(完整版)二项分布及其应用题型总结,推荐文档
高中数学二项分布及应用共51页文档
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Hale Waihona Puke 高中数学二项分布及应 用6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
高中数学二项分布及其应用知识点+练习
325--------------- \事件的独立性“ -----------------厂 丿 r]厂独立重复实验二项分布高考要求二项分布及 其应用要求层次重难点条件概率 A 了解条件概率和两个事件相互独立的概念， 理解n 次独立重复试验的模型及二项分布， 并能解决一些简单的实际问题.事件的独立性A n 次独立重复试验与二项 分布B21山迄例题精讲板块一：条件概率（一） 知识内容条件概率对于任何两个事件 A 和B ，在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫做条件概率，用符号 P （B|A ） ”来表示.把由事件 A 与B 的交（或积），记做D=A“B （或D 二AB ）.（二）典例分析:【例1】 在10个球中有6个红球，4个白球（各不相同），不放回的依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是（）D .知识框架二项分布及其应用【例2】某地区气象台统计，该地区下雨的概率是土 ,刮风的概率是2,既刮风又下雨的概率是丄,15 15 10设A=刮风”，8=下雨”，求P(B A , P(A B).【例3】设某种动物活到20岁以上的概率为0.7，活到25岁以上的概率为0.4，求现龄为20岁的这种动物能活到25岁以上的概率.【例4】把一枚硬币抛掷两次，事件A=第一次出现正面”，事件B=第二次出现反面”，则P(B A)二_____ .【例5】抛掷一颗骰子两次，在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下，则第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为_________________________ .【例6】设某批产品有4%是废品，而合格品中的75%是一等品，任取一件产品是一等品的概率是_________ .【例7】掷两枚均匀的骰子，记A=点数不同”，8=至少有一个是6点”，求P(A|B)与P(B|A).【例8】甲、乙两班共有70名同学，其中女同学40名•设甲班有30名同学，而女生15名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率【例9】从1~100个整数中，任取一数，已知取出的一数是不大于50的数，求它是2或3的倍数的概率.【例10】袋中装有2n_1个白球，2n个黑球，一次取出n个球，发现都是同一种颜色的，问这种颜色是黑色的概率是多少？【例11】一袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球，先后两次从袋中各取一球(不放回)⑴已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；⑵已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率；⑶已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的是白球的概率.【例12】有两箱同类零件，第一箱内装50件，其中10件是一等品；第二箱内装30件，其中18件是一等品•现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件(取出的零件均不放回)，试求：⑴先取出的零件是一等品的概率；⑵在先取出的零件是一等品的条件下后取出的仍然是一等品的概率. (保留三位有效数字)【例13】设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份•随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份，⑴求先抽到的一份是女生表的概率p •⑵己知后抽到的一份是男生表，求先抽到的是女生的概率q•板块二：事件的独立性(一) 知识内容事件的独立性如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)二P(B), 这时，我们称两个事件A, B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件.如果事件A , A2,…，A n相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A P1A门…「代)二P(A) P(^)…P(An)，并且上式中任意多个事件A换成其对立事件后等式仍成立.（二）典例分析：【例14】判断下列各对事件是否是相互独立事件⑴容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与 从 剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球⑵一筐内有6个苹果和3个梨，从中任意取出1个，取出的是苹果”与 把取出的苹果放回筐 子，再从筐子中任意取出1个，取出的是梨”.⑶甲组3名男生、2名女生；乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选 1名同学参加 演讲比赛， 从甲组中选出1名男生”与 从乙组中选出1名女生”.1，从乙口袋中摸出一个红球的概率是 丄，则-是（ 3 2 3 B . 2个球都是红球的概率D . 2个球中恰好有1个红球的概率次射击，但距离为150m ;如果第二次又未命中，则猎人进行第三次射击，但在射击瞬间距离 野兔为200m •已知猎人命中率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率.如图，开关电路中，某段时间内，开关 a b 、c 开或关的概率均为 1,且是相互独立的，求 2这段时间内灯亮的概率.甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 1 ,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是4 等品的概率为 -，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为12 分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率.【例19】椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为0,1,2的概率分别为0.4 , 0.5 , 0.1⑴ 求该企业在一个月内被消费者投诉不超过 1次的概率；⑵假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者 投诉2次的概率.【例15】从甲口袋摸出一个红球的概率是A . 2个球不都是红球的概率 C .至少有一个红球的概率【例16】猎人在距离100m 处射击一只野兔,其命中率为-.如果第一次射击未命中,2则猎人进行第二【例17】【例18】 c【例20】某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰•已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为4、3、？、〕，且5 5 5 5各轮问题能否正确回答互不影响.⑴ 求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；⑵求该选手至多进入第三轮考核的概率.【例21】甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束•假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立•已知前2局中, 甲、乙各胜1局.⑴求再赛2局结束这次比赛的概率；⑵ 求甲获得这次比赛胜利的概率.【例22】纺织厂某车间内有三台机器，这三台机器在一天内不需工人维护的概率：第一台为0.9，第二台为0.8，第三台为0.85，问一天内：⑴3台机器都要维护的概率是多少？⑵ 其中恰有一台要维护的概率是多少？⑶至少一台需要维护的概率是多少？【例23】为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类•这三类工程所含项目的个数分别占总数的1，1，1•现有3名工人独立地从中任2 3 6选一个项目参与建设•求：⑴ 他们选择的项目所属类别互不相同的概率；⑵ 至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.【例24】甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为1和-，求：3 4⑴两个人都译出密码的概率；⑵两个人都译不出密码的概率；⑶恰有1个人译出密码的概率;⑷至多1个人译出密码的概率；⑸至少1个人译出密码的概率.【例25】从10位同学（其中6女，4男）中，随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为4，每位男同学能通过测验的概率均为3，试求：5 5⑴选出的3位同学中至少有一位男同学的概率；⑵10位同学中的女同学甲和乙及男同学丙同时被抽到，且三人中恰有二人通过测验的概率.【例26】甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为1与p，且乙投球2次均2未命中的概率为—.16⑴求乙投球的命中率p ；⑵求甲投球2次，至少命中1次的概率；⑶若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率.【例27】一汽车沿一街道行驶，需要通过三个设有红绿灯的路口，每个信号灯彼此独立工作，且红绿灯信号显示时间相等.以X表示该汽车首次遇到红灯时已通过的路口个数，求X的分布列以及该汽车首次遇到红灯时至少通过两个路口的概率.【例28】甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求:⑴2人都射中的概率？⑵2人中有1人射中的概率？⑶2人至少有1人射中的概率？⑷2人至多有1人射中的概率？【例29】（07福建）甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7, 0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：⑴甲试跳三次，第三次才成功的概率；⑵甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；⑶甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率.【例30】A、B两篮球队进行比赛，规定若一队胜4场则此队获胜且比赛结束（七局四胜制），A、B 两队在每场比赛中获胜的概率均为 -,X为比赛需要的场数，求X的分布列及比赛至少要进2行6场的概率.【例31】已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物•血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病•下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止.方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验•若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.求依方案甲、乙分别所需化验次数的分布列以及方案甲所需化验次数不少于方案乙所需化验次数的概率.【例32】为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，:提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.【例33】某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 a , b , c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.⑴分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；⑵试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）板块三：独立重复试验与二项分（一） 知识内容1 .独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同.在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验.n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生k 次的概率为R （k ）=丄p k （1—p ）n ± （k=0, 1, 2,山,n ）.2.二项分布若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为q"-p ，那么在n 次独立重复试验中，事 件A 恰好发生k 次的概率是P （X =k ）=V p k q n ±，其中k = 0, 1,2, H|, n . 于是得到X 的分布列由于表中的第二行恰好是二项展开式 （q + p ）n =疋p °q n +C ： p 1q n 」+||） +C ： p k q n 上坤| C ： p n q 0各对应项的值，所以称这样的离散型随机变量 X 服从参数为n , p 的二项分布，记作 X ~ B （ n, p ）.（二）典例分析：【例1】某人参加一次考试，4道题中解对3道则为及格，已知他的解题正确率为0.4 ,则他能及格的概率为 _____________ （保留到小数点后两位小数）【例2】 某篮球运动员在三分线投球的命中率是-,他投球10次，恰好投进3个球的概率 ____________ .（用2数值表示）【例3】 接种某疫苗后，出现发热反应的概率为 0.80，现有5人接种了该疫苗，至少有 3人出现发热反应的概率为 ____________ .（精确到0.01）【例5】一台X 型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为 0.8000,有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多有 2台机床需要工人照看的概率是（）A . 0.1536B . 0.1808C . 0.5632D . 0.9728【例6】某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买•根据以往资料统计，顾客采用【例4】 甲乙两人进行围棋比赛, 局比赛获胜的概率均为 比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每-，则甲以3 : 1的比分获胜的概率为（）3A . -827B . 6481C.-9一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元;若顾客采用分期付款，商场获得利润250元.⑴ 求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；⑵ 求3位位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率.【例7】某万国家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为1,若中奖，贝V家具城返还顾客现金200元•某顾客消费了3400元，得到35张奖券.⑴求家具城恰好返还该顾客现金200元的概率；⑵求家具城至少返还该顾客现金200元的概率.【例8】某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株•设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为5和4，且各株大树是否成活互不影响•求移栽的4株大树中：6 5⑴至少有1株成活的概率；⑵两种大树各成活1株的概率.【例9】一个口袋中装有n个红球（n》5且「N* ）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖.⑴试用n表示一次摸奖中奖的概率p;⑵若n =5,求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；⑶记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P •当n取多少时，P最大？1~ B(4 ,-)，贝V PC =2)等于 3【例12】从一批由9件正品、3件次品组成的产品中，有放回地抽取5次，每次抽一件，求恰好抽到 两次次品的概率（结果保留 2位有效数字）.［例 13】袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球，从 A 中摸出一个红球的概率是 -，从B 中摸出3个红球的概率为p .⑴从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止.① 求恰好摸5次停止的概率；② 记5次之内（含5次）摸到红球的次数为 ，求随机变量 的分布. ⑵若A , B 两个袋子中的球数之比为1:2，将A , B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是-，求p 的值.5【例14】设在4次独立重复试验中，事件 A 发生的概率相同，若已知事件 A 至少发生一次的概率等于 65，求事件A在一次试验中发生的概率.81【例15】我舰用鱼雷打击来犯的敌舰，至少有 2枚鱼雷击中敌舰时，敌舰才被击沉•如果每枚鱼雷的命中率都是0.6，当我舰上的8个鱼雷发射器同是向敌舰各发射 I 枚鱼雷后，求敌舰被击沉的 概率（结果保留2位有效数字）.【例10】已知随机变量•服从二项分布, 【例11】已知随机变量■服从二项分布, 1~B(6'3)'则 P —2)等于(A • 2 16 4B . —C . 243 13243 243【例16】某厂生产电子元件，其产品的次品率为 5%，现从一批产品中的任意连续取出 2件，求次品数'的概率分布列及至少有一件次品的概率.【例17】某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审•假设评审结果为 支持”或不支持”的概率都是-.若某人获得两个 支持”则给予10万2元的创业资助；若只获得一个 支持”则给予5万元的资助；若未获得 支持”则不予资助.求: ⑴该公司的资助总额为零的概率；⑵ 该公司的资助总额超过15万元的概率.【例18】射击运动员李强射击一次击中目标的概率是 0.8，他射击3次，恰好2次击中目标的概率是多少？【例19】设飞机A 有两个发动机，飞机 B 有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机没有故障，就【例20】假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是 1 -P ,且各发动机互不影响.如果至少50%的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行•问对于多大的P 而言，四发动机飞机比二发 动机飞机更安全？【例21】一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有 6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 1 •3⑴设•为这名学生在途中遇到红灯的次数，求 的分布列；⑵设 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列； ⑶求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.能够安全飞行，现设各个发动机发生故障的概率p 是t 的函数p=1-e 」，其中t 为发动机启 动后所经历的时间, 故障）. ■为正的常数，试讨论飞机 A 与飞机B 哪一个安全？（这里不考虑其它【例22】一个质地不均匀的硬币抛掷5次，正面向上恰为1次的可能性不为0，而且与正面向上恰为2 次的概率相同.令既约分数丄为硬币在5次抛掷中有3次正面向上的概率，求i j •【例23】某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位) ⑴5次预报中恰有2次准确的概率；⑵5次预报中至少有2次准确的概率；⑶5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；【例24】某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19, 20层可以停靠.若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为-，求至少有两位乘客在20层下的概3率.【例25】10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取一球，求直到第n次才取得k(k < n)次红球的概率.【例26】某车间为保证设备正常工作，要配备适量的维修工•设各台设备发生的故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是0.01 •试求：⑴若由一个人负责维修20台，求设备发生故障而不能及时维修的概率；⑵若由3个人共同负责维修80台设备，求设备发生故障而不能及时维修的概率，并进行比较说明哪种效率高.【例27】A,B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验. 每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B,然后观察疗效•若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A有效的概率为2，服用B有效的概率为丄•观察3个试验组，求至少有1个甲类组的概率.（结果保留四3 2位有效数字）【例28】已知甲投篮的命中率是0.9，乙投篮的命中率是0.8，两人每次投篮都不受影响，求投篮3次甲胜乙的概率.（保留两位有效数字）【变式】若甲、乙投篮的命中率都是p=0.5，求投篮n次甲胜乙的概率.（n・N ,n > 1 ）［例29】省工商局于某年3月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的x饮料的合格率为80%，现有甲，乙，丙3人聚会，选用6瓶x饮料，并限定每人喝2瓶，求：⑴甲喝2瓶合格的x饮料的概率；⑵甲，乙，丙3人中只有1人喝2瓶不合格的x饮料的概率（精确到0.01）.【例30】在一次考试中出了六道是非题，正确的记“v号，不正确的记“X号.若某考生随手记上六个符号，试求：⑴全部是正确的概率；⑵正确解答不少于4道的概率；⑶至少答对2道题的概率.【例31】某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛，校队的实力比系队强，当一个校队队员与系队队员比赛时，校队队员获胜的概率为0.6.现在校、系双方商量对抗赛的方式，提出了三种方案：⑴双方各出3人；⑵双方各出5人;⑶双方各出7人.三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜利.问：对系队来说，哪一种方案最有利？右单板块四：二项分布的期望与方（一）知识内容二项分布的均值与方差: 若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则E（X）二np , D（x）二npq （q =1 一p）.（二）典例分析：【例32】一盒子内装有10个乒乓球，其中3个旧的，7个新的，每次取一球，取后放回，取4次，则取到新球的个数的期望值是______________________ .【例33】同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为'，则的数学期望是（）A. 20B. 25C. 30D. 40【例34】已知X ~ B（n , p）, E（X）=8 , D（X）=1.6，则n与p的值分别为（）A . 10和0.8B . 20和0.4 C. 10和0.2 D . 100和0.8【例35】某服务部门有n个服务对象，每个服务对象是否需要服务是独立的，若每个服务对象一天中需要服务的可能性是p，则该部门一天中平均需要服务的对象个数是（）A. np(1-p)B. npC. nD. p(1-p)【例36】已知随机变量X服从参数为6,0.4的二项分布，则它的期望E(X)= _________________________ ,方差D(X) = ______ •【例37】已知随机变量X服从二项分布，且E( J =2.4 , D( J =1.44，则二项分布的参数n , p的值分别为____________ 、 __________ •【例38】一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是___________________ •(用数字作答)【例39】已知X ~ B(10, 0.8)，求E(X)与D(X) •【例40】同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为'，则的数学期望是()A • 20 B. 25 C. 30 D. 40【例41】甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是丄，2，丄•3 5 2⑴ 现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率；⑵ 用•表示乙投篮3次的进球数，求随机变量•的概率分布及数学期望.【例42】抛掷两个骰子，当至少有一个2点或3点出现时，就说这次试验成功. ⑴ 求一次试验中成功的概率；⑵ 求在4次试验中成功次数X的分布列及X的数学期望与方差.【例43】某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取•假设任一客户去领奖的概率为4% •问：寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？【例44】某批数量较大的商品的次品率是5%，从中任意地连续取出10件，X为所含次品的个数，求E(X) •【例45】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响.⑴任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；⑵任选3名下岗人员，记■为3人中参加过培训的人数，求'的分布和期望.【例46】设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的•记•表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布及期望.【例47】某班级有n人，设一年365天中，恰有班上的m ( m< n )个人过生日的天数为X，求X的期望值以及至少有两人过生日的天数的期望值.【例48】购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金•假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立•已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为1041 -0.999 .⑴求一投保人在一年度内出险的概率p ;⑵设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0 ,求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元)【例49】某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）•若安检不合格，则必须进行整改•若整改后复查仍不合格，则强行关闭•设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算（结果精确到0.01 ）•⑴恰好有两家煤矿必须整改的概率；⑵平均有多少家煤矿必须整改；⑶至少关闭一家煤矿的概率.【例50】设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作.若一周5个工作日里均无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元，只发生两次故障可获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少？（精确到0.001）【例51】在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中，武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐•已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆.每次射击是相互独立的，且命中的概率都是-•3⑴求油罐被引爆的概率；⑵如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为•，求的分布列及E•【例52】某商场准备在国庆节期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从2种服装商品，2种家电商品，3种日用商品中，选出3种商品进行促销活动.⑴试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率；⑵商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得数额为m的奖数额m最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？。
二项分布及其应用
二项分布及其应用二项分布及其应用◇条件概率◇一、条件概率的定义与性质如果事件A发生与否，会影响到事件B的发生，在知道事件A发生的条件下去研究事件B时，基本事件空间发生了变化，从而B发生的概率也随之改变，这就条件概率要研究的问题。
1.定义：一般地，设A、B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率．2.性质：（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即．（2）如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝二、典型例题1、利用定义求条件概率例1：抛掷两颗均匀的骰子，问（1）至少有一颗是6点的概率是多少？（2）在已知两颗骰子点数不同的条件下，至少有一颗是6点的概率是多少？例2:抛掷红蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”。
（1）求P(A),P(B),P(AB);(2)在已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率。
2、利用缩小基本事件空间的方法求条件概率例1：一个口袋内装有4个白球和2个黑球，若不放回地抽取3次，每次抽一个小球，求（1）第一次摸出一个白球的情况下，第二次与第三次均是白球的概率。
（2）第一次和第二次均是白球的情况下，第三次是白球的概率。
例2：设10件产品中有4件次品，从中任取2件，那么（1）在所取得产品中发现是一件次品，求另一件也是次品的概率。
（2）若每次取一件，在所得的产品中第一次取出的是次品，那么求第二件也是次品的概率。
3、条件概率的性质及应用例1：在某次考试中，要从20道中随机地抽出6道题，若考试至少答对其中4道即可通过；若至少答对其中5道就获得优秀，已知某生能答对其中10道题目，且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率。
例2：把一副扑克牌（不含大小王）随机均分给赵、钱、孙、李四家，A={赵家得到6张梅花}，B={孙家得到3张梅花} （1）求P(B|A)(2)求P(AB)三、课堂练习1、把一颗骰子连续抛掷两次，已知在第一次抛出偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率是多少？2、一个盒子中装有6件合格产品和4件次品，不放回地任取两次，每次取一件。
二项分布及其应用题型总结汇编
二项分布专题训练一．选择题1．甲、乙两人独立地解同一问题，甲能解决这个问题的概率是1p ，乙能解决这个问题的概率是2p ，那么其中至少有1人能解决这个问题的概率是 （ D ）A ．21p p +；B ．21p p ⋅；C ．211p p ⋅-；D ．121(1)(1)p p ---.2．在一个盒子中有大小相同的10个球，其中6个红球，4个白球，两人无放回地各取一个球，则在第一个人摸出红球的条件下，第二个人也摸出红球的概率是 （ A ）A ．13；B ．23；C ．49；D ．59. 【解析】设“第一个人摸出红球”为事件A ，“第二个人摸出红球”为事件B ，则()11692105490C C P A A ⋅==，()11652103090C C P AB A ⋅==，则()()()5|9P AB P B A P A ==。
3．两个独立事件1A 和2A 发生的概率分别为1p 和2p ，则有且只有一个发生的概率为 .()()122111p p p p -+-4． (04年重庆) 甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5，计算：⑴三人各向目标射击一次，求恰有两人命中目标及至少有一人命中目标的概率；⑵若甲连续射击三次，求他恰好一次命中的概率.解：⑴设i A (3,2,1=i )表示事件“第i 人命中目标”，显然1A 、2A 、3A 相互独立，且7.0)(1=A P ，6.0)(2=A P ，5.0)(3=A P .三人中恰有两人命中目标的概率为44.0)(321321321=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅A A A A A A A A A P .三人中恰有至少有一人命中目标的概率为94.0)(1321=⋅⋅-A A A P .⑵设k A 表示“甲在第k 次命中目标”，3,2,1=k .显然1A 、2A 、3A 相互独立，且7.0)()()(321===A P A P A P .甲连续射击三次，恰好一次命中的概率为203.0)(321321321=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅A A A A A A A A A P .5．已知在10只晶体管中有2只次品，从中连续抽取两件，且取出的产品不再放回，求下列事件的概率.⑴两只都是正品； ⑵两只都是次品.解：设事件i A （1,2i =）表示第i 次取到正品，则i A 表示第i 次取到次品.依题意，()1810P A =，()217|9P A A =，()1210P A =，()211|9P A A =. ⑴12A A 表示第1次，第2次都取到正品，即表示两只都是正品，根据乘法公式()()()1212128|45P A A P A P A A ==. ⑵()()()121211|45P A A P A P A A ==. 另解：本题也可利用古典概型来解决.点评：本题中由于是两个都是正(次)品，由于是连续抽取且抽后不放回，故与条件概率有关.6．（04年福建·理）甲、乙两人参加一次英语口试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道，乙能答对其中的8道，规定每次考试都从备选题中随机地抽出3道，至少答对2道才算合格.⑴求甲答对试题数X 的概率分布分布；⑵求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.解：⑴依题意，甲答对题数X 的概率分布如下：⑵方法1：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为()P P A B A B A B =⋅+⋅+⋅()()()P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅211142144431531531545=⨯+⨯+⨯=.方法2：∵甲、乙两人考试均不合格的概率为1()()()45P A B P A P B ⋅=⋅=， ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为441()45P P A B =-⋅=. 7．（07年天津·文科）已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；解：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件B ．由于事件A B ，相互独立，且2327C 1()C 7P A ==，2329C 5()C 18P B ==，故取出的4个球均为红球的概率是 155()()()718126P A B P A P B ==⨯=．（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件D ．由于事件C D ，互斥，且 1123442279C C C 2()C C 21P C ==，1125242275C C C 10()C C 63P D ==．故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为21016()()()216363P C D P C P D +=+=+=．8．（01年天津）如图，用A 、B 、C 三个不同的元件联结成两个电子系统（Ⅰ）、（Ⅱ）。
《二项分布》知识点整理【DOC可编辑范文】
《二项分布》知识点整理二项分布的定义二项分布即重复n次的伯努力试验。
在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验二：超几何分布在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有件次品，抽检n件时所得次品数X=，则P此时我们称随机变量X服从超几何分布）超几何分布的模型是不放回抽样）超几何分布中的参数是,N,n上述超几何分布记作X~H。
二项分布：一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则=0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B，并记。
独立重复试验：独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验．一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生次的概率为此时称随机变量X服从二项分布，记作并称p为成功概率．独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的．独立重复试验概率公式的特点：是n次独立重复试验中某事件A恰好发生次的概率．其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，的意义，才能正确运用公式．二项分布的判断与应用：二项分布，实际是对n次独立重复试验从概率分布的角度作出的阐述，判断二项分布，关键是看某一事件是否是进行n次独立重复试验，且每次试验只有两种结果，如果不满足这两个条件，随机变量就不服从二项分布．当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果时，我们可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列．求独立重复试验的概率：在n次独立重复试验中，“在相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响，即…，n)是第i次试验的结果．独立重复试验是相互独立事件的特例，只要有“恰好”“恰有”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，要弄清n，p，的意义。
【高中数学】二项分布及其应用
【高中数学】二项分布及其应用一、条件概率1.定义：对任意事件A和事件B,在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。
记作P(B |A),读作A发生的条件下B的概率。
2.事件的交(积):由事件A和事件B同时发生所构成的事件D,称为事件A与事件B的交(或积)。
记作D=ANB或D=AB3. 条件概率计算公式：P(B | A)相当于把AB发生的概率：若P(A)>0,则P(AB)=P(B | A) · P(A)(乘法公式);O≤P(B | A)≤1 .4. 公式推导过程：5. 解题步骤：例1. 10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二个又取到次品的概率.解：设A={第一个取到次品},B={第二个取到次品}所以，P(B | A)=P(AB)/P(A)=2/9答：第二个又取到次品的概率为2/9.二、相互独立事件1. 定义：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
说明：(1)判断两事件A、B是否为相互独立事件，关键是看A(或B)发生与否对B(或A)发生的概率是否影响，若两种状况下概率不变，则为相互独立.(2)互斥事件是指不可能同时发生的两个事件.相互独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的概率没影响.(3)如果A、B是相互独立事件，则A的补集与B的补集、A与B的补集、A的补集与B也都相互独立.2. 相互独立事件同时发生的概率公式两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
则有：P(A●B)=P(A)●P(B)说明：(1)使用时，注意使用的前提条件；(2)此公式可作为判断事件是否相互独立的理论依据，即P(A · B )=P(A) · P (B)是A 、B 相互独立的充要条件. (3)如果事件Al,Az, … Aa 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
二项分布概率例题及解析精选全文
可编辑修改精选全文完整版二项分布概率例题及解析二项式概型答题高分策略、模板例析如下：二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k 次的概率.解题的一般思路是:根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n,p→将k值代入求解概率→写出二项分布的分布列.若离散型随机变量X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p),即其均值和方差的求解既可以利用定义,也可以直接代入上述公式.例1：某气象站天气预报的准确率为80%,计算(结果保留到小数点后第2位):(1)5次预报中恰有2次准确的概率;(2)5次预报中至少有2次准确的概率;(3)5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率.思路分析:直接代入公式求解,其中第(2)问可以利用对立事件求概率.令X表示5次预报中预报准确的次数,则X~B(5,4/5),故其分布列为反思：弄清“5次中有2次准确且第3次准确”表示的意义是求解第(3)问的关键,它表示第3次准确,其他4次有1次是准确的.总结：(1)独立重复实验的条件:①每次试验在相同条件下可重复进行;②各次试验是相互独立的;③每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生.(2)独立重复试验是相互独立事件的特例,只要有“恰好”“恰有”字样,用独立重复试验的概率公式计算更简单.(2)二项分布:一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,则事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率.例2：一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为1/2,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?思路分析:(1)X可能的取值为10,20,100,-200,运用几何概率公式得出相应的概率,得出分布列.(2)利用对立事件求解得出P(A1A2A3)=P(A1)∪P(A2)∪P(A3)=1/8,即可得出1-P(A1A2A3).。
高二理数 选修2-3 第2章 2.2 二项分布及其应用 Word版含解析
第章．二项分布及其应用．条件概率及其性质()对于任何两个事件和，在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件概率，用符号来表示，其公式为．在古典概型中，用表示事件中基本事件的个数，则()条件概率具有的性质：①；②如果和是两个互斥事件，则．温馨提示：求条件概率有两种方法．()定义法：．()基本事件法：若()表示试验中事件包含的基本事件的个数，则．相互独立事件()对于事件、，若的发生与的发生互不影响，则称、是相互独立事件．()若与相互独立，则，()＝()()＝()()．()若与相互独立，则与，与，与也都相互独立．()若()＝()()，则与相互独立．温馨提示：()在应用相互独立事件的概率公式时，对含有“至多有一个发生”、“至少有一个发生”的情况，可结合对立事件的概率求解．()运用公式()＝()·()时，要注意公式成立的条件，只有当事件和相互独立时，公式才成立．．二项分布()独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．()在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，则，此时称随机变量服从二项分布，记为，并称为成功概率．、如何判断一个随机变量是否服从二项分布？、求条件概率有两种方法是什么？．【辽宁实验中学期末】实验女排和育才女排两队进行比赛，在一局比赛中实验女排获胜的概率是，没有平局．若采用三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则实验女排获胜的概率等于．．．．．【河北邢台一中月考】甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以的比分获胜的概率为（）．．．．．【山东二模】箱中装有标号为，，，，，且大小相同的个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是的倍数，则获奖．现有人参与摸奖，恰好有人获奖的概率是．．．．．【江西南昌二中月考】随机变量服从二项分布～，且则等于（）、、、或、．【黑龙江哈六中一模】为了响应国家发展足球的战略，哈市某校在秋季运动会中，安排了足球射门比赛．现有名同学参加足球射门比赛，已知每名同学踢进的概率均为，每名同学有次射门机会，且各同学射门之间没有影响．现规定：踢进两个得分，踢进一个得分，一个未进得分，记为个同学的得分总和，则的数学期望为（）．．．．．【河北石家庄二中开学考试】随机变量服从二项分布～，且则等于（）．．．．．【黑龙江大庆四中期中】设随机变量～（，），η～（，），若，则（η≥）的值为（）．．．．．【甘肃宁夏平罗中学期末】已知随机变量～，若，，则．．【江苏盐城中学段考】设随机变量，，若，则．．【北京朝阳区三模】从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如。
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二项分布专题训练
一．选择题
1．甲、乙两人独立地解同一问题，甲能解决这个问题的概率是1p ，乙能解决这个问题的概率是2p ，那么其中至少有1人能解决这个问题的概率是 （ D ）
A ．21p p +；
B ．21p p ⋅；
C ．211p p ⋅-；
D ．121(1)(1)p p ---.
2．在一个盒子中有大小相同的10个球，其中6个红球，4个白球，两人无放回地各取一个球，则在第一个人摸出红球的条件下，第二个人也摸出红球的概率是 （ A ）
A ．13；
B ．23；
C ．49；
D ．59
. 【解析】设“第一个人摸出红球”为事件A ，“第二个人摸出红球”为事件B ，则()11692105490
C C P A A ⋅==，()11652103090
C C P AB A ⋅==，则()()()5|9P AB P B A P A ==。
3．两个独立事件1A 和2A 发生的概率分别为1p 和2p ，则有且只有一个发生的概率为 .()()122111p p p p -+-
4． (04年重庆) 甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5，计算： ⑴三人各向目标射击一次，求恰有两人命中目标及至少有一人命中目标的概率；
⑵若甲连续射击三次，求他恰好一次命中的概率.
解：⑴设i A (3,2,1=i )表示事件“第i 人命中目标”，显然1A 、2A 、3A 相互独立，且7.0)(1=A P ，6.0)(2=A P ，5.0)(3=A P .
三人中恰有两人命中目标的概率为
44.0)(321321321=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅A A A A A A A A A P .
三人中恰有至少有一人命中目标的概率为
94.0)(1321=⋅⋅-A A A P .
⑵设k A 表示“甲在第k 次命中目标”，3,2,1=k .显然1A 、2A 、3A 相互独立，且7.0)()()(321===A P A P A P .
甲连续射击三次，恰好一次命中的概率为
203.0)(321321321=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅A A A A A A A A A P .
5．已知在10只晶体管中有2只次品，从中连续抽取两件，且取出的产品不再放回，求下列事件的概率.
⑴两只都是正品； ⑵两只都是次品.
解：设事件i A （1,2i =）表示第i 次取到正品，则i A 表示第i 次取到次品.
依题意，()1810P A =，()217|9P A A =，()1210P A =，()
211|9P A A =. ⑴12A A 表示第1次，第2次都取到正品，即表示两只都是正品，根据乘法公式
()()()1212128|45P A A P A P A A ==
. ⑵()()()121211|45
P A A P A P A A ==. 另解：本题也可利用古典概型来解决.
点评：本题中由于是两个都是正(次)品，由于是连续抽取且抽后不放回，故与条件概率有关.
6．（04年福建·理）甲、乙两人参加一次英语口试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道，乙能答对其中的8道，规定每次考试都从备选题中随机地抽出3道，至少答对2道才算合格.
⑴求甲答对试题数X 的概率分布分布；
⑵求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.
解：⑴依题意，甲答对题数X 的概率分布如下：
⑵方法1：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
()P P A B A B A B =⋅+⋅+⋅()()()P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅
211142144431531531545
=⨯+⨯+⨯=. 方法2：∵甲、乙两人考试均不合格的概率为1()()()45P A B P A P B ⋅=⋅=
， ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为441()45
P P A B =-⋅=. 7．（07年天津·文科）已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
解：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件B ．由于事件A B ，相互独立，且
2327C 1()C 7P A ==，2329C 5()C 18
P B ==， 故取出的4个球均为红球的概率是
155()()()718126
P A B P A P B ==⨯=g g ． （Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件D ．由于事件C D ，互斥，且
1123442279C C C 2()C C 21P C ==g ，1125242275C C C 10()C C 63
P D ==g ． 故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为
21016()()()216363
P C D P C P D +=+=+=． 8．（01年天津）如图，用A 、B 、C 三个不同的元件联结成两个电子系统（Ⅰ）、（Ⅱ）。
当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统（Ⅰ）正常工作；当元件A 正常工作且B 、C 至少有一个正常工作时，系统（Ⅱ）正常工作。
已知元件A 、B 、C 正常工件的概率依次为0.80、0.90、0.90，分别求系统（Ⅰ）、（Ⅱ）正常工作概率1P 、2P ，并说明哪个系统的稳定性好.
解：分别记元件A 、B 、C 正常工作为事件A 、B 、C ，
由已知()0.80P A =，()()0.90P B P C ==，则：
⑴因为事件A 、B 、C 是相互独立的，所以系统（Ⅰ）正常工作的概率为
1()()()()0.648P P A B C P A P B P C =⋅⋅=⋅⋅=。
⑵因为元件A 正常工作与元件B 、C 至少有一个正常工作是相互独立的，而B 、C 没有一个正常工作的概率为()P B C ⋅，于是B 、C 至少有一个人正常工作的概率为1()()0.99P B P C -⋅=， ∴系统（Ⅱ）正常工作概率2()[1()]0.792P P A P B C =⋅-⋅=。
（Ⅰ）
（或()()()()0.99P B C P B P C P B C +=+-⋅=）。