九年级数学上册 第2章 一元二次方程 2.1 一元二次方程课件 (新版)湘教版.pptx
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湘教版九年级数学课件-一元二次方程根的判别式
當∆=0時，原方程有兩個相等的實數根其根為
當∆<0時，原方程沒有實數根.
例 不解方程，利用判別式判斷下列方程根的情況:
（1） （2） （3）
解：（1）因為 ，
所以，原方程有兩個不相等的實數根.
（2）將原方程化為一般形式，得 .
因為 ，
所以，原方程有兩個相等的實數根.
（3）將方程化為一般形式，得 .
1. 一元二次方程根的判別式
2.根的判別式與一元二次方程根的情況:
當∆>0時，原方程有兩個不相等的實數根； 當∆=0時，原方程有兩個相等的實數根； 當∆<0時，原方程沒有實數根.
中考 試題
例 (2011北京市朝陽區一模考試19題)
已知關於x的方程 (m-1) x2 - 2x + 1=0有兩個不相等 的實數根．求m的取值範圍.
一元二次方程 第2章
第二章 一元二次方程
本節內容 一元二次方程根的判別式 2.3
議一議
我們在運用公式法求解
一元二次方程
時，
總是要求
這是為什麼？
議一議
將方程 配方後得到
由於
， 所以
，因此發現：
（1）當
時，
.
由於正數有兩個平方根，所以原方程的根為
因此，原方程有兩個不相等的實數根.
議一議
（2）當
時，
.
由於0的平方根為0，所以原方程的根為
此時，原方程有兩個相等的實數根.
（3）當
時，
.
由於負數在實數範圍內沒有平方根，
所以原方程沒有實數根.
結論
我們把
叫作一元二次方程
的根的判別式，
記作“∆”，即∆=
.
綜上可知，一元二次方程
湘教版九年级数学上册精品教学课件 第二章 一元二次方程 一元二次方程应用：复率问题课件
思考:(1)若设年平均增长 上网计算
率为x,你能用x的代数式 表示2002年的台数吗? 3200
机总台数
(万台)
(2)已知2002年的台数 2400
是多少? (3)据此,你能列出方
1600
. 800 350
.892
.
1254
. .3089
2083 年份
程吗?
0 2000年 2000年 2001年 2002年 2003年
892（1+x)2=2083
(1+x)2= 2083
892
x1
x 2083 1
892
2083 892
1≈52.8%
x2
2083 892
1 (不合题意，舍去）
答：从2000年12月31日至2002年12月31日我国计算机上网总台数的年平均增长
率是52.8%.
2023年2月20日3时21分
依次类推n次降低后的值为 a •( 1 x )n
2023年2月20日3时21分
3
问题:截止到2000年12月31日，我国的上网计算机总数为 892万台；截止到2002年12月31日，我国的上网计算机总 数以达2083万台. （1）求2000年12月31日至2002年12月31日我国的上网计 算机台数的年平均增长率（精确到0.1%）.
某单位为节省经费,在两个月内将开支从 每月1600元降到900元,求这个单位平均每 月降低的百分率是多少?
2023年2月20日3时21分
9
练一练:
某校坚持对学生进行近视眼的防治,近视学生 人数逐年减少.据统计,今年的近视学生人数是 前年人数的75℅,那么这两年平均每年近视学 生人数降低的百分率是多少(精确到1℅)?
湘教版九年级数学上册课件：2.2 一元二次方程的解法 (共35张PPT)
反过来，如果d和h是方程 x2 + bx + c = 0 的两 个根，则方程的左边可以分解成
x2 + bx + c = (x - d )(x – h)= 0.
我们已经学习了用配方法、公式法和因式分解法 解一元二次方程，在具体的问题中，我们要根据方 程的特点，选择合适的方法来求解.
如何选择合适的方法来解一元二次方程呢？
x b b2 4ac ( b2 - 4ac ≥0) 2a
我们通常把这个式子叫作一元二次方程的求根公式.
由求根公式可知， 一元二次方程的根由方程的系
数a，b，c 决定， 这也反映出了一元二次方程的根与 系数a，b，c之间的一个关系.
运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二 次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法.
第2章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法
2.2 一元二次方程的解法 —配方法
教学重、难 点
教 学 重 点 ： 运 用 开 平 方 法 解 形 如 （ x+m ） 2=n(n≥0)
的方程；领会降次—转化的数学思想.
教学难点：通过根据平方根的意义解形如 x2=n 的方 程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2 = n(n≥0)的方程.
用配方法解一元二次方程的一般步骤:
移项:把常数项移到方程的右边； 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方； 开方:根据平方根意义，方程两边开平方； 求解:解一元一次方程； 定解:写出原方程的解.
例 市区内有一块边长为15米的正方形绿地，经城市规 划，需扩大绿化面积，预计规划后的正方形绿地面积将 达到289平方米，这块绿地的边长增加了多少米？
解：这里 a 1 b 7 c 18
湘教版九上数学精品教学课件 第2章 一元二次方程 第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
式都不成立．∴ 原方程无实数根．
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？ 移项时需注意改变符号.
思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤. ①移项，二次项系数化为 1； ②左边配成完全平方式； ③左边写成完全平方形式； ④降次； ⑤解一次方程.
规律总结 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
九年级数学上（XJ） 教学课件
第2章 一元二次方程
2.2.1 配方法
第3课时 用配方法解二次项系数不为1的 一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.会用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程； （重点）
2.能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程. （难点）
导入新课
复习引入 1.用直接开平方法解下列方程:
(1) 9x2 = 1 ； (2) (x - 2)2 = 2.
2.下列方程能用直接开平方法来解吗?
(1) x2 + 6x + 9 = 5； (2) x2 + 6x + 4 = 0.
把两题转化成 (x + m)2 = n (n≥0) 的 形式，再利用开平方
讲授新课
一 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 问题1：观察下面两个是一元二次方程的联系和区别：
1 4
0，
因此
x
3 2
2
10 4
.
由此，得 x 3 10 或 x 3 10 .
22
22
所以
x1
3 10 2
，x2
3 10 2
.
归纳总结
配方法的应用
类别
解题策略
1.求最值或证 将关于 x 的二次多项式通过配方成 a(x + m)2 + n 的 代数式的值 形式后，由于 (x + m)2≥0，故当 a＞0 时，可得其 恒正（或负） 最小值为 n；当 a＜0 时，可得其最大值为 n.
湘教版数学九年级上册一元二次方程根的判别式课件
b2－4ac.
知2－讲
知识点
2 一元二次方程根的类别
综上所知，我们不难发现一元二次方程a x2＋b x＋c＝0
( a ≠ 0 ) 的根的情况可由 =b2－4ac 来判断：
当＞0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为
b b 2 4ac
b b 2 4ac
x1＝
, x2＝
.
2a
2a
当＝0时，原方程有两个相等的实数根，其根为
b
x1＝x2＝
.
2a
当＜0时，原方程没有实数根.
知2－讲
例1
不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：
(1) 3x2＋4x －3 = 0；
(2) 4x2 = 12x －9；
(3) 7y = 5 ( y2＋1 ).
解： (1) 因为=b2－4ac = 42 －4×3×(－3)
因为=b2－4ac = (－7) 2 －4×5×5
=49－100 =－51 ＜0，
所以，原方程没有实数根.
知2－讲
总 结
利用根的判别式判断一元二次方程的根的情况的方法：
先将一元二次方程化成一般情势 ax2＋bx＋c ＝0，
当方程中的a，b，c 是常数时，直接求出 = b2－4ac
的值， 确定方程根的情况；当方程中的a，b，c 含有
母，则应注意检验二次项系数是否为零.
3. 应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、
有两个不等的实根、有两个相等的实根）.
知3－讲
例2 【中考·凉山】关于 x 的一元二次方程 ( m－2 )x2＋
2x＋1＝0 有实数根，则 m 的取值范围是( D )
A．m ≤3
B．m ＜3
知2－讲
知识点
2 一元二次方程根的类别
综上所知，我们不难发现一元二次方程a x2＋b x＋c＝0
( a ≠ 0 ) 的根的情况可由 =b2－4ac 来判断：
当＞0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为
b b 2 4ac
b b 2 4ac
x1＝
, x2＝
.
2a
2a
当＝0时，原方程有两个相等的实数根，其根为
b
x1＝x2＝
.
2a
当＜0时，原方程没有实数根.
知2－讲
例1
不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：
(1) 3x2＋4x －3 = 0；
(2) 4x2 = 12x －9；
(3) 7y = 5 ( y2＋1 ).
解： (1) 因为=b2－4ac = 42 －4×3×(－3)
因为=b2－4ac = (－7) 2 －4×5×5
=49－100 =－51 ＜0，
所以，原方程没有实数根.
知2－讲
总 结
利用根的判别式判断一元二次方程的根的情况的方法：
先将一元二次方程化成一般情势 ax2＋bx＋c ＝0，
当方程中的a，b，c 是常数时，直接求出 = b2－4ac
的值， 确定方程根的情况；当方程中的a，b，c 含有
母，则应注意检验二次项系数是否为零.
3. 应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、
有两个不等的实根、有两个相等的实根）.
知3－讲
例2 【中考·凉山】关于 x 的一元二次方程 ( m－2 )x2＋
2x＋1＝0 有实数根，则 m 的取值范围是( D )
A．m ≤3
B．m ＜3
九年级数学上册第2章 第1课时用一元二次方程解决增长(降低)率及营销问题作业课件新版湘教版
解：(1)设增长率为x，根据题意，得2(1＋x)2＝2.42， 解得x1＝－2.1(舍去)， x2＝0.1＝10%.答：增长率为10%. (2)2.42(1＋0.1)＝2.662(万人). 答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次．
15．(12分)(安顺中考)天山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的 黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准(如图所示)：
二、填空题(每小题5分，共10分) 12．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定 价．经市场调查发现：若每件商品售价为a元，则可卖出(350－10a)件， 但物价局限定每件商品售价不能超过进价的25%，商店计划要赚400元， 需要卖出_1_0_0_件商品，每件商品的售价为_2_5__元． 13．李先生将10 000元钱存入银行，到期后取出2 000元购买电脑，余下 的8 000元及利息又存入银行，如果两次存款的年利率不变，一年到期后 本息和是8 925元，则存款的年利率为_5_%__．(不计利息税)
某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给旅 行社旅游费用27 000元，请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌 特征的黄果树风景区旅游？
解：设该单位这次共有x名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅 游．因为1 000×25＝25 000＜27 000，所以员工人数一定超过25人，可知方 程[1 000－20×(x－25)]x＝27 000，整理得x2－75x＋1 350＝0，解得x1＝45， x2＝30，当x1＝45时，1 000－20(x－25)＝600＜700，故舍去x1；当x2＝30时， 1 000－20(x－25)＝900＞700，符合题意．
三、解答题(35分) 14．(11分)(2019·长沙)近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅 导工作实施意见》，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益 大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万 人次，第三批公益课受益学生2.42万人次． (1)如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同， 求这个增长率； (2)按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？
湘教版2019--2020年九年级数学上册第二章：2.2.1 配方法 课件(共13张PPT
＝0，
由此得 x 3 10 或x 3 10 ，
22
22
解得
x1
2
10 ，
x2
3
2
10
.
议一议 解方程： －2x2＋4x－8＝0.
总结
用配方法解一元二次方程的一般步骤： (1) 移项， 把方程中含有未知数的项移到方程的左边，
把常数项移到方程的右边. (2) 二次项系数化为1：方程的左、右两边同时除以二
2.2 一元二次方程的解法
第2课时 配方法——配方法 解方程
填上合适的数，使下列等式成立.
x2＋12x＋___＝( x＋6 )2
x2－6x＋___＝( x －3 )2
x2＋ 8x ＋ ___＝( x＋___ )2 x2－4x ＋___＝( x－___ )2
上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系? 对 于形如 x2 ＋ax 的式子如何配成完全平方式 ?
二次三项式的配方
左边填的是“一次项系数一半的平方”，右边填的是“一 次项系数的一半” . 例1 当x 取何值时，代数式 2x2－6x＋7 的值最小 ? 并求
出这个最小值 ． 解题秘方：求代数式的最小值，要先将代数式配成 a(x＋m)2
＋n 的形式，然后根据完全平方式的非负性求代 数式的最小值.
解： 2x2－6x＋7
课堂小结
定义
通过配成完全平方式来解一元 二次方程的方法，叫做配方法.
配方法 解题步骤
1. 移项 2. 化二次项系数为1 3. 配方法 4. 开平方 ( 降次 ) 5. 解一次方程
次项系数. (3) 配方： 把方程的左、右两边同时加上一次项系数
一半的平方，把原方程化为(x＋n)2=p的形式.
(4) 开方：如果方程右边是一个非负数，那么就用直接开 平方法求解； 如果方程右边是一个负数，那么这个方 程无实数根. 即 ①当p ＞ 0 时，方程(x＋n)2=p有两个不等的实数根 x1=－n－ p ， x2=－n＋ p. ②当p=0 时，方程(x＋n)2=p有两个相等的实数根 x1=x2=－n. ③当p ＜ 0 时，因为对任意实数x，都有(x＋n)2 ≥0， 所以方程 (x＋n)2=p无实数根.
2024-2025学年初中数学九年级上册(湘教版)教学课件2.1一元二次方程
比赛共 1 x(x 1) 28 场. 2 即 x2 x 56 0.
新课导入
思考 探究
4x2 -26x+22 ＝0 x2 +12x-15 ＝0
4x2 -8x+75 ＝0 x2 x 56 0
这四个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区 别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点: ①都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
随堂训练
4.(只列方程）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这 三个数分别是多少？
解：设第一个数为x，则另两个数分别为x＋1, x＋2，依题意 得方程：
x (x ＋1) ＋ x(x ＋2) ＋ (x ＋1) (x ＋2) ＝242. 整理得 x2 ＋2x－80＝0.
课堂小结
概念 一元二次方程
随堂训练
1.判断下列是否为一元二次方程？
(1)3x²-x=2 ( √ )
(2)-2x+5 ( × )
(4)
( ×)
(5)(m²+5)x²+7x-1=0 ( √ )
随堂训练
2.方程（2a-4）x2 -2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方 程为一元一次方程？
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为 3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.
注意：（1）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常 数项等都是针对一般形式而言的； （2）系数和项均包含前面的符号.
一元二次方程
新课导入
思考 探究
4x2 -26x+22 ＝0 x2 +12x-15 ＝0
4x2 -8x+75 ＝0 x2 x 56 0
这四个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区 别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点: ①都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
随堂训练
4.(只列方程）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这 三个数分别是多少？
解：设第一个数为x，则另两个数分别为x＋1, x＋2，依题意 得方程：
x (x ＋1) ＋ x(x ＋2) ＋ (x ＋1) (x ＋2) ＝242. 整理得 x2 ＋2x－80＝0.
课堂小结
概念 一元二次方程
随堂训练
1.判断下列是否为一元二次方程？
(1)3x²-x=2 ( √ )
(2)-2x+5 ( × )
(4)
( ×)
(5)(m²+5)x²+7x-1=0 ( √ )
随堂训练
2.方程（2a-4）x2 -2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方 程为一元一次方程？
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为 3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.
注意：（1）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常 数项等都是针对一般形式而言的； （2）系数和项均包含前面的符号.
一元二次方程
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x
35cm
x
x
x
35cm
4
解：设人行道的宽度为x m，则草坪的边长为 35-2x m.
根据题意，列出方程 (35-2x)2= 900 把方程通过移项，写成 (35-2x)2-900 =0 即4x2-140x+325=0
5
问题二 据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量 为75万辆，两年后增加到108万辆 . 求该市两年来汽
8
例：下列方程是否为一元二次方程，若是，指出其二次
项系数、一次项系数和常数项。
3x(1-x)+10=2(x+2)
解：去括号，得： 3x-3x2+10=2x+4
可以写成：3x2-x-6=0
整理，得： -3x2+x+6=0
二次项系数是-3，一次项系数是1，常数项是6。
9
例：已知关于x的一元二次方程 x2+ax+a=0的一 个根是3，求a的值.
7
4x2-140x+325=0 25x2 50x 11 0.
上述两个方程有什么共同特点？ 如果一个方程通过整理可以使右边为0，而左边是只
含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一 元二次方程，它的一般形式是：
ax2+bx+c=0（a，b，c是已知数，a≠0），
其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
车拥有量的年平均增长率 x 应满足的方程 。
6
分析： 问题涉及的等量关系是：
两年后的汽车拥有量 = 前年的汽车拥有量 × （1+年平均增长率）2 .
解： 该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为 x .
根据等量关系，可以列出方程
7（ 5 1 x）2 108.
化简，整理得
25x2 50x 11 0.
由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念.
难点：尝试的方法求简单的二元一次方程的解.
3
新课引入
问题一 如图所示，某住宅小区内有一栋旧建筑， 占地为一边长为35 m的正方形.现打算拆除建筑 并在其正中间铺上一面积为900 m2的正方形草坪， 使四周留出的人行道的宽度相等，问人行道的宽 度为多少米？
11
3.已知关于x的方程(k2－1)x2＋(k＋1)x－2＝0. (1)当k取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方
程的根；
(2)当k取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个
一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．
12
课堂小结
1.了解一元二次方程的概念和一般形式. 2.会判别一元二次方程的二次项系数,一次项系数和常
解：由题意得
把x =3代入方程x2+ax+a=0得，
32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9
a 9 4
10
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课堂练习
1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,当 k ≠3 时，是一元二次方程． 2.一元二次方程(2x＋1)(x－2)＝5－3x的 二次项系数、一次项系数及常数项之和为 __－__5__．
2.1 一元二次方程
1
知识回顾
1、什么叫方程？什么叫方程的解？我们学了哪些方程？ 2、什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？ 3、我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实 际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤 吗?
2
重、难点
重点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再
数项. 3.注意:一元二次方程的二次项系数不能为零.
13