中考专题复习：第三讲 整式

2019-2020年中考专题复习：第三讲整式【重点考点例析】考点一：代数式的相关概念。

例1 （xx•凉山州）如果单项式-x a+1y3与y b x2是同类项，那么a、b的值分别为（）A．a=2，b=3 B．a=1，b=2 C．a=1，b=3 D．a=2，b=2思路分析：根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，求出a，b的值．解：根据题意得：，则a=1，b=3．故选C．点评：考查了同类项，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点。

对应训练1．（xx•苏州）计算-2x2+3x2的结果为（）A．-5x2B．5x2C．-x2D．x21．D考点二：代数式求值例2 （xx•苏州）已知x-=3，则4-x2+x的值为（）A．1 B．C．D．思路分析：所求式子后两项提取公因式变形后，将已知等式去分母变形后代入计算即可求出值．解：∵x-=3，即x2-3x=1，∴原式=4-（x2-3x）=4-=．故选D．点评：此题考查了代数式求值，将已知与所求式子进行适当的变形是解本题的关键，利用了整体代入的思想．例3 （xx•湘西州）下面是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为3时，则输出的数值为．思路分析：输入x的值为3时，得出它的平方是9，再加（-2）是7，最后再除以7等于1．解：由题图可得代数式为：（x2-2）÷7．当x=3时，原式=（32-2）÷7=（9-2）÷7=7÷7=1故答案为：1．点评：此题考查了代数式求值，此类题要能正确表示出代数式，然后代值计算，解答本题的关键就是弄清楚题目给出的计算程序．对应训练2．（xx•盐城）若x2-2x=3，则代数式2x2-4x+3的值为．2．93．（xx•绥化）按如图所示的程序计算．若输入x的值为3，则输出的值为．3．-3考点三：单项式与多项式。

例4 （xx•云南）下列运算，结果正确的是（）A．m6÷m3=m2B．3mn2•m2n=3m3n3C．（m+n）2=m2+n2D．2mn+3mn=5m2n2思路分析：依据同底数的幂的除法、单项式的乘法以及完全平方公式，合并同类项法则即可判断．解：A、m6÷m3=m3，选项错误；B、正确；C、（m+n）2=m2+2mn+n2，选项错误；D、2mn+3mn=5mn，选项错误．故选B．点评：本题主要考查了合并同类项的法则，幂的乘方的性质，单项式的乘法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．对应训练4．（xx•沈阳）下面的计算一定正确的是（）A．b3+b3=2b6B．（-3pq）2=-9p2q2C．5y3•3y5=15y8D．b9÷b3=b34．C考点四：幂的运算。

例5 （xx•株洲）下列计算正确的是（）A．x+x=2x2B．x3•x2=x5C．（x2）3=x5D．（2x）2=2x2思路分析：根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方的知识求解即可求得答案．解：A、x+x=2x≠2x2，故本选项错误；B、x3•x2=x5，故本选项正确；C、（x2）3=x6≠x5，故本选项错误；D、（2x）2=4x2≠2x2，故本选项错误．故选：B．点评：此题考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方等知识，解题要注意细心．对应训练5．（xx•张家界）下列运算正确的是（）A．3a-2a=1 B．x8-x4=x2C． =-2 D．-（2x2y）3=-8x6y35．D考点五：完全平方公式与平方差公式例6 （1）（xx•郴州）已知a+b=4，a-b=3，则a2-b2= ．（2）（xx•珠海）已知a、b满足a+b=3，ab=2，则a2+b2= ．思路分析：（1）根据a2-b2=（a+b）（a-b），然后代入求解．（2）将a+b=3两边平方，利用完全平方公式化简，将ab的值代入计算，即可求出所求式子的值．解：（1）a2-b2=（a+b）（a-b）=4×3=12．故答案是：12．（2）将a+b=3两边平方得：（a+b）2=a2+2ab+b2=9，把ab=2代入得：a2+4+b2=9，则a2+b2=5．故答案为：5．点评：此题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．例7 （xx•张家港市二模）如图，从边长为（a+3）cm的正方形纸片中剪去一个边长为3cm 的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为acm，则另一边长是（）A．（2a+3）cm B．（2a+6）cm C．（2a+3）cm D．（a+6）cm思路分析：根据第一个图形中，从边长为（a+3）cm的正方形纸片中剪去一个边长为3cm的正方形，剩余部分的面积与第三个图形的面积相等，即可求解．解：解：根据第一个图：从边长为（a+3）cm的正方形纸片中剪去一个边长为3cm的正方形，剩余部分的面积是：（a+3）2-32，设拼成的矩形另一边长是b，则ab=（a+3）2-32，解得：b=a+6．故选D．点评：本题考查了图形的变化，正确理解：第一个图形中，从边长为（a+3）cm的正方形纸片中剪去一个边长为3cm的正方形，剩余部分的面积与第三个图形的面积相等，是解题的关键．对应训练6．（xx•徐州）当m+n=3时，式子m2+2mn+n2的值为．6．97．（xx•攀枝花模拟）如图（一），在边长为a的正方形中，挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪成一个矩形（如图（二）），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A．a2-b2=（a+b）（a-b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a-b）2=a2-2ab+b2D．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b27．A考点六：整式的运算例8（xx•株洲）先化简，再求值：（x-1）（x+1）-x（x-3），其中x=3．思路分析：原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．解：原式=x2-1-x2+3x=3x-1，当x=3时，原式=9-1=8．点评：此题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及的知识有：平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．例9（xx•宁波）7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（）A．a=b B．a=3b C．a=b D．a=4b思路分析：表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据之差与BC无关即可求出a 与b的关系式．解：如图，左上角阴影部分的长为AE，宽为AF=3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，∵AD=BC，即AE+ED=AE+a，BC=BP+PC=4b+PC，∴AE+a=4b+PC，即AE-PC=4b-a，∴阴影部分面积之差S=AE•AF-PC•CG=3bAE-aPC=3b（PC+4b-a）-aPC=（3b-a）PC+12b2-3ab，则3b-a=0，即a=3b．故选B点评：此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．对应训练8．（xx•扬州）先化简，再求值：（x+1）（2x-1）-（x-3）2，其中x=-2．8．解：原式=2x2-x+2x-1-x2+6x-9=x2+7x-10，当x=-2时，原式=4-14-10=-20．9．（xx•泰州）把三张大小相同的正方形卡片A、B、C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若按图1摆放时，阴影部分的面积为S1；若按图2摆放时，阴影部分的面积为S2，则S1与S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1=S2D．无法确定9．C考点七：规律探索。

例10 （（xx•山西）一组按规律排列的式子：，…，则第n个式子是．思路分析：观察分子、分母的变化规律，总结出一般规律即可．解：a2，a4，a6，a8…，分子可表示为：a2n，1，3，5，7，…分母可表示为2n-1，则第n个式子为：．故答案为：．点评：本题考查了单项式的知识，属于基础题，关键是观察分子、分母的变化规律．例11 （xx•淄博）如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第xx个格子中的整数是．-4 a b c 6 b -2 …思路分析：根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出a、c的值，再根据第9个数是-2可得b=-2，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，在用xx除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解．解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，∴-4+a+b=a+b+c，解得c=-4，a+b+c=b+c+6，解得a=6，所以，数据从左到右依次为-4、6、b、-4、6、b，第9个数与第三个数相同，即b=-2，所以，每3个数“-4、6、-2”为一个循环组依次循环，∵xx÷3=671，∴第xx个格子中的整数与第3个格子中的数相同，为-2．故答案为：-2．点评：此题主要考查了数字变化规律，仔细观察排列规律求出a、b、c的值，从而得到其规律是解题的关键．例12 （xx•烟台）将正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，根据以上操作，若要得到xx个正方形，则需要操作的次数是（）A．502 B．503 C．504 D．505思路分析：根据正方形的个数变化得出第n次得到xx个正方形，则4n+1=xx，求出即可．解：∵第1次：分别连接各边中点如图2，得到4+1=5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到4×2+1=9个正方形…，以此类推，根据以上操作，若第n次得到xx个正方形，则4n+1=xx，解得：n=503．故选：B．点评：此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出正方形个数的变化规律是解题关键．对应训练10．（xx•淮安）观察一列单项式：1x，3x2，5x2，7x，9x2，11x2，…，则第xx个单项式是．10．4025x211．（xx•玉林）一列数a1，a2，a3，…，其中a1=，（n为不小于2的整数），则a100=（）A．B．2 C．-1 D．-211．A12．（xx•十堰）如图，是一组按照某种规律摆放成的图案，则图5中三角形的个数是（）A．8 B．9 C．16 D．1712．C【聚焦山东中考】1．（xx•济宁）如果整式x n-2-5x+2是关于x的三次三项式，那么n等于（）A．3 B．4 C．5 D．61．C2．（xx•东营）下列运算正确的是（）A．a3-a2=a B．a2•a3=a6C．（a3）2=a6D．（3a）3=9a32．C3．（xx•烟台）下列各运算中，正确的是（）A．3a+2a=5a2B．（-3a3）2=9a6C．a4÷a2=a3D．（a+2）2=a2+4 3．B4．（xx•日照）下列计算正确的是（）A．（-2a）2=2a2B．a6÷a3=a2C．-2（a-1）=2-2a D．a•a2=a24．C5．（xx•威海）若m-n=-1，则（m-n）2-2m+2n的值是（）A．3 B．2 C．1 D．-15．A6．（xx•威海）下列运算正确的是（）A．3x2+4x2=7x4B．2x3•3x3=6x3C．x6+x3=x2D．（x2）4=x86．D7．（xx•泰安）下列运算正确的是（）A．3x3-5x3=-2x B．6x3÷2x-2=3xC．（x3）2=x6D．-3（2x-4）=-6x-127．C8．（xx•临沂）下列运算正确的是（）A．x2+x3=x5B．（x-2）2=x2-4 C．2x2•x3=2x5D．（x3）4=x78．C9．（xx•聊城）把地球看成一个表面光滑的球体，假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面16cm，那么钢丝大约需要加长（）A．102cm B．104cm C．106cm D．108cm9．A10．（xx•日照）如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M与m、n的关系是（）A．M=mn B．M=n（m+1）C．M=mn+1 D．M=m（n+1）10．D11．（xx•日照）已知m2-m=6，则1-2m2+2m= ．11．-1112．（xx•滨州）观察下列各式的计算过程：5×5=0×1×100+25，15×15=1×2×100+25，25×25=2×3×100+25，35×35=3×4×100+25，…请猜测，第n个算式（n为正整数）应表示为．12．100n（n-1）+2513．（xx•潍坊）当n等于1，2，3…时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示，则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于．（用n表示，n是正整数）13．n2+4n【备考真题过关】一、选择题1．（xx•丽水）化简-2a+3a的结果是（）A．-a B．a C．5a D．-5a1．B2．（xx•徐州）下列各式的运算结果为x6的是（）A．x9÷x3B．（x3）3C．x2•x3D．x3+x32．A3．（xx•连云港）计算a2•a4的结果是（）A．a6B．a8C．2a6D．2a83．A4．（xx•重庆）计算3x3÷x2的结果是（）A．2x2B．3x2C．3x D．34．D5．（xx•遵义）计算（-ab2）3的结果是（）A．-a3b6B．-a3b5C．-a3b5D．-a3b65．D6．（xx•佛山）多项式1+2xy-3xy2的次数及最高次项的系数分别是（）A．3，-3 B．2，-3 C．5，-3 D．2，36．A7．（xx•遂宁）下列计算错误的是（）A．-|-2|=-2 B．（a2）3=a5C．2x2+3x2=5x2D． =27．B8．（xx•盘锦）下列计算正确的是（）A．3mn-3n=m B．（2m）3=6m3C．m8÷m4=m2D．3m2•m=3m38．D9．（xx•达州）甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价20%，后又降价10%；乙超市连续两次降价15%；丙超市一次降价30%．那么顾客到哪家超市购买这种商品更合算（）A．甲B．乙C．丙D．一样9．B10．（xx•黄冈）矩形AB=a，AD=b，AE=BF=CG=DH=c，则图中阴影部分面积是（）A．bc-ab+ac+b2B．a2+ab+bc-acC．ab-bc-ac+c2D．b2-bc+a2-ab10．C11．（xx•保康）如图，边长为（a+2）的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为2，则另一边长是（）A．2 B．a+4 C．2a+2 D．2a+412．C13．（xx•新华区一模）定义运算a⊕b=a（1-b），下面给出了这种运算的四个结论：①2⊕（-2）=6；②若a+b=0，则（a⊕a）+（b⊕b）=2ab；③a⊕b=b⊕a；④若a⊕b=0，则a=0或b=1．其中结论正确的有（）A．①②B．①②③C．②③④D．①②④13．D二、填空题14．（xx•晋江市）计算：2a2+3a2= ．14．5a215．（xx•天津）计算a•a6的结果等于．15．a716．（xx•上海模拟）计算：6x2y3÷2x3y3= ．16．17．（xx•同安区一模）“比a的2倍大的数”用代数式表示是．17．18．（xx•义乌市）计算：3a•a2+a3= ．18．4a319．（xx•铁岭）某商店压了一批商品，为尽快售出，该商店采取如下销售方案：将原来每件m元，加价50%，再做两次降价处理，第一次降价30%，第二次降价10%．经过两次降价后的价格为元（结果用含m的代数式表示）19．0.945m20．（xx•贵港）若ab=-1，a+b=2，则式子（a-1）（b-1）= ．20．-221．（xx•沈阳）如果x=1时，代数式2ax3+3bx+4的值是5，那么x=-1时，代数式2ax3+3bx+4的值是．21．322．（xx•苏州）按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为2，则输出的值为．22．2021．（xx•泰州）若m=2n+1，则m2-4mn+4n2的值是．21．122．（xx•晋江市）若a+b=5，ab=6，则a-b= ．22．±123．（（xx•永州）定义为二阶行列式．规定它的运算法则为=ad-bc．那么当x=1时，二阶行列式的值为．23．024．（xx•雅安）已知一组数2，4，8，16，32，…，按此规律，则第n个数是．24．2n25．（xx•云南）下面是按一定规律排列的一列数：，…那么第n个数是．25．26．（xx•孝感）如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数1，5，12，22…为五边形数，则第6个五边形数是．26．5127．（xx•青岛）要把一个正方体分割成8个小正方体，至少需要切3刀，因为这8个小正方体都只有三个面是现成的．其他三个面必须用三刀切3次才能切出来．那么，要把一个正方体分割成27个小正方体，至少需用刀切次；分割成64个小正方体，至少需要用刀切次．27．6，9三、解答题28．（xx•宜昌）化简：（a-b）2+a（2b-a）28．解：原式=a2-2ab+b2+2ab-a2=b2．29．（xx•宁波）先化简，再求值：（1+a）（1-a）+（a-2）2，其中a=-3．29．解：原式=1-a2+a2-4a+4=-4a+5，当a=-3时，原式=12+5=17．30．（xx•三明）先化简，再求值：（a+2）（a-2）+4（a+1）-4a，其中a=-1．30．解：原式=a2-4+4a+4-4a=a2，当a=-1时，原式=（-1）2=2-2+1=3-2．31．（xx•邵阳）先化简，再求值：（a-b）2+a（2b-a），其中a=-，b=3．31．解：原式=a2-2ab+b2+2ab-a2=b2，当b=3时，原式=9．32．（xx•娄底）先化简，再求值：（x+y）（x-y）-（4x3y-8xy3）÷2xy，其中x=-1，y=．32．解：原式=x2-y2-2x2+4y2=-x2+3y2，当x=-1，y=时，原式=-1+1=0．33．（xx•义乌市）如图1所示，从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形，（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1和S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．33．解：（1）∵大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，∴S1=a2-b2，S2=（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）；（2）根据题意得：（a+b）（a-b）=a2-b2。