小升初奥数长方体和正方体的体积
小学六年级奥数试题详解 长方体和正方体
第五讲长方体和正方体长方体和正方体在立体图形中是较为简单的，也是我们较为熟悉的立体图形．如下图，长方体共有六个面（每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱。
在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等（叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．两个全等图形的面积相等，对应边也相等）．长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：S长方体＝2（ab＋bc＋ac）；长方体的体积：V长方体＝abc．正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a，那么：S正方体=62a，V正方体=3a例1 有一个长方体，它的底面是一个正方形，它的表面积是190平方厘米，如果用一个平行于底面的平面将它截成两个长方体，则两个长方体表面积的和为240平方厘米，求原来长方体的体积．解：设原来长方体的底面边长为a厘米，高为h厘米，则它被截成两个长方体后，两个截面的面积和为22a平方厘米，而这也就是原长方体被截成两个长方体的表面积的和比原长方体的表面积所增加的数值，因此，根据题意有：190＋22a＝240，可知，2a＝25，故a＝5（厘米）．又因为22a＋4ah＝190，解得19022545h-⨯=⨯=7（厘米）所以，原来长方体的体积为：V＝2a h＝25×7＝175（立方厘米）．例2 如下图，一个边长为3a厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个截口是边长为a厘米的正方形的长方体（都和对面打通）．如果这个镂空的物体的表面积为2592平方厘米，试求正方形截口的边长。
解：原来正方体的表面积为：6×3a×3a＝6×92a（平方厘米）．六个边长为a的小正方形的面积为：6×a×a＝62a（平方厘米）；挖成的每个长方体空洞的侧面积为：3a×a×4＝122a（平方厘米）；三个长方体空洞重叠部分的校长为a的小正方体空洞的表面积为：a×a×4＝42a（平方厘米）．根据题意：6×92a－62a＋3（122a－42a）＝2592，化简得：542a－62a＋242a＝2592，解得2a＝36（平方厘米），故a＝6厘米．即正方形截口的边长为6厘米．例3 有一些相同尺寸的正方体积木，准备在积木的各面上粘贴游戏所需的字母和数目字．但全部积木的表面总面积不够用，还需增加一倍，请你想办法，在不另添积木的情况下，把积木的各面面积的总和增加一倍。
长方体和正方体体积公式推理
长方体和正方体体积公式推理一、长方体体积公式推理。
1. 用小正方体摆长方体的方法推导。
- 我们可以用若干个相同的小正方体来摆成长方体。
假设小正方体的棱长为1个单位长度。
- 例如，我们摆一个长为3个单位长度、宽为2个单位长度、高为2个单位长度的长方体。
- 沿着长的方向，一排可以摆3个小正方体；沿着宽的方向，可以摆2排；沿着高的方向，可以摆2层。
- 那么总共小正方体的个数就是3×2×2 = 12个。
- 这个小正方体的个数就代表了长方体的体积。
- 一般地，如果长方体的长为a个单位长度、宽为b个单位长度、高为h个单位长度，那么它所含小正方体的个数（即体积V）就是a× b× h。
所以长方体的体积公式为V = a× b× h（其中a、b、h分别表示长方体的长、宽、高）。
2. 从长方体的底面积角度推导。
- 长方体的底面是一个长方形，长方形的面积S = a× b（其中a为长，b为宽）。
- 我们可以把长方体看作是由底面一层一层往上堆积而成的，堆积的层数就是高h。
- 那么长方体的体积V就等于底面积S乘以高h，因为S=a× b，所以V = a×b× h。
二、正方体体积公式推理。
1. 基于长方体体积公式推导。
- 正方体是特殊的长方体，它的长、宽、高都相等，设正方体的棱长为a。
- 因为长方体的体积公式V = a× b× h，对于正方体a=b = h。
- 所以正方体的体积V=a× a× a=a^3。
2. 用小正方体摆正方体的方法推导。
- 同样用棱长为1个单位长度的小正方体来摆正方体。
- 例如，摆一个棱长为3个单位长度的正方体。
- 沿着每条棱的方向都可以摆3个小正方体。
- 那么总共小正方体的个数就是3×3×3 = 27个。
- 一般地，对于棱长为a的正方体，它所含小正方体的个数（即体积V）就是a× a× a=a^3。
长方体和正方体统一的体积计算公式
长方体和正方体统一的体积计算公式一、长方体体积计算公式推导。
1. 长方体的基本元素。
- 长方体有长、宽、高这三个维度。
设长方体的长为a，宽为b，高为h。
2. 体积的意义及计算方法。
- 体积是指物体所占空间的大小。
对于长方体来说，我们可以通过数小正方体的个数来计算它的体积。
- 我们把长方体看作是由若干个单位体积（棱长为1的小正方体）组成的。
沿着长的方向，可以摆放a个小正方体；沿着宽的方向，可以摆放b个小正方体；沿着高的方向，可以摆放h个小正方体。
- 那么长方体所含小正方体的总个数（也就是长方体的体积V）就等于长、宽、高的乘积，即V = a×b×h。
二、正方体体积计算公式推导。
1. 正方体的特点。
- 正方体是特殊的长方体，它的长、宽、高都相等，设正方体的棱长为a。
2. 正方体体积计算。
- 由于正方体的长、宽、高都为a，根据长方体体积公式V=a×b×h，此时b = a，h=a，所以正方体的体积V=a×a×a=a^3。
1. 统一公式的原理。
- 我们可以把长方体和正方体的体积公式统一起来。
对于长方体V = a×b×h，而正方体是特殊的长方体，当a=b = h时，正方体体积V=a^3。
- 如果我们把长方体底面的面积S = a×b（底面积就是长乘宽），那么长方体的体积V=S×h（体积等于底面积乘高）。
- 对于正方体，它的底面积S = a×a=a^2，体积V = S×a=a^2×a=a^3，也符合V = S×h这个公式（这里h=a）。
长方体正方体体积计算公式
长方体正方体体积计算公式
长方体和正方体都是我们生活中常见的立体图形。
在日常生活中，很多物体都是长方体或正方体的形状，比如说糖果盒、鞋盒、书本、
电视机等等。
计算长方体和正方体的体积是我们在应用数学中经常碰
到的问题。
首先，我们来了解一下长方体和正方体的定义。
长方体是一种由
六个矩形围成的立体图形，其中相邻的矩形之间有四个直角，也就是说，每个角都是九十度。
正方体是一种由六个正方形围成的立体图形，也是有八个顶点、十二个棱和六个面。
计算长方体的体积的公式是：体积 = 长× 宽× 高，其中长、宽和高分别是长方体的三条边。
例如，一个盒子的长是15cm、宽是
10cm、高是20cm，那么它的体积就是15cm × 10cm × 20cm =
3000cm³。
计算正方体的体积的公式是：体积 = 边长³，其中边长是正方
体的一条边长。
例如，一个立方体的边长是5cm，那么它的体积就是
5cm × 5cm × 5cm = 125cm³。
需要注意的是，长方体和正方体的计算公式完全不同，因为它们
的形状和大小也完全不同，每个立方体的计算方法都是独立的。
同时，我们也要确保使用正确的单位来计算体积，比如说用 cm³或 m³来
表示体积。
最后，了解长方体和正方体的体积计算公式对我们日常生活中的
应用非常有帮助，帮助我们更好地理解立体图形的性质和特点，提高
我们的数理能力。
小升初奥数长方体和正方体的体积
解答
368-40×2=288平方厘米 288÷36=8（厘米）
8厘米
V=40×8=320（立方厘米） 答：这个长方体的体积是 320立方厘米。
40平方厘米
例2 .将一个长方体的长减小5厘米， 变成了正方体，正方体表面积比 原来长方体表面积减少了60平方
5厘米
厘米。原来长方体的体积是多少
立方厘米？
高=310-240=70厘米
V=130×110×70=1001000立方厘米=1.001立方米
例6.有甲乙丙三种大小不同的正方体木块，其中甲的
棱长是乙的棱长的二分之一，乙的棱长是丙的棱长
的三分之二。如果用甲乙丙三种木块拼成一个尽可 能小的大正方体（每块至少用一块），那么最多需 要这三种木块共多少块？最少需要用这三种木块共 多少块？
2014-7-10
例5. 某工人用薄板钉成一个长方体的邮包包装箱，并用编织绳在三个 方向上加固，使用的编织绳长度分别为365厘米、405厘米、485厘
米。若每根编织绳加固时结头都是5厘米，则这个长方体包装箱的
体积是多少立方米？
（365-5）÷2=180厘米
解析
（405-5）÷2=200厘米
（485-5）÷2=240厘米 长+宽+高= (180+200+240)÷2=310厘米 长= 310-180=130厘米 宽=310-200=110厘米
24+1.6=25.6厘米
答：浸湿部分长25.6厘米。
解答
方法二、 解设：拔出24厘米后，浸在水里的部分为X厘米。 （60×60-15×15）X+60×60×24=（60×60-15×15）×50
3375X=82350
X=24.4 50-24.4=25.6（厘米） 答：露出水面的四棱柱，浸湿部分长25.6厘米。
小升初立体图形训练长方体正方体的体积 无答案
长方体、正方体的体积第一部分知识梳理1.体积与容积的意义（1）物体所占空间的大小，叫作物体的体积。
（2）容器所能容纳物体的体积，叫作容器的容积。
2.认识常用的体积单位、容积单位。
（1）常用体积单位：立方厘米、立方分米、立方米，分别用字母cm3,dm3,m3表示。
（2）常用容积单位：毫升和升，分别用字母mL，L表示。
3.容积单位与体积单位之间的换算1升=1立方分米1毫升=1立方厘米1L=1dm31mL=1cm34.体积、容积单位之间的进率及换算相邻体积、容积单位之间的进率为1000.把高级单位化低级单位乘进率，把低级单位化高级单位除以进率。
5.长方体体积的计算方法长方体的体积=长×宽×高。
字母表示为：V=abh6.正方体的体积的计算方法正方体的体积=棱长×棱长×棱长。
字母公式为：V=a37.长方体、正方体的体积通用公式长方体（正方体）的体积=底面积×高，字母表示为：V=sh。
8.用排水法测量不规则物体的体积在测量不规则物体的体积时，水面升高的体积（或满杯时溢出的水的体积）相当于石块的体积。
第二部分例题精讲考点1长方体的体积例1.一根长方体木料，长4米，横截面的面积是0.08平方米，这根木料的体积是多少？变式练习1.一根长方体的木料，长6米，它的横截面的面积是1.6平方分米，10根这样的木料体积一共是多少？2.一根长方体钢材长3米，横截面是边长5厘米的正方形，每立方米钢材重7.8千克，这根钢材重多少？考点2 先求棱长再求体积或先求体积再求其它例2.一个底面是正方形的长方体水箱，如果把它的侧面打开得到一个边长是120厘米的正方形，这个水箱的容积是多少升？变式练习1.一个长方体钢材，长2.5米，宽8分米，厚3厘米，如果每立方厘米钢材重0.2千克，这块方钢重多少千克？2.在一个长为20厘米，宽和高都是4厘米长方体上截下一个最大的正方体，剩下部分的体积是多少？考点3 求放进物体的体积例3.一个长方容器，底面长2dm，宽1.5dm，放入一个铁块后水面升高了2cm，这个铁块的体积是多少？变式练习1.一只长方体的玻璃缸，长8dm，宽6dm，高4dm，水深28cm.如果投入一块棱长4dm的正方体铁块，鱼缸里的水溢出多少？2.一个长方体玻璃容器棱长2分米，向容器中倒入5升水，把一块石头放入容器中，这时显示容器内的水深为15厘米，这块石头的体积是多少立方厘米？3.一个正方体形状的鱼缸棱长为40厘米，若里面放进38.4升的水，水面离上口有多少厘米？考点4.考虑到容器壁厚的问题例4.一个长方体养鱼缸，从外面量长6分米，宽4分米，深3分米，鱼缸壁厚1分米，这个鱼缸能装水多少升？变式练习1.一列运煤火车，挂有12节车厢，每节车厢从里面量长14米，宽2.5米，煤高1.6米，如果每立方米煤重1.4吨，这列火车共运了多少吨？2.有一块长30厘米，宽25厘米的长方形铁皮，在四个角上分别剪去面积相等的正方形，正好可以做成一个深5厘米的无盖铁盒。
小升初小学数学应用题基础练习《长方体和正方体表面积及体积》答案详解
《长方体和正方体表面积及体积》1．（2019春•邓州市期末）一个长方体的集装箱，从里面测量长12m、宽4m、高3m，如果要装一批棱长2m 的正方体货箱，最多能装()个．A．12B．18C．36【解答】解：1226÷=，÷=，422÷≈，32162112⨯⨯=（个)．答：最多能装12个．故选：A．2．（2019•郴州模拟）一个无盖玻璃鱼缸的形状是正方体，棱长4分米．制作这个鱼缸时至少需要玻璃( )平方分米．A．80B．64C．96⨯⨯=-（平方分米）【解答】解：44580答：制作这个鱼缸时至少需要玻璃80平方分米．故选：A．3．（2019春•交城县期中）用两个棱长为1分米的小正方体拼成一个长方体，发生了什么变化？() A．体积变大，表面积变小B．体积变小，表面积变大C．体积不变，表面积变大D．体积不变，表面积变小【解答】解：原来2个小正方体的表面积是：⨯⨯⨯=（平方分米）；611212⨯⨯⨯=（立方分米）；体积是：11122新长方体的长是2分米，宽是1分米，高是1分米；⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯表面积是：122122112=++，442=（平方分米）；10⨯⨯=（立方分米）；体积是：2112>平方分米，表面积变小了；12平方分米10=立方分米，体积不变．2立方分米2故选：D．4．（2017秋•江都区期末）一个长方体的盒子，从里面量，长8分米、宽5分米、高4分米．如果把棱长2分米的正方体木块放到这个盒子里，最多能放()个．A．12B．16C．20D．24÷=（个)【解答】解：824⋯（分米）÷=（排)1522÷=（层)422⨯⨯=（个)42216答：最多能放16个．故选：B．5．（2018•萧山区模拟）一长方体的铁皮烟囱，底面是边长为40厘米的正方形，高2米．做这样一个烟囱至少需要铁皮()A．320平方米B．352000平方厘米C．3.2平方米D．3.52平方米=米，【解答】解：40厘米0.4⨯⨯=（平方米），0.442 3.2答：做这样一个烟囱至少需要铁皮3.2平方米．故选：C．6．一个长方体纸箱，从里面量长64cm，宽40cm，高34cm，内装棱长8cm的正方体，可以装()盒．A．140B．160C．170D．200÷=（个)【解答】解：6488÷=（个)4085÷≈（个)3484854⨯⨯=⨯404=（个)160答：最多可以装160盒这样的正方体．故选：B．7．把一个棱长为6cm的正方体框架改做成一个长9cm、宽5cm的长方体框架，这个长方体框架的高是( )cm．A．4B．6C．7D．10⨯=（厘米）【解答】解：12672÷--72495=--1895=（厘米）4答：这个长方体框架的高是4厘米．故选：A．8．（2019春•天河区期末）小强家的书房长5米、宽4米、高3米．要在书房四面的墙壁和房顶都贴上墙纸，除去门窗面积6.5平方米，这个房间至少需要贴墙纸67.5平方米．⨯+⨯⨯+⨯⨯-【解答】解：54532342 6.5=++-203024 6.5=（平方米）67.5答：这个房间至少需要贴墙纸67.5平方米．故答案为：67.5．9．（2019春•高州市期中）一个长体长为6cm，宽为4cm，高为2cm，它的棱长总和是48厘米，六个面最大的面是平方厘米，这个长方体的表面积是平方厘米．++⨯【解答】解：(642)4124=⨯=（厘米）48⨯=（平方厘米）6424⨯+⨯+⨯⨯(646242)2=++⨯(24128)2=⨯442=（平方厘米）88答：它的棱长之和是48厘米，最大的面的面积是24平方厘米，表面积是88平方厘米．故答案为：48，24，88．10．（2019春•镇康县期中）一个长方体通风管横截面的周长是17.5dm，长3m，制作这样一节通风管至少需要用铁皮 5.252m．=米，【解答】解：17.5分米 1.75⨯=（平方米）；1.753 5.25答：制作这一节通风管要用铁皮5.25平方米．故答案为：5.25．11．（2019春•镇康县期中）用铁丝做一个棱长6dm的正方体框架，至少要用铁丝72分米，如果将它改为长8dm，宽5dm的长方体，这个长方体的高是分米．⨯=（分米）【解答】解：61272÷-+724(85)1813=-=（分米）5答：至少需要72分米的铁丝，做成长方体的高为5分米．故答案为：72；5．12．（2018春•建瓯市月考）五（2）班讲台桌的外形类似是一个正方体，它的棱长是10分米，那么它的表面积是5平方米，体积是立方米．=米【解答】解：10分米1⨯⨯=（平方米）1155⨯⨯=（立方米）1111答：它的表面积是5平方米，体积是1立方米．13．（2017秋•海安县期末）一种长3米的长方体通气管的横截面是边长2分米的正方形，制作10根这样的通气管至少需要24平方米．=米【解答】解：2分米0.2⨯⨯3(0.24)=⨯30.8=（平方米）2.4⨯=（平方米）2.41024答：制作10根这样的通气管至少需要24平方米．故答案为：24．14．（2017秋•海安县期末）一根2米长的长方体落水管，横截面是边长为8厘米的正方形，做这个落水管至少需要6400平方厘米的铁皮．=厘米【解答】解：2米20084200⨯⨯=⨯322006400=（平方厘米）；答：做这个落水管至少需要6400平方厘米的铁皮．故答案为：6400．15．（2017•吉水县）用木料做一个长5厘米，宽是4厘米，高是0.3分米的长方体，需要60立方厘米的木料，如果要在长方体木块的表面涂一层油漆，涂油漆的面积是平方厘米．=厘米，【解答】解：0.3分米3⨯⨯=（立方厘米）；54360⨯+⨯+⨯⨯(545343)2=++⨯(201512)2=⨯472=（平方厘米）；94答：需要60立方厘米的木料，涂油漆的面积是94平方厘米．16．一个正方体的玻璃鱼缸，棱长是2dm，制作这个鱼缸至少需要玻璃224dm．⨯（判断对错）．⨯⨯=（立方分米）【解答】解：22520答：制作这个鱼缸至少需要玻璃20立方分米．所以原题说法错误；故答案为：⨯．17．某种饮料采用长方形塑封纸盒包装，从外面量盒子长6厘米，宽4厘米，高10厘米（厚度忽略不计）．这种饮品的净含量不可能超过240毫升．√．（判断对错）=立方厘米【解答】解：1毫升1⨯⨯=（立方厘米）6410240=毫升240立方厘米240答：这个饮料盒的体积是240立方厘米．所以“这种饮品的净含量不可能超过240毫升”是正确的．故答案为：√．18．礼堂里有一根用作支撑的长方体柱子，底面是一个边长为0.4米的正方形，柱子高4.5米．油漆这根柱子，求总共油漆面积的算式是0.4 4.54⨯⨯．√．（判断对错）⨯⨯【解答】解：0.4 4.54=⨯1.84=（平方米）．7.2答：油漆面积是7.2平方米．故答案为：√．19．（2018秋•江都区期末）如图的领奖台是4个棱长为50厘米的正方体拼合而成的．（1）如果要把领奖台的表面涂漆，需要涂漆的面积是多少平方米？（底面不涂）（2）这个领奖台的体积是多少立方米？=米【解答】解：（1）50厘米0.5⨯⨯+⨯+⨯0.50.5(34222)=⨯0.2515=（平方米）3.75答：需要涂漆的面积是3.75平方米．⨯⨯⨯（2）0.50.50.54=⨯0.1254=（立方米）0.5答：这个领奖台的体积是0.5立方米．20．（2019春•南充期末）学校要做一个长58厘米、宽42厘米、高39厘米的建议箱，如果在所有的棱上粘上一圈胶带，至少需要多长的胶带？【解答】解：(584239)4++⨯=⨯1394=（厘米）556=（米)5.56答：至少需要5.56米长的胶带．21．（2019•芜湖模拟）挖一个长10m、宽8m、深2m的蓄水池．（1）这个蓄水池占地多少平方米？（2）给这个蓄水池的四周和底部抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？（3）这个蓄水池最多蓄水多少立方米？⨯=（平方米）【解答】解：（1）10880答：这个蓄水池占地80平方米．⨯+⨯+⨯⨯-⨯（2）(10810282)2108=++⨯-(802016)280=⨯-116280=-23280=（平方米）152答：抹水泥面的面积是152平方米．⨯⨯（3）1082=⨯802=（立方米）160答：这个蓄水池最多蓄水160立方米．22．（2019•西安模拟）阿迪力老师买了一个长方体玻璃鱼缸（玻璃的厚度忽略不计），长8分米，宽4分米，高5分米．（1）把鱼缸放在柜子上，需要在柜子上留出多大的面积？（2）做这个鱼缸至少要用多少平方分米的玻璃？（3）这个鱼缸最多能盛水多少升？⨯=（平方分米）【解答】解：（1）8432答：把鱼缸放在柜子上，需要在柜子上留出32平方分米的面积．⨯+⨯⨯+⨯⨯（2）84852452328040=++=（平方分米）152答：做这个鱼缸至少要用152平方分米的玻璃．⨯⨯=（立方分米）（3）845160答：这个鱼缸最多能盛水160立方分米．23．（2019春•镇康县期中）把一段长3.6m、宽6cm、厚3cm的长方体木料，锯成棱长为3cm的小正方体．可以锯成多少个这样的小正方体？=厘米【解答】解：3.6米360⨯⨯÷⨯⨯36063(111)=÷64801=（个)6480答：可以锯成6480个小正方体．24．（2019春•龙岗区校级月考）一个长方体的长是25厘米，宽是16厘米，高是20厘米，制作一个这样的框架，至少要多少厘米长的木条？（接口处不算）++⨯【解答】解：(251620)4=⨯614=（厘米）244答：至少需要244厘米长的木条．25．（2019春•武侯区期中）王老师家挖一个长12米、宽8米、深5米的长方体水池．（1）在水池四周和底部贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？（2）该水池能蓄水多少立方米？⨯+⨯⨯+⨯⨯【解答】解：（1）1281252852=++9612080=（平方米）；296答：贴瓷砖的面积是296平方米．⨯⨯=（立方米）；（2）1285480答：该水池能蓄水480立方米．26．（2019春•榆树市校级期末）新华小学要修建操场，在操场上铺厚1.5cm砂石，操场长100m、宽50m．（1）需要多少立方米的砂石？（2）甲车每次运31.5m砂石，至少需要运多少次？（3）如果甲车运了20次后，改用乙车，乙车每次运32.5m，还要运多少次？=米，【解答】解：（1）1.5厘米0.015⨯⨯100500.015=⨯50000.01575=（立方米）；答：需要75立方米砂石．÷=（次)；（2）75 1.550答：至少需要50次．-⨯÷（3）(50 1.520) 2.5=-÷(5030) 2.520 2.5=÷=（次)；8答：还需要运8次．27．（2019春•通州区期末）用一根长96厘米的铁丝焊一个尽可能大的正方体框架．如果在它的表面糊上一层纸，糊纸的面积是多少平方厘米？【解答】】解：正方体的棱长为：96128÷=（厘米）正方体的表面积为：⨯⨯886=⨯646=（平方厘米）384答：糊纸的面积是384平方厘米．28．（2019春•武侯区期末）（1）用铁皮制作一个棱长4分米的正方体无盖水箱．至少需要铁皮多少平方分米？（2）一个淘气的孩子在这个水箱的侧面扎破了一个洞，洞口下沿距水箱底部2.2分米（如图所示），如果向这个空水箱缓慢的倒入32升水，水是否会由这个洞口漏出？【解答】解：（1）445⨯⨯165=⨯80=（平方分米）答：至少需要铁皮80平方分米．（2）44 2.235.2⨯⨯=（立方分米）35.2立方米35.2=升3235.2<所以水不会由这个洞口漏出答：水不会由这个洞口漏出．29．（2019春•邹城市期末）一辆汽车的油箱从里面量，长6分米，宽5分米，高3分米．如果每升汽油重0.72千克，这个油箱最多能装汽油多少千克？【解答】解：65390⨯⨯=（立方分米）90=（升)0.729064.8⨯=（千克）答：这个油箱最多能装汽油64.8千克．30．（2019春•皇姑区期末）健身中心要建造一个长50m ，宽20m ，深2m 的游泳池．（1）一共要挖土多少3m ？（2）如果在游泳池的四周和底部貼上瓷砖，至少要贴多少2m 瓷砖？【解答】解：（1）502022000⨯⨯=（立方米）答：一共要挖土2000立方米．（2）5020(502202)2⨯+⨯+⨯⨯10001402=+⨯=+1000280=（平方米）1280答：至少要贴是1280平方米瓷砖．31．（2018秋•徐州期末）建筑工地用混凝土浇筑一个长方体的柱子，柱子高3米，地面是边长为0.5米的正方形．浇铸这根柱子至少需要混凝土多少立方米？如果在柱子的四周贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？⨯⨯【解答】解：0.50.53=⨯0.253=（立方米）0.7530.54⨯⨯=⨯1.54=（平方米）6答：浇注这根柱子至少需要混凝土0.75立方米；如果在柱子的四周贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是6平方米．32．（2018春•松桃县期末）学校要粉刷多媒体教室，经测量多媒体教室的长是9米，宽是7米，高是3米，门窗面积是12.6平方米．求需要粉刷的面积是多少平方米？⨯+⨯⨯+⨯⨯-【解答】解：9793273212.6=++-63544212.6=-15912.6=（平方米）146.4答：需要粉刷的面积是146.4平方米．33．（2017春•新泰市期末）一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长5分米，宽4分米，高3分米．（1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？（1）在鱼缸里注入40升水，水深多少分米？（玻璃的厚度忽略不计）．⨯+⨯+⨯⨯【解答】解：（1）45(3453)220(1215)2=++⨯=+205474=（平方分米）答：做这个鱼缸至少需要玻璃74平方分米．=立方分米，（2）40升40÷⨯40(45)=÷4020=（分米）2答：水深2分米．34．（2017秋•东海县期中）有一个花坛，高0.5米，底面是边长1.3米的正方形．四周用砖砌成，厚度是0.3米，中间填满泥土．（1）花坛所占的空间有多大？（2）花坛里大约有多少立方米泥土？⨯⨯=（立方米）【解答】解：（1）1.3 1.30.50.845答：花坛所占的空间是0.845立方米．-⨯⨯-⨯⨯（2）(1.30.32)(1.30.32)0.5=⨯⨯0.70.70.5=（立方米）0.245答：花坛里大约有0.245立方米的泥土．35．（2019春•郸城县期末）一只长方体的玻璃缸，长8dm，宽6dm，高4dm，水深3dm，如果投入一块棱长为4dm的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯【解答】解：444863864=+-64144192=（立方分米）16=（升)16答：缸里的水溢出16升．36．（2019•天津模拟）一个长方体容器装一些水，底面长3分米，宽2分米，高1.5分米，将一块土豆放入水中后，水面升高了0.2分米，这个土豆的体积是多少立方分米？【解答】解：由题意得：土豆的体积等于上升的水的体积为：⨯⨯=（立方分米）．320.2 1.2答：这个土豆的体积是1.2立方分米．37．（2019春•武侯区月考）（1）如图（1），要给礼盒包装一下，至少需要多少平方厘米的包装纸？（不算接头处．)（2）如图（2），如果包装后再用彩带捆扎一下，结头处需彩带子5cm，那么捆扎这个礼盒至少需要多长的彩带？⨯+⨯+⨯⨯【解答】解：（1）(12812686)2=++⨯(967248)2=⨯2162=（平方厘米）432答：至少需要432平方厘米的包装纸．⨯+⨯+⨯+（2）82122645=+++1624245=（厘米）69答：彩带的长度是69厘米．38．（2019•北京模拟）用一根240cm长的铁丝做一个长方体框架，使它的长、宽、高的比是1:1:2，再把它的五个面糊上纸（如图，底面不糊纸），做一个长方体孔明灯．①至少需要多少平方厘米的纸？②这个孔明灯的容积是多少立方厘米？【解答】解：①240460÷=（厘米） 1124++=160154⨯=（厘米）160154⨯=（厘米）260304⨯=（厘米）151515304⨯+⨯⨯2254504=+⨯2251800=+2025=（平方厘米）答：至少需要2025平方厘米的纸． ②1515306750⨯⨯=（立方厘米）； 答：个孔明灯的容积是6750立方厘米．。
快速计算长方体和正方体的体积
快速计算长方体和正方体的体积长方体和正方体都属于几何学中的立体图形，计算它们的体积是数学中的基本常识之一。
本文将介绍如何快速准确地计算长方体和正方体的体积，以及一些相关的知识和方法。
1. 长方体的体积计算公式长方体是指具有三个不同的面都是长方形的立体图形。
计算长方体的体积最常用的公式是体积等于底面积乘以高度，即V = lwh，其中V表示体积，l表示长方体的长度，w表示宽度，h表示高度。
例如，假设一个长方体的长度为5厘米，宽度为3厘米，高度为2厘米，那么它的体积可以通过公式计算得到V = 5 * 3 * 2 = 30立方厘米。
2. 正方体的体积计算公式正方体是指具有六个相等的正方形面的立体图形。
计算正方体的体积同样采用底面积乘以高度的公式，即V = a³，其中V表示体积，a表示正方体的边长。
例如，假设一个正方体的边长为4厘米，那么它的体积可以通过公式计算得到V = 4³ = 64立方厘米。
3. 长方体和正方体的体积单位换算在实际计算中，我们经常需要将体积的单位进行换算。
常见的体积单位包括立方厘米、立方米、升等。
下面是一些常见的体积单位之间的换算关系：1立方米 = 1000立方厘米1升 = 1000立方厘米例如，如果一个长方体的体积为5000立方厘米，那么它的体积换算为V = 5000 / 1000 = 5立方米。
4. 快速计算技巧除了使用体积计算公式进行计算外，还有一些快速计算技巧可以帮助我们更迅速地得出结果。
对于长方体，我们可以通过观察和估算来得到近似的体积。
例如，假设一个长方体的长度为9厘米，宽度为4厘米，高度为5厘米，我们可以将这三个数字相乘得到V = 9 * 4 * 5 = 180立方厘米。
对于正方体，由于它的边长是相等的，我们只需要将边长的立方作为体积即可。
例如，当正方体的边长为6时，可以直接得到V = 6³ = 216立方厘米。
5. 应用示例下面是一些具体的应用示例，通过这些例子可以更好地理解和掌握如何计算长方体和正方体的体积。
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12 12 12 9 3 12 9 9 3 12 6 6 6 6
9
方厘米？
解答
60÷ 4=15（平方厘米） 15÷ 5=3（厘米） 3× 3×（5+3）=72（平方厘米） 答：原来长方体的体积是72 立方厘米。
3厘米 3厘米 5厘米
例3. 有甲，乙两个水箱，从里面测量，甲水箱长15分米，宽10分米，高8分米，
乙水箱长10分米，宽10分米，高9分米，甲水箱装满水，乙水箱空着，现将
解答
368-40× 2=288平方厘米 288÷ 36=8（厘米）
8厘米
V=40× 8=320（立方厘米） 答：这个长方体的体积是 320立方厘米。
40平方厘米
例2 .将一个长方体的长减小5厘米， 变成了正方体，正方体表面积比 原来长方体表面积减少了60平
5厘米
方厘米。原来长方体的体积是多
少立方厘米？
V=130×110×70=1001000立方厘米=1.001立方米
例6.有甲乙丙三种大小不同的正方体木块，其中甲的
棱长是乙的棱长的二分之一，乙的棱长是丙的棱长
的三分之二。如果用甲乙丙三种木块拼成一个尽可 能小的大正方体（每块至少用一块），那么最多需 要这三种木块共多少块？最少需要用这三种木块共 多少块？
甲水箱里的一部分水抽到乙水箱中，使两箱水水面高度一样，两个水箱的水 面高度是多少分米？
8厘米
9厘米
10厘米 15厘米 甲
10厘米 乙
10厘米
解答
甲水箱的体积=15× 10× 8=1200（立方分米）
1200÷（15× 10+10× 10）=4.8（分米）
答：两个水箱的水面高度是4.8分米。
9厘米
8厘米
例7. 在底面边长是60厘米的正方形的一
个长方体容器里，直立着一个长100厘
米，底面为边长15厘米的正方形的四 棱柱铁棍，这时容器里的水深为50厘 米，现在把铁棍轻轻地向正上方提起 24厘米，露出水面的四棱柱，浸湿部 分长多少厘米？
60厘米
高100厘米
60厘米
解答
方法一、15× 15× 24÷（60× 60-15× 15） =1.6厘米
4.8厘米 10厘米 15厘米 甲
4.8厘米 10厘米 乙
10厘米
例4. 一个长方体的长为12厘米，高为8厘米，前后两个面，上面 和侧面各一个面的面积之和是392平方厘米，求另外两个面积
是多少平方厘米？这个长方体的体积是多少立方厘米？
解答
（1）另外两个面积是:392-12× 8× 2=200（平方厘米）
解析
根据已知条件得知甲乙丙棱长之比是：甲：乙：丙=1:2:3
（1）最少：如果用棱长是3厘米的丙正方体拼成较大的正方体，至少
用8块，拿掉一块丙用乙和甲来补，需要乙1块，甲19块，共需要甲
+乙+ 丙=19+1+7=27块。 （2）最多用92块。如果拼成棱长是5厘米的正方体，用一块丙和一块 乙，需要甲=5× 5× 5-2× 2× 2-3× 3× 3=90（块）90+1+1=92（块）
24+1.6=25.6厘米
答：浸湿部分长25.6厘米。
解答
方法二、 解设：拔出24厘米后，浸在水里的部分为X厘米。 （60× 60-15× 15）X+60× 60× 24=（60× 60-15× 15）×50
3375X=82350
X=24.4 50-24.4=25.6（厘米） 答：露出水面的四棱柱，浸湿部分长25.6厘米。
第四讲长方体和正方体的体积
体积概念： 常用的体积单位： 长方体的体积公式： 正方体的体积公式： 长方体和正方体统一公式： 用字母表示： 容积概念： 容积单位：
体积和容积
典型例题精讲
例1. 一个长方体，表面积是368平方厘米，底面积是40平方厘 米，底面周长是36厘米，求这个长方体的体积。
40平方厘米
厘米。若每根编织绳加固时结头都是5厘米，则这个长方体包装箱
的体积是多少立方米？
（365-5）÷2=180厘米
解析
（405-5）÷2=200厘米
（485-5）÷2=240厘米 长+宽+高= (180+200+240)÷2=310厘米 长= 310-180=130厘米 宽=310-200=110厘米
高=310-240=70厘米
（2）200÷（12+8）=10（厘米） 体积=12× 10× 8=960（立方厘米） 答：另外两个面积是200平方厘米， 长方体的体积是960立方厘米。
2018/9/21
例5. 某工人用薄板钉成一个长方体的邮包包装箱，并用编织绳在三个 方向上加固，使用的编织绳长度分别为365厘米、405厘米、485