人教新课标版数学高二-2015版人教数学必修5第二章《数列》习题课(2)

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数列知识点总结及例题讲解

人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二章课文目录2.1 数列的概念与简单表示法2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。

2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。

3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。

4、等差数列n项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。

5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。

6、等比数列的前n项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式【难点】1、根据数列的前n项观察、归纳数列的一个通项公式。

2、理解递推公式与通项公式的关系。

3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。

4、灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题。

5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。

6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。

一、数列的概念与简单表示法1.数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：(1)数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；(2)定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项，…,第n项，….3.数列的一般形式：aj,az,ag, …,an, …,或简记为{a},其中a。

是数列的第n项4.数列的通项公式：如果数列{a}的第n项a。

与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意： (1)并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④;(2)一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1,0,1,0,1,0, …它的通项公式可以是,也可以是； 1.(3)数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第召项，又是这个数列中所有各项的一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项.5.数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集N(或它的有限子集{1,2,3,…,n})为定义域的函数an= f(n),当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

高中数学必修五学案：第02课时(数列2)

例 3、已知数列 an 的前 n 项和分别为 ① Sn 求数列 an 的通项公式．
2n 2 n ；
② Sn n 2 n 1．
巩固练习
1．根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式：
（1） 7 ， 77 ， 777 ， 7777 ，…；
（2） 3 ， 8 ， 15 ， 24 ， 35 ，…．
2．已知 a1 2 ， a n 1 an 4 求 a n ．已知 a1 2 ， an 1 2 an 求 a n ．
5．数列 an 中， a1 1, a2 3, an 2 an 1 an 1
1 n 1 n 2 ，则 a 4 =
。
6．数列 an 的通项公式 a n log n 1 n 2 ，则它的前 30 项的积是
。
n
11
7．数列 an 的通项公式 a n
，则它的前 100 项的和是
2
8．已知数列 bn 的通项公式为 bn
数列的第 n 项 a n 与它前面相邻一项 an 1 （或相邻几项）所满足的关系式的递推公式．
5.若记数列 an 的前 n 项和为 Sn ，即 Sn a1 a2
试证明： an
S1 Sn Sn 1
(n 1) (n 2)
注意： ⑴可作为常用公式； ⑵ 当 a1 ( S1 ) 满足 Sn
an ． Sn 1 时，则 an
（2）该数列从第几项起大于 2008 ？
3.已知数列 an 的前 n 项和 Sn 3n 2 ，求该数列的通项公式．
课堂小结
1. 数列中递推关系的概念；
2. 由数列的前 n 项的和 Sn 求数列的通项公式的过程．
课后训练
一基础题
1. 数列 an
2. 已知数列

(人教版)高中数学必修5课件：第2章数列2.3 第2课时

第二章数列
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1．在等差数列{an}中，S15＝90，则a8等于( ) A．3 B．4 C．6 D．12
答案： C
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2．数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n(n∈N*)，则数列{an} 为( )
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4．在等差数列{an}中，前m项的和为30，前2m项的和为100，试求它的前3m项的和．
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3．Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5 ＝____________.
解析： ∵S2＝S6，∴S6－S2＝a3＋a4＋a5＋a6＝0. 又a3＋a6＝a4＋a5， ∴2(a4＋a5)＝0，∴a5＝－a4＝－1. 答案：－1
已知Sn求an的问题
已知数列{an}的前n项和为Sn，求数列{an}的通项公式an.

人教A版高中数学必修5第二章数列2.2等差数列习题(2)

、选择题:1 .在等差数列｛an ｝中，首项 ai=0,公差 dw 喏 ak=a 〔 + a2+a3+ ••• + a7,则 k=()A. 22B. 23C. 24D. 25【答案】A【解析】•「数列｛a n ｝为等差数列，首项 a i = 0,公差d WQ a k= a [ +(k —i)d=a 〔 + a 2+a 3+…+ a 7= 7a4=21d.解得 k=22.故选 A.2,已知｛a n ｝为等差数列，a i+a 3+a 5= 105, a z+a 4+a 6=99,则 a ?。

等于( )A. - 1B. 1C. 3D. 7【答案】B【解析】 -- ｛a n ｝是等差数歹U, a[+a 3+a 5= 3a 3= 105,a 3= 35,a 2+a 4+a 6= 3a 4 = 99, -^4=33, • - d= a 4—a 3= — 2, a 20= a 4 + 16d= 33 — 32= 1.故选 B.3 .已知｛a n ｝为等差数列，a [+a 3+a 5=9,郎+如十比=15,则a 3+ a 4= ( )A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】在等差数列｛a n ｝中，a 1+a 3+a 5= 3a 3= 9,，a 3= 3;又 a 2 + a 4+ a 6= 3a 4= 15, a 4= 5, •1- a 3+ a 4= 8.故选 D.4 .已知数列｛a n ｝满足 a 〔=15,且 3a n+〔 = 3a n —2.若 a k a k+1<0,则正整数 k=( )A. 2B. 23C. 2D. 21【答案】B由3a n+1 = 3a n —2得a n+1—a n=—2,所以数列｛a n ｝为首项a 1=15,公差d= —2的等差数 3 3 所以 a n=15-2(n- 1)=- |n + 47,则由 a k a k+1<0得 a k >0, a k+1<0,令 a n = -'2n+47=0 3 3 33 3 所以 a 23>0, a 24<0,所以 k=23,故选 B.5 .设｛a n ｝是公差为正数的等差数列，若 a 1+a 2 + a 3=15，a 1a 2a 3=80,则a n+a 〔2+a 13等于()A. 120B. 105C. 90D. 75【答案】B【解析】a 〔+a z+a 3= 3a 2= 15,a 2 = 5,又: a 1a 2a 3= 80,「• a 〔a 3= 16,即(a 2—d)(a 2 + d)=16, .^>0,，d=3.贝U an+a 12+a 13= 3a l2 = 3(a 2+10d)= 105.故选 B.6 .设数列｛a n ｝, ｛b n ｝都是等差数列，且 a 〔=25, b 1 = 75, a2+b2=100,则 a 37+b 37等于(C )A. 0B. 37C. 10D. - 37【答案】C【解析】•・•数列｛a n ｝, ｛b n ｝都是等差数列，，｛a n+b n ｝也是等差数列. 又「 a i + b i = 100, a 2+b 2 = 100,・・・｛a n+b n ｝的公差为0, •♦.数列｛a n+b n ｝的第37项为100.故选C.7 .下列命题中正确的个数是 ( )(1)若a, b, c 成等差数列，则a 2, b 2, C 2一定成等差数列；(2)若a, b, c 成等差数列，则2a ,2b,2c 可能成等差数列；(3)若a, b, c 成等差数列，则 ka+2, kb+2, kc+2一定成等差数列；(4)若a, b, c 成等差数列，则♦可能成等差数列.a b cA. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B列,/曰 47得n = ~【解析】对于(1)取a=1, b=2, c=3?a2=1, b2= 4, c2=9, (1)错.对于(2), a=b=c? 2a=2b=2c, (2)正确；对于(3), .a, b, c 成等差数列，.•-a+c= 2b.・. (ka+ 2)+ (kc+2)= k(a+c) +4= 2(kb+2), (3)正确;,一 1 1 1对于(4), a=b=cw? a=b=c, (4)正确，综上选B.点评；等差数列的性质；(1)等差数列的项的对称性在有穷等差数列中，与首末两项等距离”的两项之和等于首项与末项的和.艮口a1 + a n=a?+ a n 1 =a3 + a n 2=(2)若｛a n｝、｛b n(3)｛a n｝的公差为则n为递增数列；n为递减数列；n｝为常数列.8.设｛a n｝是等差数列.下列结论中正确的是(C )A,若a1 + a2>0,则az + a3>0 B.若a1 + a3< 0,则a[+a2V0C.若0va1〈a2,则a2>\f a i a3D.若a1< 0,则(a2 —a1)(a2—a3)>0【答案】C【解析】先分析四个答案，A举一反例a1 = 2, a2=—1,则a3=—4, a1 + a2>0,而a2+a3<0, A 错误；B举同样反例a[=2, a2=- 1, a3=- 4, a[ + a3<0,而a〔 + a2>0, B错误；下面针对C进行研究，｛a n｝是等差数列，若0<a1<a2,则4>0,设公差为d,则d>0 ,数列各项均为正，由于a2—a1a3= (a1 + d)2—a〔(a〔 + 2d) = a2+2a〔d + d2—a2 —2a1d= d2>0,则a2>a〔a3? a2>V0面，选C -二、填空题：9.等差数列{a n}中，已知a2+a3+a〔0+ a〔1=36,则a s+a8 =【答案】18【解析】解法1：根据题意，有(a[ + d)+(a[ + 2d)+(a[ + 9d) + (a〔+ 10d)= 36, ・•・4a1+22d= 36,则2a l+ 11d = 18.a5+ a8= (a〔+ 4d) + (a[ + 7d) = 2a〔 + 11d = 18.解法2：根据等差数列性质，可得a s+a8= a3+a[o= a2+a[i= 36+2 = 18.10.已知等差数列｛a n｝中，a3、a15是方程x2—6x—1 = 0的两根，则a7+a g+a§+a〔o +a〔1=【答案】15【解析】.a3+a15=6,又a7 + a11 = a8 + a1o = 2a9= 23+ a15,1 . 5• ・a7 + a8+ a9+ a1o+ a11 = (2 + 2)( a3+ a15)= 2 ><6= 15.a2 —a111.若x守，两个数列x, a1, a2, a3, y和x, b1，b2, b3, b4, y都是等差数列，则 =.y=x+4d〔，4d1 = y—x, 【解析】设两个等差数列的公差分别为d1，d2,由已知，得｛即4|y=x+5d2, 15d2=y—x,解得电=5,即翌二詈=d1 = 5.d2 4 b3—b2 d2 412.已知△ ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列，则4 ABC的面积为 . 【答案】15 3.a2+ a-4 2—a+4 2 1 【解析】设^ ABC 的二边长为a- 4, a, a+4(a>4),则---------- ；----- ] ------- =-2a a 2 解得a= 10,三边长分别为6,10,14.所以S△ABC =；><6 M0 R2^= 15V3.三、解答题13.已知等差数列｛a n｝的公差d>0,且a3a7=-12, a4+a6= —4,求｛a n｝的通项公式. 【答案】2n—12. 【解析】由等差数列的性质，得a3+a7=a4+a6=-4,又< a3a7=—12,a3、a7是方程x2+4x—12 = 0 的两根.又< d>0, a3= —6, a7=2.''' a7 — a3 = 4d = 8,d=2.，a n=a3+(n — 3)d = — 6+2(n — 3) = 2n — 12.14.四个数成等差数列，其平方和为94,第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18,求此四个数.【答案】见解析【解析】设四个数为a-3d, a- d, a+d, a+3d,据题意得，(a- 3d)2 + (a — d)2+ (a+ d)2 + (a+3d)2= 94? 2a2 + 10d2= 47.①又(a—3d)(a+3d)= (a—d)(a+d)—18? 8d2=18? d=卷代入①得a=,，故所求四数为-1 或1 ) — 2 ) — 5, — 8 或一1,2,5,8 或一8, — 5, — 2 , 1.15.设数列｛a n｝是等差数列，b n=(1)a n 又b1+b2+ b3=21, b1b2b3 = ；,求通项a n. 2 8 8【答案】见解析【解析】「b1b2b3=1,又b n= Ja n，♦• 4)a1 J)a2 [同二. 8 2 2 2 2 8「•(2)a I+ a2+ a3= 8, •1- a1 + a2+ a3=3 ,又｛a n｝成等差数列，a2= 1 , a1 + a3 = 2 , ' ' b1b3 =3i, b〔+b3 = W，4 8a n= 2n — 3 或a n= — 2n+ 5. 8,5,2,b= 21 [b3=8a1= — 1a3= 3a1 = 3或|a3= - h=2,即・。

人教新课标版数学高二-高中数学必修5第2章《数列》单元练习

第二章数列一、选择题1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若63S S ＝13，则126S S ＝( )．A ．310B ．13C ．18D ．192．数列{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有( )． A ．a 3＋a 9＜b 4＋b 10B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小不确定3．在等差数列{a n }中，若a 1 003＋a 1 004＋a 1 005＋a 1 006＝18，则该数列的前2 008项的和为( )． A ．18 072B ．3 012C ．9 036D ．12 0484．△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列， ∠B ＝30°，△ABC 的面积为23，那么b ＝( )． A ．231+ B ．1＋3C ．232+ D ．2＋35．过圆x 2＋y 2＝10x 内一点(5，3)有k 条弦的长度组成等差数列，且最小弦长为数列的首项a 1，最大弦长为数列的末项a k ，若公差d ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2131 ，，则k 的取值不可能是( )． A ．4B ．5C ．6D ．76．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( )． A ．15B ．30C ．31D ．647．在等差数列{a n }中，3(a 2＋a 6)＋2(a 5＋a 10＋a 15)＝24，则此数列前13项之和为( )． A ．26B ．13C ．52D ．1568．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于( )． A ．160B ．180C ．200D ．2209．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( )． A ．2n ＋1－2B ．3nC ．2nD ．3n －110．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝41，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )． A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n ) C ．332(1－4－n )D ．332(1－2－n ) 二、填空题11．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n +1，S n ，S n +2成等差数列，则q 的值为 .12．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q ＝_____.13．已知数列{a n }中，a n ＝ 1221－n n 则a 9＝ (用数字作答)，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9＝ (用数字作答).14．已知等比数列{a n }的前10项和为32，前20项和为56，则它的前30项和为． 15．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＝8，a 4＋a 5＋a 6＝－4，则a 13＋a 14＋a 15＝，该数列的前15项的和S 15＝ .16．等比数列{a n }的公比q ＞0，已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝．三、解答题17．设数列{a n }是公差不为零的等差数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，且21S ＝9S 2，S 4＝4S 2，求数列{a n }的通项公式．(n 为正奇数)(n 为正偶数)18．设{a n }是一个公差为d (d ≠0)的等差数列，它的前10项和S 10＝110且a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)证明a 1＝d ；(2)求公差d 的值和数列{a n }的通项公式.19．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 1，a 2，a 4成等比数列．已知数列a 1，a 3，1k a ，2k a ，…，n a k ，…也成等比数列，求数列{k n }的通项k n ．20．在数列{a n }中，S n ＋1＝4a n ＋2，a 1＝1． (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，求证数列{b n }是等比数列； (2)设c n ＝n na 2，求证数列{c n }是等差数列； (3)求数列{a n }的通项公式及前n 项和的公式.参考答案一、选择题 1．A解析：由等差数列的求和公式可得63S S ＝da da 1563311＋＋＝31，可得a 1＝2d 且d ≠0所以126S S ＝d a da 661215611＋＋＝d d 9027＝103． 2．B解析：解法1：设等比数列{a n }的公比为q ，等差数列{b n }的公差为d ，由a 6＝b 7，即a 1q 5＝b 7． ∵ b 4＋b 10＝2b 7，∴ (a 3＋a 9)－(b 4＋b 10)＝(a 1q 2＋a 1q 8)－2b 7 ＝(a 1q 2＋a 1q 8)－2a 1q 5 ＝a 1q 2(q 6－2q 3＋1) ＝a 1q 2(q 3－1)2≥0． ∴ a 3＋a 9≥b 4＋b 10．解法2：∵ a 3·a 9＝a 26，b 4＋b 10＝2b 7，∴ a 3＋a 9－(b 4＋b 10)＝a 3＋a 9－2b 7．又a 3＋a 9－293a a ⋅＝(3a －9a )2≥0， ∴ a 3＋a 9≥293 a a ·．∵ a 3＋a 9－2b 7≥293a a ⋅－2b 7＝2a 6－2a 6＝0， ∴ a 3＋a 9≥b 4＋b 10． 3．C解析：∵ a 1＋a 2 008＝a 1 003＋a 1 006＝a 1 004＋a 1 005，而a 1 003＋a 1 004＋a 1 005＋a 1 006＝18，a 1＋a 2 008＝9， ∴ S 2 008＝21(a 1＋a 2 008)×2 008＝9 036，故选C ． 4．B解析：∵ a ，b ，c 成等差数列，∴ 2b ＝a ＋c ，又S △ABC ＝21ac sin 30°＝23，∴ ac ＝6， ∴ 4b 2＝a 2＋c 2＋12，a 2＋c 2＝4b 2－12，又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 30°＝4b 2－12－63， ∴ 3b 2＝12＋63，b 2＝4＋23＝(1＋3)2． ∴ b ＝3＋1．5．A解析：题中所给圆是以(5，0)为圆心，5为半径的圆，则可求过(5，3)的最小弦长为8，最大弦长为10，∴ a k －a 1＝2，即(k －1)d ＝2，k ＝d2＋1∈[5，7]， ∴ k ≠4． 6．A解析：∵ a 7＋a 9＝a 4＋a 12＝16，a 4＝1，∴ a 12＝15． 7．A解析：∵ a 2＋a 6＝2a 4，a 5＋a 10＋a 15＝3a 10， ∴ 6a 4＋6a 10＝24，即a 4＋a 10＝4， ∴ S 13＝2＋13131)(a a ＝2＋13104)(a a ＝26．8．B解析：∵ ⎩⎨⎧78＝＋＋24＝－＋＋209118321a a a a a a∴ (a 1＋a 20)＋(a 2＋a 19)＋(a 3＋a 18)＝54，即3(a 1＋a 20)＝54， ∴ a 1＋a 20＝18， ∴ S 20＝2＋20201)(a a ＝180． 9．C解析：因数列{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －1．因数列{a n ＋1}也是等比数列，则(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒21＋n a ＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2⇒a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2－2q )＝0⇒(q －1)2＝0⇒q ＝1．由a 1＝2得a n ＝2，所以S n ＝2n ． 10．C解析：依题意a 2＝a 1q ＝2，a 5＝a 1q 4＝41，两式相除可求得q ＝21，a 1＝4，又因为数列{a n }是等比数列，所以{a n ·a n ＋1}是以a 1a 2为首项，q 2为公比的等比数列，根据等比数列前n 项和公式可得222111q q a a n －)－(＝332(1－4－n )．二、填空题11．－2．解析：当q ＝1时，S n +1＋S n +2＝(2n ＋3)a 1≠2na 1＝2S n ，∴ q ≠1．由题意2S n ＝S n +1＋S n +2⇒S n +2－S n ＝S n －S n +1，即－a n +1＝a n +2＋a n +1，a n +2＝－2a n +1，故q ＝－2． 12．1．解析：方法一 ∵ S n －S n －1＝a n ，又S n 为等差数列，∴ a n 为定值． ∴ {a n }为常数列，q ＝1-n n a a ＝1．方法二：a n 为等比数列，设a n ＝a 1q n －1，且S n 为等差数列，∴ 2S 2＝S 1＋S 3，2a 1q ＋2a 1＝2a 1＋a 1＋a 1q ＋a 1q 2，q 2－q ＝0， q ＝0(舍)q ＝1. 所以答案为1． 13．256，377．解析：a 9＝28＝256，S 9＝(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)＋(a 2＋a 4＋a 6＋a 8) ＝(1＋22＋24＋26＋28)＋(3＋7＋11＋15) ＝341＋36 ＝377． 14．74．解析：由{a n }是等比数列，S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10，S 20－S 10＝a 11＋a 12＋…＋a 20＝q 10S 10，S 30－S 20＝a 21＋a 22＋…＋a 30＝q 20S 10，即S 10，S 20－S 10，S 30－S 20也成等比数列，得(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，得(56－32)2＝32(S 30－56)，∴ S 30＝3232－562)(＋56＝74．15．21，211．解析：将a 1＋a 2＋a 3＝8， ① a 4＋a 5＋a 6＝－4．②两式相除得q 3＝－21， ∴ a 13＋a 14＋a 15＝(a 1＋a 2＋a 3) q 12＝8·421－⎪⎭⎫ ⎝⎛＝21，S 15＝21＋121－－185⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛＝211．16．152．解析：由a n +2＋a n +1＝6a n 得q n +1＋q n ＝6q n －1，即q 2＋q －6＝0，q ＞0，解得q ＝2，又a 2＝1，所以a 1＝21，S 4＝2121214－)－(＝152．三、解答题17．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由前n 项和的概念及已知条件得a 21＝9(2a 1＋d )，① 4a 1＋6d ＝4(2a 1＋d )．②由②得d ＝2a 1，代入①有21a ＝36a 1，解得a 1＝0或a 1＝36．将a 1＝0舍去．因此a 1＝36，d ＝72，故数列{a n }的通项公式a n ＝36＋(n －1)·72＝72n －36＝36(2n －1)．18．解析：(1)证明：因a 1，a 2，a 4成等比数列，故22a ＝a 1a 4，而{a n }是等差数列，有a 2＝a 1＋d ，a 4＝a 1＋3d ，于是(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，即21a ＋2a 1d ＋d 2＝21a ＋3a 1d ． d ≠0，化简得a 1＝d ．(2)由条件S 10＝110和S 10＝10a 1＋d 2910 ，得到10a 1＋45d ＝110，由(1)，a 1＝d ，代入上式得55d ＝110，故d ＝2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ．因此，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ＝1，2，3，…)．19．解析；由题意得22a ＝a 1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，d (d －a 1)＝0，又d ≠0，∴ a 1＝d ．又a 1，a 3，1k a ，2k a ，…，n a k ，…，成等比数列， ∴ 该数列的公比为q ＝13a a ＝dd3＝3， ∴ n a k ＝a 1·3n +1．又n a k ＝a 1＋(k n －1)d ＝k n a 1， ∴ k n ＝3n +1为数列{k n }的通项公式． 20．解析：(1)由a 1＝1，及S n ＋1＝4a n ＋2，有a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 2＝3a 1＋2＝5，∴ b 1＝a 2－2a 1＝3．由S n ＋1＝4a n ＋2 ①，则当n ≥2时，有S n ＝4a n －1＋2． ② ②－①得a n ＋1＝4a n －4a n －1，∴ a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)．又∵ b n ＝a n ＋1－2a n ，∴ b n ＝2b n －1．∴ {b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列． ∴ b n ＝3×2 n －1．(2)∵ c n ＝n n a 2，∴ c n ＋1－c n ＝112++n n a －n n a 2＝1122++-n n n a a ＝12+n nb ＝11223+-⨯n n ＝43，c 1＝21a ＝21，∴ {c n }是以21为首项，43为公差的等差数列．(3)由(2)可知数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧nn a 2是首项为21，公差为43的等差数列． ∴nn a 2＝21＋(n －1)43＝43n －41，a n ＝(3n －1)·2n －2是数列{a n }的通项公式．设S n ＝(3－1)·2－1＋(3×2－1)·20＋…＋(3n －1)·2n －2． S n ＝2S n －S n＝－(3－1)·2－1－3(20＋21＋…＋2n －2)＋(3n －1)·2n－1＝－1－3×12121－－－n ＋(3n －1)·2n －1＝－1＋3＋(3n －4)·2n －1 ＝2＋(3n －4)·2n －1．∴ 数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝2＋(3n －4)·2n －1．。

人教新课标版数学高二-人教B版必修5学案第二章习题课数列求和

习题课数列求和1.能由简单的递推公式求出数列的通项公式.2.掌握数列求和的几种基本方法．1．基本求和公式(1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .(2)等比数列前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q .2．数列{a n }的a n 与S n 的关系数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.3．拆项成差求和经常用到下列拆项公式 (1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. (2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)． (3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .要点一分组分解求和例1 求和：S n ＝(x ＋1x )2＋(x 2＋1x 2)2＋…＋(x n ＋1x n )2.解当x ≠±1时，S n ＝(x ＋1x )2＋(x 2＋1x 2)2＋…＋(x n ＋1x n )2＝(x 2＋2＋1x 2)＋(x 4＋2＋1x 4)＋…＋(x 2n ＋2＋1x 2n )＝(x 2＋x 4＋…＋x 2n )＋2n ＋(1x 2＋1x 4＋…＋1x 2n )＝x 2(x 2n －1)x 2－1＋x －2(1－x －2n )1－x －2＋2n＝(x 2n －1)(x 2n ＋2＋1)x 2n (x 2－1)＋2n ；当x ＝±1时，S n ＝4n .综上知，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧4n ，x ＝±1，(x 2n－1)(x 2n ＋2＋1)x 2n(x 2－1)＋2n ，x ≠±1.规律方法某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．跟踪演练1 求数列{a n }：1,1＋a,1＋a ＋a 2，…，1＋a ＋a 2＋…＋a n －1，…的前n 项和S n (其中a ≠0)．解当a ＝1时，则a n ＝n ，于是S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当a ≠1时，a n ＝1－a n 1－a ＝11－a (1－a n )．∴S n ＝11－a ＝11－a ＝n1－a －a (1－a n )(1－a )2.∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2，a ＝1，n1－a －a (1－a n )(1－a )2，a ≠1.要点二错位相减法求和例2 已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)设{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＝6，a 1＋a 2＋…＋a 8＝－4，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4，解得a 1＝3，d ＝－1，故a n ＝3－(n －1)＝4－n . (2)由(1)知，b n ＝n ·q n －1，于是S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1，若q ≠1，上式两边同乘以q .qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n ，两式相减得：(1－q )S n ＝1＋q 1＋q 2＋…＋q n －1－n ·q n ＝1－q n 1－q－n ·q n . ∴S n ＝1－q n(1－q )2－n ·q n 1－q＝n ·qn ＋1－(n ＋1)q n ＋1(1－q )2.若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (q ＝1)，nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(1－q )2(q ≠1).规律方法用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和．跟踪演练2 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N ＋)． (1)求数列{a n }的通项a n ； (2)求数列{na n }的前n 项和T n .解 (1)∵a n ＋1＝2S n ，∴S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝2S n ， ∴S n ＋1＝3S n .又∵S 1＝a 1＝1，∴数列{S n }是首项为1，公比为3的等比数列．∴S n ＝3n －1(n ∈N ＋)．当n ≥2时，a n ＝2S n －1＝2·3n －2，且a 1＝1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2.(2)T n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ，当n ＝1时，T 1＝1；当n ≥2时，T n ＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n ·3n －2， ① ∴3T n ＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n ·3n －1，②①－②得－2T n ＝2＋2(31＋32＋…＋3n －2)－2n ·3n －1 ＝2＋2·3(1－3n －2)1－3－2n ·3n －1＝－1＋(1－2n )·3n －1，∴T n ＝12＋(n －12)3n －1(n ≥2)，又∵T 1＝a 1＝1也满足上式， ∴T n ＝12＋(n －12)3n －1(n ∈N ＋)．要点三裂项相消求和例3 求和：122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n 2－1，n ≥2.解 ∵1n 2－1＝1(n －1)(n ＋1)＝12(1n －1－1n ＋1)， ∴原式＝12＝12(1＋12－1n －1n ＋1)＝34－2n ＋12n (n ＋1). 规律方法如果数列的通项公式可转化为f (n ＋1)－f (n )的形式，常采用裂项求和法．跟踪演练3 求和：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n .解 ∵a n ＝11＋2＋…＋n ＝2n (n ＋1)＝2(1n －1n ＋1)，∴S n ＝2(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝2nn ＋1.要点四奇偶并项求和例4 求和：S n ＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n (2n －1)．解当n 为奇数时，S n ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋＋(－2n ＋1) ＝2·n －12＋(－2n ＋1)＝－n .当n 为偶数时，S n ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋＝2·n2＝n .∴S n ＝(－1)n ·n (n ∈N ＋)．跟踪演练4 已知数列－1,4，－7,10，…，(－1)n ·(3n －2)，…，求其前n 项和S n . 解 n 为偶数时，令n ＝2k (k ∈N ＋)， S n ＝S 2k ＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)2k (6k －2) ＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋＝3k ＝32n ；当n 为奇数时，令n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)． S n ＝S 2k ＋1＝S 2k ＋a 2k ＋1＝3k －(6k ＋1)＝－3n ＋12.∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋12(n 为奇数)，3n 2 (n 为偶数).1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5等于( )A ．1 B.56 C.16 D.130答案 B解析 ∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 5＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(15－16)＝1－16＝56.2．数列112，214，318，4116，…的前n 项和为( )A.12(n 2＋n ＋2)－12n B.12n (n ＋1)＋1－12n －1 C.12(n 2－n ＋2)－12n D.12n (n ＋1)＋2(1－12n ) 答案 A解析 112＋214＋318＋…＋(n ＋12n )＝(1＋2＋…＋n )＋(12＋14＋…＋12n )＝n (n ＋1)2＋12(1－12n )1－12＝12(n 2＋n )＋1－12n ＝12(n 2＋n ＋2)－12n .3．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为( )A ．11B ．99C ．120D ．121 答案 C 解析 ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝n ＋1－1＝10，∴n ＝120.4．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是a n ＝________.答案 (－2)n －1解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝23a 1＋13，解得a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(23a n ＋13)－(23a n －1＋13)＝23a n －23a n －1，整理可得13a n ＝－23a n －1，即a na n －1＝－2，故数列{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，故a n ＝(－2)n －1.求数列前n 项和，一般有下列几种方法．1．错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． 2．分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．3．拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．4．奇偶并项：当数列通项中出现(－1)n 或(－1)n ＋1时，常常需要对n 取值的奇偶性进行分类讨论．5．倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导方法．一、基础达标1．数列12·5，15·8，18·11，…，1(3n －1)·(3n ＋2)，…的前n 项和为( )A.n 3n ＋2B.n 6n ＋4C.3n 6n ＋4D.n ＋1n ＋2答案 B解析由数列通项公式，得1(3n －1)·(3n ＋2)＝13(13n －1－13n ＋2)，所以S n ＝13(12－15＋15－18＋18－111＋…＋13n －1－13n ＋2)＝13(12－13n ＋2)＝n6n ＋4.2．已知数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，由b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn 所确定的数列{b n }的前n 项之和是( ) A ．n (n ＋2) B.12n (n ＋4) C.12n (n ＋5) D.12n (n ＋7) 答案 C解析 a 1＋a 2＋…＋a n ＝n2(2n ＋4)＝n 2＋2n .∴b n ＝n ＋2，∴b n 的前n 项和S n ＝n (n ＋5)2.3．在数列{a n }中，已知S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31的值是( ) A ．13 B ．－76 C ．46 D ．76答案 B解析 S 15＝－4×7＋a 15＝－28＋57＝29，S 22＝－4×11＝－44，S 31＝－4×15＋a 31＝－4×15＋121＝61，S 15＋S 22－S 31＝29－44－61＝－76.故选B.4．已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n－1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N ＋)，则以下结论一定正确的是( )A ．数列{b n }为等差数列，公差为q mB ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2mC ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m 答案 C解析 ∵b n ＝a m (n －1)(q ＋q 2＋…＋q m )，∴b n ＋1b n ＝a nm (q ＋q 2＋…＋q m )a m (n －1)(q ＋q 2＋…＋q m )＝a nm a m (n －1)＝q m (常数)． ∴{b n }是等比数列，公比为q m . 又∵c n ＝(a m (n －1))m q1＋2＋…＋m＝(a m (n －1)21+m q)m∴c n ＋1c n ＝(a mn a m (n －1))m ＝(q m )m ＝2m q (常数)． ∴{c n }是等比数列，公比为2m q .5．若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 50＝________. 答案－25解析 S 50＝1－2＋3－4＋…＋49－50＝(－1)×25＝－25. 6．数列11,103,1 005,10 007，…的前n 项和S n ＝________. 答案109(10n－1)＋n 2 解析数列的通项公式a n ＝10n ＋(2n －1)．所以S n ＝(10＋1)＋(102＋3)＋…＋(10n ＋2n －1)＝(10＋102＋…＋10n )＋＝10(1－10n )1－10＋n (1＋2n －1)2＝109(10n －1)＋n 2. 7．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }公差为d .因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1， S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .所以，a n ＝2n ＋1，S n ＝n 2＋2n . (2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1)＝14(1n －1n ＋1)，所以T n ＝14(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14(1－1n ＋1)＝n4(n ＋1)，即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).8．已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和． (1)求通项a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及前n 项和T n . 解 (1)∵{a n }是首项为a 1＝19，公差为d ＝－2的等差数列，∴a n ＝19－2(n －1)＝21－2n ， S n ＝19n ＋12n (n －1)×(－2)＝20n －n 2.(2)由题意得b n －a n ＝3n －1，即b n ＝a n ＋3n －1， ∴b n ＝3n －1－2n ＋21， T n ＝S n＋(1＋3＋…＋3n －1)＝－n 2＋20n ＋3n －12. 二、能力提升9．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A.n 24＋7n 4 B.n 23＋5n 3 C.n 22＋3n 4 D ．n 2＋n答案 A解析由题意设等差数列公差为d ，则a 1＝2，a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d .又∵a 1，a 3，a 6成等比数列，∴a 23＝a 1a 6，即(2＋2d )2＝2(2＋5d )，整理得2d 2－d ＝0.∵d ≠0，∴d ＝12，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 24＋74n .10．已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后相邻两项之和，则这个数列的前2 014项之和S 2 014等于( ) A ．2 008 B ．2 010 C ．1 D ． 0答案 B解析由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)， ∴a n ＋1＝a n －a n －1.故数列的前8项依次为2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1,2 008,2 009. 由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0. ∵2 014＝6×335＋4，∴S 2 014＝S 4 ＝2 008＋2 009＋1＋(－2 008)＝2 010.11．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝______.答案 2n －12解析 ∵{a n }为等比数列，且a 1＝12，a 4＝－4，∴q 3＝a 4a 1＝－8，∴q ＝－2，∴a n ＝12(－2)n －1，∴|a n |＝2n －2，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12(1－2n )1－2＝2n －12.12．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝＋a 1＝3(22n －1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1.而a 1＝2，符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1，①从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1. ② ①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1，即S n ＝19．三、探究与创新13．已知数列{a n }的首项a 1＝5，前n 项和为S n ，且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，n ∈N ＋.(1)证明数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求{a n }的通项公式以及S n .(1)证明由已知S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，n ∈N ＋，可得n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ＋4，两式相减得S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即a n ＋1＝2a n ＋1，从而a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，当n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5，所以a 2＋a 1＝2a 1＋6，又a 1＝5，所以a 2＝11，从而a 2＋1＝2(a 1＋1)，故总有a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ∈N ＋，又a 1＝5，a 1＋1＝6≠0，则a n ＋1≠0，从而a n ＋1＋1a n ＋1＝2，所以数列{a n ＋1}是首项为6，公比为2的等比数列．(2)解由(1)得a n ＋1＝6·2n －1，所以a n ＝6·2n －1－1，于是S n ＝6·(1－2n )1－2－n ＝6·2n －n －6.。

人教新课标版数学高二14-15高中数学必修5学案第二章习题课2简单的递推数列及应用

第二章习题课2 简单的递推数列及应用自主学习知识梳理在实际考查中常常涉及求一些简单的递推数列的通项公式问题． 1．累加法：a n ＋1＝a n ＋f (n ) (f (n )可求和) a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝a 1＋f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)2．累乘法：a n ＋1＝a n ·f (n ) (f (n )为含n 的代数式) a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝a 1·f (1)·f (2)·…·f (n －1)3．转化法：a n ＋1＝pa n ＋q (pq ≠0，p ≠1)方法一设a n ＋1－x ＝p (a n －x )，则a n ＋1＝pa n ＋(1－p )x ∴(1－p )x ＝q ，∴x ＝q 1－p .∴a n －q 1－p ＝⎝⎛⎭⎫a 1－q 1－p ·p n －1∴a n ＝⎝⎛⎭⎫a 1－q 1－p p n －1＋q 1－p.方法二 ∵a n ＋1＝pa n ＋q ，∴a n ＝pa n －1＋q∴a n ＋1－a n ＝p (a n －a n －1)＝…＝p n －1(a 2－a 1)转化为迭加法求解． 4．S n 与a n 的混合关系式有两个思路： (1)消去S n ，转化为a n 的递推关系式，再求a n ；(2)消去a n ，转化为S n 的递推关系式，求出S n 后，再求a n . 自主探究1．试写出用累加法推导等差数列通项公式的过程．2．试写出用累乘法推导等比数列通项公式的过程．对点讲练知识点一累加法与累乘法求通项例1已知：a1＝2，a n＋1＝a n＋(2n＋1)，求a n. 变式训练1已知：a1＝1，a n＋1＝2n·a n，求a n.知识点二化为基本数列求通项例2已知：a1＝1，a n＋1＝2a n＋3，求a n.变式训练2 设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝53，a n ＋2＝53a n ＋1－23a n (n ＝1,2，…)．令b n ＝a n＋1－a n .(1)求证：数列{b n }是等比数列，并求b n ； (2)求数列{a n }的通项公式．知识点三已知a n 与S n 的混合关系式，求a n .例3 已知{a n }是各项为正的数列，且S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n .求a n 与S n .变式训练3 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的n ∈N *，都有S n ＝2a n －3n . (1)求数列{a n }的首项a 1及递推关系式a n ＋1＝f (a n )； (2)求通项公式a n .1．近几年高考常以递推公式为依托，设计出一些新颖灵活、难度适中、富有时代气息的试题．在学习时对递推公式及其应用应给予适当的重视．2．递推公式是表示数列的一种重要方法．由一些简单的递推公式可以求得数列的通项公式．本课时主要学习了累加法、累乘法以及化归为等差数列或等比数列的基本方法.课时作业一、选择题1．数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋n ，且a 1＝1，则a 5的值为( ) A ．9B ．10C ．11D ．122．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数n 等于( )A ．13B ．10C ．9D ．63．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n －1，则a n 的表达式为( ) A ．3n －2B ．n 2－2n ＋2C ．3n －1D ．4n －34．数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等差数列，则a 11的值为( )A ．1B.12C.13D.145．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a n ＝a n －1－a n －2 (n ≥3)．那么S 2 011的值是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4题号 1 2 3 4 5 答案6．数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1a n ＝a 2n ＋(－1)n ＋1(n ∈N *)，则a 4a 2＝________. 7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝n n ＋1a n，则a n ＝________.8．在数列{a n }中，a n ＋1＝2a n 2＋a n ，对所有正整数n 都成立，且a 7＝12，则a 5＝______.三、解答题9．已知S n ＝4－a n －12n －2，求a n 与S n .10．某地区位于沙漠边缘，人与沙漠进行长期不懈的斗争，到2002年底全地区的绿化率已达到30%，从2003年开始，每年将出现以下变化：原有沙漠面积的16%将栽上树，改造为绿洲，同时，原有绿洲面积的4%又被侵蚀，变为沙漠．(1)设全区面积为1,2002年底绿洲面积为a 1＝310，经过1年(指2003年底)绿洲面积为a 2，经过n 年绿洲面积为a n ＋1，求证：数列{a n －45}为等比数列；(2)问：至少经过多少年的努力才能使全区的绿洲面积超过60%(年数取正整数)．习题课2 简单的递推数列及应用自主探究1．解 ∵a n ＋1－a n ＝d∴⎭⎪⎬⎪⎫a 2－a 1＝da 3－a 2＝d … …a n－a n －1＝d n －1个式子相加得： a n －a 1＝(n －1)d ，∴a n ＝a 1＋(n －1)d . 或a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝a 1＋(n －1)d .2．解 ∵a n ＋1a n＝q (q ≠0)，∴⎭⎪⎬⎪⎫a 2a 1＝q a3a2＝q ……a n an －1＝qn －1个式子相乘得： a n a 1＝q n －1，∴a n ＝a 1q n －1或a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a 1q n －1. 对点讲练例1 解 a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋3＋5＋…＋(2n －1)＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＋1＝n 2＋1. 变式训练1 解 a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·21·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2n (n －1)2. 例2 解方法一 ∵a 1＝1，a 2＝5，a 2－a 1＝4. a n ＋1－a n ＝2(a n －a n －1)＝2n －1(a 2－a 1)＝2n ＋1 ∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋22＋23＋…＋2n ＝21＋22＋…＋2n －1 ＝2n ＋1－3.方法二设a n ＋1－x ＝2(a n －x )，则a n ＋1＝2a n －x . ∴x ＝－3，a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．∴a n ＋3＝(a 1＋3)·2n －1＝2n ＋1，∴a n ＝2n ＋1－3.变式训练2 (1)证明 ∵b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫53a n ＋1－23a n －a n ＋1＝23(a n ＋1－a n )＝23b n ∴b n ＋1b n ＝23(n ＝1,2,3，…) ∴{b n }是等比数列，公比q ＝23，首项b 1＝a 2－a 1＝23.∴b n ＝⎝⎛⎭⎫23n.(2)解 a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎫23n .∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋b 1＋b 2＋…＋b n －1 ＝1＋⎝⎛⎭⎫23＋⎝⎛⎭⎫232＋…＋⎝⎛⎭⎫23n －1 ＝3⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n . 例3 解 ∵S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n ，∴2S n ＝a n ＋1a n ， ∴2S n ＝S n －S n －1＋1S n －S n －1，∴S n ＋S n －1＝1S n －S n －1，∴S 2n －S 2n －1＝1，∴{S 2n }是一个等差数列，公差为1，首项为S 21，易求得S 21＝1.∴S 2n ＝1＋(n －1)×1＝n .∴S n ＝n ， ∴a n ＝n －n －1.变式训练3 解 (1)a 1＝S 1＝2a 1－3，∴a 1＝3. ∵S n ＝2a n －3n ，∴S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)． ∴S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n －3.∴a n ＋1＝2a n ＋1－2a n －3，∴a n ＋1＝2a n ＋3. (2)∵a n ＋1＝2a n ＋3，∴a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)． ∴{a n ＋3}是等比数列，公比为2，首项为a 1＋3＝6. ∴a n ＋3＝(a 1＋3)·2n －1＝6·2n －1＝3·2n ， ∴a n ＝3·2n －3. 课时作业1．C [a 5＝a 4＋4＝a 3＋3＋4＝a 2＋2＋3＋4 ＝a 1＋1＋2＋3＋4＝11.] 2．D [∵a n ＝2n －12n ＝1－12n ，∴S n ＝n －⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n ＝n －1＋12n ，又∵S n ＝32164＝5＋164，∴n －1＋12n ＝5＋164，∴n ＝6.]3．B [a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝1＋(n －1)2＝n 2－2n ＋2.]4．B [设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋1的公差为d ，则1a 7＋1＝1a 3＋1＋4d ， ∴12＝13＋4d ，d ＝124，1a 11＋1＝1a 7＋1＋4d ， ∴1a 11＋1＝12＋16＝23，∴a 11＋1＝32，∴a 11＝12.]5．A [∵a n ＋1＝a n －a n －1＝(a n －1－a n －2)－a n －1， ∴a n ＋1＝－a n －2，∴a n ＋3＝－a n . ∴a n ＋6＝－a n ＋3＝－(－a n )＝a n . ∴{a n }是周期数列且T ＝6. ∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝(a 1＋a 4)＋(a 2＋a 5)＋(a 3＋a 6)＝0，∴S 2 010＝0，∴S 2 011＝S 2 010＋a 2 011＝a 2 011＝a 1＝1.] 6.1312解析 a 2＝2，a 3＝32，a 4a 2＝a 4a 3a 2a 3＝a 23＋1a 22－1＝1312.7.1n解析由a n ＋1a n ＝n n ＋1得：a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n ＝1n ，∴a n a 1＝1n ，a n ＝1n 或(n ＋1)a n ＋1＝na n ＝…＝2a 2＝a 1＝1，∴a n ＝1n . 8．1解析 ∵a n ＋1＝2a n 2＋a n ，∴1a n ＋1＝1a n ＋12. ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列且公差d ＝12.∴1a 7＝1a 5＋2d ＝1a 5＋1＝2，∴a 5＝1. 9．解 ∵S n ＝4－a n －12n －2，∴S n －1＝4－a n －1－12n －3∴S n －S n －1＝a n ＝a n －1－a n ＋12n －3－12n －2∴a n ＝12a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1，∴a n⎝⎛⎭⎫12n －a n －1⎝⎛⎭⎫12n －1＝2.∴2n a n －2n －1a n －1＝2.∴{2n a n }是等差数列，d ＝2，首项为2a 1. ∵a 1＝S 1＝4－a 1－12－1＝2－a 1，∴a 1＝1.∴2n a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，∴a n ＝n ·⎝⎛⎭⎫12n －1. ∴S n ＝4－a n －12n －2＝4－n ·12n －1－12n －2＝4－n ＋22n －1.10．(1)证明因为2002年底绿洲面积为a 1＝310，所以2002年底的沙漠面积为1－a 1＝710，经过n －1年后绿洲面积为a n ，沙漠面积为1－a n ，由题意得，再过一年，即经过n 年后，绿洲面积为a n ＋1＝(1－a n )×16%＋a n (1－4%)，即a n ＋1＝45a n ＋425.所以a n ＋1－45＝45(a n －45)．又因为a 1－45＝310－45＝－12，所以数列{a n －45}是以45为公比，－12为首项的等比数列．(2)解由(1)知，a n －45＝⎝⎛⎭⎫－12×⎝⎛⎭⎫45n －1，所以a n ＝45－12·⎝⎛⎭⎫45n －1，设经过n 年的努力可使全区的绿洲面积超过60%，即a n ＋1>60%. 所以45－12·⎝⎛⎭⎫45n >35，所以⎝⎛⎭⎫45n <25. 验证n ＝1,2,3,4时，⎝⎛⎭⎫45n >25. 当n ＝5时，⎝⎛⎭⎫455＝1 0243 125<25，故至少需要5年的努力，全区的绿洲面积超过60%.高中数学-打印版精校版。

高中数学必修5 第2章数列学生版第15、16课时——数列复习课(2课时)(教师)

学习札记第15、16课时数列复习课(2课时)【学习导航】知识网络【自学评价】（一）数列的概念数列的定义（一般定义，数列与函数）、数列的表示法。

数列的通项公式。

求数列通项公式的一个重要方法：对于任一数列}{n a ,其通项n a 和它的前n 项和n s 之间的关系是 ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n s s n s a n nn（二）等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质 1.等差数列(1)定义(2)通项公式n a =1a +（）d=k a +（）d=dn +1a -d(3)求和公式nd a n d d n n na a a n s n n )2(22)1(2)(1211-+=-+=+=(4)中项公式A=2b a + 推广：2n a =(5)性质①若m+n=p+q 则②若}{n k 成A.P （其中N k n ∈）则}{n k a 也为A.P 。

③n n n n n s s s s s 232,,-- 成数列。

④1________()1n a a d m n n -==≠-2.等比数列 (1)定义 (2)通项公式 (3)求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q qqa a q q a q na s n n n (4)中项公式ab G =2。

推广： (5)性质①若m+n=p+q ，则②若}{n k 成等比数列（其中N k n ∈），则}{n k a 成等比数列。

③n n n n n s s s s s 232,,--④11a a q n n =- ______n mq-= )(n m ≠ 3. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法: (2)通项公式法。

(3)中项公式法: 4. 在等差数列{}n a 中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足10m m a a +≥⎧⎨≤⎩的项数m使得m s 取。

(2)当1a <0,d>0时，满足10m m a a +≤⎧⎨≥⎩的项数m使得m s 取。

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习题课(2)课时目标1．能由简单的递推公式求出数列的通项公式； 2．掌握数列求和的几种基本方法．1．等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .2．等比数列前n 项和公式： (1)当q ＝1时，S n ＝na 1；(2)当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.3．数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 n ＝1S n －S n －1 n ≥2.4．拆项成差求和经常用到下列拆项公式： (1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； (2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)； (3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .一、选择题1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5等于( )A ．1 B.56 C.16 D.130答案 B解析 ∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 5＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(15－16)＝1－16＝56.2．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为( )A ．11B ．99C ．120D ．121 答案 C 解析 ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝n ＋1－1＝10，∴n ＝120.3．数列112，214，318，4116，…的前n 项和为( )A.12(n 2＋n ＋2)－12nB.12n (n ＋1)＋1－12n －1 C.12(n 2－n ＋2)－12n D.12n (n ＋1)＋2(1－12n ) 答案 A解析 112＋214＋318＋…＋(n ＋12n )＝(1＋2＋…＋n )＋(12＋14＋…＋12n )＝n (n ＋1)2＋12(1－12n)1－12＝12(n 2＋n )＋1－12n ＝12(n 2＋n ＋2)－12n . 4．已知数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，由b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n 所确定的数列{b n }的前n项之和是( )A ．n (n ＋2) B.12n (n ＋4) C.12n (n ＋5) D.12n (n ＋7)答案 C解析 a 1＋a 2＋…＋a n ＝n2(2n ＋4)＝n 2＋2n .∴b n ＝n ＋2，∴b n 的前n 项和S n ＝n (n ＋5)2.5．已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1n ，则S 17＋S 33＋S 50等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2 答案 B解析 S 17＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(15－16)＋17＝9， S 33＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(31－32)＋33＝17， S 50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25，所以S 17＋S 33＋S 50＝1.6．数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n 等于( )A ．2n －1B ．2n －1－1 C ．2n ＋1 D ．4n －1 答案 A解析由于a n －a n －1＝1×2n －1＝2n －1，那么a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋2＋…＋2n －1＝2n －1. 二、填空题7．一个数列{a n }，其中a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，那么这个数列的第5项是________．答案－68．在数列{a n }中，a n ＋1＝2a n 2＋a n ，对所有正整数n 都成立，且a 1＝2，则a n ＝______.答案 2n解析 ∵a n ＋1＝2a n 2＋a n ，∴1a n ＋1＝1a n ＋12. ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列且公差d ＝12.∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝12＋n －12＝n2， ∴a n ＝2n.9．在100内所有能被3整除但不能被7整除的正整数之和是________．答案 1 473解析 100内所有能被3整除的数的和为：S 1＝3＋6＋…＋99＝33×(3＋99)2＝1 683.100内所有能被21整除的数的和为：S 2＝21＋42＋63＋84＝210. ∴100内能被3整除不能被7整除的所有正整数之和为S 1－S 2＝1 683－210＝1 473.10．数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ≥1)，则a n ＝____________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝113·⎝⎛⎭⎫43n －2， n ≥2解析 a n ＋1＝13S n ，a n ＋2＝13S n ＋1，∴a n ＋2－a n ＋1＝13(S n ＋1－S n )＝13a n ＋1，∴a n ＋2＝43a n ＋1 (n ≥1)．∵a 2＝13S 1＝13，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝113·⎝⎛⎭⎫43n －2， n ≥2.三、解答题11．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .所以，a n ＝2n ＋1，S n ＝n 2＋2n . (2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1)＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以T n ＝14·(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14·(1－1n ＋1)＝n 4(n ＋1)，即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).12．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n －1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1.而a 1＝2，符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1. (2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1， ① 从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1. ② ①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1，即S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]．能力提升13．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n 答案 A解析 ∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ， ∴a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n ＝ln(n ＋1)－ln n .又a 1＝2，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln(n －1)]＝2＋ln n －ln 1＝2＋ln n .14．已知正项数列{a n }的前n 项和S n ＝14(a n ＋1)2，求{a n }的通项公式．解当n ＝1时，a 1＝S 1，所以a 1＝14(a 1＋1)2，解得a 1＝1.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝12－14(a n－1＋1)2＝14(a2n－a2n－1＋2a n－2a n－1)，4(a n＋1)∴a2n－a2n－1－2(a n＋a n－1)＝0，∴(a n＋a n－1)(a n－a n－1－2)＝0.∵a n＋a n－1>0，∴a n－a n－1－2＝0.∴a n－a n－1＝2.∴{a n}是首项为1，公差为2的等差数列．∴a n＝1＋2(n－1)＝2n－1.1．递推公式是表示数列的一种重要方法．由一些简单的递推公式可以求得数列的通项公式．其中主要学习叠加法、叠乘法以及化归为等差数列或等比数列的基本方法．2．求数列前n项和，一般有下列几种方法：错位相减、分组求和、拆项相消、奇偶并项等，学习时注意根据题目特点灵活选取上述方法．。