1.4 一元二次方程的算法 课件(湘教版九年级上)
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湘教版九上数学精品教学课件 第2章 一元二次方程 第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
式都不成立．∴ 原方程无实数根．
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？ 移项时需注意改变符号.
思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤. ①移项，二次项系数化为 1； ②左边配成完全平方式； ③左边写成完全平方形式； ④降次； ⑤解一次方程.
规律总结 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
九年级数学上（XJ） 教学课件
第2章 一元二次方程
2.2.1 配方法
第3课时 用配方法解二次项系数不为1的 一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.会用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程； （重点）
2.能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程. （难点）
导入新课
复习引入 1.用直接开平方法解下列方程:
(1) 9x2 = 1 ； (2) (x - 2)2 = 2.
2.下列方程能用直接开平方法来解吗?
(1) x2 + 6x + 9 = 5； (2) x2 + 6x + 4 = 0.
把两题转化成 (x + m)2 = n (n≥0) 的 形式，再利用开平方
讲授新课
一 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 问题1：观察下面两个是一元二次方程的联系和区别：
1 4
0，
因此
x
3 2
2
10 4
.
由此，得 x 3 10 或 x 3 10 .
22
22
所以
x1
3 10 2
，x2
3 10 2
.
归纳总结
配方法的应用
类别
解题策略
1.求最值或证 将关于 x 的二次多项式通过配方成 a(x + m)2 + n 的 代数式的值 形式后，由于 (x + m)2≥0，故当 a＞0 时，可得其 恒正（或负） 最小值为 n；当 a＜0 时，可得其最大值为 n.
九年级数学上册 第2章 一元二次方程 2.1 一元二次方程课件 (新版)湘教版.pptx
x
35cm
x
x
x
35cm
4
解：设人行道的宽度为x m，则草坪的边长为 35-2x m.
根据题意，列出方程 (35-2x)2= 900 把方程通过移项，写成 (35-2x)2-900 =0 即4x2-140x+325=0
5
问题二 据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量 为75万辆，两年后增加到108万辆 . 求该市两年来汽
8
例：下列方程是否为一元二次方程，若是，指出其二次
项系数、一次项系数和常数项。
3x(1-x)+10=2(x+2)
解：去括号，得： 3x-3x2+10=2x+4
可以写成：3x2-x-6=0
整理，得： -3x2+x+6=0
二次项系数是-3，一次项系数是1，常数项是6。
9
例：已知关于x的一元二次方程 x2+ax+a=0的一 个根是3，求a的值.
7
4x2-140x+325=0 25x2 50x 11 0.
上述两个方程有什么共同特点？ 如果一个方程通过整理可以使右边为0，而左边是只
含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一 元二次方程，它的一般形式是：
ax2+bx+c=0（a，b，c是已知数，a≠0），
其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
车拥有量的年平均增长率 x 应满足的方程 。
6
分析： 问题涉及的等量关系是：
两年后的汽车拥有量 = 前年的汽车拥有量 × （1+年平均增长率）2 .
解： 该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为 x .
根据等量关系，可以列出方程
湘教版九年级上册数学教学课件 第2章一元二次方程 因式分解法 第1课时用因式分解法解一元二次方程
两个一次式分别 等于0，降次
x1
0,
x2
100 49
定义：这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化
为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.
课程讲授
1 用因式分解法解一元二次方程
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： （1）将方程的右边化为___0__； （2）将方程的左边进行_因__式__分__解___； （3）令每个因式为___0__，得到两个一元一次方程； （4）解一元一次方程，得到方程的解.
10x-4.9x2 =0
课程讲授
1 用因式分解法解一元二次方程
问题1.2：根据所学知识，分别用配方法和公式法解这
个方程.
10x-4.9x2 =0
1.配方法解方程
10x-4.9x2 =0
二次项系数化为1，得 x2 100 x 0， 49
配方，得
x2
100 49
x
50 49
2
0
50 49
2
第2章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法
2.2.3 因式分解法
第1课时 用因式分解法解一元 二次方程
新知导入 课程讲授
随堂练习 课堂小结
知识要点
1.用因式分解法解一元二次方程
新知导入
试一试：回顾所学知识，完成下面内容。 (1) (x-3)(x+4)=_x_2_-x__-_1_2； (2) x2+x -12=(x-__3___ )(x+__4___)；
想一想：你能从中想到快速解方程x2-x -12=0的方法吗？
课程讲授
1 用因式分解法解一元二次方程
问题1.1：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度 (单位：m)为10-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过 多少秒落回地面吗，列出方程即可. 解 设物体经过 x s落回地面，这时它离地 面的高度为0，即
x1
0,
x2
100 49
定义：这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化
为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.
课程讲授
1 用因式分解法解一元二次方程
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： （1）将方程的右边化为___0__； （2）将方程的左边进行_因__式__分__解___； （3）令每个因式为___0__，得到两个一元一次方程； （4）解一元一次方程，得到方程的解.
10x-4.9x2 =0
课程讲授
1 用因式分解法解一元二次方程
问题1.2：根据所学知识，分别用配方法和公式法解这
个方程.
10x-4.9x2 =0
1.配方法解方程
10x-4.9x2 =0
二次项系数化为1，得 x2 100 x 0， 49
配方，得
x2
100 49
x
50 49
2
0
50 49
2
第2章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法
2.2.3 因式分解法
第1课时 用因式分解法解一元 二次方程
新知导入 课程讲授
随堂练习 课堂小结
知识要点
1.用因式分解法解一元二次方程
新知导入
试一试：回顾所学知识，完成下面内容。 (1) (x-3)(x+4)=_x_2_-x__-_1_2； (2) x2+x -12=(x-__3___ )(x+__4___)；
想一想：你能从中想到快速解方程x2-x -12=0的方法吗？
课程讲授
1 用因式分解法解一元二次方程
问题1.1：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度 (单位：m)为10-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过 多少秒落回地面吗，列出方程即可. 解 设物体经过 x s落回地面，这时它离地 面的高度为0，即
2024-2025学年初中数学九年级上册(湘教版)教学课件2.1一元二次方程
比赛共 1 x(x 1) 28 场. 2 即 x2 x 56 0.
新课导入
思考 探究
4x2 -26x+22 ＝0 x2 +12x-15 ＝0
4x2 -8x+75 ＝0 x2 x 56 0
这四个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区 别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点: ①都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
随堂训练
4.(只列方程）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这 三个数分别是多少？
解：设第一个数为x，则另两个数分别为x＋1, x＋2，依题意 得方程：
x (x ＋1) ＋ x(x ＋2) ＋ (x ＋1) (x ＋2) ＝242. 整理得 x2 ＋2x－80＝0.
课堂小结
概念 一元二次方程
随堂训练
1.判断下列是否为一元二次方程？
(1)3x²-x=2 ( √ )
(2)-2x+5 ( × )
(4)
( ×)
(5)(m²+5)x²+7x-1=0 ( √ )
随堂训练
2.方程（2a-4）x2 -2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方 程为一元一次方程？
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为 3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.
注意：（1）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常 数项等都是针对一般形式而言的； （2）系数和项均包含前面的符号.
一元二次方程
新课导入
思考 探究
4x2 -26x+22 ＝0 x2 +12x-15 ＝0
4x2 -8x+75 ＝0 x2 x 56 0
这四个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区 别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点: ①都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
随堂训练
4.(只列方程）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这 三个数分别是多少？
解：设第一个数为x，则另两个数分别为x＋1, x＋2，依题意 得方程：
x (x ＋1) ＋ x(x ＋2) ＋ (x ＋1) (x ＋2) ＝242. 整理得 x2 ＋2x－80＝0.
课堂小结
概念 一元二次方程
随堂训练
1.判断下列是否为一元二次方程？
(1)3x²-x=2 ( √ )
(2)-2x+5 ( × )
(4)
( ×)
(5)(m²+5)x²+7x-1=0 ( √ )
随堂训练
2.方程（2a-4）x2 -2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方 程为一元一次方程？
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为 3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.
注意：（1）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常 数项等都是针对一般形式而言的； （2）系数和项均包含前面的符号.
一元二次方程
湘教版数学九年级上册2 第1课时 因式分解法解一元二次方程课件
2a
2 4.9
x1
100 ， 49
x2 0.
因式分解
如果a ·b = 0， 那么 a = 0或 b = 0.
两个因式乘积为 0，说明什么？
x1 0,
降次，化为两个一次方程ຫໍສະໝຸດ x2100 2.04 49
解两个一次方程，得出原方程的根
要点归纳 因式分解法的概念
这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化 为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.
因式分解，得 ( 5x－1)( 2x－3 )=0.
x1
1, 5
x2
3. 2
3 35 2x2 900 0;
35 2x 3035 2x 30 0;
65 2x5 2x 0;
x1 32.5, x2 2.5.
典例精析
1 x x 2 x 2 0; 25x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
4x2 1 0.
因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x－1 )=0.
x1
1 2
,
x2
1 2
.
当堂练习
1.解方程x(x+1)=2时，要先把方程化为
再选择适当的方法求解，得方程的两根为x1=
x2=
.
； ,
2.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请 改正过来.
解: 原方程化为：
解: 原方程化为：
因式分解法的基本步骤 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解;
简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解
典例精析
1 xx 5 3x;
x2 8x 0.
一元二次方程的解法选择合适的方法解一元二次方程+课件+++2024-2025学年湘教版九年级数学上册
即(5x − 1)(5x − 4) = 0．
由此得5x − 1 = 0或5x − 4 = 0．
解得x1
=
15，x2
=
4．
5
起航加油
随堂演练
当堂检测
课后达标
11
（4）3x2 − x − 5 = 0. 思路点拨 不能用直接开平方法，且从系数特点看不适合用配方法和因式 分解法，故利用公式法求解．
这里a = 3，b = −1，c = −5，
起航加油
随堂演练
当堂检测
课后达标
21
（2）(x − 3)2 + 4x(x − 3) = 0； 把方程左边因式分解，得(x − 3) ⋅ (x − 3 + 4x) = 0，
即(x − 3)(5x − 3) = 0. 由此得x − 3 = 0或5x − 3 = 0. 解得x1 = 3，x2 = 35. （3）x2 − 8x + 9 = 0； 配方，得x2 − 8x + 16 − 16 + 9 = 0，即(x − 4)2 = 7.
A.公式法
B.因式分解法
C.配方法
D.直接开平方法
2.用配方法解方程2x2 + 4x − 1 = 0，配方的结果是( C ) .
A.(x
+
1)2=
1 2
B.(x + 1)2 = 1
C.(x
+
1)2=
3 2
D.(x
−
1)2=
3 2
3.一元二次方程13 (x + 2)2 = 2的根是_x_1__=__−_2__+___6_，__x_2__=__−_2__−___6_.
6
第2课时 选择合适的方法解一元二次方程 随堂演练
湘教版数学九年级上册精品课件第一章 一元二次方程1.2 解一元二次方程的算法
直接开平方，得
x
25 4
或
x
25 4
,
即
x1
5 2
,
x2
5 2
.
例2 解方程：
(x+1)2 -2=0. 解:(解法一) 原方程可以写成
我们可以用因式分解法 解这个方程。
(x 1)2 ( 2)2 0
把方程左边因式分解，得
(x1 2)(x1 2) =0. 由此得出
x1 2 0 或 x1 2 0 . 解得 x1= 1 2，x2= 1 2 .
(x+1)2 -2=0. 解:(解法二) 原方程可以写成
我们可以用直接开平方 法解这个方程。
(x+1)2 = 直接开平方，得
( 2 )2 .
x+1 = 2 ，
或 x+1 = - 2 .
解得 x1= -1+ 2 ，x2= -1- 2 .
小提示
在解方程时，只要写出一种解法就行．
请同学自己小结这 两种解法，并应用 你的小结去解下面 的练习题．
例4 解下列方程： （1）x(x-5)=3x； （2）2x(5x-1)=3(5x-1).
（1） x(x-5)=3x
解: 原方程可以写成
x(x-5)-3x = 0. 把方程左边因式分解，得
x(x-5-3)= 0. 由此得出
x =0 或 x-5-3 = 0.
解得 x1=0 ，x2= 8.
（2） 2x(5x-1)=3(5x-1)
解: 原方程可以写成
2x(5x-1)-3(5x-1)= 0. 把方程左边因式分解，得
(5x-1)(2x-3)= 0. 由此得出
5x-1 = 0 或 2x-3 = 0. 解得 x115 , x2 32 .
一元二次方程课件2021-2022学年湘教版数学九年级上册
这个问题需要建立一元二次方程模型来解决.
探究新知
新知一 一元二次方程的定义
(1) 如图所示，已知一矩形的长为200 cm,宽为150 cm.
现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩
形面积的 3 ， 求挖去的圆的半径 x cm应满足的方
4
程( 其中 π 取3 )；Biblioteka 150cm150cm
200cm
200cm
增长(利润)率问题、行程问题、工程问题等.
例3.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠， 某药品经过两次降价，每瓶零售价由100 元降为64元， 求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率 为x，可列方程为( ) A. 100(1－x)2=64 B. 100(1+x)2=64 C. 100(1－2x)=64 D. 100(1+2x)=64
解： (1)整理方程，得 x2－x－6 = 0. 其中二次项系数为1，一次项系数为－1，常数项为－6.
(2)整理方程，得x2+2x－14 = 0. 其中二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为－14.
(3)整理方程，得2x2－7 = 0. 其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为－7.
特别提醒 确定一元二次方程的各项和各项系数时注意不要
解：根据面积＝长× 宽，建立方程模型. 根据题意，得扩大后的正方形绿地边长为x m， 则扩大部分长方形的长为x m，宽为(x－60)m， 所以可得方程为x(x－60)=1 600． 答案：A
归纳
建立一元二次方程模型的一般步骤： (1) 审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量； (2) 设出合适的未知数，一般设为x； (3) 确定等量关系； (4) 根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为 一般形式.
探究新知
新知一 一元二次方程的定义
(1) 如图所示，已知一矩形的长为200 cm,宽为150 cm.
现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩
形面积的 3 ， 求挖去的圆的半径 x cm应满足的方
4
程( 其中 π 取3 )；Biblioteka 150cm150cm
200cm
200cm
增长(利润)率问题、行程问题、工程问题等.
例3.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠， 某药品经过两次降价，每瓶零售价由100 元降为64元， 求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率 为x，可列方程为( ) A. 100(1－x)2=64 B. 100(1+x)2=64 C. 100(1－2x)=64 D. 100(1+2x)=64
解： (1)整理方程，得 x2－x－6 = 0. 其中二次项系数为1，一次项系数为－1，常数项为－6.
(2)整理方程，得x2+2x－14 = 0. 其中二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为－14.
(3)整理方程，得2x2－7 = 0. 其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为－7.
特别提醒 确定一元二次方程的各项和各项系数时注意不要
解：根据面积＝长× 宽，建立方程模型. 根据题意，得扩大后的正方形绿地边长为x m， 则扩大部分长方形的长为x m，宽为(x－60)m， 所以可得方程为x(x－60)=1 600． 答案：A
归纳
建立一元二次方程模型的一般步骤： (1) 审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量； (2) 设出合适的未知数，一般设为x； (3) 确定等量关系； (4) 根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为 一般形式.
一元二次方程的解法+用因式分解法解一元二次方程+课件+++2024-2025学年湘教版九年级数学上册
（1） ；
（2） ；
（3） .
（1） ；
思路点拨 将方程右边的 移到左边，使方程右边等于0，将左边提公因式 .
解 原方程可化为 .把方程左边因式分解，得 ，即 .由此得或 .解得， .
（2） ；
思路点拨 原方程可化为，提公因式 .
原方程可化为 .把方程左边因式分解，得 .由此得或 .解得， .
（3） .
思路点拨 原方程可化为 ，将方程的左边利用平方差公式因式分解后求解.
原方程可化为 .把方程左边因式分解，得 ，即 .由此得或 .解得， .
易错提醒 注意解方程（1）时，不能将方程两边同时除以 有等于0的可能 ，否则方程会漏掉一个解．
第1课时 用因式分解法解一元二次方程
当堂检测
1.一元二次方程 的根是( ) .
拓展延伸
8.根据多项式乘法公式可知， ，因此我们可以用公式 来分解因式，从而解一元二次方程．
（1）一元二次方程可以分解为______________ .一元二次方程可以分解为_______________
（2）爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法求解．
例如，一元二次方程可以分解为 ，从而快速求出方程的根．
第2章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法
2.2.3 因式分解法（2课时）
第1课时 用因式分解法解一元二次方程
第1课时 用因式分解法解一元二次方程
起航加油
知识梳理
1.因式分解法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于___的形式，再使这两个一次式分别等于0，转化为两个一元一次方程，从而实现降次，这种解法叫作因式分解法.
D
A. B.， C. D.，
2.当_________时，代数式与 的值相等.
（2） ；
（3） .
（1） ；
思路点拨 将方程右边的 移到左边，使方程右边等于0，将左边提公因式 .
解 原方程可化为 .把方程左边因式分解，得 ，即 .由此得或 .解得， .
（2） ；
思路点拨 原方程可化为，提公因式 .
原方程可化为 .把方程左边因式分解，得 .由此得或 .解得， .
（3） .
思路点拨 原方程可化为 ，将方程的左边利用平方差公式因式分解后求解.
原方程可化为 .把方程左边因式分解，得 ，即 .由此得或 .解得， .
易错提醒 注意解方程（1）时，不能将方程两边同时除以 有等于0的可能 ，否则方程会漏掉一个解．
第1课时 用因式分解法解一元二次方程
当堂检测
1.一元二次方程 的根是( ) .
拓展延伸
8.根据多项式乘法公式可知， ，因此我们可以用公式 来分解因式，从而解一元二次方程．
（1）一元二次方程可以分解为______________ .一元二次方程可以分解为_______________
（2）爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法求解．
例如，一元二次方程可以分解为 ，从而快速求出方程的根．
第2章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法
2.2.3 因式分解法（2课时）
第1课时 用因式分解法解一元二次方程
第1课时 用因式分解法解一元二次方程
起航加油
知识梳理
1.因式分解法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于___的形式，再使这两个一次式分别等于0，转化为两个一元一次方程，从而实现降次，这种解法叫作因式分解法.
D
A. B.， C. D.，
2.当_________时，代数式与 的值相等.