递推关系求通项公式教案
递推公式求通项
递推公式求通项一、一阶线性递推一阶线性递推式的一般形式：，其中为常数或关于的函数.根据的不同分为以下几类：1、，即，此时数列为等差数列.2、，即，此时数列为等比数列.3、，即为的函数，此时用累加法.4、，即为的函数，此时用累乘法.5、，即，此时待定系数法构造等比数列.6、，即为的一次函数，此时待定系数法构造等比数列，此法可推广到为的高次函数仍然适用.7、，即，此时同除后待定系数法构造等比数列.【基本概念】二、奇偶分析法8、或，此时奇偶分析法。
特别地，也可以写成，然后采用5（或6、7）的方法.三、分式递推式（一次）分式递推式的一般形式：，其中为常数.根据的不同分为2类：9、，即，此时取倒数法.10、，即，此时不动点法。
特别地，当时，就相当于5的情况，也可以使用待定系数法构造等比数列.四、高次递推式11、，其中，此时两边取对数将次数转化为系数，进而将递推形式转化为线性递推式，然后根据线性递推式的方法求解.五、二阶递推式12、，此时待定系数法.六、其他递推式13、与的递推式，先求利用前述求解的方法求出，再利用求解.14、与的递推式，直接利用可转化为与的递推式求解，也可转化为与的递推式求解.高频考点1 累加法(逐差法) ，其中常见形式为关于的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数或它们的组合等.【例 1.1】 设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2n －3，则数列{a n }的通项公式为________．【高频考点】[强化训练1.1]设数列{a n}满足a1＝2，a n＋1－a n＝3·22n－1，则数列{a n}的通项公式为________．[强化训练1.2]设数列{a n}满足a1＝1，a n＋1－a n＝3n－2n，则数列{a n}的通项公式为________．。
2020届高考数学一轮总复习第六单元数列与算法第39讲由递推公式求通项课件理新人教A版
解：(1)依题意，S1＝1－a1，即 a1＝1－a1， 所以 a1＝21＝1×1 2. S2＝1－2a2，即 a1＋a2＝1－2a2， 所以 a2＝61＝2×1 3. S3＝1－3a3，即 a1＋a2＋a3＝1－3a3， 所以 a3＝112＝3×1 4. S4＝1－4a4，即 a1＋a2＋a3＋a4＝1－4a4， 所以 a4＝210＝4×1 5.
解得 a1＝3，a2＝5，a3＝7.
(2)由(1)猜想 an＝2n＋1. 因为 Sn＝2nan＋1－3n2－4n，① n≥2 时，Sn－1＝2(n－1)an－3(n－1)2－4(n－1)，② ①－②得：
an＝2nan＋1－2(n－1)an－3[n2－(n－1)2]－4[n－(n－1)]， 所以 2nan＋1＝(2n－1)an＋6n＋1(n≥2)， 所以 an＋1＝2n2－n 1an＋6n2＋n 1，
累加法、累乘法 转化法 归纳、猜想与证明
考点1·累加法、累乘法
【例 1】已知数列{an}中，a1＝1，前 n 项和为 Sn＝n＋3 2an. (1)求 a2，a3； (2)求{an}的通项公式．
分析：由 Sn 与 an 的关系求通项，可利用 an 与 Sn 的关系：
an＝SS1n， －Sn－1，
点评：(1)累加法和累乘法是推导等差数列和等比数列 的通项公式时所采用的方法，是递推关系求通项的两种最 基本的方法．
(2)一般地，若 an－an－1＝f(n)，在 f(n)可求和的条件下， 求 an 可采用累加法；
若aan－n1＝g(n)，在 g(n)可求积的条件下，求 an 可采用 累乘法．
考点2·转化法
高考总复习第（1）轮 理科数学
高中数学教案《由递推公式求通项公式
高中数学教案《由递推公式求通项公式》一、教学目标：1. 理解递推公式的概念，掌握递推公式的求解方法。
2. 能够运用递推公式求解简单的数列通项公式。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 递推公式的定义和性质。
2. 递推公式的求解方法。
3. 运用递推公式求解数列通项公式。
三、教学重点与难点：1. 重点：递推公式的求解方法，数列通项公式的求解。
2. 难点：递推公式的灵活运用，解决复杂问题。
四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究递推公式的求解方法。
2. 通过案例分析，让学生掌握递推公式在求解数列通项公式中的应用。
3. 利用数形结合的方法，帮助学生直观地理解递推公式的性质。
五、教学过程：1. 导入：引导学生回顾数列的相关知识，为新课的学习做好铺垫。
2. 递推公式的定义与性质：讲解递推公式的定义，引导学生理解递推公式的性质。
3. 递推公式的求解方法：介绍递推公式的求解方法，引导学生掌握求解技巧。
4. 数列通项公式的求解：讲解如何运用递推公式求解数列通项公式，引导学生独立解决问题。
5. 案例分析：分析典型例题，让学生加深对递推公式的理解和运用。
6. 练习与拓展：布置练习题，巩固所学知识，引导学生运用递推公式解决实际问题。
8. 作业布置：布置适量作业，让学生巩固所学知识。
9. 课后辅导：针对学生在作业中遇到的问题进行辅导，提高学生的解题能力。
10. 教学评价：对学生的学习情况进行评价，为下一步教学提供参考。
六、教学评价：1. 学生能够准确理解递推公式的概念及其在数列中的作用。
2. 学生能够运用不同的方法解决递推公式的问题，并正确求解通项公式。
3. 学生能够分析问题，将实际问题转化为数学问题，并运用递推公式解决。
4. 学生能够通过案例分析，理解递推公式在不同情境下的应用。
5. 学生能够独立完成课后作业，并对遇到的问题进行自主思考和解决。
七、教学拓展：1. 探讨递推公式在其他数学领域的应用，如组合数学、图论等。
常见递推数列通项公式的求法
关系求通项公式的类型．
解 ：依题 意得 ，。＝０ 一。＝１ ３ ＝ ，…，％一％一＝ ｌ ， ｌ ，ａ一 ３ 】
２ ｎ一１ 一１＝２ （ ） ｎ一３ ．
２ ．当 Ｐ ，ｑ ≠１ ≠Ｏ时 ，可转化为等 比数列型 嘞＋＝ ％＋ｑ Ｉｐ ．
摘要 ：递 推数 列是一类广 泛而复 杂的问题 ，具有逻辑推 理 项 公 式 ． 性强 ，求解方法开放 、灵活等特点．递推数列是 数列 中的重要 内
思 路 分 析 ：构 造 辅 助 数 列 ％过 递推 关 系，观 察 、探 求 数 列 的 规 律 ，进 而 可 求 出数 列 求通项过程 中，多次利用递推 的思想 方法以及把 一般 数列转化
解 ：由 ％＋—３ｎｌ ＝０ ２ ａ＋＋２ ，得 ％＋一 ＋一２ ％＋一％） ， ２ ｌ （ ｌ ＝０
即 ＋ 一％＋ ＝２ ＋ 一 ，且 啦 一 ＝５ ２ ｌ （ １ ％） —２＝３ ，
所 以｛ ％＋一％ ｝ 以 ２为 公 比 ，３为 首 项 的等 比数 列 ， 是
所 以 ％＋ 一％＝３ ． Ｉ ×２
口 ａ 十 ａ
（ ≠Ｏ ． ｃ ）
那
【 解后反 思 】由递 推关 系得 ，若－（ ） 一常数 ，即第 一种 类 厂 ｎ是
型 ，直 接可得是 一等差 数列 ；若 ＋ ～ 不是 常数，而是关 于 ｎ
累和型递推关 系，递推公式为 ％＋＝ ＋ （ ） 。 厂 ｎ ．
则 ｛ 是 以 ｏ ＝１ ％｝ 为首项 ，３ 为公差 的等差数列．
所 以数 列 的 通项 ％ ＝１ ｎ ） ＝３ 一 ２ ＋（ 一１ Ｘ３ ｎ ．
例 ４ 在数列｛ 中， ＝０且 ％＋＝％＋２ ％｝ 。 ｎ一１ ，求通项 ％．
高中数学教案《由递推公式求通项公式
高中数学教案《由递推公式求通项公式》一、教学目标：1. 让学生理解递推公式的概念，掌握由递推公式求通项公式的方法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生分析问题、逻辑思维和归纳总结的能力。
二、教学内容：1. 递推公式的定义和特点。
2. 由递推公式求通项公式的基本方法。
3. 常见类型的递推公式及求通项公式的技巧。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：递推公式的定义，由递推公式求通项公式的方法。
2. 教学难点：递推公式求通项公式的技巧，实际应用中的问题解决。
四、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，引导学生了解递推公式的概念。
2. 新课讲解：讲解递推公式的定义、特点，以及由递推公式求通项公式的基本方法。
3. 例题解析：分析常见类型的递推公式，讲解求通项公式的技巧。
4. 练习与讨论：学生独立完成练习题，教师解答疑问，引导学生总结规律。
5. 课堂小结：回顾本节课所学内容，强调递推公式求通项公式的方法和技巧。
五、课后作业：1. 理解并掌握递推公式的定义和特点。
2. 熟练运用递推公式求通项公式的基本方法。
3. 练习常见类型的递推公式求通项公式，总结求解规律。
4. 结合生活实际，寻找递推公式的应用实例，体会数学在生活中的作用。
六、教学策略与方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中发现递推公式的规律。
2. 利用数列的知识，帮助学生理解递推公式与通项公式之间的关系。
3. 通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生团队合作精神和沟通能力。
4. 利用多媒体课件，直观展示递推公式的推导过程，增强学生的理解力。
七、教学评价：1. 课堂提问：检查学生对递推公式概念和求通项公式方法的理解程度。
2. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的掌握情况。
3. 小组讨论：评价学生在团队合作中的表现，以及沟通能力和问题解决能力。
八、教学拓展：1. 探讨递推公式在其他学科领域的应用，如计算机科学、物理学等。
2. 引导学生研究更复杂的递推公式，提高学生的数学思维能力。
数列的通项公式与递推公式 第2课时
×…×aa32
×aa21
n－1 ×a1＝ n
n－2 ×n－1
n－3 ×n－2
2 ×…×3
1 ×2
×1＝n1
.
又因为 n＝1 时，a1＝1，符合上式，所以 an＝1n (n∈N*).
由递推公式求通项公式的方法 1．累差法：形如 an＋1－an＝f(n)的递推公式，可以利用 a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an －an－1)＝an(n≥2，n∈N*)求通项公式；
所以a1n ＝a11 ＋a12－a11 ＋a13－a12 ＋…＋a1n－an1－1
＝2＋
111
n 1个1
＝n＋1.所以a1n ＝n＋1(n≥2)，
又 a1＝12 也适合上式，所以 an＝n＋1 1 .
角度 2 累乘法
【典例】设数列{an}中，a1＝1，an＝1－n1 an－1(n≥2)，求通项公式 an.
n，0
an
1， 2
n－1，12 an 1，
若 a1＝67 ，则 a2 021＝________．
【解析】计算得 a2＝2a1－1＝57 ，a3＝2a2－1＝37 ，a4＝2a3＝76 .
故数列{an}是以 3 为周期的周期数列， 又因为 2 021＝673×3＋2，所以 a2 021＝a2＝57 .
2．符合递推关系式 an＝ 2 an－1(n≥2)的数列是( )
A．1，2，3，4，…
B．1， 2 ，2，2 2 ，…
C. 2 ，2， 2 ，2，…
D．0， 2 ，2，2 2 ，…
【解析】选 B.B 中从第二项起，后一项是前一项的 2 倍，符合递推公式 an＝
2 an－1.
3．数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则 a5＝( )
递推数列通项公式求法(教案设计)
递推数列通项公式的求法彭山一中 郑昌建一、课题：常见递推数列通项公式的求法二、教学目标1、知识与技能：会根据递推公式求出数列中的项，并能运用累加、累乘、待定系数等方法求数列的通项公式。
2、过程与方法：①复习回顾所学过的通项公式的求法，对比递推公式与通项公式区别认识到由递推公式求通项公式的重要性，引出课题。
②对比等差数列的推导总结出累加法的试用题型。
③学生分组讨论完成累乘法及待定系数法的相关题型。
3、情感态度与价值观：①通过对数列的递推公式的分析和探究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；②通过对数列递推公式问题的分析和探究，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯；③通过互助合作、自主探究等课堂教学方式培养学生认真参与、积极交流的主体意识。
三、教学重点：根据数列的递推关系式求通项公式。
四、教学难点：解题过程中方法的正确选择。
五、教学课型，课时：复习课 1课时六、教学手段：多媒体课件，黑板，粉笔七、教学方法： 激励——讨论——发现——归纳——总结八、教学过程（一）复习回顾：1、通项公式的定义及其重要作用2、学过的通项公式的几种求法3、区别递推公式与通项公式，从而引入课题（二）新知探究：问题1:已知数列}{n a ，1a =1，1n a +=n a +2，求n a ?变式： 已知数列}{n a ，1a =1，1n a +=n a +2n ，求n a ?活动：通过分析发现形式类似等差数列，故想到用累加法去求解。
教师引导学生细致讲解整个解题过程。
解：由条件知：n a a n n 21=-+分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a)1(2)2(232222-⨯+-⨯+⨯+⨯+=n n所以[]2)1(22)1(1-⨯+-=-n n a a n 由1a =1，12+-=∴n n a n 练习： 已知数列}{n a ，1a =1，n n n a a 211=-+，求n a ? 总结：类型1：)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
由递推公式求通项公式教案
由递推公式求通项公式（复习课）教案教学目标知识与技能1.了解递推公式的定义2.能够根据数列的递推公式求数列的通项公式.过程与方法1.介绍递推公式的定义；2.根据数列1+n a 与n a 的关系用累加累乘法求数列的通项公式的讲解. 情感、态度与价值观通过本节课学习，体会合作探究的乐趣，并且提高学生的主动积极性和合作探究意识。
教学重点：由数列1+n a 与n a 的关系求数列的通项公式 教学难点：由数列1+n a 与n a 的关系求数列的通项公式及化简过程中项数的确定。
教学过程：课题导入：复习等差等比数列的通项公式以及根据n n S a 与的关系求通项公式 讲授内容：在数列{n a }中，若1a ＝1，1+n a ＝n a ＋2(n ≥1)，则该数列的通项n a ＝________. 变式1：{n a }中，若1a ＝1，1+n a ＝n a ＋2n (n ≥1)，则该数列的通项n a ＝________. 变式2：在数列{n a }中，若1a ＝1，1+n a ＋1＝n a ＋ n 2 (n ≥1)，则该数列的通项n a ＝________. (2014·北京模拟考)在数列{n a }中，1+n a ＝2n a (n ≥1)若1a ＝1,则该数列的通项n a ＝________.变式3．在数列{n a }中，若1a ＝1，,21n n n a a =+ (n ≥1)，则该数列的通项n a ＝________.(2013·四川高考)在数列{n a }中，若1a ＝1，n a ＝1-n a ＋3n －2(n ≥2)，则该数列的通项为（）23.n A n n B +23. 23.2n n C + 23.2n n D -(2014课标2模拟考)在数列{n a }中，若 1a ＝1，,111+-=-n n a a n n (n ≥2)，则该数列的通项n a ＝________.课堂小结1.这节课我们收获了什么？2.在运用知识点的时候该注意什么问题？。
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教 案
课题：递推关系求通项公式 课型： 习题课 授课人：呼延敏
要点自主整合：累加法、累乘法两种基本的由递推公式求通项
教学目标:
【知识目标】 累加法、累乘法的应用
【能力目标】 培养学生的发散思维能力，进而提高转化与化归能力的培养.
【情感目标】培养学生的创新意识与创新思维，培养学生的合作探究意识 。
学生能够通过等差、等比数列的通项公式推导得到累加法、累乘法两种基
本的由递推公式求通项公式的方法，并进一步拓展到“构造法”，在此过程中使学生的思维空间得以拓展，养成善于观察，勇于创新的学习精神。
教学重点：已知数列递推关系求通项关系的几种基本类型。
教学难点：累加法、累乘法的应用
教学过程：
引 例： 11=a n n a a +=+21 求n a
提问：等差数列的通项公式的推导方法是什么?
学生答：……………
类型<一> 形如a 1=a, a n+1=a n +f ()n 型 其中f ()n 为可求和数列采用累
加法求通项
例1：数列{}n a 中a 1=1 a n+1=2n+a n 求a n
解析： a n+1—a n =2n
∴当n 2≥时a n —a n-1=2()1-n
a 2—a 1=2
a 3—a 2=4
a 4—a 3=6
..……
a n —a n-1=2()1-n
对上面的n-1个式子相加得到：a n =n 2—n+1
变式训练1：数列中{}n a a 1=1 a n+1=a n +2n 求a n 类型<二> 形如a 1=a, a n+1=a n *f ()n 型 采用累乘法 在引例1中将加号+变为乘号*即得到一个等比数列11=a n n a a *=+21 让学生回顾：等比数列中通项公式的推导方法是什么？ 学生答：…………
将变式训练1中的加号+变为乘号*得到如下例题 例2：数列中{}n a 11=a n n n a a 21*=+ 求n a
解析： 1+n a =
n n a 2* ∴当2≥n 时 11
2--=n n n a a 21
2=a a 22
32=a a
3342=a a ………..
11
2--=n n n a a
将上面1-n 个式子相乘得到：222n n n a -=
变式训练2: 已知数列{}n a 1a =1，n a =()n n a a n -+1，求n a。