专题十-与几何图形有关的探究题

专题十与几何图形有关的探究题图形变化问题【例1】(2016·沈阳)在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α(0°＜α＜180°)，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE.(1)如图，当α＝60°时，延长BE交AD于点F.①求证：△ABD是等边三角形；②求证：BF⊥AD，AF＝DF；③请直接写出BE的长；(2)在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DAG＝∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE＋CE的值．分析：(1)①由旋转性质知AB ＝AD ，∠BAD ＝60°即可得证；②由BA ＝BD ，EA ＝ED 根据垂直平分线的性质即可得证；③分别求出BF ，EF 的长即可得答案；(2)由等量代换可证∠BAE ＝∠BAC ，根据三线合一可得CE ⊥AB ，从而可得CE ＝2CH ＝8，BE ＝5，即可得答案．解：(1)①∵△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到△ADE ，∴AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∴△ABD 是等边三角形②由①得△ABD 是等边三角形，∴AB ＝BD ，∵△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到△ADE ，∴AC ＝AE ，BC ＝DE ，又∵AC ＝BC ，∴EA ＝ED ，∴点B ，E 在AD 的垂直平分线上，∴BE 是AD 的垂直平分线，∵点F 在BE 的延长线上，∴BF ⊥AD ，AF ＝DF③由②知BF ⊥AD ，AF ＝DF ，∴AF ＝DF ＝3，∵AE ＝AC ＝5，∴EF ＝4，∵在等边三角形ABD 中，BF ＝AB ·sin ∠BAF ＝6×32＝33，∴BE ＝BF －EF ＝33－4 (2)如图，∵∠DAG ＝∠ACB ，∠DAE ＝∠BAC ，∴∠ACB ＋∠BAC ＋∠ABC ＝∠DAG＋∠DAE ＋∠ABC ＝180°，又∵∠DAG ＋∠DAE ＋∠BAE ＝180°，∴∠BAE ＝∠ABC ，∵AC ＝BC ＝AE ，∴∠BAC ＝∠ABC ，∴∠BAE ＝∠BAC ，∴AB ⊥CE ，且CH ＝HE ＝12CE ，∵AC ＝BC ，∴AH ＝BH ＝12AB ＝3，则CE ＝2CH ＝8，BE ＝AE ＝5，∴BE ＋CE ＝13几何图形中的动点问题【例2】(2016·达州)△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与B ，C 重合)，以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF.(1)观察猜想如图1，当点D 在线段BC 上时，①BC 与CF 的位置关系为__垂直__；②BC ，CD ，CF 之间的数量关系为__BC ＝CD ＋CF__；(2)数学思考如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．(3)拓展延伸如图3，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE.若已知AB＝22，CD ＝14BC ，请求出GE 的长．分析：(2)根据正方形的性质得到∠BAC ＝∠DAF ＝90°，推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论；(3)过A 作AH ⊥BC 于点H ，过E 作EM ⊥BD 于点M ，EN ⊥CF 于点N ，先求出AH ，DH ，证△ADH ≌△DEM(AAS )得到EM ＝DH ，DM ＝AH ，由等量代换得到CN ＝EM ，EN ＝CM ，根据等腰直角三角形的性质得到CG ＝BC ＝4，根据勾股定理即可得到结论．解：(2)CF ⊥BC 成立；BC ＝CD ＋CF 不成立，CD ＝CF ＋BC.证明：∵正方形ADEF ，∴AD ＝AF ，∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF ，可证△DAB ≌△FAC(SAS )，∴∠ABD ＝∠ACF ，∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠ABC ＝45°.∴∠ABD ＝180°－45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝135°－45°＝90°，∴CF ⊥BC.∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF ＋BC(3)过A 作AH ⊥BC 于点H ，过E 作EM ⊥BD 于点M ，EN ⊥CF 于点N ，∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴BC ＝2AB ＝4，AH ＝12BC ＝2，∴CD ＝14BC ＝1，CH ＝12BC ＝2，∴DH ＝3，由(2)证得BC ⊥CF ，CF ＝BD ＝5，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD ＝DE ，∠ADE ＝90°，∵BC ⊥CF ，EM ⊥BD ，EN ⊥CF ，∴四边形CMEN 是矩形，∴NE ＝CM ，EM ＝CN ，∵∠AHD ＝∠ADC ＝∠EMD ＝90°，∴∠ADH ＋∠EDM ＝∠EDM ＋∠DEM ＝90°，∴∠ADH ＝∠DEM ，可证△ADH ≌△DEM(AAS )，∴EM ＝DH ＝3，DM ＝AH ＝2，∴CN ＝EM ＝3，EN ＝CM ＝3，∵∠ABC ＝45°，∴∠BGC ＝45°，∴△BCG 是等腰直角三角形，∴CG ＝BC ＝4，∴GN ＝1，∴EG ＝GN 2＋EN 2＝10几何图形中的动线问题【例3】 (2016·广东)如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，BC ＝2，边BC 在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ ，连接PA ，QD ，并过点Q 作QO ⊥BD ，垂足为O ，连接OA ，OP.(1)请直接写出线段BC 在平移过程中，四边形APQD 是什么四边形？(2)请判断OA ，OP 之间的数量关系和位置关系，并加以证明；(3)在平移变换过程中，设y ＝S △OPB ，BP ＝x(0≤x ≤2)，求y 与x 之间的函数关系式，并求出y 的最大值．分析：(2)证△AOB ≌△POQ ，可得AO 与OP 的数量与位置关系；(3)根据等腰直角三角形的性质可得OE 的长，根据三角形的面积公式可得二次函数，根据二次函数的性质可得答案．解：(1)四边形APQD 为平行四边形(2)OA ＝OP ，OA ⊥OP.证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝PQ ，∠ABO ＝∠OBQ ＝45°，∵OQ ⊥BD ，∴∠PQO ＝45°，∴∠ABO ＝∠OBQ ＝∠PQO ＝45°，∴OB ＝OQ ，可证△AOB ≌△POQ(SAS )，∴OA ＝OP ，∠AOB ＝∠POQ ，∴∠AOP ＝∠BOQ ＝90°，∴OA ⊥OP(3)过点O 作OE ⊥BC 于点E.①如图1，当P 点在B 点右侧时，则BQ ＝x ＋2，OE ＝x ＋22，∴y ＝12×x ＋22·x ，即y ＝14(x ＋1)2－14，又∵0≤x ≤2，∴当x ＝2时，y 有最大值为2；②如图2，当P 点在B 点左侧时，则BQ ＝2－x ，OE ＝2－x 2，∴y ＝12×2－x 2·x ，即y ＝－14(x －1)2＋14，又∵0≤x ≤2，∴当x ＝1时，y 有最大值为14.综上所述，平移过程中△OPB 的面积的最大值为21．(导学号)(2016·福州)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积；(3)当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．解：(1)由折叠知△ANM ≌△ADM ，∴∠MAN ＝∠DAM ，∵AN 平分∠MAB ，∴∠MAN＝∠NAB ，∴∠DAM ＝∠MAN ＝∠NAB ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝90°，∴∠DAM ＝30°，∴DM ＝AD ·tan ∠DAM ＝3×tan 30°＝3×33＝ 3 (2)如图1，延长MN 交AB 延长线于点Q ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，∴∠DMA ＝∠MAQ ，由折叠知△ANM ≌△ADM ，∴∠DMA ＝∠AMQ ，AN ＝AD ＝3，MN ＝MD ＝1，∴∠MAQ ＝∠AMQ ，∴MQ ＝AQ ，设NQ ＝x ，则AQ ＝MQ ＝1＋x ，∵∠ANM ＝90°，∴∠ANQ ＝90°，在Rt △ANQ 中，由勾股定理得AQ 2＝AN 2＋NQ 2，∴(x ＋1)2＝32＋x 2，解得x ＝4，∴NQ ＝4，AQ ＝5，∵AB ＝4，AQ ＝5，∴S △NAB ＝45S △NAQ ＝45×12AN·NQ ＝45×12×3×4＝245(3)如图2，过点A 作AH ⊥BF 于点H ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，∴∠HBA＝∠BFC ，∵∠AHB ＝∠BCF ＝90°，∴△ABH ∽△BFC ，∴BH AH ＝CF BC，∵AH ≤AN ＝3，AB ＝4，∴当点N ，H 重合(即AH ＝AN)时，AH 最大，BH 最小，CF 最小，DF 最大，此时点M ，F 重合，B ，N ，M 三点共线，如图3，由折叠知AD ＝AH ，∵AD ＝BC ，∴AH ＝BC ，可证△ABH ≌△BFC(AAS )，∴CF ＝BH ，由勾股定理得BH ＝AB 2－AH 2＝42－32＝7，∴CF ＝7，∴DF 的最大值＝DC －CF ＝4－72．(导学号)(2016·黑龙江)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上，∠OAB＝90°且OA＝AB，OB，OC的长分别是一元二次方程x2－11x＋30＝0的两个根(OB＞OC)．(1)求点A和点B的坐标；(2)点P是线段OB上的一个动点(点P不与点O，B重合)，过点P的直线l与y轴平行，直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R.设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m，已知t＝4时，直线l恰好过点C，当0＜t＜3时，求m关于t的函数关系式；(3)当m＝3.5时，请直接写出点P的坐标．解：(1)∵方程x 2－11x ＋30＝0的解为x 1＝5，x 2＝6，∴OB ＝6，OC ＝5，∴B 点坐标为(6，0)，作AM ⊥x 轴于点M ，∵∠OAB ＝90°且OA ＝AB ，∴△AOB 为等腰直角三角形，∴OM ＝BM ＝AM ＝12OB ＝3，∴A 点坐标为(3，3) (2)作CN ⊥x 轴于点N ，∵t ＝4时，直线l 恰好过点C ，∴ON ＝4，在Rt △OCN 中，CN ＝OC 2－ON 2＝52－42＝3，∴C 点坐标为(4，－3)，可求直线OC 的解析式为y ＝－34x ，直线OA 的解析式为y ＝x ，∵P(t ，0)(0＜t ＜3)，∴Q(t ，t)，R(t ，－34t)，∴QR ＝t －(－34t)＝74t ，即m ＝74t(0＜t ＜3) (3)可求直线AB 的解析式为y ＝－x ＋6，直线BC 的解析式为y ＝32x －9，当0＜t ＜3时，m ＝74t ，若m ＝3.5，则74t ＝3.5，解得t ＝2，此时P 点坐标为(2，0)；当3≤t ＜4时，Q(t ，－t ＋6)，R(t ，－34t)，∴m ＝－t ＋6－(－34t)＝－14t ＋6，若m ＝3.5，则－14t ＋6＝3.5，解得t ＝10(不合题意舍去)；当4≤t ＜6时，Q(t ，－t ＋6)，R(t ，32t －9)，∴m ＝－t ＋6－(32t －9)＝－52t ＋15，若m ＝3.5，则－52t ＋15＝3.5，解得t ＝235，此时P 点坐标为(235，0)．综上所述，满足条件的P 点坐标为(2，0)或(235，0)3．(导学号 )(2016·扬州)已知正方形ABCD 的边长为4，一个以点A 为顶点的45°角绕点A 旋转，角的两边分别与边BC ，DC 的延长线交于点E ，F ，连接EF.设CE ＝a ，CF ＝b.(1)如图1，当∠EAF 被对角线AC 平分时，求a ，b 的值；(2)当△AEF 是直角三角形时，求a ，b 的值；(3)如图3，探索∠EAF 绕点A 旋转的过程中a ，b 满足的关系式，并说明理由．解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD ＝90°，∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ACB ＝∠ACD ＝45°，∴∠ACF ＝∠ACE ，∵∠EAF 被对角线AC 平分，∴∠CAF ＝∠CAE ，可证△ACF ≌△ACE(ASA )，∴AF ＝CE ，CF ＝CE ，∵CE ＝a ，CF ＝b ，∴a ＝b ，∵AF ＝CE ，∴∠AEF ＝∠AFE ，∵∠EAF ＝45°，∴∠AEF ＝∠AFE ＝67.5°，∵CE ＝CF ，∠ECF ＝90°，∴∠CEF ＝∠CFE ＝45°，∴∠AEC ＝∠AFC ＝22.5°，∵∠CAF ＝∠CAE ＝22.5°，∴∠CAE ＝∠CEA ，∴CE ＝AC ＝42，即a ＝b ＝4 2(2)当△AEF 是直角三角形时，①若∠AEF ＝90°，∵∠EAF ＝45°，∴∠AFE ＝45°，∴△AEF 是等腰直角三角形，AE ＝EF ，∵∠AEB ＋∠BEF ＝90°，∠AEB ＋∠BAE ＝90°，∴∠BEF ＝∠BAE ，可证△ABE ≌△ECF(AAS )，∴AB ＝EC ，BE ＝CF ，即a ＝AB ＝4，b ＝BE ＝BC ＋CE ＝8；②若∠AFE ＝90°，同①的方法知CF ＝4，CE ＝8，∴a ＝8，b ＝4(3)ab ＝32.理由：如图，∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∠EAF ＝45°，∴∠ACD ＝45°，∠ACF ＝135°，∠ACE ＝135°，又∵∠ACD ＝∠CAF ＋∠AFC ，∠EAF ＝∠EAC ＋∠FAC ，∴∠AFC ＝∠EAC ，又∵∠ACF ＝∠ACE ＝135°，∴△ACF ∽△ECA ，∴AC EC ＝CF AC，∴EC×CF＝AC2＝2AB2＝32，∴ab＝321．(导学号)(2016·随州)爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图1，图2，图3中，AM，BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c.【特例探究】(1)如图1，当tan∠PAB＝1，c＝42时，a＝，b＝；如图2，当∠PAB＝30°，c＝2时，a＝，b＝；【归纳证明】(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．【拓展证明】(3)如图4，▱ABCD中，E，F分别是AD，BC的三等分点，且AD＝3AE，BC＝3BF，连接AF，BE，CE，且BE⊥CE于点E，AF与BE相交点G，AD＝35，AB＝3，求AF 的长．解：(2)a 2＋b 2＝5c 2.证明：连接MN.∵AM ，BN 是中线，∴MN ∥AB ，MN ＝12AB ，∴△MPN ∽△APB ， ∴MP AP ＝PN PB ＝12， 设MP ＝x ，NP ＝y ，则AP ＝2x ，BP ＝2y ，∴a 2＝BC 2＝4BM 2＝4(MP 2＋BP 2)＝4x 2＋16y 2，b 2＝AC 2＝4AN 2＝4(PN 2＋AP 2)＝4y 2＋16x 2，c 2＝AB 2＝AP 2＋BP 2＝4x 2＋4y 2，∴a 2＋b 2＝20x 2＋20y 2＝5(4x 2＋4y 2)＝5c 2(3)由AAS 可证△AGE ≌△FGB ，∴BG ＝FG ，取AB 中点H ，连接FH 并延长交DA 的延长线于点P ，同理可证△APH ≌△BFH ， ∴AP ＝BF ，PE ＝CF ＝2BF ，即PE ∥CF ，PE ＝CF ，∴四边形CEPF 是平行四边形，∴FP ∥CE ，∵BE ⊥CE ，∴FP ⊥BE ，即FH ⊥BG ，∴△ABF 是中垂三角形，由(2)可知AB 2＋AF 2＝5BF 2，∵AB ＝3，BF ＝13AD ＝5， ∴9＋AF 2＝5×(5)2，∴AF ＝42．(导学号 )(2016·河南)(1)发现：如图1，点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝a ，AB ＝b.填空：当点A 位于__CB 的延长线上__时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为__a ＋b__．(用含a ，b 的式子表示)(2)应用：如图2，点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝3，AB ＝1，分别以AB ，AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD ，BE.①请找出图中与BE 相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE 长的最大值．(3)拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2，0)，点B 的坐标为(5，0)，点P 为线段AB 外一动点，且PA ＝2，PM ＝PB ，∠BPM ＝90°，请直接写出线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标．解：(2)①CD ＝BE ，理由：∵△ABD 与△ACE 是等边三角形，∴AD ＝AB ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝60°，∴∠BAD ＋∠BAC ＝∠CAE ＋∠BAC ，即∠CAD ＝∠EAB ，可证△CAD ≌△EAB(SAS )，∴CD ＝BE②∵线段BE 长的最大值＝线段CD 长的最大值，由(1)知，当线段CD 的长取得最大值时，点D 在CB 的延长线上，∴最大值为BD ＋BC ＝AB ＋BC ＝4(3)如图1，连接BM ，将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN ，连接AN ，则△APN 是等腰直角三角形，∴PN ＝PA ＝2，BN ＝AM ，∵A 的坐标为(2，0)，点B 的坐标为(5，0)，∴OA ＝2，OB ＝5，∴AB ＝3，∴线段AM 长的最大值＝线段BN 长的最大值，∴当点N 在线段BA 的延长线上时，线段BN 取得最大值，最大值＝AB ＋AN ，∵AN ＝2AP ＝22，∴最大值为22＋3.如图2，过P 作PE ⊥x 轴于E ，∵△APN 是等腰直角三角形，∴PE ＝AE ＝12AN ＝2，∴OE ＝OA －AE ＝2－2，∴P(2－2，2)3．(导学号 )(2016·葫芦岛)如图①，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点E 在AC 上(且不与点A ，C 重合)，在△ABC 的外部作△CED ，使∠CED ＝90°，DE ＝CE ，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF.(1)请直接写出线段AF，AE的数量关系；(2)将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；(3)在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断(2)问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．解：(2)AF＝2AE.理由：连接EF，DF交BC于点K.∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠DKE＝∠ABC＝45°，∴∠EKF＝180°－∠DKE＝135°，∵∠ADE＝180°－∠EDC＝180°－45°＝135°，∴∠EKF＝∠ADE，∵∠DKC＝∠C，∴DK＝DC，∵DF＝AB＝AC，∴KF＝AD，可证△EKF≌△EDA(SAS)，∴EF＝EA，∠KEF＝∠AED，∴∠FEA＝∠BED＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF＝2AE(3)结论不变，AF＝2AE.理由：连接EF，延长FD交AC于点K.∵∠EDF＝180°－∠KDC －∠EDC＝135°－∠KDC，∠ACE＝(90°－∠KDC)＋∠DCE＝135°－∠KDC，∴∠EDF ＝∠ACE，∵DF＝AB，AB＝AC，∴DF＝AC，可证△EDF≌△ECA(SAS)，∴EF＝EA，∠FED＝∠AEC，∴∠FEA＝∠DEC＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF＝2AE。