弹性波动方程数值解的有限元并行算法
弹性力学的有限元求法
形态函数的几何意义
1 Ni 2A (ai bi x ci y)
1x y
Ni
11 2A
xj
yj
1 xm ym
Ni
SPJM SMIJ
Nj
SPMI SIJM
Nm
SPIJ SIJM
任意一点P的形态函数Ni是点P与结点I的对边所构 成的三角形面积与整个单元面积之比。
2.3单元载荷移置
有限元法的求解对象是单元的组合体，待求解 的未知变量都定义在单元的结点上，因此作用 在弹性体上的外力，需要移置到相应的单元结 点上成为结点载荷。
)T {P}
( xp, yp)
由于虚位移是任意的，
{R}e ([N ]
)T {P}
( xp, yp)
(2-16)
例2.3、在均质，等厚的三角形单元ijm的一点p （0.25a, 0.5a）上作用有集中载荷Px, Py。
Rxi Ni
Ryi
0
Rxj Ryj
Nj 0
Rxm
N
a1 a4
a2 a5
x x
a3 a6
y y
(2-6)
将3个结点上的坐标和位移分量代入公式（2-6） 就可以将六个待定系数用结点坐标和位移分量 表示出来。首先计算位移分量u的系数，
ui a1 a2 xi a3 yi u j a1 a2 x j a3 y j um a1 a2 xm a3 ym
图5.4 抛物线形单元及节点位置
2. 单元划分要注意的几个问题 (1) 相邻两个单元的节点要与节点重合（外节点与外节点、内节点 与内节点），不能与无节点边重合。
( ,)
(2) 单元不必是相同尺寸，应力有突变的地方，单元划分应较小。 (3) 任何一个单元必须只能在一种材料区，即它不能跨越两种材料
弹性波正演模型的快速有限元算法
弹性波正演模型的快速有限元算法
钱勇先
【期刊名称】《石油地球物理勘探》
【年(卷),期】1990(000)003
【摘要】用有限元法做弹性波正演模型计算已进入实用阶段,但有限元法所要求的大存储量和计算速度慢的缺点依然存在。
本文在深入分析有限元算法的基础上,注意到刚度矩阵,耦合矩阵在特殊单元中的对称性、耦合矩阵具有的转置性及某些特殊特征,采用正方形单元并将与节点相乘的元素归并到时间离散中运算,使计算速度提高一倍,使整体矩阵的存放量减少一半。
文中最后给出了一个计算实例,证实该快速算法的正确性。
【总页数】8页(P260-266,378)
【作者】钱勇先
【作者单位】江汉石油学院物探系
【正文语种】中文
【中图分类】TE13
【相关文献】
1.弹性波动方程数值解的有限元并行算法 [J], 王月英;孙成禹
2.一种基于矢量有限元与多层快速多极子技术的电磁散射快速并行算法 [J], 袁军;刘其中;郭景丽
3.基于能量最小化原理的弹性波CT成像频域有限元反演算法 [J], 薛龙;刘天云;张建民
4.拟地震法电磁波场有限元法正演模型 [J], 沈飚;何继善
5.基于能量最小化原理的弹性波CT成像频域有限元反演算法 [J], 薛龙;刘天云;张建民;
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第八章 弹性连续体振动的有限元解
205第八章 弹性连续体振动的有限元解上一章讨论的弹性连续体振动问题都只是在简单的特殊边界情况下才能得到精确解，而对于复杂弹性连续体的振动，通常无法得到精确解。
因此，只能采用近似解，近似解方法很多，其要旨在于将无限自由度系统（连续体）变换成为有限多自由度系统（离散系统）来处理。
下面仅介绍现代工程中常用的有限元分析法（简称有限元）。
有限元的基本思想是将一个复杂结构（连续系统）看成是有限个基本元素（单元）在有限个结点彼此相联结的组合结构。
每个单元都是一个弹性体。
有限元法通常是采用位移法，即以结点处的位移作为基本未知量，单元的位移是用结点位移的插值函数表示，单元以至整个结构的一切参数包括位移、应变、应力等都通过结点位移表示出来。
从振动问题来看，最后是将一个连续体的振动问题变成了一个以有限个结点位移为广义坐标的多自由度系统的振动问题。
由于平面刚架所采用的单元综合有受轴向力杆及横向弯曲的两种作用，因此本节着重通过平面刚架（杆系结构）的振动为例来阐明有限元的基本概念与分析步骤。
有限单元法分析过程基本上可分为结构离散化、单元分析、整体分析三个步骤。
一. 结构的离散化如图8-1所示平面刚架，它由三根杆件组成，杆件之间通过刚结点2、3相互连接，若在某些结点上受有作用在刚架平面内的激扰力，这就是一个平面刚架的振动问题。
结构的离散化就是将结构分成若干个单元。
在此例中，取三个杆各为一个单元。
共分成三个单元，在图中分别以①、②、③标明各单元的标号。
各单元之间以及它们与基础的联结点称为结点。
结点编号分别为1、2、3、4。
结点1、4是杆件和基础固定联结的结点，它们不能运动，称为固定结点。
2、3点是杆件间的联结点，是可以运动的，称为可动结点。
可动结点的数目乘以每个结点的基本未知量的数目就是整个结构的自由度数。
对于工程结构来说，结构划分的单元愈多，则结构的自由度数愈多，计算工作量就愈大，但计算结果愈有可能趋于精确解，因此在结构离散化过程中，划分单元的多少，应综合考虑精确度与计算工作量的因素。
第二章 弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达格式
第二章 弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达格式 2.1 引言本章将讨论通过弹性力学变分原理建立弹性力学问题有限元法列式的基本步骤。
最小位能原理的未知场变量是位移，以结点位移为基本未知量，并以最小位能为基础建立的有限单元位移元。
它是有限元方法中应用最普遍的单元。
对于一个力学或物理问题，在建立其数学模型以后，用有限元方法对它进行分析的首要步骤是选择单元形式。
平面问题三结点三角形单元是有限元方法最早采用，而且至今仍经常采用的单元形式。
我们将以此作为典型，讨论如何应用广义坐标建立单元位移模式与位移插值函数，以及如何根据最小位能原理建立有限元求解方程的原理、方法与步骤，并进而导出弹性力学问题有限元方法的一般列式。
2.2 弹性力学平面问题的有限元列式2.2.1 单元位移模式及插值函数典型的三结点三角形单元结点编码为i,j,m 。
每个结点有两个位移分量，如图2.2所示。
每个结点的位移可用位移矢量i α表示，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡=i i i v u α ),,(m j i每个单元有6个结点位移分量（称为6个自由度），于是单元结点的位移向量可表示为[]Tm m j j i im j i e v u v u v u =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=ααααe α为单元结点位移列阵。
1．单元的位移模式和广义坐标在有限元方法中单元的位移模式，是指在单元内位移的插值函数，其一般形式采用多项式作为近似函数，因为多项式运算简单，并且随着项数的增多，可以逼近任何一段光滑的函数曲线。
假设3结点三角形单元位移模式选取一次多项式y x u 321βββ++=y x v 654βββ++= （2.2.1）它的矩阵形式是φβ=u （2.2.2）其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=v u u ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ϕϕφ00 []y x 1=ϕ[]T 654321βββββββ=由于三个结点也在单元内，满足位移模式，于是得i i i y x u 321βββ++=j j j y x u 321βββ++= （2.2.3） m m m y x u 321βββ++=上式是关于321,,βββ的线性方程组。
2 弹性力学与有限元法
•剪应力
图1
2013-7-21
8
Institute of Mechanical Engineering and Automation
[ 应力的概念 ]
•正应力 为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个 角码，例如，正应力σx是作用在垂直于x轴的面上同时也 沿着x轴方向作用的。 •剪应力 加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐 标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。例如， 剪应力τxy是作用在垂直于x轴的面上而沿着y轴方向作用的。
[ 几何方程、刚体位移 ]
•求剪应变 xy ，也就是线素AB与AD之间的直角的改变 •x向线素AB的转角 a y向线素AD的转角 b
y
u u dy y
C'
v
v dy y
D" b D '
D C
•A点在y方向的位移分量 为v； •B点在y方向的位移分量：
v
u
A
A'
a
dy
B'
v v dx x
连续性假设
2013-7-21
完全弹性假设 均匀性和各向同性假设 小变形、小转动假设 自然状态假设（无初始应力）
4
Institute of Mechanical Engineering and Automation
基本定律
牛顿定律
动量平衡原理
⇨ 平衡(运动)微分方程
⇨ 应力张量的对称性
u dx x
u
A'
a
A dx 0
2013-7-21
B
u u dx x
B"
x
图2
弹性体力学数值模拟算法
弹性体力学数值模拟算法弹性体力学数值模拟算法是一种用于模拟弹性材料力学行为的数值计算方法。
该算法可以通过计算机模拟得出弹性体的应力分布、变形情况以及其他相关参数，为工程设计、科学研究以及现实世界中的弹性材料应用提供了有力支持。
一、弹性体力学概述弹性体力学是研究物体由于外力而发生形变时的力学行为，主要关注物体的应力、应变以及相应的力学性质。
弹性体力学数值模拟算法正是基于这些力学特性进行计算。
在弹性体力学中，弹性模量、剪切模量以及泊松比等参数是十分关键的。
弹性体力学数值模拟算法通过考虑这些参数，结合物体的几何形状以及外力条件，利用计算方法来模拟物体的力学行为。
二、有限元法数值模拟算法有限元法是弹性体力学数值模拟算法中常用的一种方法。
该方法将弹性体划分为许多小的有限单元，在每个单元内进行数学计算，再通过组合这些小单元的结果，得出整个弹性体的力学行为。
具体而言，有限元法首先进行网格划分，将弹性体分割成许多小单元，然后在每个单元内利用数学公式推导出该单元的力学行为。
这些小单元之间通过边界条件相互连接，构成整个体系。
最后，通过求解线性方程组，得到弹性体的应力分布和变形情况。
有限元法数值模拟算法的优点是适用于各种复杂形状的弹性体，并且精度较高。
然而，该方法在处理大规模模拟问题时，计算量较大，需要较高的计算资源。
三、有限差分法数值模拟算法有限差分法是另一种常用的弹性体力学数值模拟算法。
该方法将弹性体通过网格划分为一系列小的节点，在每个节点处利用差分近似推导出该节点的力学行为。
有限差分法通过离散化的方式，将偏微分方程转化为差分方程，再通过求解这些差分方程得到相应的力学参数。
这个过程类似于对输出信号进行采样，将连续的物理问题离散化为一个个节点上的差分问题。
有限差分法数值模拟算法的优点是计算较为简单，容易实现。
但是对于复杂形状的物体，可能需要更多的节点和更小的步长来保证计算精度。
四、其他数值模拟算法除了有限元法和有限差分法，还有其他一些弹性体力学数值模拟算法，如边界元法、网格无关法等。
有限元与数值方法-讲稿6-7 弹性力学有限元的一般原理与格式
1 1 x1 y1 u1 u 1 x y 2 2 2 2 1 x y u 3 3 3 3
1 x1 y 1 x2 1 x3 y1 y2 y3
0 N1
N2 0
e B
0 N2
N3 0
B2
B3
Bi
N i x 0 N i y
0 N i y N i x
则单元内应变可表示为：
B1 1e B2 2e B3 3e
有限元与数值方法第6讲
授课教师：刘书田
Tel：84706149； Email：stliu@ 教室：综合教学楼 351
时间：2013年4月19日：8：00—10：50
1
第二篇：弹性力学有限元的基本理论和格式
2.1 弹性力学有限元的一般格式 平面问题的有限元格式 弹性力学有限元的一般格式和求解步骤 有限元解的性质和收敛准则 2.2 单元与插值函数的构造 2.3 等参元与数值积分 等参元与数值积分 典型的等参单元 2.4 有限元法应用中的实际考虑 建立有限元模型： 计算结果的性质和处理 子结构法 对称性和周期性的利用 非协调元与分片实验
18
单元应力矩阵
应力：
x y D D B e xy
S e
[ S ] [ D][B]
称为单元应力矩阵
19
单元应变能和外力势能的矩阵表达
应变能 U为： y
ui i b j 0 bm 0 u j 0 c j 0 cm j c j b j cm bm u m m
弹性力学及有限元
热传导案例
总结词
热传导是有限元分析中用于模拟物体内部热量传递规律的应用之一。
详细描述
在电子、机械、化工和材料等领域，热传导分析用于研究材料的热性能、热应力和热变形等。通过有 限元方法，可以模拟物体内部的热量传递过程，预测温度分布和热应力分布，优化材料和系统的热设 计。
06
结论展望
结论
01
02
有限元分析
有限元分析是一种数值分析方法，通过将复杂的物体或系统离散 化为有限个小的单元（或称为元素），并分析这些单元的应力、 应变和位移，从而对整个物体或系统的行为进行预测和分析。
主题的重要性
工程应用
弹性力学和有限元分析在工程领域中具有广泛的应用，如结 构分析、机械设计、航空航天、土木工程等。通过这些方法 ，工程师可以更准确地预测和分析结构的性能，优化设计， 提高安全性。
03
04
研究意义
弹性力学及有限元分析在工程 领域具有广泛应用，为复杂结 构的分析提供了有效方法。
主要成果
本文系统地介绍了弹性力学的 基本原理和有限元分析的方法 ，并通过实例验证了其有效性 。
研究限制
由于时间和资源的限制，本研 究未能涵盖所有相关领域，未 来研究可进一步拓展。
对实践的指导意义
本文为实际工程中的结构分析 提供了理论依据和实践指导， 有助于提高结构的安全性和稳 定性。
优势
有限元方法具有广泛的适用性，可以用于求解各种复杂的物理问题；能够处理 复杂的几何形状和边界条件；可以通过增加单元数目来提高解的精度；可以方 便地处理非线性问题和材料非均质性问题等。
局限性
有限元方法需要较大的计算资源和时间，尤其对于大规模问题；对于某些特殊 问题（如高速冲击、爆炸等），需要采用特殊处理方法；对于多物理场耦合问 题，需要采用多场耦合有限元方法等。
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e M
和
w
e M
分别为 x
和z
方向的位移函数;
u
e M
为 ueM 对时间的二阶导数; i 为局部有限元插值函
数。
得到整体有限元运动方程为
M Ui + K 1 U i + L1 Wi = 0;
MW i + K 2 Wi + L 2 Ui = 0.
( 2)
其中
K1 =
v
2 P
K
1e MN
+
v
2 S
KM2eN
区域 的整体 参数 矩阵
MiM N
,
K
1i MN
,
K
2i MN
,
L
1i MN
和
L
2i MN
,
p
R=
R
i MN
.
i= 1
式中, i 为 CPU 序号( 0
K 2, L 1 和 L 2。
( 4) i < p ); R 代表 M , K1,
求解空间的分配 情况是将原串行算法中一个
CPU 上的空间量和计算量分担到 p 个 CPU 上, 如图
自 1976 年哥伦比亚大学研究人员首次将有限 元法引入到地震波研究领域以来, 许多学者就该方 法做了大量研究, 先后对比了模拟弹性波传播的有 限差分法和有限元法的精度[ 1] , 研究了地震波在不 同介质中的传播性质, 以及处理三维弹性波动方程 的思路; 研究了三角形有限单元、正方形有限单元、 不规则四边形有限单元以及矩形和三角形的混合有 限单元[ 2] 下地震波数值模拟, 以及地震波模拟的低 阶和高阶有限元法[ 3] 。有限元法有其独特的优势: 能够模拟任意不规则的地质体, 不受边界几何条件 的限制; 能够简单地处理自由边界条件; 可以方便地
大空间量和运算量的需求。此算法具有理论上的正确性和实践上的可行性。
关键词: 有限元; 并行算法; 弹性波动方程; 数值模拟; 块 三对角矩阵
中图分类号: P 315. 31
文献标识码: A
Finite element parallel algorithm for numerical solution of elastic wave equation
1 所示。
图 1 整体有限元分到 p 个 CPU 上的分配情况
2. 2 线性方程组并行求解 线性方程求解是正演模拟中重要部分, 也是耗
时最多的部分。在时间上需要递推求解运动方程, 采 用传统的串行算法, 巨大的内存量使得巨型方程组 的求解速度极慢。以 159 159 的剖分为例, 节点数 为 160 160 个, 每一节点有两个位移分量 u 和 w , 每一个总体参数矩阵行数为 51 200, 带宽为 323, 采 用带状存储, 共需要内存约 80 MB。此外, 若根据需 要细分网格, 减小时间上的递推步长, 则需要更多的 内存量和运算时间, 这是单 CPU 串行算法的局限。
WANG Yue- ying , SUN Cheng- yu
( Faculty of Geo-Resource and I nf or mation in China University of Petroleum , Dongying 257061, Shandong Pr ovince, China)
模拟任意震源; 能适应变速不均匀介质情况等优点。 然而有限元法也有其巨大的局限性, 需要巨大的空 间量和计算量, 而计算机的空间和运算能力是有限 的, 外加地震波方程较其他领域的控制方程复杂, 所 以, 有限元不能满足在实际生产中的要求。随着计 算机硬件的发展, 高性价比微机群的出现和基于消 息传递的并行平台的不断完善, 为有限单元法在地 震波场正演模拟中的发展提供了新的空间。有限元 法的 化整为零、集零为整 的基本思想[ 4] 与并行处 理技术的基本原则 分而治之 基本 一致[ 5] 。笔者 采用多 CPU 的并行处理方法, 以有效满足有限元法
各研究所和高等院校。在新的计算环境下继续研究
有限元法, 增强了有限元法在实际资料处理中的可
行性。采用并行求解, 把求解区域分到多个 CPU 上, 既克服了单 CPU 的物理限制, 又提高了运算速度。
并行求解的思路可以从两个方面并行, 一方面是有
限元参数矩阵的并行计算; 另一方面是线性方程组
的并行求解。
每一 有 限单 元应 满足 文献 [ 6] 中式 ( 18) , 化 简 式
( 18) , 得
MeMN
u
e M
+
(
v
2 P
K
1e MN
+
v
2 S
K
2e MN
)
u
e M
+
(
v
2 P
L
1e MN
-
2v
2 S
L
1e MN
+
v
2 S
L
2e MN
)
w
e M
=
0;
MeMN
w
e M
+
(
v
2 P
KM2eN
+
v
2 S
K
1e MN
)
w
e M
+
(
v
2 P
L
2e MN
-
2v
2 S
L
2e MN
+
v
2 S
L
1e MN
)
u
e M
=
0.
( 1) 其中
MeMN =
m
ndx dz ,
K
1e MN
=
m
x
n
x
d
x
d
z
,
A
A
K
2e MN
=
A
m
z
zndxdz ,
L
1e MN
=
A
m
z
n
x
d
x
dz
,
L
2e MN
=
A
m
x
n
z
d
x
d
z
.
式中,
u
,
K2 =
v
2 P
K
2e MN
+
v
2 S
KM1eN
,
L1 =
v
2 P
LM1eN
ห้องสมุดไป่ตู้
-
2v
2 S
L M1 eN
+
v
2 S
LM2eN
,
L2 =
v
2 P
LM2eN
-
2v
2 S
L M2 eN
+
v
2 S
LM1eN
.
U 和 W 分别为 x 和 z 方向上的位移矢量。通常将式
( 2) 统一为一个运动方程式为
MVi + K Vi = 0.
( 3)
式中, M 为系统质量矩阵; K 为系统刚度矩阵; V 为
节点位移矢量; V 为 V 对时间的二阶导数。
采用有限差分法来求解运动方程( 3) , 将最终化
为求解线性方程问题。
2 有限元并行求解
基于单 CPU 的串行算法的物理限制, 难以满足 有限元法高内存量和大运算量的要求, 制约了有限 元法的进一步发展。计算机硬软件技术的发展, 高性 价比微机群逐步代替了昂贵的工作站、巨型机进入
3 实现方案
采用多 CPU 的有限元并行算法求解弹性波动
方程, 有效地克服了传统的基于单一 CUP 的串行算 法的不足, 具体实现思路如下:
( 1) 把求解空 间离散为一系列有限单元, 并对
节点标号。
( 2) 根据 求解空 间确 定 CPU 的个 数 p ( p = 2q ) , 将求解空间等分到各个 CPU 上, 以确保生成的
王月英, 孙成禹
( 中国石油大学 地球资源与信息学院, 山东 东营 257061)
摘要: 在求解弹 性波动方程中, 有限元法的高 内存量和巨大运算 量的需求在基于单 CP U 串行算法中 一直难于满足,
制约其 优势的发挥。根据有限元法的 化整为零、集零 为整 的 基本思 想与并行 处理技 术的 分 而治之 的 原则基 本
收稿日期: 2006- 03- 09 作者简介: 王月英( 1977- ) , 女( 汉族) , 山东沾化人, 博士研究生, 主要从事地震波理论与方法研究。
28
中国石油大学学报( 自然科学版)
2006 年 10 月
的高内存量和巨大运算量的需求。
1 弹性波动方程数值解有限元算法
以二维问题为例, 根据变分原理和虚功原理, 在 无外力作用的情况下处于运动平衡状态的弹性体,
2006 年 第 30 卷 第 5期
中国石油大学学报( 自然科学版) Jour nal of China U niv ersity of Petroleum
文章编号: 1673- 5005( 2006) 05- 0027- 04
V ol. 30 No. 5 Oct. 2006
弹性波动方程数值解的有限元并行算法
一致, 采用基于多 CP U 的并行算法, 从有限 元参数矩阵计算和线 性方程组求解两个 方面入手, 把求解区域分到多 个
CPU 上并行计算参数矩阵, 对线性方程组采用循环块三 对角线方 程组进 行并行 求解。对比 了不同 大小空 间和不 同
CPU 个数下的加速比, 证实了多 CPU 的并行算法 能够克服基于单 CP U 串行算法的 物理限制, 满足了有 限元法的 巨
线性方程组并行求解方法分为直接法和迭代法
两类。线性方程组并行直接解法的优点是算法稳定