密度分别为22()xXf x−=，22()yYf y−=,由相互独立性得X与Y的联合密度函数为221()21(,)()()2x yX Yf x y f x f y eπ−+=⋅=由于0Z=≥,知当0z<时, ()()0ZF z P Z z=≤=;当0z≥时, ()222())()ZF z P Z z P z P X Y z=≤=≤=+≤222222221()21(,)d d d d2x yx y z x y zf x y x y e x yπ−++≤+≤==∫∫∫∫22222220011d d2[]122r r zz ze r r e eπθπππ−−−=−=−∫∫极坐标.将()ZF z关于z求导数,得Z的概率密度为()2/2,0,0,zzze zf z−≥=其它.3.35 对某种电子装置的输出测量了5次，得到的观察值为12345,,,,X X X X X. 设它们独立同分布，概率密度为2/8,0,()40,xxe xf x−>=其它.求：（1）12345max{,,,,}Z X X X X X=的分布函数；（2）{4}P Z>.解（1）设12345,,,,X X X X X的分布函数为()XF x,则当0x≤时, ()0XF x=.当0x>时, 有()22x/8/8d14x xXxF x e x e−−−∞==−∫.即2/81,0,()0,xXe xF x−−>=其它.因此12345max{,,,,}Z X X X X X=的分布函数25851,0,()()(())0,.zZ Xe zF Z P Z z F z−−>=≤==其他25(2)(4)1(4)1(4)1(1)0.5167.z P Z P Z F e −>=−≤=−=−−=3.36 设随机变量,X Y （）的联合分布列为求：(1) =max(,)U X Y 的分布列；(2) =min(,)V X Y 的分布列；(3) =W X Y +的分布列；(4) (1|2)P X Y ==,(3|0)P Y X ==.解 (1)由X ，Y 的可能取值知=max(,)U X Y 的可能值为：0，1，2，3. 且有 (0)(1,0)(0,0)0.150.060.21P Z P X Y P X Y ===−=+===+=，(1)(1,1)(0,1)(1,1)(1,0)P Z P X Y P X Y P X Y P X Y ===−=+==+==+==0.020.050.150.10.32=+++=，(2)(1,2)(0,2)(1,2)P Z P X Y P X Y P X Y ===−=+==+==0.150.020.050.22=++=,(3)1(0)(1)(2)10.310.320.220.15P Z P Z P Z P Z ==−=−=−==−−−=. 所以=max(,)U X Y 的分布列 0 1 2 3 0.21 0.32 0.22 0.15U P (2由X ，Y 的可能取值知=min(,)V X Y 的可能值为：-1,0,1. 且有(1)(1,0)(1,1)(1,2)(1,3)P Z P X Y P X Y P X Y P X Y =−==−=+=−=+=−=+=−=0.150.020.150.070.39=+++=，(0)(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)P Z P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+==(1,0)0.060.050.020.030.10.26P X Y +===++++=,(1)1(1)(0)10.390.260.35P Z P Z P Z ==−=−−==−−=.所以=min(,)V X Y 的分布列为 1 0 1 0.39 0.26 0.35V P − (3) 由X ，Y 的可能取值知=W X Y +的可能值为：-1, 0，1，2，3, 4. 且有 (1)(1,0)0.15P W P X Y =−==−==，(0)(1,1)(0,0)0.020.060.08P W P X Y P X Y ===−=+===+=,(1)(1,2)(0,1)(1,2)P W P X Y P X Y P X Y ===−=+==+==0.150.050.10.3=++=，(2)(1,3)(0,2)(1,1)P W P X Y P X Y P X Y ===−=+==+==0.070.020.150.24=++=,(3)(0,3)(1,2)0.030.050.08P W P X Y P X Y ====+===+=,(4)(1,3)0.15P W P X Y =====.所以=W X Y +的分布列为1 0 1234 0.15 0.08 0.3 0.24 0.08 0.15W P −. (4) (2)(1,2)(0,2)(1,2)P Y P X Y P X Y P X Y ===−=+==+==0.150.020.050.22=++=,(0)(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)P X P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+== 0.060.050.020.030.16=+++=,(1,2)0.055(1|2)(2)0.2222P X Y P X Y P Y ========, (0,3)0.033(3|0)(0)0.1616P X Y P Y X P X ========.。

概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案1．设二维随机变量),(Y X 只能取下列数组中的值：)0,0(，)1,1(-，31,1(-及)0,2(，且取这几组值的概率依次为61，31，121和125，求二维随机变量),(Y X 的联合分布律．解：由二维离散型随机变量分布律的定义知，),(Y X 的联合分布律为2．某高校学生会有8名委员，其中来自理科的2名，来自工科和文科的各3名．现从8名委员中随机地指定3名担任学生会主席．设X ，Y 分别为主席来自理科、工科的人数，求：(1)),(Y X 的联合分布律；(2)X 和Y 的边缘分布律．解：(1)由题意，X 的可能取值为0，1，2，Y 的可能取值为0，1，2，3，则561)0,0(3833====C C Y X P ，569)1,0(381323====C C C Y X P ，569)2,0(382313====C C C Y X P ，561)3,0(3833====C C Y X P ，283)0,1(382312====C C C Y X P ，289)1,1(38131312====C C C C Y X P ，283)2,1(382312====C C C Y X P ，0)3,1(===Y X P ，563)0,2(381322====C C C Y X P ，563)1,2(381322====C C C Y X P ，0)2,2(===Y X P ，0)3,2(===Y X P ．),(Y X 的联合分布律为：(2)X 的边缘分布律为X 012P1452815283Y 的边缘分布律为Y 0123P285281528155613．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其他．,0,42,20),6(),(y x y x k y x f 求：(1)常数k ；(2))3,1(<<Y X P ；(3))5.1(<Y P ；(4))4(≤+Y X P ．解：方法1：(1)⎰⎰⎰⎰--==∞+∞-∞+∞-422d d )6(d d ),(1yx y x k y x y x f ⎰--=42202d |)216(y yx x x k k y y k 8d )210(42=-=⎰，∴81=k ．(2)⎰⎰∞-∞-=<<31d d ),()3,1(y x y x f Y X P ⎰⎰--=32102d d )216(yx yx x x ⎰--=32102d |)216(81y yx x x 83|)21211(81322=-=y y ．(3)),5.1()5.1(+∞<<=<Y X P X P ⎰⎰∞+∞-∞---=5.1d d )6(81yx y x ⎰⎰--=425.10d d )6(81y x y x y yx x x d )216(81422⎰--=3227|)43863(81422=-=y y ．(4)⎰⎰≤+=≤+4d d ),()4(y x y x y x f Y X P ⎰⎰---=2042d )6(d 81x y y x x ⎰+-⋅=202d )812(2181x x x 32|)31412(1612032=+-=x x x ．方法2：(1)同方法1．(2)20<<x ，42<<y 时，⎰⎰∞-∞-=yxv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰--=y xv u v u 20d d )6(81⎰--=y xv uv u u 202d |)216(81⎰--=y v xv x x 22d )216(81y xv v x xv 222|)21216(81--=)1021216(81222x xy y x xy +---=，其他，0),,(=y x F ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+---=其他．,0,42,20),1021216(81),(222y x x x xy y x xy y x F 83)3,1()3,1(==<<F Y X P ．(3))42,5.1(),5.1()5.1(<<<=+∞<<=<Y X P Y X P X P )2,5.1()4,5.1(<<-<<=Y X P Y X P 3227)2,5.1()4,5.1(=-=F F ．(4)同方法1．4．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=--其他．,0,0,0,e ),(2y x A y x f y x 求：(1)常数A ；(2)),(Y X 的联合分布函数．解：(1)⎰⎰⎰⎰∞+∞+--∞+∞-∞+∞-==02d d e d d ),(1yx A y x y x f y x ⎰⎰∞+∞+--=02d e d e y x A y x2|)e 21(|)e (020A A y x =-⋅-=∞+-∞+-，∴2=A ．(2)0>x ，0>y 时，⎰⎰∞-∞-=y xv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰--=yxv u vu 02d d e 2yv x u 020|)e 21(|)e (2---⋅-=)e 1)(e 1(2y x ----=，其他，0),(=y x F ，∴⎩⎨⎧>>--=--其他．,0,0,0),e 1)(e 1(),(2y x y x F y x ．5．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他．,0,10,10,),(y x Axy y x f 求：(1)常数A ；(2)),(Y X 的联合分布函数．解：(1)2121d d d d ),(11010⋅⋅===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-A y y x x A y x y x f ，∴4=A ．(2)10≤≤x ，10≤≤y 时，⎰⎰∞-∞-=y xv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=yxv u uv 0d d 4220202||y x v u yx =⋅=，10≤≤x ，1>y 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=100d d 4xv u uv 210202||x v u x =⋅=，10≤≤y ，1>x 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=100d d 4yu v uv 202102||y v u y =⋅=，1>x ，1>y 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=101d d 4v u uv 1||102102=⋅=v u ，其他，0),(=y x F ，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>≤≤>>≤≤≤≤≤≤=其他．,0,1,1,1,10,1,,1,10,,10,10,),(2222y x y x y y x x y x y x y x F ．6．把一枚均匀硬币掷3次，设X 为3次抛掷中正面出现的次数，Y 表示3次抛掷中正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求：(1)),(Y X 的联合分布律；(2)X 和Y 的边缘分布律．解：由题意知，X 的可能取值为0，1，2，3；Y 的可能取值为1，3．易知0)1,0(===Y X P ，81)3,0(===Y X P ，83)1,1(===Y X P ，0)3,1(===Y X P 83)1,2(===Y X P ，0)3,2(===Y X P ，0)1,3(===Y X P ，81)3,3(===Y X P 故),(Y X 得联合分布律和边缘分布律为：7．在汽车厂，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的：一是紧固3只螺栓；二是焊接2处焊点，以X 表示由机器人紧固的螺栓紧固得不牢的数目，以Y 表示由机器人焊接的不良焊点的数目，且),(Y X 具有联合分布律如下表：求：(1)在1=Y 的条件下，X 的条件分布律；(2)在2=X 的条件下，Y 的条件分布律．解：(1)因为)1,3()1,2()1,1()1,0()1(==+==+==+====Y X P Y X P Y X P Y X P Y P 08.0002.0008.001.006.0=+++=，所以43)1()1,0()1|0(=======Y P Y X P Y X P ，81)1()1,1()1|1(=======Y P Y X P Y X P ，101)1()1,2()1|2(=======Y P Y X P Y X P ，401)1()1,3()1|3(=======Y P Y X P Y X P ，故在1=Y 的条件下，X 的条件分布律为X 0123P4381101401(2)因为)2,2()1,2()0,2()2(==+==+====Y X P Y X P Y X P X P 032.0004.0008.002.0=++=，所以85)2()0,2()2,0(=======X P Y X P X Y P ，41)2()1,2()2,1(=======X P Y X P X Y P ，81)2()2,2()2,2(=======X P Y X P X Y P ，故在2=X 的条件下，Y 的分布律为：Y 012P8541818．设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧>>=+-其他．,0,0,0,e ),()2(y x c y x f y x 求：(1)常数c ；(2)X 的边缘概率密度函数；(3))2(<+Y X P ；(4)条件概率密度函数)|(|y x f Y X ，)|(|x y f X Y ．解：(1)⎰⎰⎰⎰∞+∞++-∞+∞-∞+∞-==0)2(d d e d d ),(1yx c y x y x f y x⎰⎰∞+∞+--=02d e d ey x c y x2|)e (|)e 21(002c c y x =-⋅-=∞+-∞+-，∴2=c ．(2)0>x 时，⎰∞+∞-=y y x f x f X d ),()(⎰∞++-=0)2(d e 2y y x x y x 202e 2|)e (e 2-+∞--=-=，0≤x 时，0)(=x f X ，∴⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 2)(2x x x f x X ，同理⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y ．(3)⎰⎰<+=<+2d d ),()2(y x y x y x f Y X P ⎰⎰---=20202d d e 2xy x yx 422202e e 21d e d e 2-----+-==⎰⎰xy x y x ．(4)由条件概率密度公式得，当0>y 时，有⎩⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==----其他．其他．,0,0,e 2,0,0,e e 2)(),()|(22|x x y f y x f y x f xy y x Y Y X ，同理，当0>x 时，有⎩⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==----其他．其他．,0,0,e ,0,0,2e e 2)(),()|(22|y y x f y x f x y f yx y x X X Y ．9．设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他．,0,0,10,3),(x y x x y x f 求：(1)关于X 、Y 的边缘概率密度函数；(2)条件概率密度函数)|(|y x f Y X ，)|(|x y f X Y ．解：(1)10<<x 时，⎰∞+∞-=y y x f x f X d ),()(203d 3x y x x==⎰，其他，0)(=x f X ，∴⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,3)(2x x x f X ，密度函数的非零区域为}1,10|),{(}0,10|),{(<<<<=<<<<x y y y x x y x y x ，∴10<<y 时，⎰∞+∞-=x y x f y f Y d ),()()1(23d 321y x x y-==⎰，其他，0)(=y f Y ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,10),1(23)(2y y y f Y ．(2)当10<<y 时，有⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-==其他．其他．,0,1,12,0,1,)1(233)(),()|(22|x y y x x y y xy f y x f y x f Y Y X ．当10<<x 时，有⎪⎩⎪⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==其他．其他．,0,0,1,0,0,33)(),()|(2|x y x x y x x x f y x f x y f X X Y ．10．设条件密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<=其他．,0,10,3)|(32|y x y x y x f Y X Y 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,5)(4y y y f Y 求21(>X P ．解：⎩⎨⎧<<<==其他．,0,10,15)|()(),(2|y x y x y x f y f y x f Y X Y ，则6447d )(215d d 15d d ),(21(121421211221=-===>⎰⎰⎰⎰⎰>x x x x y y x y x y x f X P xx ．11．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=其他．,0,20,10,3),(2y x xyx y x f 求：(1)),(Y X 的边缘概率密度；(2)X 与Y 是否独立；(3))),((D Y X P ∈，其中D 为曲线22x y =与x y 2=所围区域．解：(1)10<<x 时，x x y xy x y y x f x f X 322d )3(d ),()(222+=+==⎰⎰∞+∞-，其他，0)(=x f X ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其他．,0,10,322)(2x x x x f X ，20<<y 时，⎰∞+∞-=x y x f y f Y d ),()(316)d 3(12+=+=⎰y x xy x ，其他，0)(=y f Y ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其他．,0,20,316)(y y y f Y ．(2)∵),()()(y x f y f x f Y X ≠，∴X 与Y 不独立．(3)}22,10|),{(2x y x x y x D ≤≤<<=，∴⎰⎰+=∈102222d d 3()),((xxx y xy x D Y X P 457d )32238(10543=--=⎰x x x x ．12．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=-其他．,0,0,0,e )1(),(2y x y xy x f x试讨论X ，Y 的独立性．解：当0>x 时，xx x X x yx y y x y y x f x f -∞+-∞+-∞+∞-=+-=+==⎰⎰e |11e d )1(e d ),()(002，当0≤x 时，0)(=x f X ，故⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(x x x x f x X ，同理，可得⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=．0,0,0,)1(1)(2y y y y f Y ，因为)()(),(y f x f y x f Y X =，所以X 与Y 相互独立．13．设随机变量),(Y X 在区域}|),{(a y x y x g ≤+=上服从均匀分布，求X 与Y 的边缘概率密度，并判断X 与Y 是否相互独立．解：由题可知),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其他．,0,,21),(2a y x a y x f ，当0<<-x a 时，有)(1d 21d ),()(2)(2x a a y a y y x f x f xa x a X +===⎰⎰++-∞+∞-，当a x <≤0时，有)(1d 21d ),()(2)(2x a a y a y y x f x f x a x a X -===⎰⎰---∞+∞-，当a x ≥时，0d ),()(==⎰+∞∞-y y x f x f X ，故⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=．a x a x x a a x f X ,0,),(1)(2，同理，由轮换对称性，可得⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=．a y a y y a a y f Y ,0,),(1)(2，显然)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以X 与Y 不相互独立．14．设X 和Y 时两个相互独立的随机变量，X 在)1,0(上服从均匀分布，Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 21)(2y y y f yY (1)求X 和Y 的联合概率密度；(2)设含有a 的二次方程为022=++Y aX a ，试求a 有实根的概率．解：(1)由题可知X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,1)(x x f X ，因为X 与Y 相互独立，所以),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其他．,0,0,10,e 21)()(),(2y x y f x f y x f y Y X ，(2)题设方程有实根等价于}|),{(2X Y Y X ≤，记为D ，即}|),{(2X Y Y X D ≤=，设=A {a 有实根}，则⎰⎰=∈=Dy x y x f D Y X P A P d d ),()),(()(⎰⎰⎰---==1021002d )e 1(d d e 2122xx y x x y⎰--=12d e12x x ⎰--=12d e 21212x x ππππ23413.01)]0()1([21-=Φ-Φ-=．15．设i X ～)4.0,1(b ，4,3,2,1=i ，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，求行列式4321X X X X X =的分布律．解：由i X ～)4.0,1(b ，4,3,2,1=i ，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，易知41X X ～)84.0,16.0(b ，32X X ～)84.0,16.0(b ．因为1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，所以41X X 与32X X 也相互独立，又32414321X X X X X X X X X -==，则X 的所有可能取值为1-，0，1，有)1()0()1,0()1(32413241======-=X X P X X P X X X X P X P 1344.016.084.0=⨯=，)1,1()0,0()0(32413241==+====X X X X P X X X X P X P )1()1()0()0(32413241==+===X X P X X P X X P X X P 7312.016.016.084.084.0=⨯+⨯=，)0()1()0,1()1(32413241=======X X P X X P X X X X P X P 1344.084.016.0=⨯=，故X 的分布律为X 1-01P1344.07312.01344.016．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-其他．,0,0,0,e 2),()2(y x y x f y x 求Y X Z 2+=的分布函数及概率密度函数．解：0≤z 时，若0≤x ，则0),(=y x f ；若0>x ，则0<-=x z y ，也有0),(=y x f ，即0≤z 时，0),(=y x f ，此时，0d d ),()2()()(2==≤+=≤=⎰⎰≤+zy x Z y x y x f z Y X P z Z P z F ．0>z 时，若0≤x ，则0),(=y x f ；只有当z x ≤<0且02>-=xz y 时，0),(≠y x f ，此时，⎰⎰≤+=≤+=≤=zy x Z yx y x f z Y X P z Z P z F 2d d ),()2()()(⎰⎰-+-=zx z y x y x 020)2(d e 2d z z z ----=e e 1．综上⎩⎨⎧≤>--=--．0,0,0,e e 1)(z z z z F z z Z ，所以⎩⎨⎧≤<='=-．0,0,0,e )()(z z z z F z f z Z Z ．17．设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤=其他．,0,10,1)(x x f X ，⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y 求Y X Z +=的概率密度．解：0<z 时，若0<x ，则0)(=x f X ；若0≥x ，则0<-=x z y ，0)(=-x z f Y ，即0<z 时，0)()(=-x z f x f Y X ，此时，0d )()()(=-=⎰∞+∞-x x z f x f z f Y X Z ．10≤≤z 时，若0<x ，则0)(=x f X ；只有当z x ≤≤0且0>-=x z y 时0)()(≠-x z f x f Y X ，此时，z zx z Y X Z x x x z f x f z f ---∞+∞--==-=⎰⎰e 1d e d )()()(0)(．1>z 时，若0<x ，0)(=x f X ；若1>x ，0)(=x f X ；若10≤≤x ，则0>-=x z y ，此时，0)()(≠-x z f x f Y X ，z x z Y X Z x x x z f x f z f ---∞+∞--==-=⎰⎰e )1e (d e d )()()(1)(．综上，⎪⎩⎪⎨⎧<>-≤≤-=--．0,0,1,e )1e (,10,e 1)(z z z z f z z Z ．18．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=+-其他．,0,0,0,e)(21),()(y x y x y x f y x (1)X 和Y 是否相互独立？(2)求Y X Z +=的概率密度．解：(1)),()()(y x f y f x f Y X ≠，∴X 与Y 不独立．(2)0≤z 时，若0≤x ，则0)(=x f X ；若0>x ，则0<-=x z y ，0),(=y x f ，此时，0d ),()(=-=⎰∞+∞-x x z x f z f Z ．0≥z 时，若0≤x ，则0)(=x f X ；只有当z x <<0且0>-=x z y 时0),(≠y x f ，此时，⎰∞+∞--=x x z x f z f Z d ),()(⎰+-+=zy x x y x 0)(d e)(21⎰-=z z x z 0d e 21z z -=e 212，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 21)(2z z z z f zZ ．19．设X 和Y 时相互独立的随机变量，它们都服从正态分布),0(2σN ．证明：随机变量22Y X Z +=具有概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-．0,0,0,e )(2222z z z z f z Z σσ．证：因为X 与Y 相互独立，均服从正态分布),0(2σN ，所以其联合密度函数为2222)(2e 121),(σσπy x y x f +-⋅=，(+∞<<∞-y x ,)当0≥z 时，有⎰⎰≤+=≤+=≤=zy x Z yx y x f z Y X P z Z P z F 22d d ),()()()(22⎰⎰≤++-⋅=zy x y x y x 22222d e 1212)(2σσπ⎰⎰-⋅=πσθσπ2022d ed 12122zr r r ⎰-=zr r r 022d e122σσ，此时，2222e)(σσz Z z z f -=；当0<z 时，=≤+}{22z Y X ∅，所以0)()()(22=≤+=≤=z Y X P z Z P z F Z ，此时，0)(=z f Z ，综上，⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-．0,0,0,e )(2222z z z z f z Z σσ．20．设),(Y X 在矩形区域}10,10|),{(≤≤≤≤=y x Y X G 上服从均匀分布，求},min{Y X Z =的概率密度．解：由题可知),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他．,0,20,10,21),(y x y x f ，易证，X ～]1,0[U ，Y ～]2,0[U ，且X 与Y 相互独立，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=．1,1,10,,0,0)(x x x x x F X ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=．2,1,20,2,0,0)(y y yy y F Y ，可得)](1)][(1[1)(z F z F z F Y X Z ---=)()()()(z F z F z F z F Y X Y X -+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=．1,1,10,223,0,02z z z z z ，求导，得⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,10,23)(z z z f Z ．21．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧+∞<<<<=+-其他．,0,0,10,e ),()(y x b y x f y x (1)试确定常数b ；(2)求边缘概率密度)(x f X 及)(y f Y ；(3)求函数},max{Y X U =的分布函数．解：(1)⎰⎰⎰⎰∞++-∞+∞-∞+∞-==01)(d d e d d ),(1yx b y x y x f y x⎰⎰∞+--=1d e d e y x b y x )e 1(|)e (|)e (1102-+∞---=-⋅=b b y x ，∴1e11--=b ．(2)10<<x 时，1)(1e1e d e e 11d ),()(--∞++--∞+∞--=-==⎰⎰x y x X y y y x f x f ，其他，0)(=x f X ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<-=--其他．,0,10,e 1e )(1x x f xX ，0>y 时，⎰∞+∞-=x y x f y f Y d ),()(y y x x -+--=-=⎰e d e e1110)(1，0≤y 时，0)(=y f Y ，∴⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y ．(3)0≤x 时，0)(=x F X ，10<<x 时，101e 1e 1d e 1e d )()(----∞---=-==⎰⎰xxt xX X t t t f x F ，1≥x 时，1)(=x F X ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<--≤=--．1,1,10,e1e1,0,0)(1x x x x F x X ；0≤y 时，0)(=y F Y ，0>y 时，y yv y Y Y v v v f y F --∞--===⎰⎰e 1d e d )()(0，∴⎩⎨⎧≤>-=-．0,0,0,e 1)(y y y F y Y ，故有)()()(y F x F u F Y X U =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<≤--<=---．1,e 1,10,e1e1,0,01u u u uu ．。

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均匀分布: EX a b , DX (b a)2
2
12
指数分布: EX 1 ,
DX
1
2
7
二维随机变量的方差：
离散型随机变量X ,Y ,
DX xi EX 2 pX xi xi EX 2 p xi , yj ,
i
ij
DY yi EY 2 pY yj
y j EY 2 p xi , y j .
9
九、协方差与相关系数
1、X与Y 的协方差（或相关矩）：
定义 cov( X ,Y ) E{[ X E( X )][Y E(Y )]}.
注 ⑴ 离散型随机变量：
covX ,Y xi EX yj EY pxi , yj .
ij
⑵ 连续型随机变量：
cov X
,YΒιβλιοθήκη xEXyEY
f
x,
2
三、一维随机变量函数的数学期望
（1）设离散型随机变量X 的概率分布为：
X
x1
x2
xn
P( X xi ) p( x1 ) p( x2 ) p( xn )
则定义随机变量函数 Y gX 的数学期望为：
EY EgX gxi pxi
i
（2）若X为连续型随机变量，其概率密度为 f x, 则定义随
6
定理2：若X与Y 独立， DX Y DX DY
推论：D
n
X i
n
DXi
i1 i1
七、某些常用分布的数学期望及方差
0 -1分布：EX p, DX pq 二项分布：EX np, DX npq
Poisson分布 EX , DX 几何分布: EX 1 ,
p
q DX p2
j
ij
连续型随机变量X ,Y ,
DX
x
EX
2
fX
xdx
x
EX
2
f
x,
y dxdy,
DY
y
EY
2
fY
ydy
y
EY
2
f
x,
y dxdy.
8
八、原点矩与中心矩
定义1：随机变量X 的 k 阶原点矩： k X E X k
其中k为正整数。特别的，1 EX
对于离散随机变量： k ( X ) xik p( xi )
机变量函数Y gX 的数学期望为：
EY
EgX
gx
f
xdx
3
四、二维随机变量的函数的数学期望
（1）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi , yj)，则
随机变量函数g(X,Y)的数学期望如下：
EgX ,Y gxi , y j pxi , y j ,
ij
假定这个级数是绝对收敛的.
（2）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x, y)，则
随机变量g(X,Y)的数学期望如下：
Eg
X
,Y
g
x,
y
f
x,
y
dxdy,
假定这个积分是绝对收敛的.
4
五、关于数学期望的定理
定理1 Ea bX a bEX
推论（1）Ea a （2）Ea X a EX
（3）EbX bEX
若X 为离散型随机变量，则有
DX xi EX 2 pi i 1
若X 为连续型随机变量，则有 DX
x
EX
2
f
( x)dx
方差的计算公式: DX E X 2 EX 2
有关方差的定理：定理1 DaX b a2DX
推论：Db 0; DX b DX; D(aX ) a2DX.
定理2 EX Y EX EY
推论： E n Xi n EXi .
i1 i1
定理3 若X、Y 独立，则有： EXY EX EY
推论
若X1 ,
X2 ,
,
X
相互独立，则
n
E
n
Xi
n
EXi .
i1 i1
5
六、方差与标准差
定义 X 的方差： DX EX EX 2
定义 X 的标准差： X DX
第三章随机变量的数字特征
（一）基本内容一、一维随机变量的数学期望
定义1：设X是一离散型随机变量，其分布列为：
X x1 x2 xi
P p( x1 ) p( x2 ) p( xi )
则随机变量X 的数学期望为: EX xi pxi
i
定义2：设X是一连续型随机变量，其分布密度为 f x,
i
j
假定级数是绝对收敛的.
（2）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x, y)，则
随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下：
EX
xf
x,
ydxdy,
EY
yf x, ydxdy.
即：EX
xf X x dx,
EY
yfY y dy.
假定积分是绝对收敛的.
则随机变量X的数学期望为
EX
xf
xdx
1
二、二维随机变量的数学期望
（1）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi , yj)，则
随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下：
EX xi p xi , y j , EY y j p xi , y j .
i j
ji
即： EX xi pX xi , EY y j pY y j .
11
十、切比雪夫不等式与大数定律
1、切比雪夫不等式
P
X
E(X
)
D( X 2
)
2、切比雪夫大数定律若方差一致有上界
lim
n
P
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E(Xi )
1
3、辛钦大数定律独立同分布 4、伯努利大数定律
ydxdy.
定理1 cov(X ,Y ) E( XY ) E( X )E(Y )
定理2 若X与Y 独立，则：covX ,Y 0. 逆命题不成立。
注设X与Y是任两个随机变量，
D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2cov(X ,Y )
10
2、X与Y 的相关系数
定义 R( X ,Y ) cov( X ,Y )
i
对于连续随机变量： k ( X )
xk f ( x)dx
定义2： X 的k 阶中心矩：k X E X EX k
特别的，1 0; 2 DX
对于离散随机变量：k ( X ) [xi E( X )]k p( xi )
i
对于连续随机变量：k ( X )
x
E( X
)k
f
(
x)dx
R( X ,Y ) cov( X ,Y ) D( X ) D(Y )
定理3 RX ,Y 1
定理4 R( X ,Y ) 1
Y
a
bX ,
且
R( X ,Y )
1, 1,
b 0; b 0.
定理5 如果 X 与Y 独立，则 R( X ,Y ) 0, 反之不成立。
即: X 与 Y相互独立
X与 Y 不相关