2015—2016学年第一学期《线性代数》期末考试卷(B卷)
线性代数试卷及答案3套
《线性代数》（A 卷 共四页）一.填空或选择填空(共30分,每小题3分)1.设],,,[A 432γγγα=,],,,[B 432γγγβ=,其中432,,,,γγγβα均为四维列向量. 已知4|A |=,1|B |=,则_____|B A |=+.2.设A 为)(m n m n >⨯矩阵,S 为n 阶可逆矩阵,且r r =)A (,)SA (r 1r =,则( ). A r r m >>1B m r r >>1C m r =1D r r =13.四维列向量组 T1]4,2,1,1[-=α,T2]2,1,3,0[=α,T3]14,7,0,3[=α,T 4]0,2,1,1[-=α的秩为_______,一个极大无关组为_____________.4.齐次线性方程组0=AX 有非零解的充分必要条件是( ). A A 的列向量组线性无关 B A 的行向量组线性无关 C A 的列向量组线性相关 D A 的行向量组线性相关5.设T1]0,2,1[=α,T2]1,0,1[=α都是三阶方阵A 的属于特征值12=λ的特征向量,而T]2,2,1[--=β,则______________=βA .6.设2=λ为可逆矩阵A 的一个特征值,则12A 31-⎪⎭⎫⎝⎛有一个特征值为_____=μ.78.下列矩阵中不与对角矩阵相似的是( ).A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡600540321B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡653542321C ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200020012D ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200010012 9.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001010100A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100010001B ,则A 与B ( ). A 合同但不相似 B 合同且相似 C 不合同但相似D 不合同且不相似10.设实二次型312322213212),,(x cx ax bx ax x x x f +++=,当( )时,该二次型为正定二次型.A 0,0>+>c b aB 0,0>>b aC 0|,|>>b c aD 0,||>>b c a 二.计算下列行列式(共12分,每小题6分)1.67412120603115124-----=D ；2.111122111n nn a a a a a a D ---=+(空白处元素全为0).三.计算(共20分,每小题10分) 1.设A 为可逆矩阵,且B AB A +=-1*.1) 求证B 为可逆矩阵；2) 当⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200620062A 时,求矩阵B . 2.求解如下线性方程组；若有无穷多解,请用其特解与导出组的基础解系联合表出通解.四.(18分)求一个正交替换SY X =,将如下实二次型化为标准形.32312123222132184422),,(x x x x x x x x x x x x f ++---=.五.(5分)求证秩为r 的实对称矩阵可以写成r 个秩为1的实对称矩阵之和.《线性代数》（B 卷）一.填空与选择(30分,每小题3分)1.设d a a a a a a a a a =333231232221131211,则=------333232213123222221211312121111432432432a a a a a a a a a a a a a a a ________.2.=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-10057002311003200______________________.3.设B A ,均为n 阶方阵,则有( ).A )B ()A ()B A (r r r +=+ B )B ()A ()AB (r r r =C )B ()A (B O O A r r r +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡D )B ()A (B O O A r r r =⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 4.设向量组4321,,,αααα线性无关,则14433221,,,αααααααα++++的秩为______.5.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----13222123a 与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡λ00020002相似,则=λ______,=a ______. 6.设33⨯A 的全体特征值为3,2,1-,则( )为可逆矩阵.A A E -B E A 2+C E A 2-DE A 3-7.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100110111A 为线性变换σ在基321,,:(I)ξξξ下的矩阵,则σ在基321211,,:(II)ξξξξξξ+++下的矩阵为=B _______________.8.设T ]2,1[是实对称矩阵A 的特征向量,且0|A |<,则( )也是A 的特征向量.A R ∈k k ,]2,1[T B R ∈-k k ,]1,2[T 非零 C R ∈-+21T2T 1,,]1,2[]2,1[k k k k 不全为零D R ∈-+21T2T 1,,]1,2[]2,1[k k k k 全不为零9.实二此型32312123222132182292),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=有标准形( ).A 23222192y y y ++ B 23222192y y y -+ C 23222192y y y -- D 2221y y +10.设B A ,均为n 阶正定矩阵,则( )不一定是正定矩阵.A B A + B BA AB + C ABA D ⎥⎦⎤⎢⎣⎡B O O A 二.(28分,前3小题各6分,第4小题10分)1.计算n 阶行列式(3≥n )0221202122011110 =n D .2.设n 阶方阵A 满足O E A A A =+--43223,求证E A 2-可逆,并求1)2(--E A .3.求向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=6211α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2102α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3013α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=4234α的一个极大无关组,并用该极大无关组线性表示向量组中其他向量.。
线性代数期末考试(B卷)及答案
北京师范大学XX 分校2007-2008学年第一学期期末考试（B 卷）开课单位： 应用数学系 课程名称： 线性代数 任课教师：__ __ 考试类型：_ 闭卷_ 考试时间：__120 __分钟 学院___________ 姓名___________ 学号______________ 班级____________试卷说明：（本试卷共4页，满分100分）------------------------------------------------------------------------------------------------------一、 填空（每空3分，共30分）1、行列式123345__0____567= 2、行列式sin cos cos sin _______+-=-1313113xxxx 3、设行列式 -5 11 1 31 0 2D =1，则______-+=21222350A A A4、设A ，B 均为三阶方阵且||,||A B ==45，则||______=20A B5、设A 为3阶方阵，且A =2，则A-=12 46、设矩阵A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12311102103，则A 的秩()R A = 37、已知3阶矩阵A 的伴随矩阵的行列式A *=9，则=A 38、向量组,,,αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1234111322023001线性相关还是无关 线性相关试卷装订线9、设向量()(),,,,,x αα==1232963线性相关，则___1____=x10、设5元方程组=0A x 的系数矩阵A 的秩为3，则其解向量的秩应为 2二、选择题（每小题3分，共15分）1、行列式13632196233418第2行第2列元素的代数余子式A =22（ D ）（A ）6； （B ）9； （C ）12； （D ）15。
大一线性代数期末考试试卷+答案
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。
（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。
（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=TA A （ ）。
① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，， 21中不含零向量3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。
线性代数与概率统计B卷
秋交通运输专升本《线性代数与概率统计》B 卷姓名： 成绩：一、填空题(20分，每空2分)1. 一个含有零向量的向量组必线性 。
2．设A 为n 阶方阵，且2A =，则1A -= ；2A = ；3．设2011A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则1A -= 。
4．若A 为正交矩阵，则1A -= 。
5．已知B A ,两个事件满足条件()()B A P AB P =，且()p A P =，则()=B P _________。
6．3个人独立破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为111,,543，则此密码被破译出的概率是 。
7．设两个随机变量X 和Y 相互独立，且同分布：()()1112P X P Y =-==-=，()()1112P X P Y ====，则()P X Y == 。
8．设随机变量X 的分布函数为：()0,0sin ,021,2x F x A x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，则=A 。
9．设12,,,n X X X 是取自总体),(2σμN 的样本，则统计量2211()n i i X μσ=-∑服从__________分布。
二、计算题(80分)1.（10分）已知1111121113A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求1A -及()1A -*。
2.(10分)已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=114011b a a A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100030003B 相似，求,a b 的值.3.(10分)计算行列式aa a a ++++43214321432143214．（10分）设三阶方阵A 有三个不同的特征值123,,λλλ，其对应的特征向量分别为123,,ααα，令123βααα=++，证明向量组β，A β， 2A β线性无关。
5．（10分）盒中放有10个乒乓球，其中有8个是新的。
第一次比赛从中任取2个来用，比赛后仍放回盒中。
第二次比赛时再从盒中取2个，求第二次取出的球都是新球的概率。
6．（10分）设随机变量X 和Y 独立同分布，且X 的分布律为：()()121,233P X P X ==== 求Y X Z +=的分布律。
中国农业大学2015-2016(秋)《线性代数》期末考试试题解析
2015~2016学年秋季学期《线性代数》课程考试试题解析一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在每题的空中）1．设123,,2a a a =，则1321223,43,a a a a a -+=．解析：132121312131231231212323,43,23,3,=323,,=33,,=9,,=9(1)(1),,18a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+=-------=-.注释本题知识点：行列式的性质（1）行列式的某一列乘以一个倍数加到另一列；（2）行列式的某一列提一个公因数；（3）行列式某两列互换.答案：-182.已知向量组1(1,2,3)Tα=,2(,2,3)Tk α=,3(1,,1)Tk α=，0k >，如果向量组123,,a a a 线性相关，则常数k =．解析：由123,,a a a 线性相关有，1122(1)(32)0331=--=k k k k 得21,3或k k ==.注释本题知识点：n 个n 维列向量组线性相关的充分必要条件是，由他们组成的行列式等于0.答案：21,3或k k ==,结果不唯一.3.已知三阶矩阵A 的特征值互不相同，且0=A ，又123,,ηηη是非齐次方程组=Ax b 的三个不同解向量，则方程组0=Ax 的通解为．解析：由1230=A λλλ=得特征值123,,λλλ至少有一个为0.由A 的特征值互不相同，得123,,λλλ中一个为0另两个不为0，所以由A 的秩为2.从而0=Ax 的基础解系含一个向量.由123,,ηηη是非齐次方程组=Ax b 的三个不同解向量，得1213--ηηηη，或为0=Ax的基础解系。
所以，方程组0=Ax 的通解为11221312()(),,k k k k --，或为任意实数ηηηη.注释本题知识点：（1）矩阵行列式的值等于它的所有特征值的乘积；（2）齐次线性方程组的基础解系所含向量的个数等于未知量的个数减去系数矩阵的秩；（3）非齐次方程组和齐次方程组解之间的关系.答案：11221312()(),,k k k k --，或为任意实数ηηηη.4．设1(1,0,1)T α=和2(0,1,0)T α=都是方阵A 对应于特征值3的特征向量.又(3,2,3)T β=，则A β=．解析：11223, 3A A αααα==.1232βαα=+12123296(9,6,9)T A A A βαααα=+=+=.注释本题知识点：（1）矩阵特征值、特征向量的定义；（2）把一个向量表示成其它向量的线性组合.答案：(9,6,9)T.5．若二次型123(,,)f x x x 222123122335224=---+-x x x ax x x x 为负定二次型，那么a 的取值范围是．解析：二次型的矩阵3052022-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭aA a .A 负定当且仅当-A 正定，当且仅当-A 的所有顺序主子式都大于0；当且仅当22150,90->->a a ，当且仅当33-<<a 或(3,3)∈-a .注释本题知识点：（1）二次型的矩阵；（2）矩阵正定与负定的关系；（3）矩阵正定的充分必要条件。
安徽理工大学14-18级线代试卷和答案
xi x j 的正定性。
i =1
1i jn
3. (16 分) 设二次型 f ( x1, x2, x3 ) = xT Ax = ax12 + 2x22 − 2x32 − 2bx1x3 (b 0) ，其中 A 的特征值之 和为 1，特征值之积为 −12 。(1) 求参数 a,b 的值；(2) 利用正交变换将二次型 f ( x1, x2, x3 ) 化 为标准形，并写出正交变换和标准形；(3) f ( x1, x2, x3 ) = 1 表示何种曲面？(重要)
)。 (D) P2P1−1
7. 设矩阵 A, B,C 均为 n 阶矩阵，若 AB = C ，且 B 可逆，则( )。
(A) C 的行向量组与 A 的行向量组等价 (B) C 的列向量组与 A 的列向量组等价
(C) C 的行向量组与 B 的行向量组等价 (D) C 的列向量组与 B 的列向量组等价
8. 不可对角化的矩阵的是( )。
⎛ 2 −2 2 1
=
⎜ ⎜
2
2 −2
1
⎜⎝ −2 2 2
⎛1 1
三、1. 解
B
=
⎜ ⎜ ⎜
0 0
1 −1
⎜
⎝3 2
⎞ ⎛1 0 0 1 4 1 4 0 ⎞
⎛1 1
⎟ ⎟
→
⎜ ⎜
0
1⎟⎠ ⎜⎝ 0
1 0
0 1
0 14
14 0
1
4
⎟ ⎟
，(6
分)
1 4⎟⎠
X
=
1 4
⎜ ⎜
0
⎜⎝ 1
1 0
1 1 0 ⎞ ⎛ 1 0 −1 −1 −1 ⎞
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大一线性代数期末考试试卷 答案.
⎪ 12．若齐次线性方程组 ⎨x + λx + x = 0 只有零解，则 λ 应满足 。
⎪x + x + x = 0 ⎩ 4．矩阵 A = a a ⎝ a ⎪ 的行向量组线性。
a ⎪⎭ （⎣00 1 0⎦。
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题 2 分，共 10 分）1 1. 若 0 - 1 - 3 52 1x = 0 ，则 χ = __________。
- 2⎧λx + x + x = 02 31 2 3 1 2 3⎛ a11 21 31 a ⎫ 12 ⎪22 325． n 阶方阵 A 满足 A 2 - 3 A - E = 0 ，则 A -1 = 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题 2 分，共 10 分）1. 若行列式 D 中每个元素都大于零，则 D 〉0 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
）3. 向量组 a ，a ， ，a 中，如果 a 与 a 对应的分量成比例，则向量组 a ，a ， ，a 线性相关。
12m1m 12s（）⎡0⎢14. A = ⎢⎢0 ⎢ 1 0 0⎤ 0 0 0⎥⎥0 0 1⎥⎥，则 A -1 = A 。
（ ）5. 若 λ 为可逆矩阵 A 的特征值，则 A -1 的特征值为 λ 。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题 2 分，共 10 分)1. 设 A 为 n 阶矩阵，且 A = 2 ，则 A A T = （）。
① 2 n②2 n -1③ 2 n +1④ 42. n 维向量组 α ，α ， ，α （3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ） 12s① α ，α ， ，α 中任意两个向量都线性无关12s② α ，α ， ，α 中存在一个向量不能用其余向量线性表示1 2s③ α ，α ， ，α 中任一个向量都不能用其余向量线性表示1 2s④ α ，α ， ，α 中不含零向量1 2s3. 下列命题中正确的是( )。
2015-2016-1线性代数 B卷参考答案
拟题学院（系）： 数理学院适用专业： 全校 2015-2016学年 1 学期 线性代数（必修）B 卷 试题标准答案（答案要注明各个要点的评分标准）一、填空题（每小题3分，共15分）1. -2M2.11B A --3.111,,336- 4. 0 5. 2k >二、选择题（每小题3分，共15分）1. C2. D3. A4. B5. B三、计算题(每小题10分，共20分)1.解：888811111511151181151115111151115==原式——————————————————————5分11110400851200400004==2. 解：()22AX B X A E X B =+⇒-=1112012,002A E ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ————————————3分()1111101001112,012102~010100,002202001101A E B ⎛⎫⎛--⎫⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭———————————— 8分所以111100101X --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
—————————————————————— 10分四、计算题(第1题10分，第2题15分，第3题15分，共40分)拟 题 人： 周红燕书写标准答案人： 周红燕1.解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=00000100000120011221~10000500000120011221~13600512000240011221~46063332422084211221),(b A ————————————8分3)(,2)(==B R A R 因此 ——————————————————10分2. 解：111111101152321130012263(,)01226300000054331200000B A b ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭————8分基础解系为123115226,,100010001ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，特解为23000η-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，—————————————13分通解为112233x k k k ξξξη=+++。
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上海财经大学浙江学院
《线性代数》期末考试卷（B 卷）
(2015—2016学年第一学期)
考试形式 闭卷 使用学生 2014级金融学、投资学、保险学等专业 考试时间 120分钟 出卷时间 2015年12月10日
说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。
答题时字迹要清晰。
姓名 学号 班级
一、 单项选择题(每题3分，共24分)
1、下列排列是5阶奇排列的是( )
A ．42315 B. 41325 C ．41532 D ．23451
2、设方阵,,A B C 满足AB AC =,当A 满足( )时，B C =。
A ．A
B BA = B. 0≠A
C ．方程组0AX =有非零解
D ．,B C 可逆
3、若31 3332312322
21131211
==a a a a a a a a a D ，则=--=32
3233312222232112121311133333 3a -a a a a a a a a a a a D ( ). A ．1 B.-1 C ．9 D ．-9
4、设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵,则( ).
A ．1*-=A A
B ．A A =*
C ．1*+=n A A
D ．1*-=n A
A 5、如果2021001123001010456010100789100A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，则=A ( ).
A ．123456789⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
B ．789456123⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
C ．321654987⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
D ．456123789⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
6、设矩阵21043003120005700000A --⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，则A 秩为()r A =( ). A ．1； B. 2； C ．3； D ．4.
7、设A 为n 阶方阵，且行列式0||≠A ，则( ).
A ．A 是奇异矩阵；
B ．A 是降秩矩阵；
C ．A 是可逆矩阵；
D ．以上A 、B 、C 都不对
8、设A 是m n ⨯矩阵，则线性方程组AX b =有无穷解的充要条件是( ).
A ．()r A m <
B ．()r A n <
C ．()r A n =
D ．()r A m =
二、 填空题(每题3分，共18分)
9、在五阶行列式中项5324154132a a a a a 所带的符号是__________.(请填写“正”或“负”)
10、设3521
1105||1313
2413
ij D a --==----，D 代数余子式记作ij A ，则12A =__________. 11、设A 为3阶方阵,行列式2=A ,则行列式=T A )2(__________.
12、设123041101A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，043120531B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
，则2A B +=__________. 13、n 维单位向量组一定线性_________.(填写“相关”或“无关”)
14、若线性方程组m n A X b ⨯=的系数矩阵的秩为m ，则其增广矩阵的秩为 .
三、 计算题(每题8分，共40分)
15、计算行列式1
11001111
1011011
D =的值. 16、计算n 阶行列式1222
22222
22232
2222122222n D n n
=-
.
17、设方阵11002
1101A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
.判断A 是否可逆？若可逆，求*1A A 和- 18、设[][][],,3,1,3,2,1,1,1,1321T
T T t ===ααα 问当t 取何值时,321,,ααα线性相关? 19、λ取何值时，非齐次线性方程组
123212312
3424x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩
（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解.
四、 综合题(每题9分，共18分)
20、设()ij A a =为4阶方阵，()3r A =，123,,ηηη是非齐次方程组AX b =的三个解，且1(1,2,3,4)T η=，23(1,2,2,1)T ηη+=，求AX b =的通解.
21、一个饮食专家计划一份膳食，提供一定量的维生素C 、钙和镁。
其中用到3种食物. 这些食品提供的。