一元二次方程求根公式流程图
一元二次方程的求根公式推导过程
一元二次方程的求根公式推导过程《初中生看过来：一元二次方程求根公式推导》同学们，咱们今天来聊聊一元二次方程的求根公式是咋来的。
比如说有个一元二次方程：$x^2 + 3x 4 = 0$。
咱们想把这个方程的解找出来，就得推导求根公式。
咱们先假设方程$ax^2 + bx + c = 0$，其中$a$不等于 0。
然后呢，我们用配方法来搞一搞。
先把方程两边同时除以$a$，得到$x^2 + \frac{b}{a}x +\frac{c}{a} = 0$。
\[\begin{align}x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2}{4a^2} \frac{c}{a}\\(x + \frac{b}{2a})^2=\frac{b^2 4ac}{4a^2}\end{align}\]然后开平方，就得到了求根公式：$x = \frac{b \pm \sqrt{b^2 4ac}}{2a}$。
是不是挺神奇的？以后遇到一元二次方程，就可以用这个公式轻松求解啦！《高中生朋友，一起探索一元二次方程求根公式》嘿，高中生们！咱们来深入探究一下一元二次方程的求根公式是怎么推导出来的。
我们都知道一般形式是$ax^2 + bx + c = 0$，（$a≠0$）。
咱们开始动手推导。
先把方程两边同除以$a$，变成$x^2 +\frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$。
然后，我们想办法把左边凑成一个完全平方式。
给方程两边加上$\frac{b^2}{4a^2}$，就得到了$(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 4ac}{4a^2}$。
以后解题的时候，这个公式可是大有用处，能让咱们快速求出方程的根。
《大学生，重温一元二次方程求根公式推导》亲爱的大学生们，今天咱们来重温一下一元二次方程求根公式的推导过程。
比如说有个方程$3x^2 + 2x 5 = 0$。
一般式是$ax^2 + bx + c = 0$，且$a≠0$。
一元二次方程的求根公式及根的判别式
一元二次方程的求根公式及根的判别式主讲：黄冈中学高级教师余国琴一、一周知识概述1、一元二次方程的求根公式将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为．该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.2、一元二次方程的根的判别式（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．二、重难点知识1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。
(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。
(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。
(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。
如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。
(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。
2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是三、典型例题讲解例1、解下列方程：(1)；(2)；(3).分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，解：(1)因为a=1，，c=10所以所以(2)原方程可化为因为a=1，，c=2所以所以.(3)原方程可化为因为a=1，，c=－1所以所以；所以．总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行．例2、用适当方法解下列方程：①②③④⑤⑥⑦分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。
2.1 一元二次方程(求根公式法)
-2 16 x= • 得 -6 1 • 所以 x1 ，x 2 1 3
-b b2 - 4ac x= 2a
9
• （2）原方程可化为 x2+2x-8=0
-b b - 4ac • 将 a=1,b=2,c=-8代入 x = 2a -2 36 • 得， x = 2
2
• 所以
x1 2，x2 4
10
• 总结： • 1、求根公式与根的判别业： • 1、教材 P23 第3、4、题（作业本上） • 2、练习册做到P19
11
感谢您的关注
12
• 对于 x2+mx ，在 x2+mx 后面加一次项的系数m的一半的平方，
为了保持相等再减去一次项的系数m的一半的平方。
• 2、ax2+bx, (即二次项系数不是1的)
• 对于ax2+bx，先提取a，即先化二次项系数为1，再配方。注意 保持式子相等
3
• 3、平方根的定义和平方根的表示： • 定义：如果x2=a,那么x叫做a的平方根； • 表示： • 当a˃0时，a的平方根有两个，且互为相反数， 记作 （正的根）、 a （负的根）； a • 当a=0时，因为 02=0 ，所以0的平方根为0， 有
2a
4a2
• 这就是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式
•
（2）当b2-4ac=0时，解方程,得
x1 = x 2 = -
• 为原方程两个相等的根；(1)中的公式仍成立。
b 2a
• （3）当b2-4ac˃0时，原方程无实数根。
7
• 例1 用求根公式法解方程 5x2+2x-3=0
-b b2 - 4ac • 解：将a=5,b=2,c=-3代入 x = 2a -2 64 • 得 x= 10
初中资料一元二次方程求根公式及解法
一元二次方程求根公式及解法一元二次方程指的是假如含有一个未知数，并且未知数项的极为高次数是2的整式方程，这篇文章给大家分享一元二次方程的解法。
只成分一个未知数（一元），并且未知数项的比较高量是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程经过整理都可化成一般形式aX²+bX+c=0（a≠0）.其中aX²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
（一）开平方法形如(X-m)²=n (n≥0)一元二次方程可以直接开平代数方程方法求得解为X=m±√n。
①等号左边是数的平方的形式而等号右边是一个常数。
②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。
③方法是根据平方根的意义开平方。
（二）配方法用配方法解一元二次方程的方法：①把原方程化为一般为形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把自旋项移到方程右边；③方程两边同时加上六次一次项系数四分之一的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤进一步通过直接开平方法求出的解，如果右边是非负数，则定理有两个实根；如果右边是一个负数，则定理有一对共轭虚根。
（三）求根公式用求根法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式aX²+bX+c=0，确定a,b,c的值（注意符号）；②求出判别式△=b²-4ac的值，判断根的情况.若△;0原方程无实根;若△;0，X=((-b)±√(△))/(2a)把方程化成一般为形式aX²+bX+c=0，求出判别式△=b²-4ac的值当Δ=大于0时,x=[-b±(b²-4ac)^(1/2)]/2a，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0 时，方程有两个相等的算子根；当Δ小于0时，方程无实数根，但有2个共轭复根。
一元二次方程的求根公式
教学目标：
1、会用配方法解方程ax2+bx+c=0 （a≠0）
2、理解方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式
复习： 用配方法解方程2x -5x+2=0
2
5 解：两边都除以2，得 x x 1 0 2
2
系数化为1 移项 配方
5 移项，得 x x 1 2 2
2
2
5 25 5 配方，得 x x 1 2 16 4
5 9 x 即 4 16
2
5 3 开方，得 x 4 4
，x2=2
开方
1 x2 2
∴ x1 2
定解
概括总结
1.对于二次项系数不为1的一元二次方程， 用配方法求解时首先要怎样做 ？
首先要把二次项系数化为1
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）系数化为1 （2）移项 （3）配方 （4）开方 （5）求解 （6）定根
=
用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0
(a≠0)
∵a≠0 4a2＞0 ∴当b2-4ac≥0 时
用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0
(a≠0)
∵a≠0 当b2-4ac≥0 时
一元二次方程的求根公式： 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的求根公式为：
利用这个求根公式可 以求出所有一元二次 方程的根。
总结：
1、配方法解方程：ax2+bx+c=0 (a≠0)
2、一元二次方程的求根公式的推导。
一元二次方程式求根公式法
一元二次方程式求根公式法一元二次方程式是一个由二次项、一次项、常数项组成的方程，它的求根公式又称“二次公式”，也可以用展开式得到。
一元二次方程式求根公式法是一种有效的求解一元二次方程式的方法，它是一元二次方程式解法中最简便、最容易上手的解法。
一元二次方程式求根公式法是以一元二次方程式的标准型式：ax+ bx + c = 0为基础，利用它的求根公式：x= [-b√ (b-4ac)]/2a求出一元二次方程式的两个根的方法。
首先，将一元二次方程式化为标准型式，即：ax+ bx + c = 0。
将a, b, c 代入求根公式：x= [-b√ (b-4ac)]/2a，算出x的两个值：一个是负号，另一个是正号。
其次，根据符号，计算出x的绝对值。
由于b-4ac可能大于0，也可能小于0，因此得到的结果有可能是一个实数，也有可能是两个实数（实部与虚部）。
最后，将x的绝对值带回到一元二次方程式中，以确定一元二次方程式的两个根。
一元二次方程式求根公式法是一种有效的求解一元二次方程式的方法，它是一元二次方程式解法中最简便、最容易上手的解法。
一元二次方程式的解也可以用图形法求出，首先，要将一元二次方程式化为y=f(x)的形式，然后在数轴上画出图形，图形中的交点就是方程的根。
但是这种方法只能求出近似解，而且计算量也比较大，不如一元二次方程式求根公式法直接求出精确解。
一元二次方程式求根公式法有很多实际应用，如生活中的几何问题，如：求圆的面积、周长、圆心角等；或者在物理、化学中求解许多物理量的关系，如力的平衡、物体的运动等。
因此，一元二次方程式求根公式法在学习中同样重要，它可以帮助我们快速算出一元二次方程式的解，熟练掌握二次公式对于理解各个科学问题也有很大的帮助。
综上所述，一元二次方程式求根公式法是一种简便、有效的求解一元二次方程式的方法，它可以快速算出一元二次方程式的解，并且在学习中有着重要的作用，是科学研究的重要基础之一。
九年级数学 用公式法求解一元二次方程》(共21张PPT)
2、解下列方程: (1) x2-2x－8＝0； (2) 9x2＋6x＝8； (3) (2x-1)(x-2) =-1;
1.x1 2; x2 4.
2.x1
2 3
;
x2
4 3
.
3.x1
1;
x2
3. 2
3、不解方程判断下列方程根的情况:
（1）2x2+5=7x
（2）4x（x-1)+3=0
次项系数绝对值一半的平方；
x
b
2
2a
b2 4ac 4a2 .
4.开方:根据平方根意 义,方程两边开平方
当b2 4ac 0时,
b
b2 4ac
x
.
2a
2a
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
结论：
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0), 当b2-4ac ≥0时，它的根是：ac＜0时，原方程无解． 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式， 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．
【例1】解方程：x2-7x-18=0．
【解析】这里 a=1, b= -7, c= -18.
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,
x
7
121 21
7
11 2
,
即：x1=9, x2= -2．
【例2】解方程： 4x2 1 4x
【解析】化简为一般式得
4x2 4x 1 0
这里 a=4, b= -4 , c= 1.
∵b2 - 4ac=( )42 - 4×4×1=0,
一元二次方程求根公式
一、一周知识概述1、一元二次方程的求根公式将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为．该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.2、一元二次方程的根的判别式（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．二、重难点知识1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。
(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。
(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。
(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。
如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。
(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。
2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是三、典型例题讲解例1、解下列方程：(1)；(2)；(3).分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，解：(1)因为a=1，，c=10所以所以(2)原方程可化为因为a=1，，c=2所以所以.(3)原方程可化为因为a=1，，c=－1所以所以；所以．总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行．例2、用适当方法解下列方程：① ②③ ④⑤ ⑥⑦分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。
18.2一元二次方程的解法求根公式法(沪科版)
在一元二次方程 ax2 bx c 0 (a 0)
中，如果b2-4ac＜0，那么方程无实数根，这是
由于
b2 4ac无意义
概念巩固
1.把方程4-x2=3x化为ax2+bx+c=0(a≠0) 形式为_x_2___3_x 4 0 ， b2-4ac=_2_5_
2.用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正
∴ x 3 1 21
∴x1=-1，x2=-2
典型例题
例2 用公式法解下列方程： ⑵ 2x2－7x = 4 (3) x2=3x-8
分析：第2小题要先将方程化为一般形式再用求根公式求解。
解（2）移项，得2x2-7x-4=0 ∵a=2，b=-7，c=-4
b2-4ac=49-4×2×（-4）=81＞0
∴
方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）呢？
解：因为a≠0 ，所以方程两边都除以a，得
x2 b x c 0 aa
移项，得 x2 b x c aa
配方，得 x2 2 • b • x ( b )2 c ( b )2
2a
2a
a 2a
即 (x b )2 b2 4ac
2a
4a2
想一想：即
确的是（ D ）
A.x= 12 144 12 2
12 144 12
B.x=
2
C.x=12 144 12 D.x= 12 144 48
2
6
=
典型例题
例1 用公式法解下列方程： ⑴ x2＋3x＋2 = 0 ⑵ 2x2－7x = 4 (3) x2=3x-8
解（1）∵a=1，b=3，c=2
b2-4ac=32-4×1×2=1＞0
解
作业设计
2014年新课标九年级上册 21.2.2 一元二次方程 公式法 求根公式
x1 x2 2.
4、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0 有两个相等的实数解。
解 : a 1, b 2m 1, c m 4,
2
2 2 2
b 4ac (2m 1) 4(m 4) 2 2 4m 4m 1 4m 16 4m 17
2
( 2) 0 2 0 x 2 2 2 x1 x2 . 2
方程没有实数根.
当 b2-4ac＜0 时，一元 二次方程没有实数根。
x 21 3 x 6 例 2、 解方程：
解：去括号，化简为一般式：
3x 7x 8 0
2
a 3、 b= - 7、 c= 8 2 2 b 4ac （ 7 ） 4 3 8 49 96 - 47 0
归纳：
当 0时，方程a2x+bx+c=0（a 0）的实数根可写为；
b b2 4ac x 2a
一元二次方程的 求根公式
公式法： 用求根公式解一元二次方程的方法。
例1.用公式法解方程2x2+5x-3=0 ① 解: a=2, b=5, c= -3, ∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49 ②
解 : a 2, b 1, c 1
解 : x 3x 1.5 0
2
b 4ac 1 8 9 0
2
a 1, b 3, c 1.5
b 4ac 9 6 3 0 3 3 x 2
2
1 9 1 3 x 2 2 4
1 x1 1, x2 2
2
用配方法解一元二次方程: 2x2+4x+1=0