汪荣鑫版数理统计习题答案chapitre1
数理统计课后习题答案
数理统计课后习题解答应用数理统计第一章1.1 解：已知总体2(,)X N μσ ，则2(,)X N nσμ ，2(0,)X N nσμ-{1}0.95P X P μ-<=<=(0,1)N ,从而上式P=()σΦ查标准正态分布表得(1.96)0.975Φ=， n 最小要取221.96σ1.2 解：(1) 单个元件寿命长于800小时的概率为{800}1{800}i i P X P X >=-≤=0.001580010.0015e -⨯-⨯=0.9995∴ 该事件的概率为60.9995(2) 单个元件寿命短于3000小时的概率为{3000}i P X ≤=0.001530000.0015e -⨯⨯=40.166610-⨯∴ 该事件的概率为100.166610-⨯1.3 解：(1) X 1,X 2,X 3的联合概率函数为123331231123(,,)()!!!x x xs i i p x x x p x e x x x λλ++-===∏(2) X 1,X 2,X 3的联合概率密度为1233()1231(,,)()x x x s i i f x x x f x e λλ-++===∏(3) X 1,X 2,X 3的联合概率密度为 当i a x b ≤≤时，3123311(,,)()()s i i f x x x f x b a ===-∏当i x 取其他值时，31231(,,)()0s ii f x x x f x ===∏(4) X 1,X 2,X 3的联合概率密度为222123313[()()()]221231(,,)()(2)x x x s i i f x x x f x eμμμπ---+-+-===∏1.4 解：1,...,n X X 的联合概率密度为当0x <<∞时，2211(ln )2221111(,...,)()(2)ni i n nx s n ini ii f x x f x exμσπσ=---==∑==∏∏当x 为其他值时，1(,...,)0s n f x x =1.5 证明：原式＝21[()()]nii XX X a =-+-∑＝22111()2()()()nnnii i i i XX X a X X X a ===-+--+-∑∑∑∵1()nii XX =-∑＝0∴ 原式＝2211()()nnii i XX X a ==-+-∑∑＝221()ni nS X a =+-∑ ∴ 当a ＝X 时，21()nii Xa =-∑有最小值且其值等于2nS 。
数理统计答案第四章汪荣鑫
P1682解：假设01234:H μμμμ=== 11234:H μμμμ不全为零1234454562024.52r n n n n n X =======经计算可得下列反差分析表：查表得0.05(3,16) 3.24F =0.0517.88370.4745(3,16)37.6887F F ==<故接受0H 即可认为四个干电池寿命无显着差异 3 解：假设0123:H μμμ==1123:H μμμ不全相等12336140.9278r n n n X =====经计算可得下列方差分析表：0.050.05(2,15) 3.684.373 3.68(2,15)F F F ==>=∴拒绝0H 故可认为该地区三所小学五年级男生平均身高有显着差异。
4 解： 假设01234:H μμμμ===11234:H μμμμ不全相等123445100.535r n n n n X ======0.05(3,16) 3.24F = 0.05(3,16) 3.24F F >=∴拒绝0H 故可认为这几支伏特计之间有显着差异。
5 解：假设012345:H μμμμμ====112345:H μμμμμ不全相等60 123455389.6r n n n n n X =======0.050.05(4,10) 3.4815.18(4,10)F F F ==>∴拒绝0H 故可认为温度对得率有显着影响215151511(,())X X N n n μμσ--+ 由T 检验法知：()T t n r =-给定的置信概率为10.95α-=0.025{()}0.95P T t n r <-=故15μμ-的置信概率为的置信区间为150.025150.025((,()E E X X t n r X X t n r ----+-2.236E S === 0.025(10) 2.2281t =由上面的数据代入计算可得：150.025150.0259084 2.2281 2.236 1.932210.0678E E X X t X X t --=--⨯=-+=故15μμ-的置信区间为（ , ）234343411(,())X X N n n μμσ--+ 由T 检验法知：()X X T t n r =-34μμ-的置信区间为：340.025340.025((,()E E X X t n r X X t n r ----+-代入数据计算得：340.025340.02510 2.2281 2.236 5.932714.0678E E X X t X X t --=-⨯=-+=故34μμ-的置信区间为（ , ） 8 解：假设01123:0H ααα=== 假设021234:0H ββββ====r0.01(2,6)10.92F = 0.01(3,6)9.78F = 0.01(2,6)A F F < 0.01(3,6)B F F >故接受01H ，拒绝02H即可认为不同加压水平对纱支强度无显着差异；既可认为不同机器对纱支强度有显着差异。
数理统计(汪荣鑫版)习题答案详细版
所以
X1 + X 2 + X3 N (0,1)
3
X1
+
X2 3
+
X3
2
χ 2 (1)
同理
X4
+
X5 3
+
X
6
2
χ 2 (1)
由于 χ2 分布的可加性，故
D X1 + X2 + X3 =1 3
1Y 3
=
X1
+
X2 3
+
X3
2
+
X4
+
X5 3
+
X6
2
可知
C=1
3
16. 解：（1）因为 ( ) Xi N 0,σ 2
题的结果可知
x = 2000 + y = 2240.444
sx2
=
s
2 y
= 197032.247
5. 解：变换
yi = 100( xi − 80)
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
xi 79.98 80.04 80.02 80.04 80.03 80.03 80.04 79.97 80.05 80.03 80.02 80.00 80.02
y
∫ FY4
( y) =
P {Y4
≤
y} =
P σY42
≤
y σ2
=
σ2 0
fχ2(1) ( x)dx
fχ2
(y) =
F' Y4
(y) =
y fχ2 (1) σ 2
数理统计教程课后重要答案习题
第一章:统计量及其分布19.设母体ξ服从正态分布N(),,2σμξ和2n S 分别为子样均值和子样方差,又设()21,~σμξN n +且与n ξξξ,,,21 独立, 试求统计量111+--+n n S nn ξξ的抽样分布. 解: 因为ξξ-+1n 服从⎪⎭⎫⎝⎛+21,0σn n N 分布. 所以()1,0~121N nn n σξξ+-+ 而()1~222-n nS nχσ且2n S 与ξξ-+1n 独立,, 所以()1~1111--÷+--+n t S n n n n S nnn σξξ分布. 即111+--+n n S nn εε服从()1-n t 分布. 20.(),,,1,,n i i i =ηξ是取自二元正态分布N()ρσσμμ222121,,,的子样,设()∑∑∑===-===n i i i ni n i i n S n n 12111,1,1ξξηηξξξ2,()2121∑=-=n i i n S ηηη和 ()()()()∑∑∑===----=ni i ni ii ni ir 12211ηηξξηηξξ试求统计量()122221--+---n S rS S S ηξηξμμηξ的分布.解: 由于().21μμηξ-=-E ()()=-+=-ηξηξηξ,c o v 2D D D nn nn2122212σσρσσ-+.所以()()n 212221212σρσσσμμηξ-+---服从()1,0N 分布 .()()()()()()()[]211212121222122ηξηξηηξξηηξξ---=----+-=-+∑∑∑∑====i ini i i ni i ni i ni S rS S S ni i ηξ-是正态变量,类似于一维正态变量的情况,可证ηξηξS rS S S 222-+与ηξ-相互独立.()()1~22221222122--+-+n S rS S S n χσρσσσηξηξ, 所以 统计量()122221--+---n S rS S S ηξηξμμηξ()()()()1)2(222122212221222121--+-+-+---=n S rS S S n nσρσσσσρσσσμμηξηξηξ服从()1-n t 分布.第二章：估计量1. 设n ξξ,,1 是来自二点分布的一个子样,试求成功概率p 的矩法估计量.解: p E =ξ ξ=∴pˆ 3. 对容量为n 的子样,求密度函数()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,00,2;2ax x a a a x f 中参数a 的矩法估计3. 对容量为n 的子样,求密度函数 ()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,00,2;2ax x a a a x f 中参数a 的矩法估计量. 解: ()322adx x a ax E a=-=⎰ξ 令ξ=3a 得ξ3ˆ=a . 4. 在密度函数 ()()10,1<<+=x x a x f a中参数a 的极大似然估计量是什么? 矩法估计量是什么? 解: (1) ()()()∏∏==+=+=ni i ni nni x x L 111ααααα ()i i x ∀<<1∴()().ln 1ln ln 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅++=∏=n i i x n L ααα令()0ln 1ln 1=++=∂∂∑=i ni x nL ααα， 得 ∑=--=ni iL xn1ln 1ˆα。
数理统计答案(汪荣鑫)(2)
i
xi
)
1 n
i
Exi
1 n
n
1
1
1
Dx D( n
i
xi ) n2
i
Dxi n2
i
Dx n
13.设X1,X2,…,Xn是区间（-1，1）上均匀分 布的母体的一个子样，试求子样平均数的
均值和方差。
解：x U (1,1), Ex 11 0, Dx 22 1
2
12 3
1
1
Ex E( n
解：作变换
yi
xi
100, a
100,
y
1 n
i
yi
10 5
0
x a y 100
sx2
sy2
1 n
i
yi 2
2
y
1 5
[(8)2
(6)2
32
52
62]
0
34
12.设X1,X2,…,Xn是参数为的泊松分布的母体 的一个子样，是子样平均数，试求EX 和DX。
解：
x
p(), E x E(1
2
0 )为(2.125 0.0041)
n
（2）若 未知
构造函数 T x t(n 1)
S* / n
给定置信概率90%，查得t0.05(15) 1.7531，有
p( T t (n 1)) 1
2
∴母体平均数 的置信概率为90%的置信
区间为(x t0.05 (15)
s* )
n
，即（2.125±0.0075）
a
cyi
xi (a cyi ),nx na cny,x a c y
i
i
而sx2
数理统计王荣鑫答案
数理统计习题答案第一 章1.解： ()()()()()()()12252112222219294103105106100511100519210094100103100105100106100534n i i n i i i i X x n S x x x n ===++++====-=-⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦=∑∑∑2. 解：子样平均数 *11li i i X m x n ==∑()118340610262604=⨯+⨯+⨯+⨯=子样方差 ()22*11li i i S m x x n ==-∑()()()()222218144034106422646018.67⎡⎤=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎣⎦=子样标准差 4.32S == 3. 解：因为i i x ay c-=所以 i i x a cy =+11ni i x x n ==∑()1111ni i ni i a c y n n a c y n ===+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑∑1ni i ca y n a c y==+=+∑所以 x a c y =+ 成立()2211nxi i s x x n ==-∑()()()22122111ni i ini i nii a cy a c y n cy c yn c y y n====+--=-=-∑∑∑因为 ()2211nyi i s y yn ==-∑ 所以222x y s c s = 成立()()()()()172181203.2147.211.2e n n e nM X X R X X M X X +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-=--====4. 解：变换 2000i i y x =-11n i i y y n ==∑()61303103042420909185203109240.444=--++++-++= ()2211n y i i s y y n ==-∑()()()()()()()()()222222222161240.444303240.4441030240.4449424240.44420240.444909240.444185240.44420240.444310240.444197032.247=--+--+-+⎡⎣-+-+-+⎤--+-+-⎦=利用3题的结果可知2220002240.444197032.247x y x y s s =+===5. 解：变换 ()10080i i y x =-13111113n i i i i y y y n ====∑∑[]12424334353202132.00=-++++++-+++++=()2211nyi i s y y n ==-∑()()()()()()22222212 2.0032 2.005 2.0034 2.001333 2.003 2.005.3077=--+⨯-+-+⨯-⎡⎣⎤+⨯-+--⎦=利用3题的结果可知2248080.021005.30771010000yx yx s s -=+===⨯6. 解：变换()1027i i y x =-11li i i y m y n ==∑()13529312434101.5=-⨯-⨯+⨯+=-2710yx =+=26.85 ()2211lyi ii s m y y n ==-∑()()()()222212351.5391.54121.5341.510440.25⎤=⨯-++⨯-++⨯+++⎡⎣⎦= 221 4.4025100x y s s ==162 *11li i i x m x n ==∑()1156101601416426172121682817681802100166=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ()22*11li i i s m x x n ==-∑()()()()()()()2222222110156166141601662616416628168166100121721668176166218016633.44=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎡⎣⎤+⨯-+⨯-+⨯-⎦= 8解：将子样值重新排列（由小到大）-4，-2.1，-2.1，-0.1，-0.1，0，0，1.2，1.2，2.01，2.22，3.2，3.21()()()()()172181203.2147.211.2e n n e nM X X R X X M X X +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-=--====9解： 121211121211n n i ji j n x n x n n x n n ==+=+∑∑112212n x n x n n +=+ ()12221121n n ii s x x n n +==-+∑()()()1212221122111122121222222111222112212122222211221122112212121222211211122121n n i i n n iji j x xn n x xn x n x n n n n n s x n s x n x n xn n n n n s n s n x n x n x n x n n n n n n n n n x n n s n sn n +====-++⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭+++⎛⎫+=-⎪++⎝⎭⎛⎫+++=+- ⎪+++⎝⎭+++=++∑∑∑()()()()()()22212211222122222112212112212122121222212121122212122n n x n x n x n n n s n s n n x n n x n n x x n n n n n n x x n s n s n n n n +-++++-=+++-+=+++解：()200.1460.3670.75790.9910110x x F x x x x ⎧⎪≤<⎪⎪≤<=⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩158 162 166 170 174 178 18212. 解：()ix P λ i Ex λ= i Dx λ= 1,2,,i n =⋅⋅⋅1122111111n n i i i i nni i i i n E X E x Ex n n n n DX Dx Dx n n n nλλλλ============∑∑∑∑13.解：(),ix U a b 2i a bEx += ()212i b a Dx -= 1,2,,i n =⋅⋅⋅ 在此题中 ()1,1ix U - 0i Ex = 13i Dx = 1,2,,i n =⋅⋅⋅112111101113n ni i i i nni i i i E X E x Ex n n DX Dx Dx n n n==========∑∑∑∑14.解：因为 ()2,iX N μσ 0i X Eμσ-= 1i X Dμσ-=所以()0,1i X N μσ- 1,2,,i n =⋅⋅⋅ 由2χ分布定义可知 ()222111nni ii i X Y Xμμσσ==-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑∑服从2χ分布所以 ()2Yn χ15. 解：因为 ()0,1i X N 1,2,,i n =⋅⋅⋅ ()1230,3X X X N ++0=1= 所以()0,1N()221χ同理()221χ由于2χ分布的可加性，故()222123Y χ=+可知 13C =16. 解：（1）因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()0,1iX N σ所以 ()22121ni i X Y n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑(){}11122Y Yy F y P Y y P σσ⎧⎫=≤=≤⎨⎬⎩⎭()220yf x d xσχ=⎰()()211'221Y Y y f y F y f χσσ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭因为 ()2122202200n x n x e x n f x x χ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ ⎪⎪⎝⎭⎪≥⎩所以 ()21122202200n y n n Y y e y n f y y σσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩（2） 因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()0,1iX N σ所以 ()22221ni i X nY n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑(){}()22222220nyY nYny F y P Y y P f x dx σχσσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎰()()222'22Y Y ny nf y F y f χσσ⎛⎫== ⎪⎝⎭故 ()221222202200n nny n n Y n y e y n f y y σσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩（3）因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()10,1ni N =所以()22311ni Y n χσ=⎛= ⎝(){}()()22333210yn Y Y F y P Y y P y f x dx n σχσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎰()()()233'2211Y Y y f y F y f n n χσσ⎛⎫== ⎪⎝⎭()()221000x x f x x χ-⎧>=≤⎩故 ()232000y n Y y f y y σ-⎧>=≤⎩（4）因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅ 所以()()1224210,11ni ni N Y χσ==⎛= ⎝(){}()()()()()224224442210'2211yY Y Y y F y P Y y P f x dxy f y F y f σχχχσσσσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰ 故 ()242000y Y y f y y σ-⎧>=≤⎩17.解：因为 ()X t n存在相互独立的U ，V()0,1UN ()2Vn χ使X =()221U χ则 221U X V n=由定义可知 ()21,F n χ18解：因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()10,1ni N =()221n mi i n X m χσ+=+⎛⎫⎪⎝⎭∑所以()1nniX Y t m ==（2）因为()0,1iX N σ1,2,,i n m =⋅⋅⋅+()()221221ni i n mi i n X n X m χσχσ=+=+⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑所以 ()221122211,ni n i ii n m n mi ii n i n X m X n Y F n m X n X m σσ==++=+=+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑∑∑19.解：用公式计算()20.010.019090χ= 查表得 0.012.33U =代入上式计算可得 ()20.01909031.26121.26χ=+= 20.解：因为 ()2X n χ 2E n χ= 22D n χ=由2χ分布的性质3可知()0,1N{}P X c P≤=≤22lim tnP dt-→∞-∞≤==Φ故{}P X c≤≈Φ第二章1.00,0()0,0()()1()111xxx xxe xf xxE x f x xdx xe dxxe e d xexλλλλλλλλλλλλ-+∞+∞--∞+∞+∞--+∞-⎧≥=⎨<⎩=⋅==-+=-==⎰⎰⎰令从而有1xλ∧=2.()111121).()(1)(1)1111k kx xE x k p p p k pppp∞∞--===-=-==⎡⎤--⎣⎦∑∑令1p＝X所以有1pX∧=２）．其似然函数为1`11()(1)(1)nix i in X nniL P P p p p-=-=∑=-=-∏1ln()ln()ln(1)niiL P n p X n p==+--∑３． 解：因为总体Ｘ服从Ｕ（a ，b ）所以()2122!2!!()12n i i a b n E X r n r X X X X a b S X b X =∧∧+=--⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩⎧=-⎪⎨⎪=+⎩∑222（a-b ）（） D （X ）=12令E （X ）= D （X ）=S ，1S =n a+b 2（）a 4. 解：（1）设12,,n x x x 为样本观察值则似然函数为：111()(),01,1,2,,ln ()ln ln ln ln 0n ni i i nii inii L x x i nL n x d L nxd θθθθθθθθ-====<<==+=+=∏∑∑（-1）解之得：11ln ln nii nii nxnxθθ=∧==-==∑∑（2）母体X 的期望1()()1E x xf x dx x dx θθθθ+∞-∞===+⎰⎰而样本均值为：11()1nii X x n E x X X Xθ=∧===-∑令得5.。
《概率论与数理统计》第一章课后习题解答共16页word资料
吴赣昌编 《概率论与数理统计》（理工类）三版课后习题解答习题1－31、袋中5个白球，3个黑球，一次任取两个。
（1）求取到的两个求颜色不同的概率；（2）求取到的两个求中有黑球的概率。
解：略2、10把钥匙有3把能打开门，今取两把，求能打开门的概率。
解:设A=“能打开”，则210S n C =法一，取出的两把钥匙，可能只有一把能打开，可能两把都能打开，则112373A n C C C =+ 所以()A Sn P A n = 法二，A ={都打不开}，即取得两把钥匙是从另7把中取得的，则27A n C =，所以27210()1()1C P A P A C =-=- 3、两封信投入四个信筒，求（1）前两个信筒没有信的概率，（2）第一个信筒内只有一封信的概率。
解：24S n =（两封信投入四个信筒的总的方法，重复排列）（1）设A=“前两个信筒没有信”，即两封信在余下的两个信筒中重复排列，22A n =；（2）设B=“第一个信筒内只有一封信”，则应从两封信中选一封放在第一个信筒中，再把余下的一封信放入余下的三个信筒中的任一个，1123B n C =带入公式既得两个概率。
4、一副扑克牌52张，不放回抽样，每次取一张，连续抽4张，求花色各异的概率.解：略5、袋中有红、黄、黑色求各一个，有放回取3次，求下列事件的概率。
A=“三次都是红球”；B=“三次未抽到黑球”，C=“颜色全不相同”，Ｄ＝“颜色不全相同” 解：略6、从0,1,2,,9L 等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：1A =‘三个数字中不含0和5’，2A =‘三个数字中不含0或5’，3A =‘三个数字中含0但不含5’.解 3813107()15C P A C ==. 333998233310101014()15C C C P A C C C =+-=， 或 182231014()1()115C P A P A C =-=-=， 2833107()30C P A C ==. 7、从一副52张的扑克牌中任取3张，不重复，计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。
数理统计课后习题答案答案(汪荣鑫版本)
i 1
n
k
( k 1) !
xi
k 1
e
xi
(
1 ( k 1) !
)
n
nk
( xi )
i 1
n
k 1
xi
i
e
ln L n ln ( k 1) ! n k ln ln ( x i )
i 1
n
k 1
i
xi
d ln L d
1 i n
12设母体X服从正态分布 N ( ,1), ( X 1 , X 2 ) 是 从此母体中抽取的一个子样。试验证下面三 个估计量 2 1 （1）＾ X 1 X 2 1
2 （2）＾
3 1
（3）＾ 3
4 1
X1
3 3
都是 的无偏估计，并求出每个估计量的 方差。问哪一个方差最小？ 2 1 2 1 2 1 解：＾ E ( x x ) E x E x E
2 2
X
2
U
2
2
/n
,由 F 分 布 定 义 X
2
F (1, n )
Page 6
8设母体 X N (40, 5 ) ,从中抽取容量n的样本
2
求（1）n=36时， (3 8 P 解： x N ( 4 0, 5 )
2
x 4 3)
64
P 3 8 x 4 3 P{
i i i i
D x D(
1
n
i
xi )
1 n
2
Dx
i
i
1 n
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10011==∑=ni i x n x 3411222=-=∑=n i i x x n s第一章1.在五块条件基本相同的田地上种植某种作物，亩产量分别为92，94，103，105，106（单位：斤），求子样平均数和子样方差。
解：2.从母体中抽取容量为60的子样，它的频数分布 求子样平均数与子样方差，并求子样标准差。
解：411*==∑=li i i x m n x67.181122*2=-=∑=li i i x x m n s32.467.18==s3.子样平均数和子样方差的简化计算如下：设子样值n x x x ,,,21⋯的平均数为x 和方差为2x ε。
作变换ca x y i i -=，得到n y y y ,,,21⋯，它的平均数为y 和方差为2y s 。
试证：222,y x s c s y c a x =+=。
解：由变换cax y i i -=，即i i cy a x += ()y cn na x n cy a x ni ini i +=+=∑∑==,11y c a x +=∴而()()()∑∑∑====-=--+=-=ni y in i i n i i xs c y y n c y c a cy a n x x n s 1222212122114.对某种混凝土的抗压强度进行研究，得到它的子样的下列观测数据（单位：磅/英寸2）：1939, 1697， 3030, 2424, 2020, 2909， 1815, 2020, 2310采用下面简化计算法计算子样平均数和方差。
先作变换2000-=i i x y ，再计算y 与2y s ，然后利用第3题中的公式获得x 和2x s 的数值。
解：作变换2000-=i i x y ，2000=a44.24021649111=⨯==∑=n i i y n y444.2240=+=y a x247.197032112222=-==∑=n i i yxy y n s s5.在冰的溶解热研究中，测量从℃72.0-的冰变成0℃的水所需热量，取13块冰分别作试验得到热量数据如下：， ， , , , , ， ， ， ， ， ，试用变换()80100-=i i x y 简化计算法计算子样平均数和子样方差。
解：作变换()80100-=i i x y ，1001,80==c a22913111=⨯==∑=n i i y n y02.80100280=+=+=y c a x41222222103.5-=⨯=-==∑ni i yxy y nc s c s6.容量为10的子样频数分布为()2710-=i i x y 试用变换作简化计算，求x 与2x s 的数值。
解：作变换()2710-=i i x y ，10/1,27==c a()5.11510111*-=-⨯==∑=l i i i y m n y85.2610)5.1(27=-+=+=y c a x4025.4122*2222=-==∑=li i i yxy y m nc s c s7.下面是100个学生身高的测量情况（以厘米计算） 试计算子样平均数和子样方差（各组以组中值作为子样中的数值）解：16611*==∑=l i i i x m n x ，44.331122*2=-=∑=l i i i x x m n s8.若从某母体中抽取容量为13的子样：1.2-,,0,1.0-,,4-,,,,1.0-,,1.2-,0。
试写出这个子样的顺序统计量、子样中位数和极差。
如果再抽取一个样品为构成一个容量为14的子样，求子样中位数。
解：顺序统计量为4-,1.2-,1.2-,1.0-,1.0-,0, 0，，，,，,0=me21.7)4(21.3=--=R添加后，2.1=me9.从同一母体抽得的两个子样，其容量为1n 和2n ，已经分别算出这两个子样的平均数1X 和2X ，子样方差21s 和22s 。
现将两个子样合并在一起，问容量为21n n +的联合子样的平均数与方差分别是什么解：∑∑====211211,n i in i ix x x x∑∑==-=-=21122222212121211,1n i i n i i x x n s x x n s()2211211x n x n n n x ++=()()()22221121221221211222121s n s n n n x x n n n n x x s n n i i +++-+=-=∑+=10.某射手进行20次独立、重复的设射击，击中靶子的环数如下表所示：试写出子样的频率分布，再写出经验分布函数并作出其图形。
解：频率分布；⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<=10,1109,9.097,75.076,3.064,1.04,0)(*20x x x x x x x F11.利用第7题中数据作出学生身高的子样直方图。
解：12.设n X X X ,,,21⋯是参数为λ的泊松分布的母体的一个X 是子样平均数，试求子样，X E 和X D 。
解：λλλ=⨯==⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑--n n Ex n x n E X E p x ni i n i i 111),(~11n n n Dx n x n D X D ni i n i i λλ=⨯==⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==212111113.设n X X X ,,,21⋯是区间)1,1(-上均匀分布的母体的一个子样，试求子样的平均数的均值和方差。
解：31122,0211),1,1(~2===+-=-Dx Ex U x01111===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==Ex Ex n x n E x E ni i n i in Dx nx n D x D n i i 31111=•=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=14.设n X X X ,,,21⋯是分布为),(2σμN 的正态母体的一个子样，求()∑=-=ni iX Y 1221μσ的概率分布。
解：()2,~σμN X Θ，则)1,0(~N x yi iσμ-=，且n Y Y ,,1⋯之间相互独立()∑∑∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=ni ni i i ni i y x x Y 11221221σμμσ由2χ分布定义)(~2n Y χ，Y 服从自由度为n 的2χ分布。
15.设母体X 具有正态分布)1,0(N ，从此母体中取一容量为6的子样),,,,,(654321X X X X X X 。
又设()()26542321X X X X X X Y +++++=。
试决定常数C ，使得随机变量CY 服从2χ分布。
解：)1,0(~N X ，)3,0(~3211N X X X Z ++=)1,0(~31N Z ，()1~32121χZ6542X X X Z ++=亦服从)3,0(N 且与1Z 相互独立，且2χ相互独立。
)1,0(~32N Z ，()1~3222χZ由2χ分布可加性()()2~313133222212221χY Z Z Z Z =+=+，31=∴c16.设()n X X X ,,,21⋯是分布为()2,0σN 的正态母体中的一个子样，试求下列统计量的分布密度：∑==ni i X Y 121)1(； ∑==n i i X n Y 1221)2(； 213)()3(∑==ni i X Y ； 21)(1)4(∑=n i i X n 。
解：)1,0(~,),0(~2N X N X ii σσ)1,0(~1),,0(~121N Xn n N Xni ini i∑∑==σσ()()()()1~;1~~;~224223222221χσχσχσχσY n Y n nY n Y()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=⎪⎩⎪⎨⎧<≥=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥Γ=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥Γ=------0,00,21)4(0,00,21)3(0,00,)2(2)2(0,00,)2(2)1(2423222122221222212x x e x x f x x e x n x f x x e n x n x f x x e n x x f x Y xY nx n n n n Y x n n n Y σπσσσσπσπσσ17.已知)(~n t X ，求证),1(~2n F X 。
证：令)(~2n t nUX χ=，其中)1,0(~N U)(~22n χχ，且U 与2χ独立，2U 亦与2χ独立 nU X 222χ=，由F 分布定义知),1(~2n F X18.设m n n n X X X X X ++⋯⋯,,,,,,121是分布为),0(2σN 的正态母体容量为m n +的子样，试求下列统计量的概率分布：∑∑++===mn n i ini iX nX m Y 1211)1(；∑∑++===mn n i ini i X n X m Y 12122)2(。
解：(1))1,0(~1N n X ni i ∑=σΘ， 且)(~212m m X mn n i i χσ∑++=⎪⎭⎫⎝⎛)(~)(1211m t mX n X Y mn n i i ni i ∑∑++==⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴σσ(2))(~212n n X ni i χσ∑=⎪⎭⎫⎝⎛Θ)(~212m m X mn n i i χσ∑++=⎪⎭⎫ ⎝⎛),(~12122m n F m X n X Y mn n i i ni i ∑∑++==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴σσ19.利用2χ分布的性质3近似计算()90201.0χ。
解：26.12133.21809090290)90(01.0201.0=⨯+=⨯⨯+≈u χ20.设()n X 2~χ，试证：当n 很大时，对0>c 有{}⎪⎭⎫⎝⎛-Φ≈≤n n c c X P 2 其中)(x Φ是正态分布)1,0(N 的分布函数。
证： 当n 很大时，X 近似服从)2,(n n N ，于是)1,0(~2N nnX - {}⎪⎭⎫⎝⎛-Φ≈⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=≤∴n n c n n c n n X P c X P 222。