全国高中数学联赛预赛试题(含详细答案)
全国高中数学联赛江西省预赛试题
一、选择题（每小题6分,共36分）
1、若函数()()2lg 43f x ax x a =-+-的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）. A 、()4,+∞ ；B 、[]0,4；C 、()0,4；D 、()(),14,-∞-+∞U ．
2、设2
2
1a b +=，()0b ≠，若直线2ax by +=和椭圆22162x y +
=有公共点，则a
b
的取值范围是（ ）.
A 、11,22??
-????
； B 、[]1,1-； C 、(][),11,-∞-+∞U ； D 、[]2,2-.
3、四面体ABCD 的六条棱长分别为7,13,18,27,36,41，且知41AB =，则CD = .
A 、7 ；
B 、13 ；
C 、18 ；
D 、27．
4、若对所有实数x ，均有sin sin cos cos cos 2k k k x kx x kx x ?+?=，则k =（ ）. A 、6； B 、5； C 、4； D 、3．
5、设(21
2n n a +=+，n b 是n a 的小数部分，则当*n N ∈时，n n a b 的值（ ）．
A 、必为无理数；
B 、必为偶数；
C 、必为奇数；
D 、可为无理数或有理数．
6、设n 为正整数，且31n +与51n -皆为完全平方数，对于以下两个命题： （甲）.713n +必为合数；（乙）.()28173n n +必为两个平方数的和.
你的判断是（ ）
A.甲对乙错；
B. 甲错乙对；
C.甲乙都对；
D.甲乙都不一定对. 二、填空题（每小题9分，共54分）
7、过点()1,1P 作直线l ，使得它被椭圆22
194
x y +
=所截出的弦的中点恰为P ，则直线l 的方程为 .
8、设x R ∈，则函数()f x =的最小值为 .
9、
四面体ABCD 中，面ABC 与面BCD 成060的二面角，顶点A 在面BCD 上的射影H 是BCD ?的垂心，G 是ABC ?的重心，若4AH =，AB AC =，则GH = ．
10、000sin 20sin 40sin80??= .
11、数列{}n a 满足：11a =，且对每个*n N ∈，1,n n a a +是方程230n x nx b ++=的两根，
则20
1
k k b ==∑ .
12、
从前2008个正整数构成的集{}1,2,,2008M =L 中取出一个k 元子集A ，使得A 中任两数之和不能被这两数之差整除，则k 的最大值为 ． 三、解答题：
13、
（20分）AD 是直角三角形ABC 斜边BC 上的高，（AB AC <），12,I I 分别是,ABD ACD ??的内心，12AI I ?的外接圆O e 分别交,AB AC 于,E F ，直线,EF BC 交于
点M ；
证明：12,I I 分别是ODM ?的内心与旁心．
14、
（20分）设,,x y z 为非负实数，满足1xy yz zx ++=，证明： 1115
2
x y y z z x ++≥+++．
15、
（20分）对于2n 元集合{}1,2,,2M n =L ，若n 元集{}12,,,n A a a a =L ， {}12,,,n B b b b =L 满足：,A B M A B ==?U I ，且1
1
n n
k k k k a b ===∑∑，则称A B U 是集M 的
一个“等和划分”（A B U 与B A U 算是同一个划分）．
试确定集{}1,2,,12M =L 共有多少个“等和划分”．
全国高中数学联赛江西省预赛试题解答
一、选择题（每小题6分,共36分）
1、若函数()()2lg 43f x ax x a =-+-的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）. A 、()4,+∞ ；B 、[]0,4；C 、()0,4；D 、()(),14,-∞-+∞U ． 答案：B ．
解：欲使()f x 的值域为R ，当使真数243ax x a -+-可取到一切正数，故或者0a =；或者0a >且()24430a a --≥，解得04a ≤≤
2、设2
2
1a b +=，()0b ≠，若直线2ax by +=和椭圆22162x y +
=有公共点，则a
b
的取值范围是（ ）.
A 、11,22??
-????
； B 、[]1,1-； C 、(][),11,-∞-+∞U ； D 、[]2,2-.
答：C ． 解：将2ax
y b
-=
代入椭圆方程并整理得，()22223121260a b x ax b +-+-=， 因直线和椭圆有公共点，则判别式()()()2
22212431260a a b b -+-≥，利用
221a b +=，化简得22a b ≥，所以
1a b ≥．即(][),11,a
b
∈-∞-+∞U ． 3、四面体ABCD 的六条棱长分别为7,13,18,27,36,41，且知41AB =，则
CD = .
A 、7 ；
B 、13 ；
C 、18 ；
D 、27． 答案：B .
解：四面体中，除CD 外，其余的棱皆与AB 相邻接，若长13的棱与AB 相邻，不妨设13BC =，据构成三角形条件，可知{}7,18,27AC ?，36, 7AC BD ?=?=，
{}{},18,27AD CD ?=，于是ABD ?中，两边之和小于第三边，矛盾。
因此只有13CD =.另一方面，使41,13AB CD ==的四面体ABCD 可作出，例如取
7,36,18,27BC AC BD AD ====.故选B
4、若对所有实数x ，均有sin sin cos cos cos 2k k k x kx x kx x ?+?=，则k =（ ）.
A 、6；
B 、5；
C 、4；
D 、3． 答：D .
解：记()sin sin cos cos cos 2k k k f x x kx x kx x =?+?- ，则由条件，()f x 恒为0，取2
x π=，
得()sin
12k k π=-，则k 为奇数，设21k n =-，上式成为sin 12n ππ?
?-=- ??
?，因此n 为偶
数，令2n m =，则41k m =-，故选择支中只有3k =满足题意．
5、设(21
2n n a +=+，n b 是n a 的小数部分，则当*n N ∈时，n n a b 的值（ ）．
A 、必为无理数；
B 、必为偶数；
C 、必为奇数；
D 、可为无理数或有理数．
答：C ．
解：令22u v ==4,3u v uv +==-，,u v 是方程243x x =+的两根， 则2243,43u u v v =+=+，所以当2n ≥时，121243,43n n n n n n u u u v v v ----=+=+，令
n n n S u v =+，则当2n ≥时，1201,2,4n n n S S S S S --=+==，故所有n S 为偶数，
)
)
21
21
2121212
2
2n n n n n u v S k +++++-=+==，
)
)
21
21
2
22
n n k ++=+
，
因)21
021n +<<，所以
)
21
2
n +为n a 的小数部分，即)
21
2n n b +=
，
)
)
21
21
21223n n n n n
a b +++=?==奇数．
6、设n 为正整数，且31n +与51n -皆为完全平方数，对于以下两个命题： （甲）.713n +必为合数；（乙）.()28173n n +必为两个平方数的和.
你的判断是（ ）
A.甲对乙错；
B. 甲错乙对；
C.甲乙都对；
D.甲乙都不一定对. 答案:C
解：设2231, 51n a n b +=-=，,a b 为正整数；则
()()()()()()2
2
713931451323232n n n a b a b a b +=+--=-=-+…○
1， 由此知，32a b -为正整数，且321a b -≠，因为若321a b -=，则
()()2
2
2279321441n a b b b +==+=++，即()22742n n n =+-，则4n ，记
4n k =，得51201n k -=-不为平方数，矛盾！所以322a b -≥，故由○
1得， 713n +为合数；又因为()()()()()28173315143151n n n n n n +=++-++-????????
()()()2
2
2
22222
22a b a b a b ab ????=++=++????
，故选C .（例如65是上述n 之一）.
二、填空题（每小题9分，共54分）
7、过点()1,1P 作直线l ，使得它被椭圆22
194
x y +
=所截出的弦的中点恰为P ，则直线l 的方程为 . 答案：4913x y +=．
解：设直线l 的方程为()11y k x =-+，代入椭圆方程，整理得，
()()22294181918270k x k k x k k ++-+--=，设其两根为12,x x ，则
12
12
x x +=， 即()2
18142,949k k k k --
==-+，所以直线l 的方程为()4
119
y x =--+，即4913x y += 8、设x R ∈，则函数(
)
f x =的最小值为 .
答案：13.
解：如图，取A 为数轴原点，12AB =，再
作AB 垂线,AC BD ，使
1,4AC BD ==，在数轴上取点P ，使
AP x =，
则()f x CP DP =+，当,,C P D 共
线时，f
值最小，此时min 13f CD AE ====.
9、
四面体ABCD 中，面ABC 与面BCD 成060的二面角，顶点A 在面BCD 上的射影H 是BCD ?的垂心，G 是ABC ?的重心，若4AH =，AB AC =，则GH = ．
解：设面AHD 交BC 于F ，则因AB AC =，故G 在AF 上，且1
3
GF AF =，
060AFH ∠=，
于是0
sin 60AH AF =
=
，12FH AF =
=，GF =，在三角形
GFH 中，由余弦定理得GH =
10、000sin 20sin 40sin80??=
. 答案：
8
．
解：()0000008sin 20sin 40sin804cos 20cos60sin80??=-
()
0000004sin80cos202sin802sin100sin 602sin80=-=+-02sin 60==
所以000sin 20sin 40sin 80??=
． 11、数列{}n a 满足：11a =，且对每个*n N ∈，1,n n a a +是方程230n x nx b ++=的两根，则20
1k k b ==∑ .
答：6385．
解：对每个*n N ∈，13n n a a n ++=- ……○1，1n n n a a b += ……○2， 将○1写作()1313332424n n n n a a ++??+
-=-+- ???，因此3324n n a ?
?+-???
?是一个公比为1-的等比数列，故 ()
1337
1244
n n n a -+
-=-，即()()13217144n n n a --=-+-?， ()()13217144n n n a ++=-+-?；于是()2192921
1488n n n n b a a n +==-+-?；20
1
6385k k b ==∑．
12、
从前2008个正整数构成的集{}1,2,,2008M =L 中取出一个k 元子集A ，使得A 中任两数之和不能被这两数之差整除，则k 的最大值为 ．
答案：670.
解：首先，我们可以取670元集{}1,4,7,,2008A =L ，A 中任两数之和不能被3整除，而其差是3的倍数；其次，将M 中的数自小到大按每三数一段，共分为670段：
1,2,3,4,5,6,7,8,9,,2005,2006,2007,2008,L L
从A 中任取671个数，必有两数,x y 取自同一段，则1x y -=或2，注意x y -与
x y +同奇偶，于是()()x y x y -+．因此k 的最大值为670. 三、解答题：
13、
（20分）AD 是直角三角形ABC 斜边BC 上的高，（AB AC <），12,I I 分别是,ABD ACD ??的内心，12AI I ?的外接圆O e 分别交,AB AC 于,E F ，直线,EF BC 交于
点M ；
证明：12,I I 分别是ODM ?的内心与旁心．
证：如图，连12121,,,,DI DI BI AI I F ，由090EAF ∠=，则圆心O 在EF 上，设直径
EF 交AD 于O '，并简记ABC ?的三内角为,,A B C ，由11
22
B I BD DA
C ∠=
=∠ 0212,45I AD I DB I DA =∠∠==∠，
所以1DBI ?∽2DAI ?，得12DI DB
DI DA =，且01290I DI BDA ∠==∠，故12I DI ?∽BDA ?，
而0121,902
B DI I B AI D ∠=∠=+
， 注意111212AI D AI F FI I DI I ∠=∠+∠+∠，1122,2
B AI F AEF FI I FAI ∠=∠∠=∠=
， 所以090AEF B C DAB ∠=-==∠，因此O E O A ''=，同理得O F O A ''=，故O '与O 重合，即圆心O 在AD 上，而22EOD OEA OAE OAE C ∠=∠+∠=∠=，
112EOI EAI BAD C ∠=∠=∠=，所以1OI 平分DOM ∠；
同理得2OI 平分DOF ∠，即1I 是ODM ?的内心，2I 是ODM ?的旁心．
证二：如图，因为90BAC ∠=?，故12AI I ?的外接圆圆心O 在EF 上，连12,12,,OI OI I D I D ，则由12,I I 为内心知，
1245I AI ∠=?， 所以
121212290I OI I AI I DI ∠=∠=?=∠，
于是12,,,O I D I 四点共圆，所以
211245I I O I I O ∠=∠=?，又因221245I DO I I O I DA ∠=∠=?=∠，因此点O 在AD 上，即O 为
EF 与AD 的交点．设AD 与O e 交于另一点H ，而由112EAI I AH ∠=∠，
22HAI FAI ∠=∠，可知，12,I I 分别为??,EH HF 的中点，所以11
EOI DOI ∠=∠， 22DOI FOI ∠=∠．因此，点12,I I 分别为OMD ?的内心与旁心．
14、
（20分）设,,x y z 为非负实数，满足1xy yz zx ++=，证明：
11152
x y y z z x ++≥+++． 简证：为使所证式有意义，,,x y z 三数中至多有一个为0；
据对称性，不妨设0x y z ≥≥≥，则0,0,0x y z >>≥，对正数,x y 作调整， 由于
11y z z x
+≥=
++x y =，
此时条件式成为2
21x xz +=，则1x ≤，且有2
12x z x -=，于是
11112x y y z z x x ++≥+++21421x x x =++， 只要证
2
145212
x x x +≥+，即2319550x x x +--≥，也即()()2
15410x x x --+≥，此为显然，取等号当且仅当1,0x y z ===，故命题得证．
详证：为使所证式有意义，,,x y z 三数中至多有一个为0；据对称性，不妨设
0x y z ≥≥≥，则0,0,0,1x y z xy >>≥≤；
()0
1、当x y =时，条件式成为2
21x xz +=，2
12x z x -=，21x ≤，而
22
11121214212212x x x x y y z z x z x x x x x x
++=+=+=+-++++++， 只要证，
2
145212
x x x +≥+，即2319550x x x +--≥，也即()()2
15410x x x --+≥，此为显然；取等号当且仅当1,0x y z ===．
()0
2、再证，对所有满足1xy yz zx ++=的非负实数,,x y z ，皆有
11152
x y y z z x ++≥+++．显然，三数,,x y z 中至多有一个为0，据对称性， 仍设0x y z ≥≥≥，则0,0,0,1x y z xy >>≥≤，令cot ,cot x A y B ==，,A B 为锐角，以
,A B 为内角，构作ABC ?，则()1cot cot 1cot cot cot cot A B xy
C A B A B x y
--=-+=
=++
0z =≥，于是090C ≤，且由0x y z ≥≥≥知，cot cot cot 0A B C ≥≥≥；于是
090A B C ≤≤≤，即ABC ?是一个非钝角三角形．
下面采用调整法，对于任一个以C 为最大角的非钝角三角形ABC ，固定最大角
C ，将ABC ?调整为以C 为顶角的等腰A B C ''?，其中2
A B
A B +''∠=∠=，且设cot
tan 22
A B C
t +==，记()111,,f x y z x y y z z x =
+++++，据()01知， ()5
,,2
f t t z ≥
． 今证明，()(),,,,f x y z f t t z ≥．即
111122x y y z z x t t z
++≥+++++ ……○1． 即要证 1111202x y t y z z x t z ????
-++-≥ ? ?++++???? ……○2 先证 2x y t +≥ ……○3，即证 cot cot 2cot
2
A B
A B ++≥， 即 ()2cos
sin 2sin sin sin 2
A B
A B A B A B ++≥
+，此即 2sin sin sin 2A B A B +≥，也即 ()1cos sin sin A B A B -+≥，即 ()cos 1A B -≤，此为显然． 由于在A B C ''?中，221t tz +=，则
()()()22
2221t z t z t z z t z ++==+++；而在ABC ?中， ()()2
11221x y z x y z
y z z x y z z x z +++++==+++++，因此○2式成为 ()()211
2012x y t z
t x y ?
?+--≥ ?
?++?? ……○4， 只要证，
()
2
11012z t x y -≥++ ……○5，即证 ()221t x y z +≥+，注意○3式以及 212t z t -=，只要证2
221412t t t ??-≥+ ???
，即421512t t ≥+，也即()22
1521t t -≥…○6
由于最大角C 满足：006090C ≤≤，而cot
tan 22A B C
t +==
1t ≤≤，所以 ()2211152152133t t ??
-≥?-= ???
，故○6成立，因此○5得证，由○3及○5得○4成立，从
而○1成立，即()(),,,,f x y z f t t z ≥，因此本题得证．
15、
（20分）对于2n 元集合{}1,2,,2M n =L ，若n 元集{}12,,,n A a a a =L ， {}12,,,n B b b b =L 满足：,A B M A B ==?U I ，且1
1
n n
k k k k a b ===∑∑，则称A B U 是集M
的一个“等和划分”（A B U 与B A U 算是同一个划分）．
试确定集{}1,2,,12M =L 共有多少个“等和划分”．
解一：不妨设12A ∈，由于当集A 确定后，集B 便唯一确定，故只须考虑集A 的个数，设{}126,,,A a a a =L ，6a 为最大数，由121278+++=L ，则
12639a a a +++=L ，612a =，于是 1234527a a a a a ++++=，
故{}112345,,,,A a a a a a =中有奇数个奇数．
()1、若1A 中有5个奇数，因M 中的六个奇数之和为36，而27369=-，则
{}11,3,5,7,11A =，这时得到唯一的{}1,3,5,7,11,12A =；
()2、若1A 中有3个奇数、两个偶数；用p 表示1A 中这两个偶数12,x x 之和；q 表
示1A 中这三个奇数123,,y y y 之和，则6,9p q ≥≥，于是21,18q p ≤≤．共得1A 的24种情形．
其中，()01、当6,21p q ==，则()()12,2,4x x =，()()()123,,1,9,11,3,7,11y y y =，
()5,7,9；可搭配成1A 的3个情形；
()0
2、当8,19p q ==，则()()12,2,6x x =，()()()()123
,,1,7,11,3,5,11,3,7,9y y y =；可搭
配成1A 的3个情形；
()0
3、当10,17p q ==，则()()()12,2,8,4,6x x =，()()()123
,,1,5,11,1,7,9y y y =，
()3,5,9，可搭配成1A 的6个情形；
()0
4、
当12,15p q ==，则()()()12,2,10,4,8x x =，()()()123
,,1,3,11,1,5,9y y y =，()3,5,7，可搭配成1A 的6个情形；
()0
5、当14,13p q ==，则()()()12,4,10,6,8x x =，()()()123
,,1,3,9,1,5,7y y y =，可搭配
成1A 的4个情形；
()0
6、当16,11p q ==，则()()12,6,10x x =，()()123
,,1,3,7y y y =；
可搭配成1A 的1个情形；
()0
7、当18,9p q ==，则()()12,8,10x x =，()()123
,,1,3,5y y y =；
可搭配成1A 的1个情形．
()3、若1A 中有一个奇数、四个偶数，由于M 中除12外，其余的五个偶数和
24681030++++=，从中去掉一个偶数，补加一个奇数，使1A 中五数之和为27，分别得到1A 的4个情形：()()()()7,2,4,6,8,5,2,4,6,10,3,2,4,8,10,1,2,6,8,10．
综合以上三步讨论，可知集A 有124429++=种情形，即M 有29种“等和划分”． 解二：元素交换法，显然6
6
1
1
39i i i i a b ====∑∑，恒设12A ∈；
()0
1、首先注意极端情况的一个分划：{}{}00
1,2,3,10,11,12,4,5,6,7,8,9A B ==，显
然数组{}1,2,3与{}10,11,12中，若有一组数全在A 中，则另一组数必全在A 中； 以下考虑10,11两数至少一个不在A 中的情况，为此，考虑00,A B 中个数相同且和数相等的元素交换：
()0
2、()()()10,15,6,4,7?；()()()10,25,7,4,8?；()()()()10,36,7,5,8,4,9?；
()()10,2,34,5,6?；共得到8个对换；
()0
3、()()()11,15,7,4,8?；()()()()11,26,7,5,8,4,9?；()()()11,36,8,5,9?；
()()11,1,34,5,6?；()()11,2,34,5,7?；共得到9个对换；
()04、()()()
?；
10,11,37,8,9
?；()() 10,11,16,7,9,5,8,9
?；()()
10,11,26,8,9
()()()
?；
10,11,1,34,6,7,8,4,5,7,9
10,11,1,24,5,7,8,4,5,6,9
?；()()()
()()()()
?；共得到11个对换．每个对换都得到一个10,11,2,35,6,7,8,4,6,7,9,4,5,8,9
新的划分，因此，本题共得1891129
+++=种等和划分．