大学物理习题十答案

10-1 质量为10×10－3 kg 的小球与轻弹簧组成的系统，按
20.1cos(8)3x t ππ=+
(SI)的规律做谐振动，求： (1)振动的周期、振幅、初位相及速度与加速度的最大值；
(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等？
(3)t2＝5 s 与t1＝1 s 两个时刻的位相差.
解：(1)设谐振动的标准方程为)cos(0φω+=t A x ，则知：
3/2,s 412,8,m 1.00πφωππω===∴==T A
又 πω8.0==A v m 1s m -⋅ 51.2=1s m -⋅
2.632==A a m ω2s m -⋅
(2) N 63.0==m m a F
J 1016.32122-⨯==
m mv E J 1058.1212-⨯===E E E k p 当p k E E =时，有p E E 2=，
即 )21(212122kA kx ⋅=
∴ m 20222±=±
=A x
(3) ππωφ32)15(8)(12=-=-=∆t t
10-2 一个沿x 轴做简谐振动的弹簧振子，振幅为A ，周期为T ，其振动方程用余弦函数表出.如果t ＝0时质点的状态分别是：
(1)x0＝－A ；
(2)过平衡位置向正向运动；
(3)过
2A
x =
处向负向运动； (4)
过x =处向正向运动. 试求出相应的初位相，并写出振动方程.
解：因为 ⎩⎨⎧-==0000sin cos φωφA v A x
将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有
)2cos(1πππ
φ+==t T A x )232cos(232πππ
φ+==t T A x )32cos(33πππ
φ+==t T A x
)452cos(454πππφ+==t T A x
10-3 一质量为10×10－3 kg 的物体做谐振动，振幅为24 cm ，周期为4.0 s ，当t ＝0时位移为＋24 cm.求：
(1)t ＝0.5 s 时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向；
(2)由起始位置运动到x ＝12 cm 处所需的最短时间；
(3)在x ＝12 cm 处物体的总能量.
解：由题已知 s 0.4,m 10242=⨯=-T A ∴ 1
s rad 5.02-⋅==
ππωT
又，0=t 时，0,00=∴+=φA x
故振动方程为
m )5.0cos(10242t x π-⨯=
(1)将s 5.0=t 代入得
0.17m m )5.0cos(102425.0=⨯=-t x π
N 102.417.0)2(10103232--⨯-=⨯⨯⨯-=-=-=π
ωx
m ma F
方向指向坐标原点，即沿x 轴负向． (2)由题知，0=t 时，00
=φ， t t =时 3,0,20πφ=<+=t v A x 故且
∴ s 322/3==∆=
ππωφt
(3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为
J 101.7)24.0()2
(1010212
12142
232
22--⨯=⨯⨯⨯===πωA m kA E
10-4 题10-4图为两个谐振动的x －t 曲线，试分别写出其谐振动方程.
题10-4图
解：由题10-4图(a)，∵0=t 时，s 2,cm 10,,23,0,0000===∴>=T A v x 又πφ
即 1
s rad 2-⋅==
ππωT
故 m )23cos(1.0ππ+=t x a
由题10-4图(b)∵0=t 时，
35,0,2000πφ=∴>=v A x 01=t 时，22,0,0111π
πφ+=∴<=v x
又 π
πωφ2535
11=+⨯= ∴ πω65
=
故 m t x b )3565cos(1.0ππ+=
11-4 已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为y ＝Acos (Bt －Cx)，其中A ，B ，C 为正值恒量.求：
(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长；
(2)写出传播方向上距离波源为l 处一点的振动方程；
(3)任一时刻，在波的传播方向上相距为d 的两点的位相差.
解: (1)已知平面简谐波的波动方程
)cos(Cx Bt A y -= (0≥x )
将上式与波动方程的标准形式
)
22cos(λπ
πυx t A y -= 比较，可知： 波振幅为A ，频率πυ2B =， 波长C πλ2=，波速C B u ==λυ， 波动周期B T π
υ
21==． (2)将l x =代入波动方程即可得到该点的振动方程
)cos(Cl Bt A y -=
(3)因任一时刻t 同一波线上两点之间的位相差为
)(212x x -=
∆λπφ 将d x x =-12，及C πλ2=代入上式，即得
Cd =∆φ．
11-5 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y ＝0.05cos(10πt －4πx)，式中x ，y 以m 计，t 以s 计.求：
(1)波的波速、频率和波长；
(2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；
(3)求x ＝0.2 m 处质点在t ＝1 s 时的位相，它是原点在哪一时刻的位相？这一位相所代表的运动状态在t ＝1.25 s 时刻到达哪一点？
解: (1)将题给方程与标准式
)22cos(x t A y λππυ-
= 相比，得振幅05.0=A m ，频率5=υ1-s ，波长5.0=λm ，波速5.2==λυu 1s m -⋅．
(2)绳上各点的最大振速，最大加速度分别为
ππω5.005.010max =⨯==A v 1s m -⋅
222max 505.0)10(ππω=⨯==A a 2s m -⋅
(3)2.0=x m 处的振动比原点落后的时间为
08.05
.22.0==u x s 故2.0=x m ,1=t s 时的位相就是原点(0=x )，在92.008.010=-=t s 时的位相，
即 2.9=φπ．
设这一位相所代表的运动状态在25.1=t s 时刻到达x 点，则
825.0)0.125.1(5.22.0)(11=-+=-+=t t u x x m。