专题3.4 反比例函数(解析版)

2021年中考数学精选考点专项突破题集（上海专用）专题3.4 反比例函数考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题． 一、选择题（每题4分，共24分）1．（2020·上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中）已知函数()0ky k x=≠中，在每个象限内，y 的值随x 的值增大而增大，那么它和函数()0y kx k =-≠在同一直角坐标平面内的大致图像是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】首先根据反比例函数图象的性质判断出k 的范围，再确定其所在象限，进而确定正比例函数图象所在象限，即可得到答案． 【详解】解：∵函数ky x=中，在每个象限内，y 随x 的增大而增大， ∴k ＜0，∴双曲线在第二、四象限，∴函数y=-kx 的图象经过第一、三象限，故选：A ．【点睛】此题主要考查了反比例函数图象的性质与正比例函数图象的性质，图象所在象限受k 的影响．2．（2020·上海九年级专题练习）函数2(0)y x x=->的图像位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】根据反比例函数中ky x=，当0k <，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大，进而得出答案． 【详解】解：函数2(0)y x x=->的图象位于第四象限． 故选D ．【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确记忆反比例函数图象分布的象限是解题关键．3．（2020·上海大学附属学校）反比例函数6y x=-的图像经过点（ ） A ．（2，3） B ．（1，6）C ．（9，23-） D ．（-2，-3）【答案】C【分析】根据反比例函数的图象、平面直角坐标系中象限的点坐标特征即可得． 【详解】反比例函数6y x=-的图象位于第二、四象限 第二象限的点坐标特征为：横坐标为负、纵坐标为正；第四象限的点坐标特征为：横坐标为正、纵坐标为负观察四个选项可知，只有选项C 符合，点2(9,)3-位于第四象限 故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象、平面直角坐标系中象限的点坐标特征，熟记反比例函数的图象是解题关键．4．（2019·上海全国·九年级单元测试）如图，两个反比例函数4y x=和2y x =在第一象限内的图象分别是1C 和2C ，点P 在1C 上，PA x ⊥轴于点A ，交2C 于点B ，连接OB ，OP ，则POB 的面积为( )A ．1B ．2C ．4D ．无法计算【答案】A【分析】根据反比例函数k y x=（k ≠0）系数k 的几何意义得到S △POA =12×4=2，S △BOA =12×2=1，然后利用S △POB =S △POA -S △BOA 进行计算即可． 【详解】解：PA x ⊥轴于点A ，交2C 于点B ，1422POAS∴=⨯=，1212BOAS =⨯=，211POBPOABOASSS∴=-=-=．故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数k y x =（k ≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数k y x=（k ≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 5．（2020·上海九年级专题练习）关于反比例函数4y x=-，下列说法正确的是（ ） A ．函数图像经过点（2，2）；B ．函数图像位于第一、三象限；C ．当0x >时，函数值y 随着x 的增大而增大；D ．当1x >时，4y <-．【答案】C【分析】直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案． 【详解】A 、关于反比例函数y=-4x，函数图象经过点（2，-2），故此选项错误； B 、关于反比例函数y=-4x，函数图象位于第二、四象限，故此选项错误； C 、关于反比例函数y=-4x，当x ＞0时，函数值y 随着x 的增大而增大，故此选项正确； D 、关于反比例函数y=-4x，当x ＞1时，y ＞-4，故此选项错误； 故选C ．【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握相关函数的性质是解题关键． 6．（2019·上海全国·九年级单元测试）如图，过反比例函数y ＝kx(x ＜0)图象上的一点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连接AO ，若S △AOB ＝2，则k 的值是( )A ．2B ．﹣2C ．4D ．﹣4【答案】D【分析】根据点A 在反比例函数图象上结合反比例函数系数k 的几何意义，即可得出关于k 的含绝对值符号的一元一次方程，解方程求出k 值，再结合反比例函数在第二象限内有图象即可确定k 值．【详解】解：∵点A 是反比例函数y ＝kx图象上一点，且AB ⊥x 轴于点B ， ∴S △AOB ＝12|k|＝2，解得：k ＝±4． ∵反比例函数在第二象限有图象，∴k ＝﹣4． 故选D ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数系数k 的几何意义，解题的关键是找出关于k 的含绝对值符号的一元一次方程．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（2019·上海市南塘中学中考模拟）已知(,3)A m 、(2,)B n -在同一个反比例函数图像上，则mn=________. 【答案】23-【分析】首先设反比例函数解析式为(0)ky k x=≠，然后将两点坐标分别代入，即可得出m 和n 的表达式，进而得解.【详解】解：设反比例函数解析式为(0)ky k x=≠，将(,3)A m 、(2,)B n -分别代入，得 3km=，2k n =- ∴2332k m k n ==--故答案为23-. 【点睛】此题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握，即可解题.8．（2020·上海大学附属学校九年级三模）已知点A （－3，－2）在反比例函数y ＝kx的图像上，那么 k ＝____________． 【答案】6【分析】把A （-3，-2）代入函数y ＝kx中，即可求出k 的值． 【详解】由题意知，k=-3×（-2）=6， 故答案为6．【点睛】本题考查了待定系数法求解反比例函数解析式，属于基础题，比较简单.9．（2019·上海长宁区·九年级二模）如果反比例函数ky x=(k 是常数，0k ≠)的图像经过点()1,2-，那么这个反比例函数的图像在第_________象限． 【答案】二、四【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k 值，再利用反比例函数的性质，即可得出这个函数图象所在的象限． 【详解】解：∵反比例函数ky x=（k 是常数，k ≠0）的图象经过点（-1，2）， ∴k =-1×2=-2＜0，∴反比例函数的解析式为2y x=-， ∴这个函数图象在第二、四象限．故答案为：二、四．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k 值是解题的关键． 10．（2017·上海中考真题）如果反比例函数y ＝kx(k 是常数，k≠0)的图象经过点(2，3)，那么在这个函数图象所在的每个象限内，y 的值随x 值的增大而____．(填“增大”或“减小”) 【答案】减小试题分析：∵反比例函数ky x=（k 是常数，k ≠0）的图象经过点（2，3），∴k =2×3=6＞0，∴这个函数图象所在的每个象限内，y 的值随x 的值增大而减小． 故答案为减小．11．（2020·上海杨浦区·九年级二模）如图，已知在平面直角坐标系中，点A 在x 轴正半轴上，点B 在第一象限内，反比例函数y ＝kx的图象经过△OAB 的顶点B 和边AB 的中点C ，如果△OAB 的面积为6，那么k 的值是_____．【答案】4【分析】过B 作BD ⊥OA 于点D ，设点B （m ，n ），根据△OAB 的面积为6，可以求得A 点坐标，而点C 是AB 的中点，即可表示出C 点坐标，再将点B 、C 坐标同时代入反比例函数解析式，即可求解．【详解】解：过B 作BD ⊥OA 于D ，∵点B 在反比例函数ky x=的图象上，∴设B （m ，n ）， ∵△OAB 的面积为6，∴12OA n=，∴A （12n ，0），∵点C 是AB 的中点，∴C （122mn n +，2n）， ∵点C 在反比例函数k y x=的图象上，∴12=22mn nmn n +⋅， ∴4mn =，∴4k =．故答案为4．【点睛】本题目考查反比例函数，难度一般，正确作出辅助线，设出点B 的坐标，是顺利解题的关键．12．（2020·上海奉贤区·九年级二模）从分别写有数字1，2，4的三张相同卡片中任取两张，如果把所抽取卡片上的两个数字分别作为点M 的横坐标和纵坐标，那么点M 在双曲线y ＝4x上的概率是_____． 【答案】13【分析】列表得出所有等可能的情况，然后判断落在双曲线上点的情况数，即可求出点M 在双曲线y ＝4x上的概率．【详解】解：列表如下：所有可能的情况有6种,其中落在双曲线y＝4x上的点有：（1，4），（4，1）共2个，则点M在双曲线y＝4x上的概率是26＝13．【点睛】此题考查的是判断点是否在反比例函数图象上和求概率问题，掌握列表法和概率公式是解决此题的关键．13．（2019·青浦东方中学九年级期中）点A在双曲线y=1x上，点B在双曲线y=3x上，且AB∥x轴，过点A,B分别向x轴作垂线，垂足分别为D．C，那么四边形ABCD的面积是__________________.【答案】2【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得出矩形EODA的面积为：1，矩形BCOE的面积是3，则矩形ABCD的面积为：3-1=2．【详解】过点A作AE⊥y轴于点E，∵点A在双曲线y=1x上，点B在双曲线y=3x上，∴矩形EODA的面积为：1，矩形EOCB的面积是3，∴矩形ABCD的面积为：3-1=2，故答案为2．【点睛】此题考查反比例函数关系k的几何意义，得出矩形EODA和矩形BCOE的面积是解题关键．14．（2019·青浦东方中学九年级期中）已知双曲线y=kx经过点A（a，a+4）和点B（2a，2a-1），则a 的值是_________. 【答案】2【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得出k=a （a+4）=2a （2a-1），解方程即可求得．【详解】根据题意得k=a （a+4）=2a （2a-1），解得a=2，k=12． 故答案为：2.【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据坐标特征得出k=a （a+4）=2a （2a-1）是解题的关键．15．（2019·上海市西南模范中学九年级二模）两位同学在描述同一反比例函数的图像时，甲同学说：“从这个反比例函数图像上任意一点向x 轴、y 轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为2014．”乙同学说：“这个反比例函数图像与直线y x =-有两个交点．”你认为这两位同学所描述的反比例函数的解析式是________________． 【答案】2014y x=-【分析】根据反比例函数中k 的几何意义=k xy ，再根据图像与直线y x =-有两个交点，可知反比例函数图像在二、四象限，即可判断k 的值【详解】解：根据题意得=2014=k xy ，∴2014=k 或2014=-k ， 又∵图像与直线y x =-有两个交点，∴2014=-k ， 故反比例函数的解析式是2014y x=-. 【点睛】本题考查反比例函数k 的几何意义，判断反比例函数的象限是关键. 16．（2017·上海长宁区·九年级二模）已知反比例函数1k y x-=的图象经过一、三象限，则实数k 的取值范围是_____． 【答案】k ＞1．【分析】根据反比例函数1k y x-=的图象经过一、三象限得出关于k 的不等式，求出k 的取值范围即可．【详解】∵反比例函数1k y x-=的图象经过一、三象限， ∴k ﹣1＞0，即k ＞1．故答案为：k ＞1．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．17．（2018·上海奉贤区·九年级二模）已知反比例函数(0)ky k x=≠，在其图象所在的每个象限内，y 的值随x 的值增大而减小，那么它的图象所在的象限是第__________象限． 【答案】一、三．【分析】直接利用反比例函数的增减性进而得出图象的分布． 【详解】∵反比例函数y kx=（k ≠0），在其图象所在的每个象限内，y 的值随x 的值增大而减小，∴它的图象所在的象限是第一、三象限． 故答案为：一、三．【点睛】本题考查了反比例的性质，正确掌握反比例函数图象的分布规律是解题的关键． 18．（2019·上海市继光初级中学）在直角坐标系中，O 是坐标原点，点P （m ，n ）在反比例函数ky x=的图象上． （1）若m ＝k ，n ＝k ﹣2，则k ＝_____； （2）若m +n ＝k ，OP ＝2，且此反比例函数ky x=，满足：当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，则k ＝_____．【答案】【分析】（1）函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式ky x=（k ≠0），即可求得k 的值；（2）根据点（x ，y ）到原点的距离公式d ＝22x y +，得到关于m ，n 的方程；再结合完全平方公式的变形，得到关于k 的方程，进一步求得k 值． 【详解】解：（1）根据题意，得k ﹣2＝kk＝1，∴k ＝3． （2）∵点P （m ，n ）在反比例函数y ＝xk的图象上．∴mn ＝k又∵OP ＝2＝2，∴（m +n ）2﹣2mn ﹣4＝0， 又m +n ＝k ，mn ＝k ，得k 2﹣2k ＝4，（k ﹣1）2＝5，∵x ＞0时，y 随x 的增大而减小，则k ＞0．∴k ﹣1k ＝【点睛】本题考查求反比例函数解析式.能够熟练运用待定系数法进行求解．注意：（1）明确两点间的距离公式；（2）在ky x=中，当k ＞0时，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（2019·上海普陀区·九年级期末）函数m y x=与函数xy k =（m 、k 为不等于零的常数）的图像有一个公共点()3,2A k -，其中正比例函数y 的值随x 的值增大而减小，求这两个函数的解析式. 【答案】y x =-，9y x=-【分析】把点A （3，k-2）代入x y k =，即可得出3k＝k −2，据此求出k 的值，再根据正比例函数y 的值随x 的值增大而减小，得出满足条件的k 值即可求解． 【详解】根据题意可得3k＝k −2， 整理得k 2-2k+3=0，解得k 1=-1，k 2=3，∵正比例函数y 的值随x 的值增大而减小，∴k=-1， ∴点A 的坐标为（3，-3），∴反比例函数是解析式为：y ＝−9x； 正比例函数的解析式为：y=-x ．【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于将函数图象的交点与方程（组）的解结合起来是解此类题目常用的方法．20．（2020·上海奉贤区·九年级二模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴交于点A （﹣2，0），与y 轴的正半轴交于点B ，与反比例函数y ＝mx（x ＞0）的图象交于点C ，且AB ＝BC ，点C 的纵坐标为4．（1）求直线AB 的表达式；（2）过点B 作BD ∥x 轴，交反比例函数y ＝mx的图象于点D ，求线段CD 的长度．【答案】（1）y＝x+2；（2）【分析】（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H，如图，利用平行线分线段成比例得到AOOH＝ABBC＝1，则OH＝OA＝2，则点C的坐标为（2，4），然后利用待定系数法求直线AB的解析式；（2）把C点坐标代入y＝mx中求出m＝8，再利用直线解析式确定点B的坐标为（0，2），接着利用BD∥x轴得到点D纵坐标为2，根据反比例解析式确定点D坐标，然后根据两点间的距离公式计算CD的长．【详解】解：（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H，如图，∴AOOH＝ABBC＝1，∵A（﹣2，0），∴AO＝2，∴OH＝OA＝2，∵点C的纵坐标为4，∴点C的坐标为（2，4），设直线AB的表达式y＝kx+b（k≠0），把A（﹣2，0），C（2，4）代入得2k b02k b4-+=⎧⎨+=⎩，解得k1b2=⎧⎨=⎩，∴直线AB的表达式y＝x+2；（2）∵反比例函数y＝mx的图象过点C（2，4），∴m＝2×4＝8，∵直线y＝x+2与y轴的正半轴交于点B，∴点B的坐标为（0，2），∵BD∥x轴，∴点D纵坐标为2，当y＝2时，8x＝2，解得x＝4，∴点D坐标为（4，2），∴CD【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的综合题型,掌握利用待定系数法求一次函数解析式、反比例函数解析式和平面直角坐标系中任意两点间的距离公式是解决此题的关键．21．（2020·上海虹口区·九年级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3与x，y轴分别交于点A、B，与双曲线y＝mx交于点C(a，6)，已知△AOB的面积为3，求直线与双曲线的表达式．【答案】y＝﹣32x+3，y＝﹣12x【分析】先利用一次函数解析式确定B点坐标，再利用三角形面积公式求出OA得到A点坐标为（2，0），接着把A点坐标代入y＝kx+3中求出k得到一次函数解析式为y＝﹣32x+3，然后利用一次函数解析式确定C点坐标，最后利用待定系数法求反比例函数解析式．【详解】当x＝0时，y＝kx+3＝3，则B（0，3），∵△AOB的面积为3，∴12×3×OA＝3，解得OA＝2，∴A点坐标为（2，0），把A（2，0）代入y＝kx+3得2k+3＝0，解得k＝﹣32，∴一次函数解析式为y＝﹣32x+3，把C（a，6）代入得﹣32a+3＝6，解得a＝﹣2，∴C点坐标为（﹣2，6），把C（﹣2，6）代入y＝mx得m＝﹣2×6＝﹣12，∴反比例函数解析式为y＝﹣12x．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．22．（2020·上海黄浦区·九年级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标（2，3），过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交反比例函数在第一象限的图象于点B，且满足AB BH＝2．（1）求该反比例函数的解析式；（2）点C在x正半轴上，点D在该反比例函数的图象上，且四边形ABCD是平行四边形，求点D 坐标．【答案】（1）y＝2x；（2）点D坐标（1，2）【分析】（1）先求出点B坐标，利用待定系数法可求反比例函数解析式；（2）利用平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD＝2，可求点D坐标．【详解】解：（1）∵点A坐标（2，3），∴AH＝3，∵ABBH＝2，∴BH＝1，AB＝2，∴点B（2，1），设反比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），∵点B在反比例函数的图象上，∴k＝2×1＝2，∴反比例函数的解析式为y＝2x；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD＝2，∵AB⊥x轴，∴CD⊥x轴，∴点D纵坐标2，∴点D坐标（1，2）．【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，平行四边形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．23．如图，一次函数y kx b =+与反比例函数6(0)y x x=>的图象交于(),6A m ，()3,B n 两点．（1）求一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出60kx b x+-<的x 的取值范围； （3）求AOB 的面积．【答案】（1）28y x =-+；（2）当01x <<或3x >时，60kx b x+-<；（3）8 【分析】（1）把A ，B 两点的坐标分别代入6y x=中，求得m ，n 的值，即可确定A ，B 两点的坐标，再利用待定系数法求得一次函数的解析式； （2）将不等式60kx b x+-<转化为6kx b x +<，找出图象中一次函数图象低于反比例函数图象部分对应的x 的取值范围；（3）设一次函数图象分别与x 轴和y 轴交于点D 、C ，C 、D 的坐标都可以求得，则SSSSAOBCODCOABOD=--，求解即可．【详解】解：（1）分别把()(),6,3,A m B n 代入6(0)y x x=>得66,36m n ==， 解得1,2m n ==，所以A 点坐标为()1,6，B 点坐标为()3,2，分别把()()1,6,3,2A B 代入y kx b =+得632k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得28k b =-⎧⎨=⎩，所以一次函数解析式为28y x =-+； （2）60kx b x+-<，即 6kx b x +<，即要找一次函数图象低于反比例函数图象的部分对应的x 的取值范围，所以当01x <<或3x >时，60kx b x+-<； （3）一次函数图象分别与x 轴和y 轴交于点D 、C ，如图，当0x =时，288y x =-+=，则C 点坐标为()0,8， 当0y =时，280x -+=，解得4x =，则D 点坐标为()4,0， 所以SSSSAOBCODCOABOD=--111488142222=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ 8=．【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数交点的问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、割补法求三角形的面积是解题的关键．24．（2018·上海普陀区·中考模拟）对于实数a ，b ，我们可以用min {a ，b }表示a ，b 两数中较小的数，例如min {3，﹣1}＝﹣1，min {2，2}＝2．类似地，若函数y 1、y 2都是x 的函数，则y ＝min {y 1，y 2}表示函数y 1和y 2的“取小函数”．（1）设y 1＝x ，y 2＝1x ，则函数y ＝min {x ，1x}的图象应该是 中的实线部分． （2）请在图1中用粗实线描出函数y ＝min {（x ﹣2）2，（x +2）2}的图象，并写出该图象的三条不同性质：① ；② ；③ ；（3）函数y ＝min {（x ﹣4）2，（x +2）2}的图象关于 对称．【答案】(1)B,(2)对称轴为y轴； x＜﹣2时y随x的增大而减小；最小值为0；(3) x=1．【分析】（1）依据函数解析式，可得当x≤-1时，x≤1x；当-1＜x＜0时，x＞1x；当0＜x＜1时，x≤1x；当x≥1时，x＞1x；进而得到函数y=min{x，1x}的图象；（2）依据函数y=（x-2）2和y=（x+2）2的图象与性质，即可得到函数y=min{（x-2）2，（x+2）2}的图象及其性质；（3）令（x-4）2=（x+2）2，则x=1，进而得到函数y=min{（x-4）2，（x+2）2}的图象的对称轴．【详解】（1）当x≤﹣1时，x≤1x；当﹣1＜x＜0时，x＞1x；当0＜x＜1时，x≤1x；当x≥1时，x＞1x；∴函数y=min{x，1x}的图象应该是故选B；（2）函数y=min{（x﹣2）2，（x+2）2}的图象如图中粗实线所示：性质为：对称轴为y 轴； x ＜﹣2时y 随x 的增大而减小；最小值为0． 故答案为对称轴为y 轴； x ＜﹣2时y 随x 的增大而减小；最小值为0； （3）令（x ﹣4）2=（x+2）2，则x=1，故函数y=min{（x ﹣4）2，（x+2）2}的图象的对称轴为：直线x=1． 故答案为直线x=1．【点睛】本题主要考查的是反比例函数以及二次函数图象与性质的综合应用，本题通过列表、描点、连线画出函数的图象，然后找出其中的规律，通过画图发现函数图象的特点是解题的关键．25．（2020·上海市回民中学九年级月考）如图，点A （2，6）和点B （点B 在点A 的右侧）在反比例函数的图象上，点C 在y 轴上，纵坐标为2，BC //x 轴，BC ＝3OC ，二次函数的图象经过A 、B 、C 三点．（1）求反比例函数和二次函数的解析式；（2）如果点D 在x 轴的正半轴上，点E 在反比例函数的图象上，四边形ACDE 是平行四边形，求边CD 的长．【答案】（1）2121,322y y x x x ==-++；（2）CD =或CD = 【分析】（1）设反比例函数的解析式为y ＝kx，由A 的坐标可求出k 的值，再设二次函数的解析式为y ＝ax 2+bx +2，把A 和B 的坐标代入求出a 和b 的值即可求出二次函数的解析式； （2）当AC 为边时，延长AC 交x 轴于G ，作EH ⊥x 轴，垂足为H ，利用已知条件可证明△ACM ≌△EDH ，由全等三角形的性质可得：EH ＝AM ＝4，DH ＝CM ＝2，进而求出点E （3，4），所以OH ＝3，OD ＝OE ﹣DH ＝1，利用勾股定理即可求出CD 的长；当AC 为对角线时，可设D （t ，0），由A 、C 坐标可求得线段AC 的中点，则可用t 表示出E 点坐标，代入反比例函数解析式可求得t 的值，则可求得点D 的坐标，利用勾股定理可求得CD 的长． 【详解】解：（1）设反比例函数的解析式为y ＝k x， ∵点A （2，6）在反比例函数的图象上，∴6＝2k，∴k ＝12， ∴反比例函数的解析式为y ＝12x，根据题意得点C 的坐标（0，2）． ∵BC ∥x 轴，BC ＝3OC ，∴点B 的坐标（6，2） 设二次函数的解析式为y ＝ax 2+bx +2，则642223662a b a b =++⎧⎨=++⎩，解得123a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故二次函数的解析式为y ＝﹣12x 2+3x +2． （2）①当AC 为边时，延长AC 交x 轴于G ，作EH ⊥x 轴，垂足为H ，作AM ⊥BC ，垂足为M ，交x 轴于N ，如图所示：∵在平行四边形ACDE 中，AC ∥DE ，∴∠AGO ＝∠EDH ， ∵BC ∥x 轴，∴∠ACM ＝∠AGO ，∴∠ACM ＝∠EDH ．在△ACM 和△EDH 中，AMC EHD MCA HDE AC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACM ≌△EDH （AAS ），∴EH ＝AM ＝4，DH ＝CM ＝2．∵E 点纵坐标为4，点E 在反比例函数y ＝12x图象上，∴x ＝3， ∴点E （3，4），∴OH ＝3，OD ＝OH ﹣DH ＝1， ∴CD 2＝OC 2+OD 2＝22+12＝5，∴CD． ②当AC 为对角线时，设点(),0D t ，∵四边形ACDE 是平行四边形，∴AC 与DE 互相平分， 由（1）得：()()2,6,0,2A C ， 由中点坐标公式1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭可得：点()2,8E t -， ∴把点()2,8E t -代入反比例函数解析式得：1282t=-， 解得：12t =，∴1,22OD OC ==， ∴在Rt △COD中，CD ==综上所述：CDCD =【点睛】本题主要考查二次函数与反比例函数的综合及平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握二次函数的性质、反比例函数及平行四边形的性质是解题的关键．。