完全层次结构模型
数学建模——层次分析法
在大石头中的重量比）可用向量
且
n
w ( w1 , w2 ,..., wn
T 表示， )
. 显然， 的各个列向量与 w 1 A i
i 1
w
仅相差一个比例
因子。 一般地，如果一个正互反阵
A
满足 （8.2.4）
aij a jk aik , i, j, k 1, 2,..., n
则
3 计算权向量并做一致性检验
定理1
当
n 阶正互反阵 A的最大特征根 n，
时
当且仅
A为一致阵。 由于 连续的依赖于 aii ，则 比 n 大的越多， 的不 A
n
一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因
素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引 起的判断误差越大。因而可以用
RI。方法为：
A1 , A2 ,, A500
2.则可得一致性指标 ： CI1 , CI 2 ,CI500
CI1 CI 2 CI500 RI 500
n RI
1 2 500 n 500 n 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
aii 1 ，如用 C1 , C2 ,..., Cn
2 构造成对比较矩阵
2.比较尺度 • 当比较两个可能具有不同性质的因素 Ci 和 C j 对于一个上层 因素 O 的影响时，Saaty提出用1—9尺度（见下表），即aij 的取值范围是1,2,,9 ，及其互反数1,1/ 2,,1/ 9 。其理由 如下：
重，景色次之，居住条件再次。 问题1.怎样由成对比较阵确定诸因素 C , C ,..., C 对上层因 1 2 n 素
层次分析模型(数学建模)
第k层nk个元素对于第k-1层上第j个元素为 准则的单排序向量 uj(k)=(u1j(k)，u2j(k)，…，un j(k))T j=1，2，…nk-1 其中不受第j个元素支配的元素权重取零，
于是可得到nk×nk-1阶矩阵
u (k ) u21 = ( ) unk1 k
(k ) 11
1 A = ( aij ) n×n , aij > 0, a ji = aij
1/ 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 5 4 7 1 2 3 3 5 1/ 2 1 1
3 成对比较阵 5 A~成对比较阵 1 / 3 是正互反阵 A是正互反阵 1 1
要由A确定 要由 确定C1,… , Cn对O的权向量 确定 的权向量
1. 正互反阵的最大特征根和特征向量的性质 正互反矩阵A 是正单根， 正互反矩阵 的最大特征根λ是正单根， Ak e T 对应正特征向量w， 对应正特征向量 ， lim T k = w, e = (1,1, L ,1) k →∞ e A e 定理1 定理1 正互反阵的最大特征根是正数， 正互反阵的最大特征根是正数， 特征向量是正向量。 特征向量是正向量。 定理2 定理2 n阶正互反阵 的最大特征根λ ≥ n , 阶正互反阵A的最大特征根 λ= n是A为一致阵的充要条件。 为一致阵的充要条件。 是 为一致阵的充要条件 一致性指标 CI =
“选择旅游地”思维过程的归 选择旅游地” 选择旅游地 纳 • 将决策问题分为 个层次：目标层 ，准则层 ， 将决策问题分为3个层次 目标层O，准则层C， 个层次： 方案层P；每层有若干元素， 方案层 ；每层有若干元素， 各层元素间的关系 用相连的直线表示。 用相连的直线表示。 • 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方 通过相互比较确定各准则对目标的权重， 案对每一准则的权重。 案对每一准则的权重。 • 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的 将上述两组权重进行综合， 权重。 权重。 层次分析法将定性分析与定量分析结合起来 完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。 完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。
层次分析法(AHP)建模
新余高等专科学校 数学建模教练组 2005-
6
Mathematical Contest in Modeling
层次分析法
3
计算权向量并做一致性检验
什么是权重(权系数)? 在决策问题中，通常要把变量Z表成变量x1,x2, … , xn的线性组合:
z w1x1 w2 x2 wn xn
n
其中 wi 0, wi 1 w1, w2 ,...., w则n
1 例: A 1/ 2
2 1
6 4
列向量 归一化
0.6 0.3
0.615 0.308
0.545 0.364
按行求和
1.760 0.972
1/ 6 1/ 4 1
0.1 0.077 0.091
0.268
, 即为
归一化
0.587 0.324 w
0.089
1.769 Aw 0.974
0.268
1 (1.769 0.974 0.268) 3.009
比较因素的权向量,其不一致程度应在容许的范围内.如何确定这个范围?
Mathematical Contest in Modeling 第5讲: 层次分析法(AHP)建模
层次分析法基本简介 层次分析法的基本步骤
1. 建立层次结构模型 2. 构造成对比较阵(判断矩阵) 3. 计算权向量并做一致性检验 4. 计算组合权向量并做组合一致性检验
不完全层次结构模型
新余高等专科学校 数学建模教练组 (设计制作: syllen
权重(权系数)?
a. 将A的每一列向量归一化得 w~ij aij / n aij
w~ b. 对 ij
按行求和得w~i n w~ij
j 1
i 1
完全层次结构模型
层次分析模型一、层次分析法讲解在现实世界中，往往会遇到决策的问题，比如如何选择旅游景点的问题，选择升学志愿的问题等等。
在决策者作出最后的决定以前，他必须考虑很多方面的因素或者判断准则，最终通过这些准则作出选择。
比如下面的问题：例1 选择旅游地国庆节即将来临，张鶇一家准备去旅游，他们想从黄山、桂林、北戴河三个旅游景点选出一个，请帮助他们作出最佳选择。
根据什么作出选择呢？为解决这个问题，我们需要作问题的分析，以便得到选择景点要考虑的因素.问题的分析：景点的选择大体上有两方面要考虑：1、是旅游者自身的情况；2、是对景点的评价。
首先分析旅游者的情况：如果经济条件宽绰、醉心旅游，自然特别看重景色条件，那么景色在他的心目中的比重就大。
如果平素俭朴，则会优先考虑费用，即费用的比重就大.中老年旅游者还会对居住条件，旅游条件，饮食比较关注。
因此，应该考虑景色、费用、居住、饮食、旅途条件等因素在张鶇一家心目中的重要程度.如何衡量这五个因素的重要程度呢？其次，如何评价景点呢？自然应该就上面的五个因素景色、费用、居住、饮食、旅途条件对景点进行评价。
最后，还要把旅游者的情况和对景点的评价进行综合，以便选定最佳的旅游景点.可是如何综合呢？下面我们用层次分析法解决上面提出的问题。
层次分析法的第一步：建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立，把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。
大体可以分成三个层次：（1）最高层（目标层）：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果；（2）中间层（准则层）：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它还可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则；（3）最低层（方案层）：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等。
就本例题而言，通过上面的分析，我们可以建立如下层次模型：层次分析法的第二步：构造成对比较矩阵建立好层次后，就可以进行各因素之间的比较了.首先考虑对于选择旅游地而言，景色、费用、居住、饮食、旅途条件等准则在张鶇一家心目中的影响，即：对于第一层目标来说，第二层各因素的权重。
逻辑数据模型之层次数据模型、网状数据模型和关系数据模型（转）
逻辑数据模型之层次数据模型、⽹状数据模型和关系数据模型（转） 上⼀篇⽂章简单介绍了概念数据模型、逻辑数据模型、物理数据模型的基本概念、特性以及三者所对应的数据库的开发阶段。
现在针对逻辑数据模型中所⽤到的三种数据模型---层次数据模型、⽹状数据模型以及关系数据模型做⼀个相信的介绍与对⽐分析。
⼀、层次数据模型 定义：层次数据模型是⽤树状<层次>结构来表⽰实体类型和实体间联系的数据模型。
(来⾃百度百科) 其实层次数据模型就是的图形表⽰就是⼀个倒⽴⽣长的树，由基本数据结构中的树（或者⼆叉树）的定义可知，每棵树都有且仅有⼀个根节点，其余的节点都是⾮根节点。
每个节点表⽰⼀个记录类型对应与实体的概念，记录类型的各个字段对应实体的各个属性。
各个记录类型及其字段都必须记录。
特征:树的性质决定了树状数据模型的特征 1. 整个模型中有且仅有⼀个节点没有⽗节点，其余的节点必须有且仅有⼀个⽗节点，但是所有的节点都可以不存在⼦节点； 2. 所有的⼦节点不能脱离⽗节点⽽单独存在，也就是说如果要删除⽗节点，那么⽗节点下⾯的所有⼦节点都要同时删除，但是可以单独删除⼀些叶⼦节点； 3. 每个记录类型有且仅有⼀条从⽗节点通向⾃⾝的路径； 实例： 如图1，以学校某个系的组织结构为例，说明层次数据模型的结构。
1. 记录类型系是根节点，其属性为系编号和系名； 2. 记录类型教研室和学⽣分别构成了记录类型系的⼦节点，教研室的属性有教研室编号和教研室姓名，学⽣的属性分别是学号、姓名和成绩；3. 记录类型教师是教研室这⼀实体的⼦节点，其属性由教师的编号，教师的姓名，教师的研究⽅向。
优点： 1. 层次数据模型的结构简单、清晰、明朗，很容易看到各个实体之间的联系； 2. 操作层次数据类型的数据库语句⽐较简单，只需要⼏条语句就可以完成数据库的操作；（百度百科） 3. 查询效率较⾼，在层次数据模型中，节点的有向边表⽰了节点之间的联系，在DBMS中如果有向边借助指针实现，那么依据路径很容易找到待查的记录； 4. 层次数据模型提供了较好的数据完整性⽀持，正如上所说，如果要删除⽗节点，那么其下的所有⼦节点都要同时删除；如图1，如果想要删除教研室，则其下的所有教师都要删除； 缺点： 1. 层次数据模型只能表⽰实体之间的1:n的关系，不能表⽰m:n的复杂关系，因此现实世界中的很多模型不能通过该模型⽅便的表⽰； 2. 查询节点的时候必须知道其双亲节点的，因此限制了对数据库存取路径的控制；图 1. 院系⼈员组成结构图 ⼆、⽹状数据模型 定义：⽤有向图表⽰实体和实体之间的联系的数据结构模型称为⽹状数据模型。
数据模型及组成要素
数据模型及组成要素数据模型是描述数据结构、数据操作、数据约束和数据语义的一种抽象表示。
它定义了如何组织、存储和操作数据，以及数据之间的关系。
在计算机科学领域，常见的数据模型包括层次模型、网络模型、关系模型和对象模型等。
一、层次模型层次模型是最早出现的数据库模型之一，它将数据组织成一个树形结构。
在层次模型中，每个节点都可以有多个子节点，但只能有一个父节点。
这种父子关系反映了实际世界中的“一对多”关系。
1.1 节点在层次模型中，每个节点代表一个实体或记录。
节点可以包含属性，用于存储实体的相关信息。
在一个学生信息管理系统中，每个学生可以被表示为一个节点，包含姓名、年龄、性别等属性。
1.2 关系在层次模型中，父子节点之间通过关系连接起来。
父节点与其子节点之间存在着“一对多”的关系。
在学生信息管理系统中，每个班级可以被表示为一个父节点，而每个学生则是该班级的子节点。
1.3 根节点在层次模型中，根节点是位于最顶层的节点，并且没有父节点。
根节点代表了整个数据结构的起点。
在学生信息管理系统中，根节点可以表示整个学校，而每个班级则是根节点的子节点。
1.4 子节点在层次模型中，子节点是位于父节点下方的节点。
一个父节点可以有多个子节点，但每个子节点只能有一个父节点。
在学生信息管理系统中，每个班级可以有多个学生作为其子节点。
1.5 属性在层次模型中，属性是存储在每个节点中的数据项。
它们用于描述实体或记录的特征和属性。
在学生信息管理系统中，姓名、年龄、性别等都可以作为学生节点的属性。
二、网络模型网络模型是对层次模型的扩展和改进，它引入了更灵活的关系定义和多对多关系。
网络模型通过使用指针来建立不同实体之间的连接。
2.1 实体集在网络模型中，实体集是具有相同结构和属性的一组实体。
每个实体集都有一个唯一标识符，并且可以包含其他实体集作为其成员。
2.2 关系类型在网络模型中，关系类型定义了不同实体集之间的连接方式。
关系类型描述了一个实体与其他实体之间的联系，并定义了该联系所包含的属性。
层次分析模型介绍
层次分析模型介绍
§ 1.2 层次分析法的基本原理和步骤
运用层次分析法解决问题，大体可以分为 四个步骤：
1. 建立问题的递阶层次结构； 2. 构造两两比较判断矩阵； 3. 由判断矩阵计算被比较元素相对权重； 4. 计算各层次元素的组合权重。
层次分析模型介绍
§ 1.2.2 构造两两比较判断矩阵
在建立递阶层次结构以后，上下层次之间元 素的隶属关系就被确定了。假定上一层次的元素 Ck 作为准则，对下一层次的元素 A1, …, An 有支配 关系，我们的目的是在准则 Ck 之下按它们相对重 要性赋予 A1, …, An 相应的权重。
层次分析法
层次分析模型介绍
第一讲 层次分析法
层次分析模型介绍
§ 1.1 引言与引例
层次分析法（Analytic Hierarchy Process， 简称 AHP）是美国运筹学家 T. L. Saaty 教授于 上世纪 70 年代初期提出的一种简便、灵活而又 实用的多准则决策方法。
层次分析模型介绍
人们在进行社会的、经济的以及科学管理 领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由 相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而 往往缺少定量数据的系统。
在这样的系统中，人们感兴趣的问题之一 是：就 n 个不同事物所共有的某一性质而言， 应该怎样对任一事物的所给性质表现出来的程 度（排序权重）赋值，使得这些数值能客观地 反映不同事物之间在该性质上的差异？
其中 x1 = 写作水平，x2 = 外语程度， x3 = 公关能力，x4 = 国内外政治经济时事， x5 =计算机操作知识，x6 = 容貌与风度， x7 = 体形高矮与肥瘦，x8 = 音色。
层次分析法
对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵
A， Saaty等人建议用对应于最大特征根
的特征向量作为权向量w ，即
但允许范围是 多大？如何界 定？
Aw w
3. 层次单排序及其一致性检验
对应于判断矩阵最大特征根λmax的特征向量，经 归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为W。
层次分析法应用实例
某单位拟从3名干部中选拔一名领导，选拔的标准 有政策水平、工作作风、业务知识、口才、写作能力 和健康状况。下面用AHP方法对3人综合评估、量化 排序。
⑴建立层次结构模型
目标层
选一领导干部
准则层
健业 康务 状知 况识
写口政工
作才 策作
能
水作
力
平风
方案层
P1
P2
P3
⑵构造成对比较矩阵及 层次单排序
层次分析法(AHP法)建模
• 决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选 择某一种方案。日常生活中有许多决策问题。举例
• 1. 在海尔、新飞、容声和雪花四个牌号的电冰 箱中选购一种。要考虑品牌的信誉、冰箱的功能、 价格和耗电量。
• 2. 在泰山、杭州和承德三处选择一个旅游点。 要考虑景点的景色、居住的环境、饮食的特色、交 通便利和旅游的费用。
心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个，即每层 不要超过9个因素。
判断矩阵元素aij的标度方法
标度 1 3 5 7 9
2，4，6，8 倒数
含义 表示两个因素相比，具有同样重要性 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要
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层次分析模型一、层次分析法讲解在现实世界中，往往会遇到决策的问题，比如如何选择旅游景点的问题，选择升学志愿的问题等等。
在决策者作出最后的决定以前，他必须考虑很多方面的因素或者判断准则，最终通过这些准则作出选择。
比如下面的问题：例1 选择旅游地国庆节即将来临，张鶇一家准备去旅游，他们想从黄山、桂林、北戴河三个旅游景点选出一个，请帮助他们作出最佳选择。
根据什么作出选择呢？为解决这个问题，我们需要作问题的分析，以便得到选择景点要考虑的因素.问题的分析：景点的选择大体上有两方面要考虑：1、是旅游者自身的情况；2、是对景点的评价。
首先分析旅游者的情况：如果经济条件宽绰、醉心旅游，自然特别看重景色条件，那么景色在他的心目中的比重就大。
如果平素俭朴，则会优先考虑费用，即费用的比重就大.中老年旅游者还会对居住条件，旅游条件，饮食比较关注。
因此，应该考虑景色、费用、居住、饮食、旅途条件等因素在张鶇一家心目中的重要程度.如何衡量这五个因素的重要程度呢？其次，如何评价景点呢？自然应该就上面的五个因素景色、费用、居住、饮食、旅途条件对景点进行评价。
最后，还要把旅游者的情况和对景点的评价进行综合，以便选定最佳的旅游景点.可是如何综合呢？下面我们用层次分析法解决上面提出的问题。
层次分析法的第一步：建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立，把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。
大体可以分成三个层次：（1）最高层（目标层）：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果；（2）中间层（准则层）：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它还可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则；（3）最低层（方案层）：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等。
就本例题而言，通过上面的分析，我们可以建立如下层次模型：层次分析法的第二步：构造成对比较矩阵建立好层次后，就可以进行各因素之间的比较了.首先考虑对于选择旅游地而言，景色、费用、居住、饮食、旅途条件等准则在张鶇一家心目中的影响，即：对于第一层目标来说，第二层各因素的权重。
由于没有一个绝对的标准来衡量这五个准则的影响，因此层次分析法采用通过相互比较确定各准则对目标的影响(权重)。
具体做法是：通过与张鶇一家交谈，让他们用表一的尺度衡量这五个景色相互之间的重要性：表 一 比较尺度的取值方法i j C C 相等 稍微重要明显重要强烈重要极端重要尺度ij a13579注：如果对i j C C 的判断介于上述相邻判断之间，则ij a 的取值分别为2，4，6，8。
他们在这五个准则之间做了比较：12a =景色的重要性C 1：费用的重要性C 2=1：2 13a =景色的重要性C 1：居住条件的重要性C 3=4：1 14a =景色的重要性C 1 ：饮食的重要性C 4=3：115a =景色的重要性C 1 ：旅途条件的重要性C 5=3：1 ...其余数据如下：23a =C 2 : C 3=7 : 1 24a =C 2 : C 4=5 : 1 25a =C 2 : C 5=5 : 1 34a =C 3 : C 4=1 : 2 35a =C 3 : C 5=1 : 3 45a =C 4 : C 5=9 : 1 1ij jia a =（i j >） 1ii a =由此可得到矩阵：1143322175511111()4723112153511131355ij A a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭称之为成对比较矩阵（或判断矩阵），是第二层各准则对第一层的比较矩阵。
仿照准则层对目标层构造成对比较矩阵，我们可以构造方案层对准则层的成对比较矩阵：即对准则层的每个因素，将旅游景点进行比较。
方案层对C 1(景色)的成对比较矩阵：1C2C 3C 4C 5C1C 3C 4C5C2C11251/2121/51/21B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭方案层对C2(费用)的成对比较矩阵211/31/8311/3831B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭方案层对C3(居住)的成对比较矩阵3P 1P2P 3P 1P2P 3P1P 2P 3P 1P 2P3P1P2P 3P1P 2P31131131/31/31B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭方案层对C4(饮食)的成对比较矩阵41341/3111/411B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭方案层对C5(旅途)的成对比较矩阵3P1P2P 3P1P 2P5111/4111/4441B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭这样，我们就得到六个成对比较阵： //////////11243321755141711213131521513153151A ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11251/2121/51/21B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭211/31/8311/3831B ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭31131131/31/31B ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭41341/3111/411B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭5111/4111/4441B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭层次分析法的第三步：计算这些成对比较矩阵的最大特征值和对应的特征向量(权重），并判断这些矩阵是否能通过一致性检验.层次分析法的第四步：计算组合权向量（并作组合一致性检验） 最后得到的组合权向量就是三个景点在张鶇一家心目中的重要程度,可据此向他们推荐权重最大的景点.将这些矩阵一并输入事先编写好的程序cengcifenxifa.m ，可完成第三步和第四步，然后根据结果进行调整和分析.以上是层次分析法的整个过程，下面讲解如何看程序的运算结果，并对矩阵进行调整。
(1)矩阵的调整在程序的运算结果中，首先是第二层对第一层的运算结果：一致性比率CR>=0.1,表示A 有矛盾， 并且矛盾的程度超过了允许的范围，必须调整.调整的方法可以请张鶇一家重新将景色、费用、居住、饮食、旅途条件进行比较，直至得到一致性比率小于0.1的矩阵，经过调整，张鶇一家将饮食和旅途条件的重要性之比进行了修改，改为4:1,即：3P1P 2P 3P1P 2P//////////11243321755141711213131521413153141A ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭重新运算，可以发现，矩阵A 满足了一致性要求。
同样，如果其它矩阵的一致性比率大于或等于0.1，那么也要进行调整。
顺便讲一下，A 为什么会有矛盾：1143322175511111()4723112153511131355ij A a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,12122323172C C a a C C ====1372C C ⇒= 但从矩阵A 中可以看到，134a =，即122313a a a ⋅≠这就表明，张鶇一家的判断是有矛盾的，此时，称矩阵A 是不一致的.（2）看看结果中的特征向量(归一化后)的含义：第2层对第一层的成对比较矩阵A 的最大特征值对应的特征向量为：（0.2579,0.46239,0.052623,0.14266,0.08564）它依次表示景色、费用、居住、饮食、旅途条件这五个因素在张鶇一家心目中的重要程度。
至于最大特征值，一致性指标，随机一致性指标等等在后面介绍。
在整个程序结果的倒数第二行是： 第 3层(C1，C2，C3)对第一层的组合权重为: 0.32262 0.24408 0.4333它们是对于选择旅游目的地，桂林、黄山、北戴河三个景点的最后权重。
并且在最后一行，总的组合一致性通过的前提下，可据此向他们1C2C 3C 4C 5C1C 3C 4C 5C2C推荐权重最大的旅游景点北戴河。
下面介绍矩阵的特征值和矩阵的一致性： 定义：如果一个矩阵()ijn nA a ⨯=满足如下条件：0ij a >，1ij jia a =则称A 为正互反矩阵。
在此基础上，如果ij jk ik a a a ⨯=则称矩阵A 是一致性矩阵.（3）下面讲解一致性矩阵的特征值的含义：设有一块大石头，重量为W ，被砸成n 个小块，重量分别为12,,...,n w w w ，将这n 个小石头的重量两两比较，令iij jw a w =，那么可以得到成对比较矩阵：111122221212......()...............n n ij n n n n w w w w w w w w w w w w A a w w w w w w ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭显然，A 是一致性矩阵。
另一方面，设(,,.)122T w w ww W W W=⋅⋅⋅，它可以表示各个小石头在原先整块大石头里的分量（或权重），作乘积11111222221212........................n n n n n n n w w w w w w w W w w w w w w w A w nw W w w w w W w w w ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⋅== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即：矩阵A 有特征值n,权重向量w 是对应的特征向量。
而对于一致性矩阵，有下面的定理：定理：n 阶正互反矩阵B 的最大特征根n ≥λ，且n =λ时，B 是一致矩阵. 如果B 不是一致矩阵时，它的最大特征根λ必定不等于n ，因此我们完全可以用成对比较一致矩阵A 的最大特征值所对应的特征向量作为各小石块在大石块中的权重.但是如果正互反矩阵A 不是一致矩阵的时候，该怎么办呢？例如下面的矩阵：1143322175511111()4723112153511131355ij A a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，1223131**72a a a =≠， 如果A 不是一致矩阵时，它的最大特征根λ必定不等于n ，那么用λ对应的特征向量作为权重就存在偏差。
并且λ比n 大的越多，偏差也越大，矩阵A 的不一致程度就越大。
通常定义一致性指标:1nCI n λ-=-，来表示矩阵的不一致程度。
CI 越大，不一致越严重。
由于在实际操作当中，获得一致性矩阵的难度相当大，故在实际操作中，允许成对比较矩阵存在一定的不一致性，为了确定成对比较矩阵A 的不一致程度的容许范围，Saaty 引入了随机一致性指标RI ，其值见下表：表二 随机一致性指标 特征值n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI0.580.901.121.241.321.411.451.491.51表中的数据是对固定的n ，随机模拟构造100—500个矩阵，形成A ，计算CI 即得RI 。
定义一致性比率 CR = CI /RI ，当CR <0.1时，认为可以接受A 的不一致性，即A 通过一致性检验（4）下面讲解组合权重和组合一致性那么第三层(桂林、黄山、北戴河)对第一层的权重是多少呢？这个权重就是组合权重。