七年级几何图形初步单元测试卷附答案

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）

1．数轴上A, B, C, D四点表示的有理数分别为1, 3, －5, －8

（1）计算以下各点之间的距离：①A、B两点, ②B、C两点,③C、D两点,

（2）若点M、N两点所表示的有理数分别为m、n，求M、N两点之间的距离．

【答案】（1）AB=3-1=2；BC=3-（-5）=8；CD=-5-（-8）=-5+8=3.

（2）MN=

【解析】【分析】（1）数轴上两点间的距离等于数值较大的数减去数值较小的数，据此计算即可；

（2）因为m、n的大小未知，则M、N两点间的距离为它们所表示的有理数之差的绝对值. 2．如图1，∠AOB=120°，∠COE=60°，OF平分∠AOE

（1）若∠COF=20°，则∠BOE=________°

（2）将∠COE绕点O旋转至如图2位置，求∠BOE和∠COF的数量关系

（3）在（2）的条件下，在∠BOE内部是否存在射线OD，使∠DOF=3∠DOE，且∠BOD=70°？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）40

（2）解：∵

∴

∴

（3）解：存在．理由如下：

∵

设

∴

∵

∴

∴

∴

∴

【解析】【解答】⑴

∴

∵OF平分∠AOE，

∴

∴

∴

故答案为：40。

【分析】（1）根据，∠EOF=∠COE-∠COF=40°，再由角平分线的定义得出∠AOF=∠EOF=40°，最后∠BOE=∠AOB?∠AOE=120°?80°=40°.

（2）由角平分线的定义得出∠AOE=2∠EOF，再利用等量代换得∠A OE=120°?∠BOE=2(60°?∠COF) , 整理得∠BOE=2∠COF；

（3）∠DOF=3∠DOE，设∠DOE=α，∠DOF=3α ，∠AOF=∠EOF=2α ，根据∠AOD+∠BOD=120°，构建一个含α的方程，5α+70°=120°求出α，进而求出∠DOF和∠COF.

3．如图①，△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D．

（1）若，，求∠D的度数；

（2）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的关系，并说明理由．

【答案】（1）解：∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD= ∠ABC= ×75°=37.5°，

∵CD平分△ABC的外角，

∴∠DCA= (180°-∠ACB)= (180°-45°)=67.5°，

∴∠D=180°-∠DBC-∠DCB=180°-37.5°-67.5°-45°=30°.

（2）解：猜想：∠ D = ( ∠ M + ∠ N ? 180 ° ).

∵∠M+∠N+∠CBM+∠NCB=360°,

∴∠D=180°- ∠CBM-∠NCB- ∠NCE.

=180°- (360°-∠NCB-∠M-∠N)- ∠NCB- ∠NCE.

=180°-180°+ ∠NCB+ ∠M+ ∠N-∠NCB- ∠NCE.

= ∠M+ ∠N- ∠NCB- ∠NCE= ,

或写成

【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠DBC=37.5°，根据邻补角定义以及角平分线定义求得∠DCA的度数为67.5°，最后根据三角形内角和定理即可求得∠D的度数；

(2)由四边形内角和与角平分线性质即可求解.

4．已知BM、CN分别是△的两个外角的角平分线，、分别是和的角平分线，如图①；、分别是和的三等分线（即，），如图②；依此画图，、分别是和的n等分线（即，），

，且为整数．

图①图②

（1）若，求的度数；

（2）设，请用和n的代数式表示的大小，并写出表示的过程；（3）当时，请直接写出 + 与的数量关系．

【答案】（1）解：，

∵、分别是和的角平分线，

∴

∴

（2）解：在△中， + ，

，

（3）解：

【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，根据角平分线求出，再根据三角形内角和定理求出即可；（2）先根据三角形内角和定理求出 + ，根据n等分线求出，再根据三角形内角和定理得出，代入求出即可.

（3）本题以三角形为载体，主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质、角平分线的性质、三角形的内角和是的性质，熟记性质然灵活运用有关性质来分析、推理、解答是解题的关键.

5．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方.

（1）将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图，使一边在的内部，且恰好平分，问：此时直线是否平分？请直接写出结论：直线 ________（平分或不平分） .

（2）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，则的值为________.（直接写出结果）

（3）将图1中的三角板绕点顺时针旋转，请探究：当始终在的内部时（如图3），与的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明.

【答案】（1）平分

（2）或49

（3）解：不变，设，

，，

【解析】【解答】（1）直线平分；（2）或

【分析】（1）根据图形得到直线ON平分∠AOC ；（2）由三角板绕点 O 以每秒 5 °的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，求出t的值；（3）根据题意得到∠AON=50°?y，∠AOM?∠NOC=x?y=40°.

6．如图，数轴上线段AB=2（单位长度），CD=4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣10，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．

（1）问运动多少时BC=8（单位长度）？

（2）当运动到BC=8（单位长度）时，点B在数轴上表示的数是________；

（3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式 =3，若存

在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）解：设运动t秒时，BC=8单位长度，

①当点B在点C的左边时，

由题意得：6t+8+2t=24

解得：t=2（秒）；

②当点B在点C的右边时，

由题意得：6t﹣8+2t=24

解得：t=4（秒）

（2）解：4或16

（3）解：存在关系式 =3．

设运动时间为t秒，

1）当t=3时，点B和点C重合，点P在线段AB上，0＜PC≤2，且BD=CD=4，AP+3PC=AB+2PC=2+2PC，

当PC=1时，BD=AP+3PC，即 =3；

2）当3＜t＜时，点C在点A和点B之间，0＜PC＜2，

①点P在线段AC上时，BD=CD﹣BC=4﹣BC，AP+3PC=AC+2PC=AB﹣BC+2PC=2﹣BC+2PC，当PC=1时，有BD=AP+3PC，即 =3；

点P在线段BC上时，BD=CD﹣BC=4﹣BC，AP+3PC=AC+4PC=AB﹣BC+4PC=2﹣BC+4PC，

当PC= 时，有BD=AP+3PC，即 =3；

3°当t= 时，点A与点C重合，0＜PC≤2，BD=CD﹣AB=2，AP+3PC=4PC，

当PC= 时，有BD=AP+3PC，即 =3；

4°当＜t 时，0＜PC＜4，BD=CD﹣BC=4﹣BC，AP+3PC=AB﹣BC+4PC=2﹣BC+4PC，PC= 时，有BD=AP+3PC，即 =3．

∵P在C点左侧或右侧，

∴PD的长有3种可能，即5或3.5

【解析】【解答】解：（2）当运动2秒时，点B在数轴上表示的数是4；当运动4秒时，点B在数轴上表示的数是16．

【分析】（1）设运动t秒时，BC=8（单位长度），然后分点B在点C的左边和右边两种情况，根据题意列出方程求解即可；（2）由（1）中求出的运动时间即可求出点B在数轴上表示的数；（3）随着点B的运动，分别讨论当点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况．

7．如图1，△ABC中，∠ABC＝∠BAC，D是BC延长线上一动点，连接AD，AE平分∠CAD 交CD于点E，过点E作EH⊥AB，垂足为点H.直线EH与直线AC相交于点F.设∠AEH＝，∠ADC＝ .

（1）求证：∠EFC＝∠FEC；

（2）①若∠B＝30°，∠CAD＝50°，则＝________，＝________；

②试探究与的关系，并说明理由；

（3）若将“D是BC延长线上一动点”改为“D是CB延长线上一动点”，其它条件不变，请在图2中补全图形，并直接写出与的关系.

【答案】（1）证明：∵∠ABC＝∠BAC,EH⊥AB.

∴∠EFC=∠AFH=90°－∠BAC,∠FEC=90°－∠ABC,

∴∠EFC＝∠FEC.

（2）35°；70°；解：② , 理由如下: 由(1)可知:

, 又∵ , ∴ . ∴ .

（3）解：图形如下:

∵∠ABC＝∠BAC,∠BHE=90°－∠ABC,∠F=90°－∠BAC，

∴ .

又∵，

∴在△CEF中有:∠ECF+2∠CEF=180°，

即 .

.

∵2∠EAC=∠DAC, ，

∴ .∴即 .

∴ .

【解析】【解答】解：(2)①∵∠CAD=50°,AE平分∠CAD,

∴∠ =∠AFH－∠EAC=90°－∠BAC－∠EAC=90°－30°－25°=35°.

∵∠ACB=∠ABC+∠BAC=60°,∠CAD=50°,

∴∠ =180°－∠ACB－∠CAD=180°－60°－50°=70°.

故答案为:35°,70°.

【分析】(1)利用等角的余角相等的性质证明即可.(2)①利用外角定理和角平分线的性质求解即可;②分别用∠和∠表示出∠AEC即可解.(3)画出图形,将所有的角度集中在△CEF 的内角和上,列出等式求解即可.

8．如图1，△ABC中，D、E、F三点分别在AB，AC，BC三边上，过点D的直线与线段EF 的交点为点H，∠1+∠2=180°，∠3=∠C.

（1）求证：DE∥BC；

（2）在以上条件下，若△ABC及D，E两点的位置不变，点F在边BC上运动使得∠DEF的大小发生变化，保证点H存在且不与点F重合，探究：要使∠1=∠BFH成立，请说明点F 应该满足的位置条件，在图2中画出符合条件的图形并说明理由.

（3）在（2）的条件下，若∠C=α，直接写出∠BFH的大小________.

【答案】（1）证明：如图1.

∵∠1是△DEH的外角，∴∠1=∠3+∠4.

又∵∠1+∠2=180°，∴∠3+∠4+∠2=180°.

∵∠3=∠C，∴∠C+∠4+∠2=180°，即∠DEC+∠C=180°，∴DE∥BC

（2）解：如图2.

∵∠1是△DEH的外角，∴∠1=∠3+∠DEF，①

∵∠BFE是△CEF的外角，∴∠BFH=∠2+∠C.

当∠1=∠BFH时，∠1=∠2+∠C，②

由①②得：∠3+∠DEF=∠2+∠C.

∵∠3=∠C，∴∠DEF=∠2，即EF平分∠DEC，∴点F运动到∠DEC的角平分线与边BC的交点位置时，∠1=∠BFH成立.

（3）90°+

【解析】【解答】（3）∵EF平分∠DEC，∴∠DEF=∠2.

∵DE∥BC，∴∠DEC+∠C=180°，∴2∠2+α=180°，∴∠2= = .

∵∠BFH=∠2+∠C= = .

【分析】（1）欲证明DE∥BC，只需推知∠DEC+∠C=180°即可，因此先根据外角性质，将∠1转化为∠3+∠4，再根据∠1与∠2互补，得到∠3+∠4+∠2=180°，最后将∠3=∠C代入即可得出结论；（2）点F运动到∠DEC的角平分线与边BC的交点位置时，∠1=∠BFH成立.（3）根据平行线的性质和角平分线的定义，得出∠2的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论.

9．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）

（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置：

（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求的值.

（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D 点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN

的值不变；② 的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值.

【答案】（1）解：由题意：BD=2PC

∵PD=2AC，

∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP.

∴点P在线段AB上的处

（2）解：如图：

∵AQ-BQ=PQ，

∴AQ=PQ+BQ，

∵AQ=AP+PQ，

∴AP=BQ，

∴PQ= AB，

∴

（3）解：② 的值不变.

理由：如图，

当点C停止运动时，有CD= AB，

∴CM= AB，

∴PM=CM-CP= AB-5，

∵PD= AB-10，

∴PN= AB-10）= AB-5，

∴MN=PN-PM= AB，

当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，

所以

【解析】【分析】（1）根据C、D的运动速度知BD=2PC，再由已知条件PD=2AC求得

PB=2AP，所以点P在线段AB上的处；（2）由题设画出图示，根据AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，从而求得PQ与AB的关系；（3）当点C停止运动时，有

CD＝ AB，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB表示的PM与PN的值，所以MN＝PN?PM＝ AB.

10．课题学习：平行线的“等角转化功能.

（1）问题情景：如图1，已知点是外一点，连接、，求

的度数.

天天同学看过图形后立即想出：，请你补全他的推理过程.解：（1）如图1，过点作，∴ ________， ________.

又∵，∴ .

解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决.

（2）问题迁移：如图2，，求的度数.

（3）方法运用：如图3，，点在的右侧，，点在的左侧，，平分，平分，、所在的直线交于点，点在与两条平行线之间，求的度数.

【答案】（1）∠EAB；∠DAC

（2）解：过C作CF∥AB，

∵AB∥DE，∴CF∥DE∥AB，

∴∠D=∠FCD，∠B=∠BCF，

∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°，

∴∠B+∠BCD+∠D=360°，

（3）解：如图3，过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，

∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=60°，∠ADC=70°，

∴∠ABE= ∠ABC=30°，∠CDE= ∠ADC=35°

∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°．

【解析】【解答】解：（1）根据平行线性质可得：因为，所以∠EAB，∠DAC；

【分析】（1）根据平行线性质“两直线平行，内错角相等”可得∠B+∠BCD+∠D∠BCF+∠BCD+∠DCF；（2）过C作CF∥AB，根据平行线性质可得；（3）

如图3，过点E作EF∥AB，根据平行线性质和角平分线定义可得∠ABE= ∠ABC=30°，

∠CDE= ∠ADC=35°，故∠BED=∠BEF+∠DEF.

11．如图，直线，点E、F分别是AB、CD上的动点（点E在点F的右侧）；点M 为线段EF上的一点，点N为射线FD上的一点，连接MN；

（1）如图1，若，，则 ________；

（2）作的角平分线MQ，且，求与之间的数量关系；（3）在（2）的条件下，连接EN，且EN恰好平分，；求

的度数.

【答案】（1）60°

（2）解：如图，

∵，

∴∠EMQ=∠AEF，

∵，AB∥CD，

∴MQ∥CD，

∴∠NMQ=∠MNF，

∵MQ平分∠EMN，

∴∠EMQ=∠NMQ，

∴ = ；

（3）解：设∠ENM=x，则∠MNF=2x，

∴∠ENF=3x，

∵AB∥MQ，

∴∠BEN=∠ENF=3x，

∵EN平分∠BEF，

∴∠BEF=2∠BEN=6x，

∵∠AEF=∠MNF=2x，∠AEF+∠BEF=180°，

∴2x+6x=180°，

解得x=22.5°，

∴，∠EFN=∠AEF=∠MNF=45°，∴∠EMN=∠EFN+∠MNF=90°.

【解析】【解答】解：（1）∵AB∥CD，

∴∠BEF+∠EFD=180°，

∵ ,

∴∠EFD=30°，

∵，

∴∠NMF=90°，

∴∠MNF=180°-∠NMF-∠EFD=60°，

故答案为：60°；

【分析】（1）根据AB∥CD得到∠BEF+∠EFD=180°，由求出∠EFD=30°，

根据得到∠NMF=90°，再利用三角形的内角和定理得到∠MNF=180°-∠NMF-

∠EFD=60°；（2）根据得到∠EMQ=∠AEF，由，AB∥CD推出MQ∥CD，证得∠NMQ=∠MNF，根据角平分线的性质得到∠EMQ=∠NMQ，即可得到 =

；（3）设∠ENM=x，则∠MNF=2x，根据AB∥MQ得到∠BEN=∠ENF=3x，由EN平分∠BEF，证得∠BEF=2∠BEN=6x，再根据∠AEF=∠MNF=2x，∠AEF+∠BEF=180°，列式求出x=22.5°，即可求出∠EMN=∠EFN+∠MNF=90°.

12．已知直线AB和CD交于点O，∠AOC的度数为x，∠BOE=90°，OF平分∠AOD.

（1）当x=19°48′，求∠EOC与∠FOD的度数.

（2）当x=60°，射线OE、OF分别以10°/s，4°/s的速度同时绕点O顺时针转动，求当射线OE与射线OF重合时至少需要多少时间？

（3）当x=60°，射线OE以10°/s的速度绕点O顺时针转动，同时射线OF也以4°/s的速度绕点O逆时针转动，当射线OE转动一周时射线OF也停止转动.射线OE在转动一周的过程中当∠EOF=90°时，求射线OE转动的时间.

【答案】（1）解：∵∠BOE=90°，

∴∠AOE=90°，

∵∠AOC=x=19°48′，

∴∠EOC=90°-19°48′=89°60°-19°48′=70°12′，

∠AOD=180°-19°48′=160°12′，

∵OF平分∠AOD，

∴∠FOD= ∠AOD= ×160°12′=80°6′；

（2）解：当x=60°，∠EOF=90°+60°=150°

设当射线OE与射线OF重合时至少需要t秒，

10t-4t=360-150，

t=35，

答：当射线OE与射线OF重合时至少需要35秒

（3）解：设射线OE转动的时间为t秒，

分三种情况：①OE不经过OF时，得10t+90+4t=360-150，

解得，t= ；

②OE经过OF，但OF在OB的下方时，得10t-（360-150）+4t=90

解得，t= ;

③OF在OB的上方时，得：360-10t=4t-120

解得，t= .

所以，射线OE转动的时间为t= 或或 .

【解析】【分析】（1）利用互余和互补的定义可得：∠EOC与∠FOD的度数；

（2）先根据x=60°，求∠EOF=150°，则射线OE、OF第一次重合时，则OE运动的度数-OF 运动的度数=360-150，列方程解出即可；

（3）分三种情况：①OE不经过OF时，②OE经过OF，但OF在OB的下方时；③OF在OB的上方时；根据其夹角列方程可得时间.