反比例函数4
反比例函数(4)--反比例函数的图像和性质(3)
永定县仙师中学 罗新全
k2 如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数y2= x
的图像交于A（-1, 2）、B（1, -2）两点，若
y1 ＜y2，则x的取值范围是（ A. x＜-1或x＞1 B. x＜-1或0＜x＜1 C. -1＜x＜0或 0＜x＜1 D. -1＜x＜0或x＞1 ）
Y D k 如图，已知双曲线 y 和直线y=mx+n交于点 X x S A和B，B点的坐标是（2，-3），AC垂直y轴于 Z 点C，AC=1.5 ； y X （1）求双曲线和直线的 C A 解析式； （2）求△AOB的面积。
O B
x
A3(x3，y3)为双曲线上的三 点，且 x1＜x2＜0＜x3，请 直接写出y1，y2，y3的大小 关系式； （3）观察图象，请直接写出不等
k2 式k1x＋b＞ 的解集． x
如图，已知点A在反比例函数 图象上，AM⊥x轴于点M， 且△AOM的面积为1，则反比 例函数的解析式为 ．
Y D X S Z X
Y D 如图所示，在x轴的正半轴上依次截OA1= A1A2 X = A2A3 = A3A4 = A4A5 …，过A1、A2、A3、A4、 S Z 2 A5 … 分别作x轴的垂线与反比例函数y= 的图 X
x
象交于点P1、P2、P3、P4、P5…，并设△OA1P1、 △A1A2P2、△A2A3P3…的 面积分别为S1、S2、S3…， 按此作法进行下去，则Sn 的值为 （n为正整数）．
பைடு நூலகம்
Y D X S Z X
Y D k2 如图，直线y=k1x+b与双曲线y= 交于A、B两 X x k2 S 点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x +b< Z x X 的解集是_________．
2023年中考数学专题练——4反比例函数
2023年中考数学专题练——4反比例函数一．选择题（共9小题）1．（2022•泉山区校级三模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p （千帕）随气球内气体的体积V （立方米）的变化情况如下表所示，此时p 与V 的函数关系最可能是（ ） V （立方米） 64 48 38.4 32 24 … p （千帕） 1.522.534…A ．正比例函数B ．一次函数C ．二次函数D ．反比例函数2．（2022•鼓楼区校级二模）如图，正比例函数y ＝kx 的图象与反比例函数y =8x（x ＞0）的图象交于点A （a ，4）．点B 为x 轴正半轴上一点，过B 作x 轴的垂线交反比例函数的图象于点C ，交正比例函数的图象于点D ．若BC =85，则△ACD 的面积为（ ）A ．15B ．635C ．625D ．143．（2021•徐州模拟）点（3，2）在反比例函数y =kx上，则下列不可能在该函数图象上的点是（ ） A ．（2，3）B ．（﹣2，﹣3）C ．（2，﹣3）D ．（﹣3，﹣2）4．（2021•徐州模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y =12x ﹣1分别交x 轴，y 轴于点A 和点B ，分别交反比例函数y 1=kx（k ＞0，x ＞0），y 2=2kx（x ＜0）的图象于点C 和点D ，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，连接OC ，OD ．若△COE 的面积是△DOB 的面积的2倍，则k 的值是（ ）A ．6B ．12C ．2D ．45．（2021•徐州一模）如图，反比例函数y 1=k1x 和正比例函数y 2＝k 2x 的图象交于A （﹣2，﹣3）、B （2，3）两点，若k 1x＞k 2x ，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＜﹣2或0＜x ＜2B ．﹣2＜x ＜0或x ＞2C ．﹣2＜x ＜0D ．﹣2＜x ＜26．（2021•丰县校级模拟）如图，平行四边形ABCO 的顶点B 在双曲线y =6x 上，顶点C 在双曲线y =kx上，BC 中点P 恰好落在y 轴上，已知S ▱OABC ＝10，则k 的值为（ ）A ．﹣8B ．﹣6C ．﹣4D ．﹣27．（2021•邳州市模拟）如图，在直角坐标系中，以坐标原点O （0，0），A （0，4），B （3，0）为顶点的Rt △AOB ，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P ，且点P 恰好在反比例函数y=kx的图象上，则k的值为（）A．36B．48C．49D．648．（2021•徐州模拟）如图，菱形AOBC的顶点A在x轴上，反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过顶点B，和边AC的中点D．若OA＝6，则k的值为（）A．√5B．2√5C．4√5D．8√5 9．（2021•徐州模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在函数y=kx（x＞0，k＞0）的图象上．若正方形ADEF的面积为4，且BF＝2AF，则k的值为（）A．24B．12C．6D．3二．填空题（共10小题）10．（2022•泉山区校级三模）如图，▱OABC的顶点C在反比例函数y=kx的图象上，且点A坐标为（1，﹣3），点B坐标为（5，﹣1），则k的值为．11．（2022•丰县二模）如图，点A、B在反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E．若OE＝1，OC＝2CD，则AC的长为．12．（2022•徐州二模）如图，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，反比例函数y=kx（x＜0）的图象经过线段AB的中点C，△ABO的面积为1，则k的值是．13．（2022•徐州一模）已知反比例函数y=1x的图象过点A（a﹣1，y），B（a+1，y2），若y2＞y1，则a的取值范围为．14．（2022•睢宁县模拟）如图，反比例函数y=kx(k＞0，x＞0)的图象经过菱形OABD的顶点A和边BD的一点C，且DC=13DB，若点D的坐标为（8，0），则k的值为．15．（2022•鼓楼区校级一模）如图，一次函数y ＝2x 与反比例函数y =kx（k ＞0）的图象交于A ，B 两点，点M 在以C （2，0）为圆心，半径为1的⊙C 上，N 是AM 的中点，已知ON 长的最大值为32，则k 的值是 ．16．（2021•邳州市模拟）设函数y =3x与y ＝﹣3x ﹣9的图象的交点坐标为（a ，b ），则a +b 值是 ．17．（2021•徐州模拟）若A （﹣3，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3）是反比例函数y =kx （k ＞0）图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 （用“＜”号连接）． 18．（2021•徐州一模）若反比例函数y =kx的图象经过点A （2，1），则k ＝ ． 19．（2021•徐州模拟）若正比例函数y ＝2kx 与反比例函数y =kx （k ≠0）的图象交于点A （m ，1），则k 的值是 ． 三．解答题（共7小题）20．（2022•贾汪区二模）如图，直线y 1＝kx +3分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，与反比例函数y 2=mx （x ＜0）的图象交于点C ，连接OC ．已知点A 的坐标（6，0），AB ＝3BC ． （1）求k 、m 的值；（2）若OC绕点O旋转得OC′，当点C′落在反比例函数y2=mx的图象上时，请直接写出点C′坐标（点C除外）．21．（2022•徐州一模）如图，已知一次函数y＝﹣2x+8的图象与坐标轴交于A，B两点，并与反比例函数y=8x的图象只有一个公共点C．（1）点C的坐标是；（2）点M为线段BC的中点，将点C和点M向左平移m（m＞0）个单位，平移后的对应点都落在反比例函数y=kx（k≠0）的图象上时，求k的值．22．（2022•鼓楼区校级三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCO的对角线BO在x轴上，若正方形ABCO的边长为2√2，点B在x轴负半轴上，反比例函数y=kx的图象经过C点．（1）求该反比例函数的解析式；（2）当函数值y＞﹣2时，请直接写出自变量x的取值范围；（3）若点P是反比例函数上的一点，且△PBO的面积恰好等于正方形ABCO的面积，求点P的坐标．23．（2021•徐州模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，−32），作直线AB与反比例函数y=mx（x＞0）的图象交于点C，且A是线段BC的中点．（1）求m的值；（2）D是线段BC上一动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数的图象于点E，是否存在点D，使△ODE的面积有最大值？若存在，求出最大值及点D的坐标．24．（2021•徐州模拟）工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600℃．如图，煅烧时温度y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；锻造时，温度y（℃）与时间x（min）成反比例函数关系．已知该材料初始温度是32℃．（1）分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；（2）根据工艺要求，当材料温度低于400℃时，须停止操作．那么锻造的操作时间最多有多长？（3）如果加工每个零件需要锻造12分钟，并且当材料温度低于400℃时，需要重新煅烧．通过计算说明加工第一个零件，一共需要多少分钟．25．（2021•徐州模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=12x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y=kx的图象经过点A．（1）求反比例函数的表达式；（2）设一次函数y=12x+5的图象与反比例函数y=kx的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．26．（2021•徐州模拟）如图，▱OABC的边OA在x轴的正半轴上，OA＝5，反比例函数y=m x（x＞0）的图象经过点C（1，4）．（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；（2）过AB的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接CP，OP．求△COP 的面积．2023年江苏省徐州市中考数学专题练——4反比例函数参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2022•泉山区校级三模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p （千帕）随气球内气体的体积V （立方米）的变化情况如下表所示，此时p 与V 的函数关系最可能是（ ） V （立方米） 64 48 38.4 32 24 … p （千帕） 1.522.534…A ．正比例函数B ．一次函数C ．二次函数D ．反比例函数【解答】解：由题意可知，64×1.5＝96；48×2＝96；38.4×2.5＝96；32×3＝96；24×4＝96，…由此可得出p 和v 的函数关系是为：p =96V． 故选：D ．2．（2022•鼓楼区校级二模）如图，正比例函数y ＝kx 的图象与反比例函数y =8x（x ＞0）的图象交于点A （a ，4）．点B 为x 轴正半轴上一点，过B 作x 轴的垂线交反比例函数的图象于点C ，交正比例函数的图象于点D ．若BC =85，则△ACD 的面积为（ ）A ．15B ．635C ．625D ．14【解答】解：∵A （a ，4）在y =8x ， ∴a ＝2， ∴A （2，4），把x ＝2，y ＝4代入y ＝kx ， 2k ＝4， ∴k ＝2，∴y＝2x，∵BC=85，即y=85代入y=8x，解得x＝5，即OB＝5，∵D点在y＝2x上，把x＝5代入y＝2x＝10，∴DC＝10−85=425，点A到DC距离为3，∴S△ACD=12×3×425=12.6．故选：B．3．（2021•徐州模拟）点（3，2）在反比例函数y=kx上，则下列不可能在该函数图象上的点是（）A．（2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，﹣2）【解答】解：∵点（3，2）在反比例函数y=kx上，∴k＝3×2＝6，A、∵2×3＝6，∴此点在该函数图象上，故本选项错误；B、∵﹣2×（﹣3）＝6，∴此点在该函数图象上，故本选项错误；C、∵2×（﹣3）＝﹣6≠6，∴此点不在该函数图象上，故本选项正确；D、∵﹣3×（﹣2）＝6，∴此点在该函数图象上，故本选项错误．故选：C．4．（2021•徐州模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x﹣1分别交x轴，y轴于点A和点B，分别交反比例函数y1=kx（k＞0，x＞0），y2=2kx（x＜0）的图象于点C和点D，过点C作CE⊥x轴于点E，连接OC，OD．若△COE的面积是△DOB的面积的2倍，则k的值是（）A ．6B ．12C ．2D ．4【解答】解：令x ＝0，得y =12x ﹣1＝﹣1， ∴B （0，﹣1）， ∴OB ＝1，把y =12x ﹣1代入y 2=2k x （x ＜0）得，12x ﹣1=2kx （x ＜0），解得，x ＝1−√4k +1， ∴x D ＝1−√4k +1，∴S △OBD =12OB •|x D |=12√4k +1−12，∵CE ⊥x 轴， ∴S △OCE =12k ，∵△COE 的面积是△DOB 的面积的2倍， ∴2（12√4k +1−12）=12k ， ∴k ＝12，或k ＝0（舍去）． 经检验，k ＝12是原方程的解． 故选：B ．5．（2021•徐州一模）如图，反比例函数y 1=k1x 和正比例函数y 2＝k 2x 的图象交于A （﹣2，﹣3）、B （2，3）两点，若k 1x＞k 2x ，则x 的取值范围是（ ）A．x＜﹣2或0＜x＜2B．﹣2＜x＜0或x＞2 C．﹣2＜x＜0D．﹣2＜x＜2【解答】解：根据图象，当k1x＞k2x，即反比例函数的值大于正比例函数值时自变量的取值范围为0＜x＜2或x＜﹣2，故选：A．6．（2021•丰县校级模拟）如图，平行四边形ABCO的顶点B在双曲线y=6x上，顶点C在双曲线y=kx上，BC中点P恰好落在y轴上，已知S▱OABC＝10，则k的值为（）A．﹣8B．﹣6C．﹣4D．﹣2【解答】解：连接BO，过B点和C点分别作y轴的垂线段BE和CD，∴∠BEP＝∠CDP，又∠BPE＝∠CPD，BP＝CP，∴△BEP≌△CDP（AAS）．∴△BEP面积＝△CDP面积．∵点B在双曲线y=6x上，所以△BOE面积=12×6＝3．∵点C在双曲线y=kx上，且从图象得出k＜0，∴△COD面积=12|k|．∴△BOC面积＝△BPO面积+△CPD面积+△COD面积＝3+12|k|＝5．∵四边形ABCO是平行四边形，∴平行四边形ABCO面积＝2×△BOC面积＝2（3+12|k|），∴2（3+12|k|）＝10，解得k＝±4，因为k＜0，所以k＝﹣4．故选：C．7．（2021•邳州市模拟）如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y=kx的图象上，则k的值为（）A．36B．48C．49D．64【解答】解：过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，∵A（0，4），B（3，0），∴OA＝4，OB＝3，∴AB=√32+42=5，∵△OAB的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，∴PE＝PC，PD＝PC，∴PE＝PC＝PD，设P （t ，t ），则PC ＝t ，∵S △P AE +S △P AB +S △PBD +S △OAB ＝S 矩形PEOD ，∴12×t ×（t ﹣4）+12×5×t +12×t ×（t ﹣3）+12×3×4＝t ×t ，解得t ＝6， ∴P （6，6），把P （6，6）代入y =kx 得k ＝6×6＝36． 故选：A ．8．（2021•徐州模拟）如图，菱形AOBC 的顶点A 在x 轴上，反比例函数y =kx （k ＞0，x ＞0）的图象经过顶点B ，和边AC 的中点D ．若OA ＝6，则k 的值为（ ）A ．√5B ．2√5C ．4√5D ．8√5【解答】解：设B （t ，k t）， ∵四边形OBCA 为菱形， ∴OA ＝OB ＝BC ＝6，BC ∥OA ， ∴C （t +6，kt ），∵点D 为AC 的中点， ∴D （12t +6，k2t），∵点B （t ，k t）和点D （12t +6，k2t）在反比例函数y =kx 上，∴k ＝（12t +6）•k2t，解得t ＝4，∴B （4，k4），∵OB ＝6，∴42+（k4）2＝62，解得k 1＝﹣8√5，k 2＝8√5，∵k ＞0， ∴k ＝8√5． 故选：D ．9．（2021•徐州模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，四边形ADEF 是正方形，点A 、D 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点F 在AB 上，点B 、E 在函数y =kx（x ＞0，k ＞0）的图象上．若正方形ADEF 的面积为4，且BF ＝2AF ，则k 的值为（ ）A ．24B ．12C ．6D ．3【解答】解：∵正方形ADEF 的面积为4， ∴正方形ADEF 的边长为2，∴BF ＝2AF ＝4，AB ＝AF +BF ＝2+4＝6． 设B 点坐标为（t ，6），则E 点坐标（t +2，2）， ∵点B 、E 在反比例函数y =kx 的图象上， ∴k ＝6t ＝2（t +2）， 解得t ＝1，k ＝6． 故选：C ．二．填空题（共10小题）10．（2022•泉山区校级三模）如图，▱OABC 的顶点C 在反比例函数y =kx的图象上，且点A 坐标为（1，﹣3），点B 坐标为（5，﹣1），则k 的值为 8 ．【解答】解：作CD ⊥x 轴于D ，BF ∥x 轴，交y 轴于F ，作AG ⊥x 轴，交BF 于E ，交x 轴于G ，∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OA ∥BC ，∠AOC ＝∠ABC ，OC ＝AB ， ∴∠FBC ＝∠AFB ， ∵BF ∥x 轴， ∴∠AFB ＝∠AOD ， ∴∠FBC ＝∠AOD ， ∴∠DOC ＝∠ABE ， 在△COD 和△ABE 中， {∠DOC =∠ABE∠ODC =∠AEB =90°OC =AB， ∴△COD ≌△ABE （AAS ）， ∴OD ＝BE ，CD ＝AE ，∵点A 坐标为（1，﹣3），点B 坐标为（5，﹣1）． ∴EF ＝1，AG ＝3，BF ＝5，EG ＝1， ∴AE ＝3﹣1＝2，BE ＝5﹣1＝4， ∴OD ＝4，CD ＝2， ∴C （4，2），∵顶点C 在反比例函数y =kx 的图象上， ∴k ＝4×2＝8， 故答案为：8．11．（2022•丰县二模）如图，点A、B在反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E．若OE＝1，OC＝2CD，则AC的长为32．【解答】解：∵BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，∴四边形BDOE是矩形，∴BD＝OE＝1，把y＝1代入y=kx，求得x＝k，∴B（k，1），∴OD＝k，∵OC＝2CD，∴OC=23k，∵AC⊥x轴于点C，把x=23k代入y=kx得，y=32，∴AC=3 2，故答案为：32．12．（2022•徐州二模）如图，点A ，B 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，反比例函数y =k x（x ＜0）的图象经过线段AB 的中点C ，△ABO 的面积为1，则k 的值是 −12．【解答】解：设点A （a ，0），点B （0，b ）， ∵点C 是AB 中点， ∴点C （a2，b2），∵△ABO 的面积为1，即12（﹣a ）b ＝1，∴ab ＝﹣2， ∴a =−2b ， ∴C （−1b，b2），∵点C 在双曲线y =kx （x ＜0）上， ∴k =−1b ×b 2=−12， ∴k 的值为−12， 故答案为：−12．13．（2022•徐州一模）已知反比例函数y =1x 的图象过点A （a ﹣1，y ），B （a +1，y 2），若y 2＞y 1，则a 的取值范围为 ﹣1＜a ＜1 ． 【解答】解：∵反比例函数y =1x 中的k ＝1＞0，∴反比例函数y =1x的图象经过第一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小． ∵y 2＞y 1，a +1＞a ﹣1，∴点A 位于第三象限，点B 位于第一象限， ∴{a −1＜0a +1＞0，解得﹣1＜a ＜1． 故答案是：﹣1＜a ＜1．14．（2022•睢宁县模拟）如图，反比例函数y =k x(k ＞0，x ＞0)的图象经过菱形OABD 的顶点A 和边BD 的一点C ，且DC =13DB ，若点D 的坐标为（8，0），则k 的值为 3√55 ．【解答】解：作AE ⊥x 轴于E ，CF ⊥x 轴于F ， ∵四边形OABD 是菱形，点D 的坐标为（8，0）， ∴OA ∥BD ，OA ＝BD ＝8， ∴∠AOE ＝∠CDF ， ∵∠AEO ＝∠CFD ＝90°， ∴△AOE ∽△CDF ， ∴OE DF=AE CF =OA CD，∵DC =13DB ， ∴OE DF=AE CF=OA CD=3，∴OE ＝3DF ，AE ＝3CF ，设DF ＝m ，CF ＝n ，则C （8+m ，n ），A （3m ，3n ）， ∵点A 、C 在反比例函数y =kx(k ＞0，x ＞0)的图象上， ∴（8+m ）•n ＝3m •3n ， ∴m ＝1， ∴A （3，3n ）， ∴OE ＝3，AE ＝3n ，在Rt △AOE 中，OA 2＝OE 2+AE 2， ∴82＝32+（3n ）2，解得n =√553，∴A （3，√55）， ∴k ＝3×√55=3√55， 故答案为：3√55．15．（2022•鼓楼区校级一模）如图，一次函数y ＝2x 与反比例函数y =kx （k ＞0）的图象交于A ，B 两点，点M 在以C （2，0）为圆心，半径为1的⊙C 上，N 是AM 的中点，已知ON 长的最大值为32，则k 的值是3225．【解答】解：方法一、联立{y =kxy =2x ，∴x 2=k 2， ∴x =±√k 2，∴A （−√k2，−2√k2），B （√k2，2√k2）， ∴A 与B 关于原点O 对称， ∴O 是线段AB 的中点， ∵N 是线段AM 的中点，连接BM ，则ON ∥BM ，且ON =12BM ， ∵ON 的最大值为32，∴BM 的最大值为3， ∵M 在⊙C 上运动，∴当B ，C ，M 三点共线时，BM 最大， 此时BC ＝BM ﹣CM ＝2， ∴（(√k 2−2)2+(2√k 2)2=4， ∴k ＝0或3225，∵k ＞0， ∴k =3225，方法二、设点B （a ，2a ），∵一次函数y ＝2x 与反比例函数y =kx（k ＞0）的图象交于A ，B 两点， ∴A 与B 关于原点O 对称， ∴O 是线段AB 的中点， ∵N 是线段AM 的中点，连接BM ，则ON ∥BM ，且ON =12BM ， ∵ON 的最大值为32，∴BM 的最大值为3，∵M 在⊙C 上运动，∴当B ，C ，M 三点共线时，BM 最大， 此时BC ＝BM ﹣CM ＝2， ∴√(a −2)2+(2a)2=2，∴a 1=45或a 2＝0（不合题意舍去）， ∴点B （45，85），∴k =3225， 故答案为：3225．16．（2021•邳州市模拟）设函数y =3x 与y ＝﹣3x ﹣9的图象的交点坐标为（a ，b ），则a +b 值是 ﹣6−√5或﹣6+√5 ．【解答】解：∵函数y =3x 与y ＝﹣3x ﹣9的图象的交点坐标为（a ，b ）， ∴ab ＝3，b ＝﹣3a ﹣9， a （﹣3a ﹣9）＝3， 整理得，a 2+3a +1＝0， 解得a =−3+√52或a =−3−√52∴b =−9−3√52或b =−9+3√52， ∴a +b ＝﹣6−√5或﹣6+√5 故答案为：﹣6−√5或﹣6+√5．17．（2021•徐州模拟）若A （﹣3，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3）是反比例函数y =kx （k ＞0）图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 y 1＜y 3＜y 2 （用“＜”号连接）． 【解答】解：∵k ＞0，故反比例函数图象的两个分支在一三象限，且在每个象限内y 随x 的增大而减小．∴A （﹣3，y 1）在第三象限，B （1，y 2），C （2，y 3）在第一象限，且1＜2， ∴y 1＜0，0＜y 3＜y 2，故y 1，y 2，y 3的大小关系为y 1＜y 3＜y 2． 故答案为y 1＜y 3＜y 2．18．（2021•徐州一模）若反比例函数y =k x的图象经过点A （2，1），则k ＝ 2 ． 【解答】解：把点A （2，1）代入反比例函数y =kx 得， k ＝2×1＝2， 故答案为：2．19．（2021•徐州模拟）若正比例函数y ＝2kx 与反比例函数y =kx （k ≠0）的图象交于点A （m ，1），则k 的值是 ±√22． 【解答】解：∵点A （m ，1）在反比例函数y =k x（k ≠0）的图象上， ∴k ＝m ×1＝m ，∵点A （m ，1）在正比例函数y ＝2kx 的图象上， ∴1＝2km ，即2m 2＝1，解得m ＝±√22，即k ＝±√22． 三．解答题（共7小题）20．（2022•贾汪区二模）如图，直线y 1＝kx +3分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，与反比例函数y 2=mx（x ＜0）的图象交于点C ，连接OC ．已知点A 的坐标（6，0），AB ＝3BC ． （1）求k 、m 的值；（2）若OC 绕点O 旋转得OC ′，当点C ′落在反比例函数y 2=mx 的图象上时，请直接写出点C ′坐标（点C 除外）．【解答】解：（1）作CD ⊥x 轴于D ， 则△ABO ∽△ACD ， ∴AB AC=OB CD，∵AB ＝3BC ，∴CD=43OB，∵x＝0时，y1＝kx+3＝3，∴B（0，3），∴OB＝3，∴CD＝4，∵点A（6，0）在一次函数y1＝kx+3的图象上，∴6k+3＝0，∴k=−1 2，∴y=−12x+3，当y＝4时，则4=−12x+3，解得x＝﹣2，∴C（﹣2，4），∵点C在反比例函数y2=mx（x＜0）的图象上，∴m＝﹣2×4＝﹣8；（2）若OC绕点O旋转得OC′，当点C′落在反比例函数y2=mx的图象上，C（﹣2，4），由反比例函数的对称性，C′（﹣4，2）或（2，﹣4）或（4，﹣2）．21．（2022•徐州一模）如图，已知一次函数y＝﹣2x+8的图象与坐标轴交于A，B两点，并与反比例函数y=8x的图象只有一个公共点C．（1）点C的坐标是（2，4）；（2）点M为线段BC的中点，将点C和点M向左平移m（m＞0）个单位，平移后的对应点都落在反比例函数y=kx（k≠0）的图象上时，求k的值．【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+8的图象与反比例函数y=8x的图象只有一个公共点C，∴﹣2x+8=8 x，∴x＝2，∴点C坐标为（2，4），故答案为：（2，4）；（2）∵一次函数y＝﹣2x+8的图象与坐标轴交于A，B两点，∴点B（4，0），∵点M为线段BC的中点，∴点M（3，2），∴点C和点M平移后的对应点坐标分别为（2﹣m，4），（3﹣m，2），∴k＝4（2﹣m）＝2（3﹣m），∴m＝1，∴k＝4．22．（2022•鼓楼区校级三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCO的对角线BO在x轴上，若正方形ABCO的边长为2√2，点B在x轴负半轴上，反比例函数y=kx的图象经过C点．（1）求该反比例函数的解析式；（2）当函数值y＞﹣2时，请直接写出自变量x的取值范围；（3）若点P是反比例函数上的一点，且△PBO的面积恰好等于正方形ABCO的面积，求点P的坐标．【解答】解：（1）过C 作CE ⊥x 轴于E ，则∠CEB ＝90°， ∵正方形ABCO 的边长为2√2， ∴CO ＝2√2，∠COE ＝45°， ∴CE ＝OE =2√2√2=2， 即k ＝﹣2×（﹣2）＝4，所以反比例函数的解析式是y =4x ；（2）把y ＝﹣2代入y =4x 得：x ＝﹣2，所以当函数值y ＞﹣2时，自变量x 的取值范围是x ＜﹣2或x ＞0；（3）设P 点的纵坐标为a ， ∵正方形ABCO 的边长为2√2，∴由勾股定理得：OB =√(2√2)2+(2√2)2=4， ∵△PBO 的面积恰好等于正方形ABCO 的面积， ∴12×4×|a |＝2√2×2√2，解得：a ＝±4，即P 点的纵坐标是4或﹣4，代入y =4x得：x ＝1或﹣1，即P 点的坐标是（1，4）或（﹣1，﹣4）．23．（2021•徐州模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A （2，0），B （0，−32），作直线AB 与反比例函数y =mx （x ＞0）的图象交于点C ，且A 是线段BC 的中点． （1）求m 的值；（2）D 是线段BC 上一动点，过点D 作DE ∥y 轴，交反比例函数的图象于点E ，是否存在点D ，使△ODE 的面积有最大值？若存在，求出最大值及点D 的坐标．【解答】解：（1）∵点A （2，0），B （0，−32）， ∴OA ＝2，OB =32， 过C 作CF ⊥x 轴于F ， ∴∠AOB ＝∠AFC ＝90°， ∵A 是线段BC 的中点， ∴AB ＝AC ， ∵∠BAO ＝∠CAF ， ∴△AOB ≌△AFC （AAS ）， ∴AF ＝AO ＝2，CF ＝OB =32， ∴OF ＝4 ∴C （4，32），∴m ＝4×32=6；（2）设直线AB 的解析式为y ＝kx +b ，把点A （2，0），B （0，−32），代入得{2k +b =0b =−32，解得{k =34b =−32， ∴直线AB 的解析式为y =34x −32； ∵点D 为线段AB 上的一个动点， ∴设D （x ，34x −32）（0＜x ≤4），∵DE ∥y 轴， ∴E （x ，6x ），∴S △ODE =12x •（6x−34x +32）=−38x 2+34x +3=−38（x ﹣1）2+278， ∴当x ＝1时，△ODE 的面积的最大值为278，点D 的坐标为（1，−34）．24．（2021•徐州模拟）工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min 时，材料温度降为600℃．如图，煅烧时温度y （℃）与时间x （min ）成一次函数关系；锻造时，温度y （℃）与时间x （min ）成反比例函数关系．已知该材料初始温度是32℃．（1）分别求出材料煅烧和锻造时y 与x 的函数关系式，并且写出自变量x 的取值范围； （2）根据工艺要求，当材料温度低于400℃时，须停止操作．那么锻造的操作时间最多有多长？（3）如果加工每个零件需要锻造12分钟，并且当材料温度低于400℃时，需要重新煅烧．通过计算说明加工第一个零件，一共需要多少分钟．【解答】解：（1）材料锻造时，设y=kx（k≠0），由题意得600=k 8，解得k＝4800，当y＝800时，4800x=800，解得x＝6，∴点B的坐标为（6，800），材料煅烧时，设y＝ax+32（a≠0），由题意得800＝6a+32，解得a＝128，∴材料煅烧时，y与x的函数关系式为y＝128x+32（0≤x≤6）．∴锻造操作时y与x的函数关系式为y=4800x（x＞6）；（2）把y＝400代入y=4800x中，得x＝12，12﹣6＝6（min），答：锻造的操作时间6min；（3）当y＝400时，由128x+32＝400，∴x=23 8，从400℃升到800℃需要6−238=258（min），∵加工每个零件需要12min，每次锻造6min，∴加工第一个零件需要锻造、煅烧两次，一共需要12+258+6=1698min ．25．（2021•徐州模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =12x +5和y ＝﹣2x 的图象相交于点A ，反比例函数y =kx的图象经过点A ． （1）求反比例函数的表达式；（2）设一次函数y =12x +5的图象与反比例函数y =kx 的图象的另一个交点为B ，连接OB ，求△ABO 的面积．【解答】解：（1）联立y =12x +5①和y ＝﹣2x 得：{y =12x +5y =−2x，解得：{x =−2y =4，故点A （﹣2，4），将点A 的坐标代入反比例函数表达式得：4=k−2，解得：k ＝﹣8， 故反比例函数表达式为：y =−8x ②；（2）联立①②并解得：x ＝﹣2或﹣8， 当x ＝﹣8时，y =12x +5＝1，故点B （﹣8，1）， 设y =12x +5交x 轴于点C ，令y ＝0，则12x +5＝0， ∴x ＝﹣10，∴C （﹣10，0），过点A 、B 分别作x 轴的垂线交x 轴于点M 、N ，则S △AOB ＝S △AOC ﹣S △BOC =12×OC •AM −12OC •BN =12×4×10−12×10×1=15． 26．（2021•徐州模拟）如图，▱OABC 的边OA 在x 轴的正半轴上，OA ＝5，反比例函数y =m x （x ＞0）的图象经过点C （1，4）．（1）求反比例函数的关系式和点B 的坐标；（2）过AB 的中点D 作DP ∥x 轴交反比例函数图象于点P ，连接CP ，OP ．求△COP 的面积．【解答】解：（1）∵反比例函数y =m x （x ＞0）的图象经过点C （1，4）．∴m ＝1×4＝4，∴反比例函数的关系式为y =4x （x ＞0）．∵四边形OABC 为平行四边形，且点O （0，0），OA ＝5，点C （1，4），∴点A （5，0），∴点B （6，4）．（2）延长DP 交OC 于点E ，如图所示．∵点D 为线段BA 的中点，点A （5，0）、B （6，4）， ∴点D （112，2）． 令y =4x 中y ＝2，则x ＝2，∴点P （2，2），∴PD =112−2=72，EP ＝ED ﹣PD =32， ∴S △COP =12EP •（y C ﹣y O ）=12×32×（4﹣0）＝3．。
反比例函数函数
反比例函数函数
反比例函数是一类重要的函数，在数学、物理、工程学等领域中被广泛应用。
本文将对反比例函数进行详细介绍。
一、定义
反比例函数是指一个函数，其与另一个函数的乘积为常数。
换言之，若存在常数k，使得对于任意的x和y，有xy=k，则函数y=k/x被称为反比例函数。
可以将反比例函数表示为y=k/x，其中x不等于0，k为常数。
在该函数的定义域内，当x越大，y越小；当x越小，y越大。
图像通常呈现出一条直线，经过原点，斜率为k。
二、性质
1、定义域：反比例函数的定义域为所有非零的实数。
2、值域：反比例函数的值域为所有的实数。
3、对称性：反比例函数在坐标轴对称。
4、单调性：反比例函数在其定义域内单调递减或单调递增，并且没有极值点。
5、渐进线：反比例函数有两条渐进线y=0和x=0。
6、图像特征：反比例函数的图像在坐标系中表现为一条经过原点的倾斜直线，斜率为常数k。
三、应用
反比例函数在实际应用中有广泛的用途，以下列举几个例子：
1、电阻电容电路中，反比例函数可以用来表示电容充电或放电的速度，以及电阻消耗电能的速度。
2、人工智能中，反比例函数可以用来描述输入信息和输出结果之间的联系。
3、经济学中，反比例函数可以用来描述市场需求和价格的关系。
4、测量学中，反比例函数可以用来表示两物体之间的距离和反应时间之间的关系。
总之，反比例函数是一种重要的函数形式，在科学技术和社会各个领域中都有广泛的应用。
通过深入理解其性质和特点，可以更好地理解其应用，并为实际问题的解决提供帮助。
八年级数学实际问题与反比例函数4
做 一 做
（2）完成下表，如果以此蓄电池为电源用电器 电流不得超过18A，那么用电器的可变电阻应控 制在什么范围内？
R / （ Ω） 3 I / A 12 4 9 5 7.2 6 6 7 8 9 4 10 3.6
36/7 4.5
读 图
问题与情景
在自然科学电学知识中，用电器的输出功率Ｐ（瓦），
两端的电压Ｕ（伏）及用电器的电阻Ｒ（欧姆）有如下
F小刚 F小健
600 600
1 2
F小强 F小明
600 400
1 5 3
L
600 300
600 200
你能画出图象吗? 图象会在第三象限吗?
发现：动力臂越长，用的力越小。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ即动力臂越长就越省力
活动
（３）假定地球重量的近似值为６×１０２５牛顿 即为阻力），假设阿基米德有５００牛顿的力量， 阻力臂为２０００千米，请你帮助阿基米德设计 该用多长动力臂的杠杆才能把地球撬动． 解:(1)由已知得Ｆ×L＝6×1025×2×106=1.2×1032 变形得：
练习4：某厂从2001年起开始投入技术改进资金， 经技术改进后其产品成本不断降低，具体数据 如下表：
年度 投入技改资金x(万元) 2001 2.5 2002 3 6 2003 2004 4 4.5 4.5 4
产品的成本y(万元/件) 7.2
⑴认真分析表格中的数据，确定这两组数据之间 的函数关系，求出解析式。 ⑵按照这种规律，若 ⑵按照这种规律，若2005 2005年投入技改资金为 年投入技改资金为5 5万 万 元，预计把每件的生产成本降低到 3.2万元，则 元，预计生产成本每件比2004年降低多少万元？ 还需投入多少技改资金？(结果精确到0.01万元)
4反比例函数在实际中的应用.docx
反比例函数在实际中的应用
基本模型：
（1）当体积（面积）为定值时，底面积（边长）与高成反比例函数关系；
（2）当工程总量为定值时，工作时间与工作效率成反比例函数关系；
（3）当力F 所做功为定值时，力F 与物体在F 方向通过的距离S 成反比例函数关系；
（4）杠杆定律：力X 力臂二定值；
（5）压强公式：其中P 为压强，F 为压力，S 为受力面积；
（6）欧姆定律：IR=U,其中I 为电流（A ） , R 为电阻（Q ）,
U 为电压（V ）；
（7）在温度不变的条件下，密度与体积成反比例函数关系
. 例
1、某汽车的功率为一定值，汽车行驶时的速度v （米/秒）与它所受的牵引力 F （牛）之间的函数关系如图所示:
（1）这辆汽车的功率是多少瓦？请写出这一函数表达式;
（2）当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少于米/
（3）如果限定汽车的速度不超过30米/秒，则F 在什么范围内？
解:(1)由P=FV=3000X20=6X104瓦.
(2)当F 二1200 牛时，v-^-soCmfe).
50mfc ■ SOx3aWz fj|t/It ■ L80kmfli. 1000
& 1*竺r>2000 . 枷（米/
秒）
60 50
40
30
20
10。
反比例函数概念与性质
反比例函数概念与性质反比例函数的概念与性质一、反比例函数的概念1.反比例函数可以写成y=k/x的形式，其中自变量x的指数为-1.在解决有关自变量指数问题时，应特别注意系数。
2.反比例函数也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式。
3.反比例函数的自变量不能为0，故函数图象与x轴、y轴无交点。
二、反比例函数的图象1.在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）。
2.反比例函数的图象是双曲线。
随着k的增大，图象的弯曲度越小，曲线越平直；随着k的减小，图象的弯曲度越大。
3.反比例函数的图象与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线。
当k>0时，图象的两支分别位于第一、第三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象的两支分别位于第二、第四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大。
4.反比例函数的图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在另一支上。
5.反比例函数的k值的几何意义是：如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B 点，则矩形PBOA的面积是k；如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥XXX的延长线于C，则三角形PQC的面积也是k。
6.反比例函数的增减性需要将两个分支分别讨论，不能一概而论。
7.直线y=k与双曲线y=k/x的关系：当k>0时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称；当k=0时，两图象有一个公共点O；当k<0时，两图象没有交点。
8.反比例函数与一次函数的联系：当k=0时，反比例函数变为一次函数y=0.求反比例函数的解析式的方法主要有三种：待定系数法、反比例函数k的几何意义、实际问题。
四、反比例函数解析式的确定一、反比例函数的定义：反比例函数是指函数表达式为y=k/x的函数，其中k为非零常数。
17.1反比例函数(3、4)
45 页练习 习题 17.1 独立完成，有困难 的教师再讲
课内小结 作业
本节课你学会了哪些？还有什么困惑？
预习 5 板书 17.1.2（2） 例题讲解 例3 A(2,6) （1） 这个函数的图像位于哪些象限？ Y 随 X 的增大如何变化？ （2） 点 B(3,4) C(-5/2，-24/5) D(2,5)是在这个函数的图像上 吗？ 例4略 已知反比例函数的图像经过
且写出这个函数上一个点的坐标 是 ；
9、已知反比例函数经过点 A（2，1）和 B（m，-1） ，则 m= ；
10 、正比例函数 y 3x 与反比例函数
y
2 有 x
；
个交点；
11 、如图（ 1 ） ： 则这个函数的 表达式 是
12 、如图（ 2 ） ：则这个函数的表达式 是 ；
总体要求：1.“统一”设计“分段”教学；2.围绕“三维”落实“三问” ；3.充实“心案”活化“形案” 。
2 的图像上的是 x
1 与 y x 的图像在同一直角坐标系中交 x
） B、1 个 C、2 个
三、已知反比例函数 y 1、填表： x -6 -5 -4 1 -3
k (k 0) x
-2
-1
1 -4
2
3
4
5
6
y
k x
2、根据你所学的知识写出这个反比例函数 的关系式并画出它的图像
总体要求：1.“统一”设计“分段”教学；2.围绕“三维”落实“三问” ；3.充实“心案”活化“形案” 。
2 ，② x
y
1 x 1 ，③ y x 2
； （填写序号）
其中是 y 关于 x 的反比例函数 有：
6、已知变量 y、x 成反比例，且当 x =2 时 y=6，则这个函数关系式是 7、反比例函数 y ；
北师大版数学九年级上册期末复习压轴专题：反比例函数综合(四)
北师大版数学九年级上期末复习压轴专题：反比例函数综合（四）1．如图，点A 是反比例图数y ＝（x ＜0）图象上一点，AC ⊥x 轴于点C ，与反比例函数y ＝（x ＜0）图象交于点B ，AB ＝2BC ，连接OA 、OB ，若△OAB 的面积为2，则m +n ＝（ ）A ．﹣3B ．﹣4C ．﹣6D ．﹣82．如图，点A ，B 在反比例函数y ＝﹣（x ＜0）的图象上，连结OA ，AB ，以OA ，AB 为边作▱OABC ，若点C 恰好落在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，此时▱OABC 的面积是（ ）A ．3B ．C ．2D ．63．如图，是反比例函数y 1＝和y 2＝（k 1＜k 2）在第一象限的图象，直线AB ∥x 轴，并分别交两条曲于A 、B 两点，若S △AOB ＝3，则k 2﹣k 1的值是（ ）A．8 B．6 C．4 D．24．如图，曲线C2是双曲线C1：y＝（x＞0）绕原点O逆时针旋转45°得到的图形，P是曲线C2上任意一点，点A在直线l：y＝x上，且PA＝PO，则△POA的面积等于（）A．B．6 C．3 D．125．如图，A、B是双曲线y＝（k＞0）上的点，A、B两点的横坐标分别是a、3a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC＝3．则k的值为（）A．2 B．1.5 C．4 D．66．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（k≠0）经过▱ABCD的顶点B、D，点A 的坐标为（0，﹣1），AB∥x轴，CD经过点（0，2），▱ABCD的面积是18，则点D的坐标是（）A．（﹣2，2）B．（3，2）C．（﹣3，2）D．（﹣6，1）7．已知：如图四边形OACB是菱形，OB在X轴的正半轴上，sin∠AOB＝．反比例函数y ＝在第一象限图象经过点A，与BC交于点F．S＝，则k＝（）△AOFA．15 B．13 C．12 D．58．正方形ABCD的顶点A（2，2），B（﹣2，2），C（﹣2，﹣2），反比例函数y＝与y ＝﹣的图象均与正方形ABCD的边相交，如图，则图中的阴影部分的面积是（）A．2 B．4 C．8 D．69．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，点C在线段AB 上，点D在AB的右侧，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，∠OAB＝∠BCD＝90°，若函数y＝（x＞0）的图象经过点D，则△OAB与△BCD的面积之差为（）A．12 B．6 C．3 D．210．双曲线与在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．411．如图，反比例函数的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC 相交于点D、E．若四边形ODBE的面积为6，则k的值为（）A．1 B．2 C．3 D．412．如图，梯形AOBC的顶点A，C在反比例函数图象上，OA∥BC，上底边OA在直线y＝x 上，下底边BC交x轴于E（2，0），则四边形AOEC的面积为（）A．3 B．C．﹣1 D．+113．如图所示，正方形ABCD的边长为2，AB∥x轴，AD∥y轴，顶点A在双曲线y＝上，边CD，BC分别交双曲线于E，F，线段AB，CD分别交y轴于G，H，且线段AE恰好经过原点，下列结论：＝，其中①E是CD中点：②点F坐标为（，）；③△AEF是直角三角形；④S△AEF 正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A，B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB的两条外角平分线交于点P，且点P在反比例函数y＝的图象上．PA，PB的延长线分别交x轴、y轴于点C，D，连结CD．则△OCD的面积是（）A．8 B．8C．16 D．1615．如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线y＝（k＞0）经过A、E两点，若平行四边形AOBC的面积为12，则k的值是（）A．2 B．4 C．6 D．816．如图，△AOB的内心在x轴上，顶点A在函数y＝（k1＞0，x＞0）的图象上，顶点B在函数y＝（k2＜0，x＞0）的图象上，若△AOB的面积为4，则k1•k2的值为（）A．﹣8 B．﹣12 C．﹣14 D．﹣1617．如图，已知三角形的顶点C在反比例函数y＝位于第一象限的图象上，顶点A在x的负半轴上，顶点B在反比例函数y＝（k≠0）位于第四象限的图象上，BC边与x轴交于点D，CD＝2BD，AC边与y轴交于点E，AE＝CE，若△ABD面积为，则k＝（）A．﹣4 B．﹣C．﹣2D．318．如图：A，B是函数y＝的图象上关于原点O点对称的任意两点，AC垂直于x轴于点C，BD垂直于x轴于点D，设四边形ADBC的面积为S，则（）A．S＝2 B．2＜S＜4 C．S＝4 D．S＞419．如图，已知点A（m，m+3），点B（n，n﹣3）是反比例函数y＝（k＞0）在第一象限的图象上的两点，连接AB．将直线AB向下平移3个单位得到直线l，在直线l上任取一点C，则△ABC的面积为（）A．B．6 C．D．920．如图，四边形OABC为平行四边形，A在x轴上，且∠AOC＝60°，反比例函数y＝（k ＞0）在第一象限内过点C，且与AB交于点E．若E为AB的中点，且S＝8，则OC△OCE的长为（）A．8 B．4 C．D．参考答案1．解：设B（a，），A（a，）∵AB＝2BC，∴＝，∴m＝3n，∵△OAB的面积为2，∴根据反比例函数k的几何意义可知：△AOC的面积为﹣，△BOC的面积为﹣，∴△AOB的面积为﹣+＝2，∴n﹣m＝4，∴n﹣3n＝4，∴n＝﹣2，∴m＝﹣6，∴m+n＝﹣8故选：D．2．解：如图，连接AC，BO交于点E，作AG⊥x轴，CF⊥x轴，设点A（a，﹣），点C（m，）（a＜0，m＞0）∵四边形ABCO是平行四边形∴AC与BO互相平分∴点E（）∵点O坐标（0，0）∴点B[（a+m），（﹣）]∵点B在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，∴﹣+＝﹣∴a＝﹣2m，a＝m（不合题意舍去）∴点A（﹣2m，）∴S＝（）（m+2m）﹣﹣1＝△AOC＝3∴▱OABC的面积＝2×S△AOC故选：A．3．解：由反比例函数比例系数k的几何意义可知，S△BOC＝S△AOC＝∵S△BOC ﹣S△AOC＝S△AOB＝3∴﹣＝3∴k2﹣k1＝6故选：B．4．解：如图，将C2及直线y＝x绕点O逆时针旋转45°，则得到双曲线C3，直线l与y轴重合．双曲线C3，的解析式为y＝﹣过点P作PB⊥y轴于点B∵PA＝PO∴B为OA中点．∴S△PAB ＝S△POB由反比例函数比例系数k的性质，S△POB＝3 ∴△POA的面积是6故选：B．5．解：如图，分别过点A、B作AF⊥y轴于点F，AD⊥x轴于点D，BG⊥y轴于点G，BE⊥x 轴于点E，∵k＞0，点A是反比例函数图象上的点，∴S△AOD ＝S△AOF＝|k|，∵A、B两点的横坐标分别是a、3a，∴AD＝3BE，∴点B是AC的三等分点，∴DE＝2a，CE＝a，∴S△AOC ＝S梯形ACOF﹣S△AOF＝（OE+CE+AF）×OF﹣|k|＝×5a×﹣|k|＝3，解得k＝1.5．故选：B．6．解：如图，∵点A的坐标为（0，﹣1），AB∥x轴，反比例函数y＝（k≠0）经过▱ABCD 的顶点B，∴点B的坐标为（﹣k，﹣1），即AB＝﹣k，又∵点E（0，2），∴AE＝2+1＝3，又∵平行四边形ABCD的面积是18，∴AB×AE＝18，∴﹣k×3＝18，∴k＝﹣6，∴y＝﹣，∵CD经过点（0，2），∴令y＝2，可得x＝﹣3，∴点D的坐标为（﹣3，2），故选：C．7．解：过点A作AM⊥x轴于点M，如图所示．设OA＝a＝OB，则在Rt△OAM中，∠AMO＝90°，OA＝a，sin∠AOB＝，∴AM＝OA•sin∠AOB＝a，OM＝a，∴点A的坐标为（a，a）．＝，∵四边形OACB是菱形，S△AOF∴OB×AM＝，即×a×a＝39，解得a＝±，而a＞0，∴a＝，即A（，6），∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴k＝×6＝15．故选：A．8．解：根据对称性可知，阴影部分的面积＝正方形ABCD的面积的＝×4×4＝8，故选：C．9．解：∵△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，∴OA＝AB，CD＝BC．设OA＝a，CD＝b，则点D的坐标为（a+b，a﹣b），∵反比例函数y＝在第一象限的图象经过点D，∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2＝6，∴△OAB与△BCD的面积之差＝a2﹣b2＝×6＝3．故选：C．10．解：设直线AB与x轴交于点C．∵AB∥y轴，∴AC⊥x轴，BC⊥x轴．∵点A在双曲线y＝的图象上，∴△AOC的面积＝×5＝．点B在双曲线y＝的图象上，∴△COB的面积＝×3＝．∴△AOB的面积＝△AOC的面积﹣△COB的面积＝﹣＝1．故选：A．11．解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCE ＝，S△OAD＝，过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S□ONMG＝|k|，又∵M为矩形ABCO对角线的交点，则S矩形ABCO＝4S□ONMG＝4|k|，由于函数图象在第一象限，k＞0，则++6＝4k，k＝2．故选：B．12．解：因为AO∥BC，上底边OA在直线y＝x上，则可设BE的解析式为y＝x+b，将E（2，0）代入上式得，b＝﹣2，BE的解析式为y＝x﹣2．把y＝1代入y＝x﹣2，得x＝3，C点坐标为（3，1），则反比例函数解析式为y＝，将它与y＝x组成方程组得：，解得x＝，x＝﹣（负值舍去）．代入y＝x得，y＝．A点坐标为（，），OA＝＝，BC＝＝3，∵B（0，﹣2），E（2，0），∴BE＝2，∴BE边上的高为，∴梯形AOBC高为：，梯形AOBC面积为：×（3+）×＝3+，△OBE的面积为：×2×2＝2，则四边形AOEC的面积为3+﹣2＝1+．故选：D．13．解：①∵线段AE过原点，且点A、E均在双曲线y＝上，∴点A、E关于原点对称，∵正方形ABCD边长为2，∴点A的坐标为（﹣，﹣1），点E的坐标为（，1），∴AG＝DH＝EH＝，∵CD＝2，∴CE＝DE＝1，∴E是CD中点；故①正确；②∵CH＝，∴F（，），故②正确；③∵点A的坐标为（﹣，﹣1），点E的坐标为（，1），F（，），∴AE2＝＝5，AF2＝＝，EF2＝＝1，∴AE2+EF2≠AF2，∴△AEF不是直角三角形；故③不正确；＝2×2﹣﹣﹣＝，④∵S△AEF故④正确；故选：C．14．解：如图，作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H．∴∠PMA＝∠PHA＝90°，∵∠PAM＝∠PAH，PA＝PA，∴△PAM≌△PAH（AAS），∴PM＝PH，∠APM＝∠APH，同理可证：△BPN≌△BPH，∴PH＝PN，∠BPN＝∠BPH，∴PM＝PN，∵∠PMO＝∠MON＝∠PNO＝90°，∴四边形PMON是矩形，∵PM＝PN，∴可以假设P（m，m），∵P（m，m）在y＝上，∴m2＝16，∵m＞0，∴m＝4，∴P（4，4）．设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝4﹣a，BN＝BH＝4﹣b，∴AB＝AH+BH＝8﹣a﹣b，∵AB2＝OA2+OB2，∴a2+b2＝（8﹣a﹣b）2，可得ab＝8a+8b﹣32，∴4a+4b﹣16＝ab，∵PM∥OC，∴，∴，∴OC＝，同法可得OD＝，＝•OC•DO＝•＝•＝•＝16．∴S△COD故选：C．15．解：过A作AD⊥OB于D，过E作EF⊥OB于F，如图，设A（x，y＝），B（a，0），∵四边形AOBC为平行四边形，∴AE＝BE，∴EF为△BAD的中位线，∴EF＝AD＝，∴DF＝（a﹣x），OF＝OD+DF＝，∴E（，），∵E点在双曲线上，∴•＝k，∴a＝3x，∵平行四边形的面积是12，∴AD•OB＝12，即•a＝12，∴•3x＝12，∴k＝4．故选：B．16．解：∵△AOB的内心在x轴上，∴∠AOE＝∠BOE，∴∠AOC＝∠BOD，过作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D，∴△ACO∽△BDO，∴＝，设A（a，b），B（c，d），∴AC＝a，OC＝b，BD＝c，OD＝﹣d，∴＝，∴bc＝﹣ad，∴S△AOB ＝S梯形ACDB﹣S△AOC﹣S△BDO＝（BD+AC）（OC+OD）﹣AC•OC﹣BD•OD＝（a+c）（b﹣d）﹣ab+cd＝4，∴bc﹣ad＝8，∴bc＝4，∴c＝，d＝，∴点B（，），∴•＝k2，∴k2•ab＝﹣16又∵ab＝k1，∴k2•k1＝﹣16．故选：D．17．解：如图，过点C，点B分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，则EO∥CM，∴△AEO∽△ACM，∴，设AO＝OM＝a，OE＝b，CM＝2b，∴点C的坐标为（a，2b），∵顶点C在反比例函数y＝位于第一象限的图象上，∴2ab＝4，即ab＝2，∵CM∥BN，∴△CMD∽△BND，∴，设DN＝m，则MD＝2m，BN＝b，∴点B的坐标为（a+3m，﹣b），∵顶点B在反比例函数y＝（k≠0）位于第四象限的图象上，∴﹣b（a+3m）＝k，∵△ABD面积为，∴，即ab+mb＝，∴mb＝0.5，∴k＝﹣b（a+3m）＝﹣ab﹣3mb＝﹣2﹣1.5＝﹣3.5，故选：B．18．解：∵A ，B 是函数y ＝的图象上关于原点O 对称的任意两点，且AC 垂直于x 轴于点C ，BD 垂直于x 轴于点D ，∴S △AOC ＝S △BOD ＝×2＝1，假设A 点坐标为（x ，y ），则B 点坐标为（﹣x ，﹣y ），则OC ＝OD ＝x ，∴S △AOD ＝S △AOC ＝1，S △BOC ＝S △BOD ＝1，∴四边形ADBC 面积＝S △AOD +S △AOC +S △BOC +S △BOD ＝4．故选：C ．19．解：∵点A （m ，m +3），点B （n ，n ﹣3）在反比例函数y ＝（k ＞0）第一象限的图象上，∴k ＝m （m +3）＝n （n ﹣3），即：（m +n ）（m ﹣n +3）＝0，∵m +n ＞0，∴m ﹣n +3＝0，即：m ﹣n ＝﹣3，过点A 、B 分别作x 轴、y 轴的平行线相交于点D ，∴BD ＝x B ﹣x A ＝n ﹣m ＝3，AD ＝y A ﹣y B ＝m +3﹣（n ﹣3）＝m ﹣n +6＝3，又∵直线l 是由直线AB 向下平移3个单位得到的，∴平移后点A与点D重合，因此，点D在直线l上，∴S△ACB ＝S△ADB＝AD•BD＝，故选：A．20．解：过点C作CD⊥x轴于点D，过点E作EF⊥x轴于点F，如图：∵四边形OABC为平行四边形，∴OC＝AB，OC∥AB，∴∠EAF＝∠AOC＝60°，在Rt△COD中，∵∠DOC＝60°，∴∠DOC＝30°，设OD＝t，则CD＝t，OC＝AB＝2t，在Rt△EAF中，∵∠EAF＝60°，AE＝AB＝t，∴AF＝，EF＝AF＝t，∵点C 与点E 都在反比例函数y ＝的图象上，∴OD ×CD ＝OF ×EF ，∴OF ＝＝2t ， ∴OA ＝2t ﹣＝t ， ∴S 四边形OABC ＝2S △OCE ，∴t ×t ＝2×8，∴解得：t ＝（舍负）， ∴OC ＝．故选：D ．。
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第3课时 反比例函数图象与性质的综合应用
1．归纳总结反比例函数的图象和性质．(重点)
2．理解并掌握反比例函数的比例系数k 的几何意义．(重点，难点)
一、情境导入
如图所示，对于反比例函数，在其图象上任取一点P ，过P 点作PQ ⊥x 轴于Q 点并连接OP
.
试着猜想△OPQ 的面积与反比例函数的关系，并探讨反比例函数y ＝k
x (k ≠0)中k
值的几何意义．
二、合作探究 探究点一：用待定系数法确定反比例函数的解析式
已知点P (－1，4)在反比例函数y ＝k
x
(k ≠0)的图象上，则k 的值是( ) A ．－14 B.1
4 C ．4 D ．－4
解析：∵点P (－1，4)在反比例函数y ＝k
x (k ≠0)的图象上，∴k ＝xy ＝(－1)×4＝－4，故选D.
方法总结：本题考查待定系数法确定反
比例函数的解析式，已知反比例函数上一点
的坐标，要求函数解析式，只要把这点的坐标代入就可求得．
探究点二：反比例函数解析式中k 的几何意义
如图所示，点A 在反比例函数y
＝k
x 的图象上，AC 垂直x 轴于点C ，且△AOC 的面积为2，求该反比例函数的表达式．
解析：先设点A 的坐标，然后用A 的坐
标表示△AOC 的面积，进而求出k 的值．
解：S △AOC ＝1
2y A ·x A ，∵A 在反比例函数
y ＝k x 的解析式上，∴x A ·y A ＝k ，∴S △AOC ＝12·k ＝2，∴k ＝4，∴反比例函数的表达式为y ＝4x
. 方法总结：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴与向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积等于|k |值的一半． 探究点三：反比例函数的图象与性质的综合应用
若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)都是反比例函数y ＝1
x 的图象上的点，且
x 1<0<x 2<x 3，则y 1，y 2，y 3由小到大的顺序是
__________________．
解析：∵k ＝1>0，∴y ＝1
x 的图象位于第
一、三象限，且在每一个象限内y 随x 的增
大而减小，∵x 1<0<x 2<x 3，∴y 1<0<y 3<y 2，故y 1<y 3<y 2.
方法总结：解决这类问题时应该从反比例函数图象性质入手，通过图象在不同象限中的性质来判断点的坐标的大小关系，解题时可画出反比例函数的大致图象，方便解答．
探究点四：反比例函数与一次函数的综合
【类型一】反比例函数与一次函数图象
的综合
在同一直角坐标系中，函数y ＝kx －k 与y ＝k
x
(k ≠0)的图象大致是( )
解析：在同一直角坐标系中，函数y ＝kx －k 与y ＝k
x (k ≠0)的图象只有两种情况，
当k >0时，y ＝k
x 分布在第一、三象限，此时
y ＝kx －k 经过第一、三、四象限；当k <0时，y ＝k
x 分布在第二、四象限，此时y ＝kx －k 经过第一、二、四象限，故选D.
方法总结：判断函数图象分布是否正
确，主要通过假设条件，根据函数的图象及性质判断，若与选项一致则正确；若相矛盾，则错误．
【类型二】反比例函数与一次函数图象
与性质的综合
如图所示，一次函数y ＝ax ＋b 的图象与反比例函数y ＝k
x 的图象交于M 、N
两
点．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．
解析：(1)把点N (－1，－4)代入y ＝k
x 即
可求出反比例函数解析式，进而求出点M ，再把M 、N 代入一次函数即可求出一次函数的解析式．
(2)由图象可知当反比例函数大于一次
函数时x 的取值范围是x <－1或0<x <2. 解：(1)由反比例函数定义可知k ＝(－1)×(－4)＝4.
∴y ＝4
x ，而M (2，m )在反比例函数图象
上．
∴m ＝4
2
＝2，∴M (2，2)．
即在一次函数图象上有
⎩
⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝2，－a ＋b ＝－4，
∴a ＝2，b ＝－2，∴y ＝2x －2. (2)由图中观察可知，满足题设x 的取值范围为x <－1或0<x <2.
方法总结：分别利用反比例函数和一次函数的定义求出其解析式，根据图象和性质判断，在解题过程中要考虑全面，不要漏解．
三、板书设计 函数y ＝k x （k ≠0）
⎩⎪⎨⎪
⎧k >0⎩⎪⎨⎪
⎧图象：第一、三象限性质：在每个象限内，y 随x 的增大而减小
k <0⎩⎪⎨
⎪
⎧图象：第二、四象限
性质：在每个象限内，y 随x 的增大而增大
本次教学过程重在归纳总结，通过引导学生主动参与来加深其对知识的理解，在结合基本题型教学的同时，通过发散思维的引导，进一步提升学生的创新思维和实际动手能力，全面提升学生的认知水平．。