六年级秋季班第11讲：方程与一元一次方程-教师版

【难度】★
【答案】2
【解析】由一元一次方程的定义可知： ，则 ．
【总结】考察一元一次方程的定义．
【例14】下面的做法对不对？如果不对，请指出错在哪里，并将其改正．
（1）由 移项，得 ；
（2）由 移项，得 ．
【难度】★
【答案】（1）错误，移项可得： ；（2）正确．
【解析】移项后符号要改变．
【总结】考察一元一次方程的解法．
整理可得： ，即 ，
因为abc= 1，所以 ，即 ，
整理可得： ，即 ，
因为abc= 1，所以 ，即 ，
整理可得： ，解得： ，所以原方程的解为 ．
【例27】已知p、q都是素数，并且以x为未知数的一元一次方程 的解是1，
求代数式 的值．
【难度】★★★
【答案】 ．
【解析】因为x为未知数的一元一次方程 的解是1，所以 ，
则 和 中必有一个为偶数，当 ，则 ，即 ，所以 ；
当 为偶数，则 ， ，而87不是质数，与题意矛盾，所以 ．
【总结】考察一元二次方程的解的定义和素数的定义．
【解析】将2、 代入方程 中，可得2不能使得方程成立，而 可使得方程成立．
【总结】考察方程的解的定义．
【例5】在下列问题中，引入未知数，列出方程：
（1）一个数与它的一半的和是 ，求这个数；
（2）甲比乙大5岁，甲、乙两人相加为35岁，求甲的年龄．
【难度】★★
【答案】（1）设这个数为 ，可列方程为： ；
【解析】由原方程可得： ，因为a为自然数，所以 ，解得： ，
因为自然数a取最小值，所以 应取160，此时 ，
所以自然数a的最小值为2．
【总结】考察一元一次方程的解法和整除的定义，综合性较强．
【例30】若abc= 1，解方程： ．
【难度】★★★
【答案】 ．
【解析】因为abc= 1，所以原方程可化为 ，
的值．
【难度】★★★
【答案】 ．
【解析】方程两边同时乘以12，可得： ，
去括号可得： ，
移项可得： ，整理可得： ，解得： ．
因为方程 与关于x的方程 的解相同，
所以关于x的方程 的解为 ，所以 ，
两边同时乘以12可得： ，
去括号可得： ，移项可得： ，
整理可得： ，解得： ．
【总结】考察一元一次方程的解的定义和具体的解法．
（2）方程两边同时乘以15可得： ，
去括号可得： ，移项可得：
整理可得： ，解得： ，所以原方程的解为 ．
【总结】考察一元一次方程的解法，注意去分母时每一项都要乘分母的最小公倍数．
【例23】解方程：
（1） ；（2） ．
【难度】★★
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）去括号可得： ，移项可得： ，
【难度】★
【答案】（2）、（5）、（7）是一元一次方程；其余均不是一元一次方程．
【解析】（1）中没有未知数；（3）是不等式；（4）等式中有分式；（6）、（8）有两个未
知数，所以他们都不是一元一次方程．
【总结】考察一元一次方程的定义，注意（2）是关于c的一元一次方程，其解为一切实数．
【例13】当a为______时， 是一元一次方程．
去括号可得： ，移项可得： ，
整理可得： ，解得： ，所以原方程的解为 ；
（2）两边同时乘以0.6可得 ，
去括号可得： ，移项可得： ，
整理可得： ，解得： ，所以原方程的解为 ．
【总结】考察一元一次方程的解法，注意去分母时每一项都要乘分母的最小公倍数．
【例26】若方程 与关于x的方程 的解相同，求a
解得： ，所以方程的解为 ．
【总结】考察一元一次方程的解法，注意去括号的方法，先从里面的括号去，一层一层的去
括号．
【例22】解方程：
（1） ；（2） ．
【难度】★★
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）方程两边同时乘以16可得： ，去括号可得： ，
移项可得： ，整理可得： ，解得： ，所以原方程的解为 ；
解；当 时，左边 ，右边 左边，故 不
是原方程的解．
【总结】考察方程的解的定义及检验的方法．
【例7】 ，1是不是方程 的解？
【难度】★★
【答案】1是方Leabharlann 的解； 不是方程的解．【解析】将 和1代入方程中，可知1可使得方程成立，而 不能使得方程成立．
【总结】考察方程的解的定义．
【例8】根据条件，引入未知数列方程：
方程与一元一次方程是初中数学六年级下学期第2章第1节和第2节的内容．在预习阶段，本讲主要讲解方程和一元一次方程的相关概念，方程的解的检验，一元一次方程的解法．重点在于理解一元一次方程的概念，熟练掌握一元一次方程的解法，为后续重点学习一元一次方程的应用做好准备．
1、方程及其相关概念
（1）未知数：用字母x、y…等表示所要求的未知的数量，这些字母称为未知数；
（3） ．
【难度】★★
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【解析】（1）去括号得： ，移项可得： ，
整理可得： ，解得： ，所以原方程的解为 ；
（2）去括号得： ，移项可得： ，整理可得： ，
解得： ，所以方程的解为 ；
（3）去括号可得： ，整理可得： ，
去括号可得： ，整理可得： ，
去括号可得： ，左右两边同时乘以120可得： ，
【例1】判断下列各式，哪些是方程？
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） ；（6） ；
（7） ；（8） ；（9） ．
【难度】★
【答案】（2）、（3）、（4）、（8）．
【解析】（1）、（7）是不等式；（6）、（9）中没有未知数；（5）是代数式；所以只有（2）、（3）、（4）、（8）是方程．
【总结】考察方程的定义：含有未知数的等式叫做方程．
A． B． C． D．
【难度】★
【答案】B
【解析】A、C答案中有两未知数；D答案中有分式．
【总结】考察一元一次方程的概念．只含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做一
元一次方程．
【例12】判断下列方程是否是一元一次方程？如果不是，请说明理由．
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；（7） ；（8） ．
甲数是595，乙数是225，要使甲数为乙数的4倍，必须从乙数中抽多少数给甲？
【难度】★★
【答案】设必须从乙数中抽 给甲，则可列方程： ．
【解析】设未知数列方程中，一般是求什么设什么，然后再列方程．
【总结】考察设未知数列方程．
【例9】若x= 4是方程 的解，求m的值．
【难度】★★★
【答案】 ．
【解析】因为x= 4是方程 的解，所以x= 4代入方程 中可使得方程成
【例28】解关于x的方程：ax=b．
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】当 时， ；当 时，方程无解；
当 时，方程的解为任意数．
【总结】考察含字母系数的一元一次方程的解法，注意分类讨论．
【例29】已知关于x的方程 ，且a为某些自然数时，方程的解为自然数，
试求自然数a的最小值．
【难度】★★★
【答案】2．
【解析】因为 是方程 的解，所以 使得方程
成立，所以 ，解得： ，则 ．
【总结】考察一元一次方程的解的定义，注意对绝对值的正确理解．
【例20】当x取何值时， 与 互为相反数？
【难度】★★
【答案】 ．
【解析】由题意可得： ，解得： ．
【总结】考察相反数的定义和一元一次方程的解法．
【例21】解方程：
（1） ；（2） ；
【解析】设第一次不及格人数为 ，则第一次及格人数为 ，则共有
人参加了数学竞赛；因为第二次及格人数增加了5人，为 人，则不
及格人数减少5人，为 人，因为这时及格人数是不及格人数的5倍，
所以可列方程 ．
【总结】考察列未知数列方程．如果求什么设什么不能建立方程，则利用条件“第一次及格
人数是不及格人数的3倍多4人”中设“是”后面的那个量，然后表示另外的量，进而列出
（2）方程：含有未知数的等式叫做方程；
（3）元：在方程中，所含的未知数又称为元；
（4）列方程：为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系式，就是列方程；
（5）项：在方程中，被“+”、“ ”号隔开的每一部分（包括这部分前面的“+”、“ ”号在内）称为一项；如在方程 和 中，x、2.5、 、 都是方程中的一项；
【例3】（1）方程 中，项3x的系数是______，次数是______；项 的系数是______，次数是______；常数项是______．
【难度】★
【答案】3，1， ，2，5．
【解析】考察方程中项的次数、系数、项数等概念．
【例4】检验2、 是否是方程 的解．
【难度】★
【答案】2不是方程的解； 是方程的解．
立，所以 ，解得： ．
【总结】考察方程的解的定义及运用．
【例10】根据下列条件列出方程：
某区用一批人进行了两次数学竞赛，第一次及格人数是不及格人数的3倍多4人，第二
次及格人数增加了5人，这时及格人数是不及格人数的5倍，一共多少人参加了数学竞赛？
【难度】★★★
【答案】设第一次不及格人数为 ，可列方程为 ．
（3）左右两边同时乘以10可得： ，去括号移项可得： ．
【总结】考察一元一次方程的解法，注意去分母时每一项都要乘分母的最小公倍数．
【例17】若关于x的方程 是一元一次方程，则这个方程的解为______．
【难度】★★
【答案】 ．
【解析】因为方程为一元二次方程，所以 ，则 ，所以方程为 ，
解得这个方程的解为
整理可得： ，解得： ，所以原方程的解为 ；
（2）两边同时乘以100可得 ，移项可得： ，