曲线的参数方程和与普通方程的互化

例1 如图,已知点P是圆O:x2+y2=4上的一个动点 ,点A(6,0).
当点P在圆上运动时,求线段PA中点M的轨迹方程， 并说明点M的轨迹图形是什么？
解： 取xOP , 则圆的参数方程为：
x 2 cos , (为参数） y 2 sin . 设点M的坐标为（x, y),则点P的坐标
的实质是三角代换.
抛物线的参数方程
y
M(x，y)
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
x=2pt2 , (t为参数，t R
1 其中参数t= ( 0),当 =0时，t=0. tan 几何意义为： 抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
通过代入消元法消去参数t ,
可得普通方程y=2x-4 （x≥0）。
注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范 围保持一致。否则，互化就是不等价的.
例3、把下列参数方程化为普通方程， 并说明它们各表示什么曲线？
x= t 1 (1) (t为参数) y 1 2 t
步骤：（1）消参； （2）注意取值范围。
(3)
y=t2+1/t2
（1）（x-2）2+y2=9 （2）y=1- 2x2（- 1≤x≤1） （3）x2- y=2（X≥2或x≤- 2）
（2）普通方程化为参数方程需要引入参数。
如：①直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程
x t, （t为参数） y 2t 2.

为（2 cos ,2 sin ） ,由中点公式可得：
x 2 cos 6 2 sin cos 3, y sin 2 2
所以，点M的轨迹的参数方程是
x cos 3, （为参数） 它表示（3,0）为圆心，1为半径的圆 y sin .
注意：轨迹是指点运动所成的图形； 轨迹方程是指表示动点所成图形所满足的代数等式。
x2 y2 1 上的一个动点 ,点B(6,2). 变式 P是椭圆: 16 4
当点P在椭圆上运动时,求线段PB中点M的轨迹参数方程，
解： 椭圆的参数方程为：
x 4 cos , (为参数） y 2 sin . 设点M的坐标为（x, y),则点P的坐标
为（4 cos ,2 sin ） ,由中点公式可得：
x 4 cos 6 2 sin 2 2 cos 3, y sin 1 2 2
所以，点M的轨迹的参数方程是
x 2 cos 3, （为参数） y sin 1.
它所表示的图形是以（3,1）为中心的椭圆。
3 1 2 2 sin( ) 4 当 sin( ) 1时， ( x y ) min 3 1 2 2
4

说明：本例说明了圆的参数方程在求最值时的应用；
x y 变式：M是椭圆 1上一点， 9 4 求M到直线x+2y-10=0的最小距离。
2
2
双曲线的参数方程
中心在C ( x0 , y0 )的椭圆的 x x0 a cos 参数方程是 y y0 b sin
圆的参数方程
x =a+rcosθ y =b+rsinθ
椭圆的参数方程：
(θ为参数)
x a cos （为参数） y b sin
应用：(1)参数方程可以用来求轨迹问题. (2)参数方程可以用来求最值.
第二讲
参 数 方 程
一、曲线的参数方程
1、参数方程的概念
（1）在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的 坐标x 、y都是某个变数t的函数，即
x f (t ) y g (t )
叫做曲线的参数方程 ，t为参数。
（2） 相对于参数方程来说，直接给出点的坐标关 系的方程叫做曲线的普通方程。
y x 根据三角函数的定义得 sin ,cos . r r

x r cos , y r sin .
(1)
P(r cos , r sin ).
我们把方程组(1)叫做圆心为原点、半径为r的圆的参数方程。 其中参数θ表示OP0到OP所成旋转角， 0 2 。
x 3t 例1、已知曲线C的参数方程是 ( t 为参数） 2 y 2 t 1 （）判断点 1 M 1 (0， 1), M（ 2 5, 4）与曲线C的位置关系；
（2）已知点M（ 3 6，a )在曲线上，求a的值。
2、圆的参数方程
探求：圆的参数方程
如图,设⊙O的圆心在原点,半径是r.与x 轴正半轴的交 点为P0 ,圆上任取一点P,若OP0 按逆时针方向旋转到OP位置 所形成的角∠P0 OP =θ ,求P点的坐标。 解: 设P（x,y）, ∵点P在∠P0OP的终边上,
圆心为(a,b)、半径为r的圆的参数方程为
x =a+rcosθ y =b+rsinθ
(θ为参数)
1.写出下列圆的参数方程: x = 3cosθ
y = 3sinθ (1)圆心在原点,半径为 3:______________;
x =-2+cosθ (2)圆心为(-2,-3),半径为1: ______________. y =-3+sinθ x =5cosθ+1 2.若圆的参数方程为 , 则其标准 y =5sinθ-1 方程为:_________________. (x-1)2+(y+1)2=25 3.已知圆的方程是x2+y2-2x+6y+6=0,则它的 x =1+2cosθ 参数方程为_______________. y =-3+2sinθ
x2 y2 - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为： 2 a b x a sec (为参数) y b tan
说明：
双曲线的参数方程可以由方程
sec2 1 tan 2 相比较而得到，所以双曲线的参数方程
x2 y 2 2 1 与三角恒等式 2 a b
1、曲线的参数方程；
结
(θ为参数)
2、圆的参数方程； x =a+rcosθ y =b+rsinθ
3、曲线的参数方程与普通方程的互化：
引入参数 普通方程 消去参数 参数方程
第二讲
参 数 方 程
二、圆锥曲线的参数方程
圆的参数方程
x2+y2=r2
x r cos （ 为参数） y r sin
例2 已知点P(x,y)是圆 x2 y 2 2x 2
x+y的最小值。
3 y 0 上的一个动点,求:
解：圆x 2 y 2 2 x 2 3 y 0可化为 （x 1) 2 ( y 3 ) 2 4 x 1 2 cos , 其参数方程为 (为参数） y 3 2 sin . 则P（ 1 2 cos，3 2 sin ） x y 1 2 cos 3 2 sin
2、曲线y=x2的一种参数方程是（D）.
2 x t x t x sin t x t A、 C、 D、 4 B、 2 2 y sin t y t y t y t
分析: 在y=x2中，x∈R, y≥0，在A、B、C中，x,y的范围都
2 2
( x a ) ( y b) r
2
x a r cos （ 为参数） y b r sin
指出下列参数方程表示什么曲线： x 1 4 cos t （ 1） (t为参数） y 2 4sin t
x 5cos t （2） (t为参数） y 3sin t
x 即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t= . y
发生了变化，因而与 y=x2不等价； 而在Ｄ中，
x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，
x t 且以 2 y t
代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.
注意： 在参数方程与普通方程的互化中，必须 使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是 不等价的.
小
为参数。
x 3 1 t2 x －3 1 t 2 （2）参数方程是 和 y 2t y 2t
练习 1.化下列参数方程为普通 方程 x t 1 （ 1 ） y 1 2 t x sin t (3) 2 y sin t 1 x t (5) t y 2 x t (2) 2 y t 1 t t x (e e ) 2 (4) y 1 (e t e t ) 2
x 1 3 cos (3) ( 为参数） y 2 5 sin
椭圆的参数方程：
x y x轴： 1 , 2 2 a b x y y轴： 1, 2 2 b a
2 2
2
2
x a cos y b sin x b cos y a sin
x＝3t＋2， (2)参数方程 y＝t－1 (t 为参数)
x= sin cos (3) ( 为参数). y 1 sin 2
例、将下列参数方程化为普通方程：
(1)
x 2 3 cos y 3 sin
x=t+1/t
(2)
x sin y cos 2
②在普通方程x2+y2=1中，令x = cos,可以化为参数方程
x cos , （为参数） y sin .
x y 1的参数方程。 例4 求椭圆 9 4
2
2
(1)设x=3cos，为参数；
(2)设y=2t，t为参数.