用M-C 方法求积分

合集下载

不定积分计算公式

不定积分计算公式不定积分是微积分中的重要内容之一，它是对函数的积分运算，是求导的逆运算。

在数学中，不定积分可以帮助我们求解各种函数的原函数，用符号∫来表示，被积函数称为被积表达式，积分变量叫做积分变量。

本文将介绍不定积分的计算方法和常用公式，并通过具体的例子进行说明。

一、基本公式1. 常数的不定积分当被积表达式为常数c时，不定积分为cx，其中x为积分变量，c为常数。

2. 幂函数的不定积分(a) 单项式的不定积分对于单项式x^n来说，其中n是非零整数，不定积分为(x^(n+1))/(n+1)+C，其中C为常数。

例如，∫x^3dx=(x^(3+1))/(3+1)+C=(x^4)/4+C。

(b) 反函数的不定积分当被积表达式为反函数1/x时，不定积分为ln|x|+C，其中C 为常数。

例如，∫(1/x)dx=ln|x|+C。

例如，∫x^(-3)dx=(x^(-3+1))/(-3+1)+C=(x^(-2))/(-2)+C=-1/(2x^2)+C。

3. 指数函数的不定积分(a) e^x的不定积分为e^x+C，其中C为常数。

例如，∫e^xdx=e^x+C。

(b) a^x(lna)的不定积分为(a^x)/lna+C，其中C为常数，a不等于1。

例如，∫2^xdx=(2^x)/ln2+C。

4. 对数函数的不定积分lnx的不定积分为xlnx-x+C，其中C为常数。

例如，∫lnxdx=xlnx-x+C。

5. 三角函数的不定积分(a) sinx的不定积分为-cosx+C，其中C为常数。

例如，∫sinxdx=-cosx+C。

(b) cosx的不定积分为sinx+C，其中C为常数。

例如，∫cosxdx=sinx+C。

例如，∫tanxdx=-ln|cosx|+C。

复变函数积分方法总结

复变函数积分方法总结[键入文档副标题]acer[选取日期]复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。

就复变函数：z=x+iy i²=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。

arg z=θ₁θ₁称为主值 -π＜θ₁≤π，Arg=argz+2kπ。

利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ。

z=re iθ。

1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0，z1，…，z k-1，z k，…，z n=B，在每个弧段z k-1 z k(k=1,2…n)上任取一点ξk并作和式S n=ξ(z k-z k-1)=ξ∆z k记∆z k= z k- z k-1，弧段z k-1 z k的长度=,n),当0时，不论对c的分发即ξk的取法如何，S n有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为：=ξ∆z k设C负方向(即B到A的积分记作).当C为闭曲线时，f(z)的积分记作 (C圆周正方向为逆时针方向)例题：计算积分 ,其中C表示a到b的任一曲线。

（1）解：当C为闭合曲线时，=0.∵f(z)=1 S n=ξ(z k-z k-1)=b-a∴ =b-a,即 =b-a.(2)当C为闭曲线时，=0. f(z)=2z;沿C连续，则积分存在，设ξk=z k-1,则∑1= （）(z k-z k-1)有可设ξk=z k，则∑2= （）(z k-z k-1)因为S n的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。

所以S n= (∑1+∑2)==b2-a2∴=b2-a21.2 定义衍生1：参数法：f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入得：= - vdy + i + udy再设z(t)=x(t)+iy(t) (≤t≤)=参数方程书写：z=z0+(z1-z0)t（0≤t≤1）；z=z0+re iθ，(0≤θ≤2π)例题1：积分路线是原点到3+i的直线段解：参数方程 z=（3+i）t=′=(3+i)3=6+i例题2：沿曲线y=x2计算（）解：参数方程或z=t+it2 (0≤t≤1)=（）=(1+i) + 2i]=-+i1.3定义衍生2 重要积分结果：z=z0+ re iθ，(0≤θ≤2π)由参数法可得：dθ=dθ=（）=例题1：例题2：解： =0 解 =2πi2.柯西积分定理法：2.1 柯西-古萨特定理：若f(z)dz在单连通区域B内解析，则对B内的任意一条封闭曲线有：=02.2定理2：当f为单连通B内的解析函数是积分与路线无关，仅由积分路线的起点z0与终点z1来确定。

积分中值定理公式

积分中值定理公式积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它提供了两个函数之间平均值与积分之间的关系。

在本文中，我们将探讨积分中值定理的公式及其应用。

首先，让我们来讨论一下积分中值定理的基本概念。

根据定理的表述，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，而且F(x)是它的一个原函数，则存在一个数c ∈ (a, b)，使得∫[a, b] f(x)dx = (b - a) · F(c)其中，∫[a, b] f(x)dx表示函数f(x)在闭区间[a, b]上的积分。

这个定理的直观意义是，积分等于函数在区间内的平均值乘以区间长度。

根据积分中值定理的公式，我们可以推导出其他一些有用的结果。

例如，如果f(x)在闭区间[a, b]上连续且非负，且∫[a, b] f(x)dx=0，那么在该区间内f(x)必须恒为0。

另一个重要的应用是通过积分中值定理证明不等式。

例如，我们知道当x ∈ [0, 1]时，sin(x)函数是有界的，即存在常数M > 0，使得|sin(x)| ≤ M对于所有x成立。

我们可以通过积分中值定理来证明这一点。

考虑函数f(x) = sin(x)在闭区间[0, 1]上的积分：∫[0, 1] sin(x)dx由于sin(x)在该区间上连续，则存在一个数c ∈ (0, 1)，使得∫[0, 1] sin(x)dx = (1 - 0) · cos(c)由于cos(c)是有界的，我们可以得出结论∫[0, 1] sin(x)dx是有界的。

另一个相关的应用是平均值定理。

根据积分中值定理，我们可以得出函数在某个区间上的平均值与积分之间的关系。

设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，其平均值为M = (1 / (b - a)) ∫[a, b] f(x)dx则存在一个数c ∈ (a, b)，使得f(c) = M，即函数在某个点上的值等于其平均值。

除了基本的积分中值定理公式之外，还存在一些相关的推广定理。

复变函数积分方法总结()

f(z),= 则有Res[f(z), ]=-c-1
4.4.1如果f(z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远处在内）设为z1，z2，…，zn 则f(z)在各奇点的留数总和为零,即
+Res[f(z), ]=0;
4.4.2Res[f(z), ]=-Res[f( ) ,0]
例题：求下列Res[f(z), ]的值
复变函数积分方法总结
经营教育
乐享
[选取日期]
复变函数积分方法总结
数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：
z=x+iy i²=-1，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。arg z=θ₁θ₁称为主值-π＜θ₁≤π，Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z=rcosθ+irsinθ；利用欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ。z=reiθ。
∑1= (zk-zk-1)
有可设k=zk，则
∑2= (zk-zk-1)
因为Sn的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以
Sn= (∑1+∑2)= =b2-a2
∴ =b2-a2
1.2定义衍生1：参数法：
f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入得：
= - vdy + i + udy
再设z(t)=x(t)+iy(t) ( ≤t≤ )
= +
=
= + + +
=0+2πi+2πi+0

微分积分公式大全

微分积分公式大全微分和积分是微积分学中的两个重要概念，可以应用于各种数学问题和实际应用中。

在这篇文章中，我将为您介绍微分和积分的公式以及它们的应用。

一、微分(Differentiation)公式1.基本微分法则(1)常数法则：如果f(x)=c，其中c是常数，那么f'(x)=0。

(2)恒等法则：如果f(x)=x，那么f'(x)=1(3) 幂函数法则：如果f(x)=x^n，其中n是实数，那么f'(x)=nx^(n-1)。

(4) 多项式法则：如果f(x)=a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+...+a_1x+a_0，其中a_i是常数，那么f'(x)=na_nx^(n-1)+(n-1)a_(n-1)x^(n-2)+...+a_1(5)乘法法则：如果f(x)=u(x)v(x)，那么f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)。

(6)除法法则：如果f(x)=u(x)/v(x)，那么f'(x)=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/[v(x)]^2(7)复合函数法则：如果f(x)=g(h(x))，那么f'(x)=g'(h(x))h'(x)。

2.指数函数和对数函数的微分(1) 指数函数：如果f(x)=a^x，其中a是正数且不等于1，那么f'(x)=a^xln(a)。

(2)自然指数函数：如果f(x)=e^x，那么f'(x)=e^x。

(3) 自然对数函数：如果f(x)=ln(x)，那么f'(x)=1/x。

(4) 一般对数函数：如果f(x)=log_a(x)，其中a是正数且不等于1，那么f'(x)=1/[xln(a)]。

3.三角函数和反三角函数的微分(1) 正弦函数：如果f(x)=sin(x)，那么f'(x)=cos(x)。

(2) 余弦函数：如果f(x)=cos(x)，那么f'(x)=-sin(x)。

各向同性颗粒系统数量平衡方程直接矩积分求解法的研究

维普资讯
第２卷第４期２
２００６年ｈｍｉａａｔｎＥｎｉｅｒｎｎｃｎｌｇｅｃｌＲｅｃｉｇｎｅｉｇａｄＴｅｈｏｏｙｏ
Ｖｏ２ｌ．Ｎｏ４２Ａｕ．２０ｇ０６
数量平衡方程求解。Ｍａｃｉｏ和Ｆｘ在矩积分方法的基础上推导出了直接矩积分方法（ｒｃｒｈｓｉｏＤｉｔｅＱｕｄａｕｅＭｅｈｄｏｍｅｔＤａｒｔｒｔｏｆＭｏｎ，ＱＭＯＭ）与其它方法相比，ＤＱＭＯＭ具有计算量小，容易和。ＣＤ耦合等优点［Ｆｇ。Ｆｎ等利用ＤＱＭＯＭ对气固流化床系统中的破碎和聚并过程进行了研究［。ａ２］但目前ＤＱＭＯＭ在液固多相系统研究中的有效性没有验证。因此研究液固系统中的颗粒长大、破碎
方法（Ｍ）和矩方法（ｔｏｆＭｏｎ，ＭＯＭ）ＭＣＭｅｈｄｏｍｅｔ。分组方法是按颗粒内部属性进行分组，得到
一
系列离散的偏微分方程，计算量大，难以和计算流体力学（Ｆ）耦合用于模拟实际工程问题［。ＣＤ２］
文献标识码：Ａ
工业上的很多处理过程，如制药、结晶等，都有颗粒参与。目前描述两相体系相互作用的多流体模型将各相看成连续的相，很难描述实际操作过程中颗粒的微观动态行为，如颗粒长大、颗粒合并和破碎等，因此需要引入新的模型一数量平衡方程。数量平衡方程可以跟踪固体颗粒、液滴、气泡或其它单元的数量［。在颗粒系统中，颗粒的分布不仅和空间位置有关，还与颗粒本身属性有关，数量平１］

蒙特卡罗方法在积分计算中的应用

算多重积分是蒙特卡罗方法的重要应用领域之一。本章着重介绍计算定积分的蒙特卡罗方法的各种基本技巧，而这些技巧在粒子输运问题中也是适用的。
1. 蒙特卡罗方法求积分
蒙特卡罗方法求积分的一般规则如下：任何一个积分，都可看作某个随机变量的期望值，因此，可以用这个随机变量的平均值来近似它。蒙特卡洛方法的基本思想：当问题可以抽象为某个确定的数学问题时，应当首先建立一个恰当的概率模型，即确定某个随机事件A或随机变量X，使得待求的解等于随机事件出现的概率或随机变量的数学期望值。然后进行模拟实验，即重复多次地模拟随机事件A或随机变量X。最后对随机实验结果进行统计平均，求出A出现的频数或X的平均值作为问题的近似解。这种方法也叫做间接蒙特卡洛模拟。
子程序FMTCL.FOR
SUBROUTINE FMTCL(A,B,F,S) DOUBLE PRECISION A,B,F,S,R,X,K REAL M,NRND1 F=1.0 M=10000.0 K=10000.0D0 S=0.0D0 IF (M+1.0.NE.1.0)THEN M=M-1.0 X=A+(B-A)*NRND1(R) S=S+F(X)/K GOTO 10 ENDIF S=S*(B-A) END
形参说明
N：整型变量，输入参数，积分的重数。 A,B：均为双精度实型一维数组，长度为N，输入参数，积分的下限值和上限值。 F：双精度实型函数子程序名,输入参数。用于计算被积函数值f(x1,x2,…,xn)。在主程序中必须用外部语句及类型说明语句对相应遥实参进行说明。 DOUBLE PRECISION FUNCTION F（N,X）其中：X为双精度实型一维数组，长度为N ；用于存放N 个自变量值。 S：双精度实型变量，输出参数。返回积分值。

(完整版)复变函数积分方法总结

就复变函数： z=x+iy i²=-1 ，x,y 分别称为z 的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。

arg z =θ₁ θ₁称为主值 -π＜θ₁≤π ，Arg=argz+2k π 。

利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcos θ ，y=rsin θ,故z= rcos θ+i rsin θ；利用欧拉公式e i θ=cos θ+isin θ。

z=re i θ。

1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D 内，C 为区域D 内起点为A 终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z 0 ，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点ξk 并作和式S n =∑f(ξk )n k−1(z k -z k-1)= ∑f(ξk )n k−1∆z k 记∆z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max 1≤k≤n {∆S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分发即ξk 的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为：∫f(z)dz c=lim δ 0∑f(ξk )nk−1∆z k设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f(z)dz c−.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f(z)dz c(C 圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。

（1）解：当C 为闭合曲线时，∫dz c=0.∵f(z)=1 S n =∑f(ξk)n k−1(z k -z k-1)=b-a ∴lim n 0Sn =b-a,即1)∫dz c=b-a. (2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c 存在，设ξk =z k-1,则∑1= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1) 有可设ξk =z k ，则∑2= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1)因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

《数理统计》课程设计题目：用M-C 方法求积分1() f x dx⎰【题目要求：f（x)自定，n≥500,考虑n对结果的影响，即做多组n下的模拟值，并作模拟值与n的散点图，同时比较模拟值与真实值的差异，散点图表示。

并做差异值序列的描述性统计（均值、方差、标准差、峰度系数、偏度系数、众数、中位数、四分位数等）。

积分区间可根据需要调整。

】学院：数学学院专业班级：应用数学09-2班姓名：李明学号： 20096312指导教师：谭常春2012.6.20一、M-C方法概述M-C方法即蒙特卡洛方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。

这一方法源于美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”。

该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。

该方法基本思想很早以前就被人们所发现和利用。

17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。

19世纪人们用投针试验的方法来决定π。

高速计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量模拟这样的试验成为可能。

其实质是通过大量随机试验，利用概率论解决问题的一种数值方法，基本思想是基于概率和体积间的相似。

Monte Carlo方法计算结果收敛的理论依据来自于大数定律，且结果渐进地服从正态分布的理论依据是中心极限定理。

以上两个属性都是渐进性质，要进行很多次抽样，此属性才会比较好地显示出来，如果Monte Carlo计算结果的某些高阶距存在，即使抽样数量不太多，这些渐进属性也可以很快地达到。

二、M-C方法与数值积分用数值积分方法计算积分，如21()xx f x dx⎰，如果我们能够得到f(x)的原函数F(x)，那么直接由表达式: F(x2)-F(x1)可以得到该定积分的值。

但是，很多情况下，由于f(x)太复杂，无法计算得到原函数F(x)的显式解，这时我们就只能用数值积分的办法。

数值积分的基本原理是在自变量x的区间上取多个离散的点，用单个点的值来代替该小段上函数f(x)值。

常规的数值积分方法是在分段之后，将所有的矩形小块的面积全部加起来，用这个面积来近似函数f(x)与x轴围成的面积。

这样做当然是不精确的，但是随着分段数量增加，误差将减小，近似面积将逐渐逼近真实的面积。

Monte Carlo方法和上述类似。

差别在于，Monte Carlo方法中，我们不需要将所有方柱的面积相加，而只需要随机地抽取一些函数值，将他们的面积累加后计算平均值就够了。

随着抽取点增加，近似面积也将逼近真实面积。

三、M-C方法的形式与一般步骤做Monte Carlo时，求解积分的一般形式是：21()()xx f x x dψ⎰；x为自变量，它应该是随机的，定义域为(x1, x2)，f(x)为被积函数，ψ(x)是x的概率密度。

Monte Carlo方法分为一下四个个步骤：1．依据概率分布ψ(x)不断生成随机数x, 并计算f(x)：由于随机数性质，每次生成的x 的值都是不确定的，为区分起见，我们可以给生成的x 赋予下标。

如x i 表示生成的第i 个x 。

生成了多少个x ，就可以计算出多少个f(x)的值。

2．将这些f(x)的值累加，并求平均值例如我们共生成了N 个x ，这个步骤用数学式子表达就是3．到达停止条件后退出。

常用的停止条件有两种：一种是设定最多生成N 个x ，数量达到后即退出；另一种是检测计算结果与真实结果之间的误差，当这一误差小到某个范围之内时退出。

4．误差分析：Monte Carlo 方法得到的结果是随机变量，因此，在给出点估计后，还需要给出此估计值的波动程度及区间估计。

严格的误差分析。

首先要从证明收敛性出发，再计算理论方差，最后用样本方差来替代理论方差。

四、常见随机数的生成及相关函数1、rand() 生成（0,1）区间上均匀分布的随机变量。

基本语法：rand([M,N,P ...]) 生成排列成M*N*P... 多维向量的随机数。