第六节 前束范式 在命题演算中有时需将命题公式化成和之等价的规范形式
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前束范式求解方法
前束范式求解方法1. 前束范式的概念和目的1.1 前束范式的定义前束范式是一种数学和逻辑学中的概念，它用于描述一个公式、命题或谓词逻辑中的前提部分。
在逻辑推理和问题求解中，前束范式用于将问题转化为一组条件和约束的集合，以便能够进行推理和求解。
1.2 前束范式的目的前束范式的目的是将问题转化为一组更易于求解的条件和约束的集合。
通过使用前束范式，我们可以简化问题的复杂性，并将其转化为一组逻辑关系更为清晰和可管理的形式。
这样，我们可以更容易地进行问题求解和逻辑推理。
2. 前束范式求解方法的基本原理2.1 前束范式求解方法的基本原理前束范式求解方法基于以下基本原理： 1. 将问题转化为一组逻辑约束和条件。
2. 使用逻辑推理或数学方法对这组约束和条件进行求解。
3. 根据求解结果，得到问题的解答或结论。
2.2 前束范式求解方法的步骤前束范式求解方法一般包括以下几个步骤： 1. 将问题描述转化为逻辑形式，并确定问题的前提条件和约束条件。
2. 将前提条件和约束条件表示为一组逻辑公式或数学方程。
3. 使用逻辑推理或数学求解方法，对这组公式或方程进行求解。
4. 根据求解结果，得到问题的解答或结论。
3. 前束范式求解方法的应用领域3.1 前束范式求解方法在人工智能中的应用前束范式求解方法在人工智能领域有广泛的应用，特别是在知识表示和推理、专家系统以及自动推理等方面。
通过将问题转化为前束范式，可以使计算机更好地理解问题的逻辑结构，并用逻辑推理的方式进行求解。
3.2 前束范式求解方法在自动规划和优化中的应用前束范式求解方法在自动规划和优化领域也有重要的应用。
通过将问题转化为前束范式，可以将复杂的规划和优化问题分解为一组条件和约束的集合，进而使用逻辑推理或数学求解方法进行求解。
3.3 前束范式求解方法在电路设计中的应用前束范式求解方法在电路设计中也有广泛的应用。
通过将电路设计问题转化为前束范式，可以将复杂的电路设计问题分解为一组逻辑关系更为清晰和可管理的形式，从而更好地进行电路设计和优化。
离散数学26 前束范式
7
二、前束合取范式
第二步，约束变量换名： D (x)[P(x)(z)Q(z,y)(w)R(x,w)] 第三步，消去条件联结词： D (x)[(P(x)(z)Q(z,y)) (w)R(x,w)] 第四步，将深入： D (x)[(P(x) (z)Q(z,y))(w)R(x,w)] (x)[(P(x)(z)Q(z,y))(w)R(x,w)] 第五步，将量词提前： D (x)(z)(w)[(P(x)Q(z,y)) R(x,w)] (x)(z)(w) [(P(x)R(x,w))(Q(z,y) R(x,w) ) ]
3
一、前束范式
例：化下列公式为前束范式
1）x F(x) x G(x) 2）x F(x) x G(x) 解：（1）x F(x) x G(x) x F(x) x G(x) x F(x) x G(x) x (F(x) G(x)) （2）x F(x) x G(x) x F(x) x G(x) x F(x) x G(x) x F(x) y G(y) x (F(x) y G(y)) x y (F(x) G(y))
定理2-6.3：任何一个谓词公式都可以转化为与其
等价的前束析取范式。 任一个wff A转化成前束析取范式步骤与例4类同
9
本课小结
1.前束范式 2.前束析取范式 3.前束合取范式
10
作业
P75 （2）
11
8
三、前束析取范式
定义2-6.3：如果一个谓词公式wff A具有如下形式，
则称其为一个前束析取范式。 (□v1)(□v2)…(□vn)[(A11 A12 … A1l1) (A21 A22 … A2l2) … (Am1 Am2 … Amlm)]
二、前束合取范式
第二步，约束变量换名： D (x)[P(x)(z)Q(z,y)(w)R(x,w)] 第三步，消去条件联结词： D (x)[(P(x)(z)Q(z,y)) (w)R(x,w)] 第四步，将深入： D (x)[(P(x) (z)Q(z,y))(w)R(x,w)] (x)[(P(x)(z)Q(z,y))(w)R(x,w)] 第五步，将量词提前： D (x)(z)(w)[(P(x)Q(z,y)) R(x,w)] (x)(z)(w) [(P(x)R(x,w))(Q(z,y) R(x,w) ) ]
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一、前束范式
例：化下列公式为前束范式
1）x F(x) x G(x) 2）x F(x) x G(x) 解：（1）x F(x) x G(x) x F(x) x G(x) x F(x) x G(x) x (F(x) G(x)) （2）x F(x) x G(x) x F(x) x G(x) x F(x) x G(x) x F(x) y G(y) x (F(x) y G(y)) x y (F(x) G(y))
定理2-6.3：任何一个谓词公式都可以转化为与其
等价的前束析取范式。 任一个wff A转化成前束析取范式步骤与例4类同
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本课小结
1.前束范式 2.前束析取范式 3.前束合取范式
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作业
P75 （2）
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三、前束析取范式
定义2-6.3：如果一个谓词公式wff A具有如下形式，
则称其为一个前束析取范式。 (□v1)(□v2)…(□vn)[(A11 A12 … A1l1) (A21 A22 … A2l2) … (Am1 Am2 … Amlm)]
离散数学26 前束范式
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一、前束范式
例：化下列公式为前束范式
1）x F(x) xG(x) 2) xF(x) xG(x) 解：(1) x F(x) xG(x) x F(x) xG(x) x (F(x) G(x)) (2) x F(x) xG(x) x F(x) x G(x) x F(x) y G(y) x (F(x) y G(y)) x y (F(x) G(y))
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一、前束范式
例：化为前束范式
x (y A (x, y) x y (B(x, y) y (A(y, x) B(x, y))))
解：原式
x(y A(x, y) x y (B(x, y) y (A(y, x) B(x, y))))
x (yA(x, y) x y (B(x, y) y (A(y, x) B(x, y)))) x (yA(x, y) u r (B(u, r) z (A(z, u) B(u, z)))) x y u rz(A(x, y) (B(u, r) (A(z, u) B(u, z))))
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三、前束析取范式
定义2-6.3：如果一个谓词公式wff A具有如下形式，
则称其为一个前束析取范式。 (□v1)(□v2)…(□vn)[(A11 A12 … A1l1) (A21 A22 … A2l2) … (Am1 Am2 … Amlm)]
其中□ 可为或，vi(i=1,2,……n)是客体变元，Aij 是 原子公式或其否定。
1
一、前束范式
例如 x y(F(x, y) G(x, y)) , xyz(F(x, y, z) G(x, y, t)) 等都是前束范式。 而 x F(x) x G(x, y) x (F(x) y (G(y) H(x))) 等不是前束范式。 定理2.-6.1：任何一个谓词公式均等价于某个前束范式。 在一阶逻辑中，任何合式公式都存在前束范式。 具体做法：总是利用德摩根律及量词与否定间关系把 否定符号放在谓词之前，有必要时进行换名或代替， 再利用量词作用域扩张的等值式，求出前束范式。一 般前束范式并不唯一。
一、前束范式
例：化下列公式为前束范式
1）x F(x) xG(x) 2) xF(x) xG(x) 解：(1) x F(x) xG(x) x F(x) xG(x) x (F(x) G(x)) (2) x F(x) xG(x) x F(x) x G(x) x F(x) y G(y) x (F(x) y G(y)) x y (F(x) G(y))
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一、前束范式
例：化为前束范式
x (y A (x, y) x y (B(x, y) y (A(y, x) B(x, y))))
解：原式
x(y A(x, y) x y (B(x, y) y (A(y, x) B(x, y))))
x (yA(x, y) x y (B(x, y) y (A(y, x) B(x, y)))) x (yA(x, y) u r (B(u, r) z (A(z, u) B(u, z)))) x y u rz(A(x, y) (B(u, r) (A(z, u) B(u, z))))
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三、前束析取范式
定义2-6.3：如果一个谓词公式wff A具有如下形式，
则称其为一个前束析取范式。 (□v1)(□v2)…(□vn)[(A11 A12 … A1l1) (A21 A22 … A2l2) … (Am1 Am2 … Amlm)]
其中□ 可为或，vi(i=1,2,……n)是客体变元，Aij 是 原子公式或其否定。
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一、前束范式
例如 x y(F(x, y) G(x, y)) , xyz(F(x, y, z) G(x, y, t)) 等都是前束范式。 而 x F(x) x G(x, y) x (F(x) y (G(y) H(x))) 等不是前束范式。 定理2.-6.1：任何一个谓词公式均等价于某个前束范式。 在一阶逻辑中，任何合式公式都存在前束范式。 具体做法：总是利用德摩根律及量词与否定间关系把 否定符号放在谓词之前，有必要时进行换名或代替， 再利用量词作用域扩张的等值式，求出前束范式。一 般前束范式并不唯一。
2-6前束范式
是前束合取范式
（非标准谓词公式）
定理2-6.2 每一个wffA都可转化为与其等价的前束合取范式。
【例】将wffD：x)[(y) P( x) (z)Q( z, y) (y) R( x, y)] (
转化为与其等价的前束合取范式。
解 第一步取消多余量词
D (x)[ P( x) (z)Q( z, y) (y) R( x, y)]
化为前束范式（此式并没先化为受限公式）
解 第一步否定深入
原式
(x){(y) A( x, y) (x)(y)[ B( x, y) (y)( A( y, x) B( x, y))]}
(x){(y) A( x, y) (x)(y)[B( x, y) (y)(A( y, x) B( x, y))]}
(Q1x1)(Q2x2)…(Qkxk)[(A11∧A12∧…∧A1l1) ∨(A21∧A22∧…∧A2l2) ∨ …∨ (Am1∧Am2∧…∧Amlm)] 其中Qi(1≤i≤k)为量词或，xi(i=1,2, …,n)是客体变 元，Aij是原子公式或其否定。
【例】公式
(x)(u)(z)(( P( x) Q( x, y)) ( P(u) Q( y, z )))
第二步改名（一般把后出现的同名约束变元改名），以便把量词提到前面。
(x){(y) A( x, y) (u)(v)[B(u, v) (z)(A( z, u) B(u, z))]}
(x)(y)(u)(v)(z){A( x, y) [B(u, v) (A( z, u) B(u, z))]}
第5讲 §2—6 前束范式
（先回顾命题的几种范式及唯一性）
(不唯一）
要求：理解前束范式、前束合取范式和前束 析取范式的定义，会将一个谓词公式wffA化 为前束范式、前束合取范式和前束析取范式。 目的：是掌握谓词公式的标准化形式。 重点：化谓词公式为前束范式。
（非标准谓词公式）
定理2-6.2 每一个wffA都可转化为与其等价的前束合取范式。
【例】将wffD：x)[(y) P( x) (z)Q( z, y) (y) R( x, y)] (
转化为与其等价的前束合取范式。
解 第一步取消多余量词
D (x)[ P( x) (z)Q( z, y) (y) R( x, y)]
化为前束范式（此式并没先化为受限公式）
解 第一步否定深入
原式
(x){(y) A( x, y) (x)(y)[ B( x, y) (y)( A( y, x) B( x, y))]}
(x){(y) A( x, y) (x)(y)[B( x, y) (y)(A( y, x) B( x, y))]}
(Q1x1)(Q2x2)…(Qkxk)[(A11∧A12∧…∧A1l1) ∨(A21∧A22∧…∧A2l2) ∨ …∨ (Am1∧Am2∧…∧Amlm)] 其中Qi(1≤i≤k)为量词或，xi(i=1,2, …,n)是客体变 元，Aij是原子公式或其否定。
【例】公式
(x)(u)(z)(( P( x) Q( x, y)) ( P(u) Q( y, z )))
第二步改名（一般把后出现的同名约束变元改名），以便把量词提到前面。
(x){(y) A( x, y) (u)(v)[B(u, v) (z)(A( z, u) B(u, z))]}
(x)(y)(u)(v)(z){A( x, y) [B(u, v) (A( z, u) B(u, z))]}
第5讲 §2—6 前束范式
（先回顾命题的几种范式及唯一性）
(不唯一）
要求：理解前束范式、前束合取范式和前束 析取范式的定义，会将一个谓词公式wffA化 为前束范式、前束合取范式和前束析取范式。 目的：是掌握谓词公式的标准化形式。 重点：化谓词公式为前束范式。
天津理工大学《离散数学》教学教案(第二章)
47
《离散数学》教学教案
全称量词和存在量词统称为量词。 可以用个体、谓词和量词将命题符号化，并且可以刻划命题的内在结构以及命题之间 的关系。因此，引进个体、谓词和量词后，用形式符号表示命题的功能得到加强，表达意思 更加全面、确切。 例 2.1.4 符号化下列命题。 （1） 所有的人是要呼吸的。 （2） 任何整数或是正的或是负的。 （3） 有些人是聪明的。 （4） 有的人早饭吃面包。 解 （1） x( M ( x) H ( x)) ， 其中 M ( x) ： x 是人。 H ( x) ： x 要呼吸的。
需要指出的是，在谓词演算的原子公式中不能出现命题联结词和量词。 定义 2.2.1 谓词演算的合式公式定义如下： （1）原子谓词公式是合式公式。 （2）若 A 是合式公式，则 A 也是合式公式。 （3）若 A 和 B 是合式公式，则 A B ， A B ， A B 与 A B 是合式公式。 （4）若 A 是合式公式， x 是 A 中出现的任何变元，则 xA 和 xA 都是合式公式。 （5）只有经过有限次地应用规则（1） 、 （2） 、 （3） 、 （4）所得到的公式是合式公式。 谓词演算的合式公式，简称为谓词公式(Predicate Formula)。 由定义可知，命题公式也是谓词公式，因此命题逻辑包含在谓词逻辑中。 谓词公式中的某些括号也可以省略，其规定与命题公式相同，但量词后若有括号则不能 省略。
P Q R 并不是永真式，所以借助命题演算的推理理论不能证明其为重言式。
45
《离散数学》教学教案
为了克服命题逻辑的局限性，我们有必要对原子命题的结构作进一步的细分，划分出 个体词、谓词和量词，研究它们的形式结构和逻辑关系、正确的推理形式和规则，这就是谓 词逻辑的基本内容。
[数学]02-谓词逻辑
![[数学]02-谓词逻辑](https://img.taocdn.com/s3/m/9d4aaf5b87c24028905fc334.png)
规则内容：
A(c) (y)A(y) A(x) (y)A(y)
其中c为某指定个体常元 A(x)对y是自由的
规则成立条件：
y不在A(c) 或A(x)中出现 若A(x)为推导行的公式，x是由EI引入的，则不能用x 以外的个体变元作为约束变元
存在量词的产生规则 EG
例2.16 考察下面推论是否合乎规则？
A(x)对y是自由的
2020/11/14
为什么不把(x)P(x) 也都换y？
A(x) = (x)P(x) ∧ Q(x, y) 代入规则针对自由变元
A(x)对y是自由的。A(y)= (x)P(x) ∧ Q(y, y)
A(x) = (y)( P(y) ∧ Q(x, y) )
A(x)对y不是自由的。
此时可以将A(x)中的约束变元y进行改名： A(x) = (z)( P(z) ∧ Q(x, z) )，
引言
2020/11/14
➢ Lp是Ls的深化发展，因此Ls的推理理论在Lp中几乎可完全
照搬。
(x)A(x) A(y)
➢ 在Lp中，某些前提和结论可能受到量词的约束，为确立前
提和结论之间的内部联系，有必要削去量词和添加量词，
因此正确理解和运用有关量词规则是关键所在。
➢ 必要准备：A(x)对y是自由的。目的是：允许用y代入x后 得到A(y)，它不改变原来公式A(x)的约束关系
A(y) = (y)P(y) ∧ Q(y, y) 即(x)((y)P(y) ∧ Q(x, y)) (y)P(y) ∧ Q(y, y)
(x)A(x) A(y)；消去了量词(x)
全称量词的消去规则 UI/US
2020/11/14
(x)A(x) = (x)((y)P(x, y) ∧ Q(x, y)) 由于x出现在(y)的辖域内，因此需要对约束变元y改名 (x)A(x)经过改名得到：(x)((z)P(x, z)∧Q(x, y)) A(y) = (z)P(y, z) ∧ Q(y, y) 即(x)((y)P(y, z)∧Q(x, y))(z)P(y,z)∧Q(y, y)
离散数学-2-6_前束范式
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三、前束析取范式
定义2-6.3：如果一个谓词公式wff A具有如下形式，
则称其为一个前束析取范式。 (□v1)(□v2)…(□vn)[(A11 A12 … A1l1) (A21 A22 … A2l2) … (Am1 Am2 … Amlm)]
其中□ 可为或，vi(i=1,2,……n)是客体变元，Aij 是 原子公式或其否定。
6
二、前束合取范式
定义2-6.2：如果一个谓词公式wff A具有 如下形式，则称其为一个前束合取范式。 (□v1)(□v2)…(□vn)[(A11 A12 … A1l1) (A21 A22 … A2l2) … (Am1 Am2 … Amlm)] 其中□ 可为或，vi(i=1,2,……n)是客体 变元，Aij 是原子公式或其否定。
第二章谓词逻辑
2-6 前束范式 授课人：李朔 Email:chn.nj.ls@
1
一、前束范式
与命题逻辑类似，在谓词逻辑中也希望研 究其合式公式，即谓词公式的规范形式， 这就是前束范式。 定义2-6.1 设A为一个谓词公式，若A有形 式：Q1x1Q2x2QkxkB，则称A为前束范式， 其中Qi(1≤i≤k)为或，B为不含量词的谓 词公式。
3
一、前束范式
例：化下列公式为前束范式
1）x F(x) xG(x) 2) xF(x) xG(x) 解：(1) x F(x) xG(x) x F(x) xG(x) x (F(x) G(x)) (2) x F(x) xG(x) x F(x) x G(x) x F(x) y G(y) x (F(x) y G(y)) x y (F(x) G(y))
三、前束析取范式
定义2-6.3：如果一个谓词公式wff A具有如下形式，
则称其为一个前束析取范式。 (□v1)(□v2)…(□vn)[(A11 A12 … A1l1) (A21 A22 … A2l2) … (Am1 Am2 … Amlm)]
其中□ 可为或，vi(i=1,2,……n)是客体变元，Aij 是 原子公式或其否定。
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二、前束合取范式
定义2-6.2：如果一个谓词公式wff A具有 如下形式，则称其为一个前束合取范式。 (□v1)(□v2)…(□vn)[(A11 A12 … A1l1) (A21 A22 … A2l2) … (Am1 Am2 … Amlm)] 其中□ 可为或，vi(i=1,2,……n)是客体 变元，Aij 是原子公式或其否定。
第二章谓词逻辑
2-6 前束范式 授课人：李朔 Email:chn.nj.ls@
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一、前束范式
与命题逻辑类似，在谓词逻辑中也希望研 究其合式公式，即谓词公式的规范形式， 这就是前束范式。 定义2-6.1 设A为一个谓词公式，若A有形 式：Q1x1Q2x2QkxkB，则称A为前束范式， 其中Qi(1≤i≤k)为或，B为不含量词的谓 词公式。
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一、前束范式
例：化下列公式为前束范式
1）x F(x) xG(x) 2) xF(x) xG(x) 解：(1) x F(x) xG(x) x F(x) xG(x) x (F(x) G(x)) (2) x F(x) xG(x) x F(x) x G(x) x F(x) y G(y) x (F(x) y G(y)) x y (F(x) G(y))
前束范式存在定理 证明
前束范式存在定理证明前束范式存在定理（Completeness Theorem）是数理逻辑中的一项重要结果，指出了在一阶谓词逻辑中，如果一个公式集合具有模型，那么它就有一个可满足的模型。
下面将对前束范式存在定理进行证明。
证明过程如下：首先，我们定义一阶语言的前束范式（prepositional normal form）。
一个公式处于前束范式，当且仅当它满足以下条件：1.每个量词都限定于某个变量之上。
2.只有全称量词和存在量词可以用于量化。
3.逻辑联结词只包括否定、析取和合取。
接下来，我们需要引入两个概念：语义和推导。
语义是指一个公式集合是否在某个模型中成立，而推导则是根据公式集合中的规则和公理推导出新的公式。
然后，我们定义一个公式集合Σ为一致（consistent）的，当且仅当在某个模型中，Σ中的所有公式都成立。
现在我们来证明前束范式存在定理。
假设我们有一个公式集合Σ，其中的每个公式都处于前束范式。
我们要证明的是，如果Σ没有模型，那么Σ就是不一致的。
首先，我们引入一个新的非逻辑常量c，并添加到Σ中。
然后，我们对Σ进行无穷次的推导，每一步都根据公式集合中的规则和公理进行推导。
在每一步推导之后，我们使用归结法（resolution）来检查Σ是否出现矛盾。
如果Σ出现矛盾，即存在一个空子句（empty clause），那么Σ就是不一致的。
否则，我们继续进行下一步推导。
由于我们在每一步推导中都添加了新的非逻辑常量c，并且我们可以构造一个无穷个这样的常量，所以我们可以无限次地进行推导。
因此，如果Σ没有模型，那么Σ就是不一致的。
反过来，假设Σ是不一致的。
那么，我们可以应用归结法来证明Σ中的任意公式的否定。
通过反复应用归结法，我们可以得到一个空子句，从而证明Σ是不一致的。
综上所述，我们证明了前束范式存在定理：如果一个公式集合具有模型，那么它就有一个可满足的模型。
该定理为一阶谓词逻辑的推理提供了理论基础，对于数理逻辑和人工智能等领域具有重要意义。
数理逻辑课件 第6节 一阶逻辑等值演算与推理定律
x(F(x,y,z)tG(x,t,z))
换名规则
xt(F(x,y,z)G(x,t,z)) 式 或者
辖域扩张等值
x(F(x,y,z)yG(x,y,z))
x(F(x,u,z)yG(x,y,z))
代替规则
xy(F(x,u,z)G(x,y,z)) 式
辖域扩张等值
•13/30
实例
例3 设个体域D={a,b,c}, 消去下述公式中的量词: (1) xy(F(x)G(y))
解: 令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误. x(F(x)G(x)) 或 x(F(x)G(x))
x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x)) 式 x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x))
量词否定等值
置换 置换
•11/30
实例
例1 将下面命题用两种形式符号化, 并证明两者等值. (2) 不是所有的人都爱看电影
(2) 量词否定等值式
① xA(x) xA(x)
② xA(x) xA(x)
•6/30
一阶逻辑基本等值式
(3) 量词辖域收缩与扩张等值式
A(x) 是含 x 自由出现的公式，B 中不含 x 的出现.
关于全称量词的：
① x(A(x)B) xA(x)B
② x(A(x)B) xA(x)B
③ x(A(x)B) xA(x)B
解: xy(F(x)G(y)) y(F(a)G(y)))(y(F(b)G(y)))(y(F(c)G(y))) ((F(a)G(a))(F(a)G(b))(F(a)G(c))) ((F(b)G(a))(F(b)G(b))(F(b)G(c))) ((F(c)G(a))(F(c)G(b))(F(c)G(c)))
•20/30
前束范式谓词推理
2019/1/15
discrete math
前束范式例子
Logic
一阶逻辑
(3) xy (z(P(x,z)∧P(y,z))→z Q(x,y,z))
xy (┐z(P(x,z)∧P(y,z))∨z Q(x,y,z))
xy(z(┐P(x,z)∨┐P(y,z))∨z Q(x,y,z))
2019/1/15
discrete math
前束范式例子
Logic
一阶逻辑
前束范式的特点是，所有量词均非否定地 出现在公式最前面，且它的辖域一直延伸 到公式之末。 例如，xyz((P(x,y)Q(y,z)) R(x,y)) 是前束范式。 而xP(x)yQ(y)，x(P(x)yQ(x,y)) 不是前束范式。
Logic
一阶逻辑
或xA(x)→x B(x) xA(x)→y B(y) x(A(x)→y B(y)) xy (A(x)→B(y)) 即为所求前束范式。
(2)xA(x)∨x B(x)
xA(x)∨yB(y) (换名)
x(A(x)∨yB(y)) xy (A(x)∨B(y))
2019/1/15 discrete math
量词移前的步骤
Logic
一阶逻辑
前束范式存在定理： ：谓词逻辑中任意公式 A 都有与之等价的前束范式。 转化方法： 1、把条件或双条件联结词转化。 2、利用量词否定等价公式，把否定深入到命题 变元和谓词公式的前面。
3、换名。
4、利用量词作用域的扩张和收缩等价式，把量 词提到前面。
Aij是原子变元或其否定。
2019/1/15 discrete math
一阶逻辑
1、设个体域D=d1, …,dn，试用消去量词的方式 证明：当A(x)中无自由变元y ，B(y) 中无自由变元x时， x y (A(x)∧B(y)) yx (A(x)∧B(y)) 2、求下列各式的前束范式： （1）xA(x)→x B(x) （2）xA(x)∧x B(x) （3）┐x (A(x)→y B(y)) (A(x)中无自由变元y) （4）x (A(x)→y B(x,y)) (A(x)中无自由变元y) （5）xy (zA(x,y,z) z B(x,y,z))
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(x)P(x)
此规则是要对命题量化, 如果能够证明对论域 中的每个个体c, P(c)都成立, 根据此规则可得到结 论(x)P(x)成立。
注意: 在应用此规则时, 必须验证前提P(x)对 论域中的任意的x都真。
(3)存在指定规则, 表示为ES (x)P(x) P(c) 这里c是论域中某个个体, 但不是任意的个体,
式则称为前束析取范式.
(v•1)(v•12)…(v•n)[(A11A12...A1r1) (A21A22...A2r2)…(Am1Am2...Amrm)], 其中•是量词或；vi是个体变元, Aij是原子公式或 其否定。
定理6.3 每一个谓词公式都与一个前束析取范 式等价。
第7节 谓词演算的推理理论
例1. 将公式(x)P(x)(x)Q(x)转化为前束范式; 解: (x)P(x)(x)Q(x)
((x)P(x))(x)Q(x) (x)P(x)(x)Q(x) (x)(P(x)Q(x))#
例2. 将公式(x)(y)((z)(P(x, z)P(y, z)) (u)Q(x, y, u))转化为前束范式.
例3. 将公式(x){(y)A(x, y)(x)(y)[B(x, y) (y)(A(y, x)B(x, y))]}转化为前束范式;
解: 原式(否定深入)(x){(y)A(x, y) (x)(y)[B(x, y)(y)(A(y, x)B(x, y))]}
(x){(y)A(x, y) (x)(y)[B(x, y)(y)(A(y, x)B(x, y))]} (x){(y)A(x, y) (x)(y)[B(x, y)(y)(A(y, x)B(x, y))]} (x){(y)A(x, y) (x)(y)[B(x, y)(y)(A(y, x)B(x, y))]} (x){(y)A(x, y) (x)(y)[B(x, y)(y)(A(y, x)B(x, y))]}
第六节 前束范式
在命题演算中有时需将命题公式化成与之等 价的规范形式, 在谓词演算中也需将谓词公式化成 与之等价的规பைடு நூலகம்形式。
定义6.1 一个谓词公式中, 如果量词都在公式 的开头, 而它们的作用域延伸至整个公式的末尾,
则称该公式为前束范式。
前束范式的一般形式是: (v•1) (v•2)… (v•n)A, 其中•是量词或; vi是个体变元, A是没有量词的谓词公式。 例如, (x)(y)(z)(Q(x, y)R(z)),
(x){(y)A(x, y) (x)(y)[B(x, y)(y)(A(y, x)B(x, y))]} (换名)(x){(y)A(x, y) (u)(r)(B(u, r)(z)(A(z, u)B(u, z))]} (x)(y)(u)(r)(z){A(x, y)
[B(u, r)(A(z, u)B(u, z))]}#
(1)全称指定规则, 表示为US (x)P(x) P(c) 这里P是谓词, c是论域中某个任意的个体,
例如, 设论域为全人类, P(x): “x总是要死的”, 如果有(x)P(x), 即“所有人总是要死的”, 则由全 称指定规则得到结论“苏格拉底总是要死的”
(2)全称推广规则, 表示为UG P(x)
w)} (4) 深入, D(x)[(P(x)(z)Q(z, y))(w)R(x, w)] (5)量词前移, D(x)(z)(w)[(P(x)Q(z, y))
R(x, w)] (6)分配律, D(x)(z)(w)
[(P(x)R(x, w))(Q(z, y))R(x, w)]#
定义6.3 一个谓词合式公式, 如果具有如下形
(y)(x)(P(x, y)Q(y))都是前束范式。
定理6.1 任意一个谓词公式都与一个前束范式 等价。 证明: 首先利用量词的转化公式, 把否定联结词移
到命题变元及谓词填式的前面, 再利用等价式: (x)(AB(x))A(x)B(x), 及 (x)(AB(x))A(x)B(x)把量词移到公式最前 面, 这样就得到前束范式。
谓词演算的推理方法, 可以看作是命题演算推 理方法的扩张, 因为谓词演算的很多等价式和蕴含 式, 是命题演算公式的推广,所以命题演算中的推理 规则, 也可在谓词演算推理中应用。
但谓词演算推理中, 有些前提和结论可能受量 词限制的, 在谓词演算推理过程中应有消去和添加 量词的规则, 以便能够使用命题逻辑中的等价式和 蕴含式。
解: 原式(x)(y){(z)[P(x, z)P(y, z)] (u)Q(x, y, u)}
(x)(y){(z)[P(x, z)P(y, z)] (u)Q(x, y, u)}
(x)(y)(z)(u){P(x, z)P(y, z) Q(x, y, u)}#
(应是y, 书中p.73倒数第七行是x，这是错误的)
定理6.2 每一个谓词公式都可以化为与之等价 的一个前束合取范式(证明比较显然的, 学生思考)。
例4. 将公式(x)[(y)P(x)(z)Q(z, y) (y)R(x, y)]化为前束合取范式。
解: 记原式为D, (1) 取消多余量词, D(x)[P(x)(z)Q(z, y)
(y)R(x, y)] (2)换名, D(x)[P(x)(z)Q(z, y)(w)R(x,w)] (3)消去“”, D(x){[P(x)(z)Q(z, y)](w)R(x,
定义6.2 一个谓词合式公式, 如果具有如下形 式则称为前束合取范式. (v•1)(v•2)…(v•n)[(A11A12...A1r1) (A21A22...A2r2)…(Am1Am2...Amrm)], 其中•是量词或; vi是个体变元, Aij是原子公式或 其否定。
例如, (x)(z)(y){[P(xa)(z=b)][Q(y)(a=b)]} 是前束合取范式。
例如, 如果(x)P(x)和(x)Q(x)为真, 则可断定, 存在个体c和d, 使P(c)和Q(d)都为真, 但不能断定 P(c)和Q(c)都为真, 也即c和d不一定相同。
(4)存在推广规则, 表示为EG
P(c) (x)P(x)
此规则比较显然, 即当对某个个体c, P(c)为真, 则在论域中必有(x)P(x)为真。
此规则是要对命题量化, 如果能够证明对论域 中的每个个体c, P(c)都成立, 根据此规则可得到结 论(x)P(x)成立。
注意: 在应用此规则时, 必须验证前提P(x)对 论域中的任意的x都真。
(3)存在指定规则, 表示为ES (x)P(x) P(c) 这里c是论域中某个个体, 但不是任意的个体,
式则称为前束析取范式.
(v•1)(v•12)…(v•n)[(A11A12...A1r1) (A21A22...A2r2)…(Am1Am2...Amrm)], 其中•是量词或；vi是个体变元, Aij是原子公式或 其否定。
定理6.3 每一个谓词公式都与一个前束析取范 式等价。
第7节 谓词演算的推理理论
例1. 将公式(x)P(x)(x)Q(x)转化为前束范式; 解: (x)P(x)(x)Q(x)
((x)P(x))(x)Q(x) (x)P(x)(x)Q(x) (x)(P(x)Q(x))#
例2. 将公式(x)(y)((z)(P(x, z)P(y, z)) (u)Q(x, y, u))转化为前束范式.
例3. 将公式(x){(y)A(x, y)(x)(y)[B(x, y) (y)(A(y, x)B(x, y))]}转化为前束范式;
解: 原式(否定深入)(x){(y)A(x, y) (x)(y)[B(x, y)(y)(A(y, x)B(x, y))]}
(x){(y)A(x, y) (x)(y)[B(x, y)(y)(A(y, x)B(x, y))]} (x){(y)A(x, y) (x)(y)[B(x, y)(y)(A(y, x)B(x, y))]} (x){(y)A(x, y) (x)(y)[B(x, y)(y)(A(y, x)B(x, y))]} (x){(y)A(x, y) (x)(y)[B(x, y)(y)(A(y, x)B(x, y))]}
第六节 前束范式
在命题演算中有时需将命题公式化成与之等 价的规范形式, 在谓词演算中也需将谓词公式化成 与之等价的规பைடு நூலகம்形式。
定义6.1 一个谓词公式中, 如果量词都在公式 的开头, 而它们的作用域延伸至整个公式的末尾,
则称该公式为前束范式。
前束范式的一般形式是: (v•1) (v•2)… (v•n)A, 其中•是量词或; vi是个体变元, A是没有量词的谓词公式。 例如, (x)(y)(z)(Q(x, y)R(z)),
(x){(y)A(x, y) (x)(y)[B(x, y)(y)(A(y, x)B(x, y))]} (换名)(x){(y)A(x, y) (u)(r)(B(u, r)(z)(A(z, u)B(u, z))]} (x)(y)(u)(r)(z){A(x, y)
[B(u, r)(A(z, u)B(u, z))]}#
(1)全称指定规则, 表示为US (x)P(x) P(c) 这里P是谓词, c是论域中某个任意的个体,
例如, 设论域为全人类, P(x): “x总是要死的”, 如果有(x)P(x), 即“所有人总是要死的”, 则由全 称指定规则得到结论“苏格拉底总是要死的”
(2)全称推广规则, 表示为UG P(x)
w)} (4) 深入, D(x)[(P(x)(z)Q(z, y))(w)R(x, w)] (5)量词前移, D(x)(z)(w)[(P(x)Q(z, y))
R(x, w)] (6)分配律, D(x)(z)(w)
[(P(x)R(x, w))(Q(z, y))R(x, w)]#
定义6.3 一个谓词合式公式, 如果具有如下形
(y)(x)(P(x, y)Q(y))都是前束范式。
定理6.1 任意一个谓词公式都与一个前束范式 等价。 证明: 首先利用量词的转化公式, 把否定联结词移
到命题变元及谓词填式的前面, 再利用等价式: (x)(AB(x))A(x)B(x), 及 (x)(AB(x))A(x)B(x)把量词移到公式最前 面, 这样就得到前束范式。
谓词演算的推理方法, 可以看作是命题演算推 理方法的扩张, 因为谓词演算的很多等价式和蕴含 式, 是命题演算公式的推广,所以命题演算中的推理 规则, 也可在谓词演算推理中应用。
但谓词演算推理中, 有些前提和结论可能受量 词限制的, 在谓词演算推理过程中应有消去和添加 量词的规则, 以便能够使用命题逻辑中的等价式和 蕴含式。
解: 原式(x)(y){(z)[P(x, z)P(y, z)] (u)Q(x, y, u)}
(x)(y){(z)[P(x, z)P(y, z)] (u)Q(x, y, u)}
(x)(y)(z)(u){P(x, z)P(y, z) Q(x, y, u)}#
(应是y, 书中p.73倒数第七行是x，这是错误的)
定理6.2 每一个谓词公式都可以化为与之等价 的一个前束合取范式(证明比较显然的, 学生思考)。
例4. 将公式(x)[(y)P(x)(z)Q(z, y) (y)R(x, y)]化为前束合取范式。
解: 记原式为D, (1) 取消多余量词, D(x)[P(x)(z)Q(z, y)
(y)R(x, y)] (2)换名, D(x)[P(x)(z)Q(z, y)(w)R(x,w)] (3)消去“”, D(x){[P(x)(z)Q(z, y)](w)R(x,
定义6.2 一个谓词合式公式, 如果具有如下形 式则称为前束合取范式. (v•1)(v•2)…(v•n)[(A11A12...A1r1) (A21A22...A2r2)…(Am1Am2...Amrm)], 其中•是量词或; vi是个体变元, Aij是原子公式或 其否定。
例如, (x)(z)(y){[P(xa)(z=b)][Q(y)(a=b)]} 是前束合取范式。
例如, 如果(x)P(x)和(x)Q(x)为真, 则可断定, 存在个体c和d, 使P(c)和Q(d)都为真, 但不能断定 P(c)和Q(c)都为真, 也即c和d不一定相同。
(4)存在推广规则, 表示为EG
P(c) (x)P(x)
此规则比较显然, 即当对某个个体c, P(c)为真, 则在论域中必有(x)P(x)为真。