对偶问题
第2章 对偶问题
第2章 对偶问题判断下列说法是否正确：对偶问题的对偶问题一定是原问题；根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解； 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y >0，说明在最优生产计划中的i 种资源已完全耗尽；已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y ＝0，说明在最优生产计划中第i 种资源一定有剩余；若某种资源的影子价格等于k ，在其它条件不变的情况下，当改种资源增加5个单位时，相应的目标函数值将增大5k ； 在线性规划问题的最优解中，如某一变量j x 为非基变量，则在原来问题中，无论改变它在目标函数中的系数j c 或在各约束中的相应系数ij a ，反映到最终单纯形表中，除该列数字有变化外，将不会引起其它列数字的变化。
简答题、试述对偶单纯形法的优点及其应用上的局限性。
、试述对偶单纯形法的步骤。
、试解释对偶解的经济含义和影子价格在市场决策中的作用。
、什么是资源的影子价格？同相应的市场价格之间有何区别？以及研究影子价格的意义是什么？:判断下列说法是否正确，为什么？（a ）如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解； （b ）如果线性规划的对偶问题存在可行解，则其原问题也一定无可行解；（c ）在互为对偶的一对原问题和对偶问题中，不管原问题是求极大或极小，原问题可行解的目标函数都一定不超过其对偶问题可行解的目标函数。
若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的目标函数最大值将增加5k 吗？ 已知*i y 为某线性规划问题的对偶问题最优解中的第i 分量，若*i y ＝0，能否肯定在最优生产计划种第i 种资源一定有剩余？写出对偶问题写出下列线性规划问题的对偶问题123max 102Z x x x =++123123123420,,0x x x x x x ++≤≥写出下列线性规划问题的对偶问题1234max 23Z x x x x =+++12341231341324252341,0,,x x x x x x x x x x x x x x +++≤-+=--+≥≥无约束写出下列线性规划问题的对偶问题1234min 3234Z x x x x =+-+1234234123414232343345237420,0,,x x x x x x x x x x x x x x x -++≤++≥----=≥≤无约束写出下列线性规划问题的对偶问题123min 567Z x x x =---123123123123531556102050,0,x x x x x x x x x x x x -+-≥--+≤--=-≤≥无约束写出下列线性规划问题的对偶问题123max 25Z x x x =++12312313123235237365,,0x x x x x x x x x x x ++≤++≤+≤≥写出下列线性规划问题的对偶问题123max Z x x x =++1231312327664,,0x x x x x x x x ++=+≥≥写出下列线性规划问题的对偶问题123min 423Z x x x =++123123131232562742,0,0x x x x x x x x x x x ++≤++=+≥≤≥无约束写出下列线性规划问题的对偶问题：1231231231231232242352373..465,,0MinZ x x x x x x x x x s t x x x x x x =++++≥⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪≥⎩写出下列线性规划问题的对偶问题：12312312312312323231325..34,,0,MinZ x x x x x x x x x s t x x x x x x =--+-=⎧⎪-+≥-⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩无限制写出下列线性规划问题的对偶问题：123123123131232423134..40,0,MaxZ x x x x x x x x x s t x x x x x =++++≥⎧⎪-+≤⎪⎨+=⎪⎪≥≤⎩无限制写出下列线性规划问题的对偶问题：1234512345123451~45275354625..232690,MaxZ x x x x x x x x x x s t x x x x x x x =++++++++=⎧⎪++++=⎨⎪≥⎩无限制写出下面线性规划问题的对偶问题12max 52z x x =-+1212123235,0x x x x x x -+≤-+≤≥写出下面线性规划问题的对偶问题12max 56z x x =+12122553x x x x +=-+≥1x 无限制2,0x ≥设有原始问题123max 325z x x x =++约束条件：12313121232560324204400,,0x x x x x x x x x x ++≤+≤+≤≥写出以上原始问题的对偶问题。
对偶问题的概念
对偶问题的概念
对偶问题是指在数学中，将一个问题中的某些概念和关系进行逆转，从而得到一个新的问题。
这个新问题与原问题有着相同的结构，但是问题的角度和方向却完全不同。
对偶问题的解法和结论也与原问题不同，但是它们之间有着密切的联系。
对偶问题的概念最早出现在欧几里得几何学中。
在欧几里得几何学中，对偶问题是指将点和线的概念进行逆转，从而得到一个新的几何系统。
在这个新的几何系统中，点和线的角色互换了，点变成了线，线变成了点。
这个新的几何系统被称为对偶几何。
在现代数学中，对偶问题的概念被广泛应用于各个领域。
例如，在图论中，对偶问题是指将一个图的面和边进行逆转，从而得到一个新的图。
在拓扑学中，对偶问题是指将一个空间的维度进行逆转，从而得到一个新的空间。
在线性规划中，对偶问题是指将一个线性规划问题进行逆转，从而得到一个新的线性规划问题。
对偶问题的研究不仅有助于深入理解数学中的基本概念和结构，还有助于解决实际问题。
例如，在计算机科学中，对偶问题被广泛应用于图像处理、计算几何、机器学习等领域。
通过对偶问题的研究，可以得到更加高效和优化的算法和模型，从而提高计算机科学的应用效果。
对偶问题实例
对偶问题实例摘要：一、对偶问题的概念和背景1.对偶问题的定义2.对偶问题的历史发展二、对偶问题的实例分析1.初等数学中的对偶问题实例2.高等数学中的对偶问题实例三、对偶问题的解决方法与技巧1.通过已知条件寻找对偶关系2.利用对偶性质解题3.常见对偶问题的解题技巧四、对偶问题在实际生活中的应用1.在科学研究中的应用2.在工程领域中的应用3.在经济管理领域中的应用正文：对偶问题是一种在数学中广泛存在的现象，它涉及到许多不同的数学领域，如代数、几何、拓扑等。
对偶问题研究的是一个数学结构与其对偶结构之间的关系，通过揭示这种关系，可以加深我们对数学结构的理解，为解决实际问题提供有力的工具。
在初等数学中，我们可以找到许多对偶问题的实例。
例如，在解方程时，我们常常需要寻找方程的解集与方程组解的关系。
这就是一个典型的对偶问题。
在高等数学中，对偶问题的实例更加丰富。
例如，在微积分中，我们可以通过对导数与微分的关系进行研究，来理解导数与微分之间的对偶关系。
解决对偶问题的方法与技巧有很多，其中最重要的是要善于发现和利用对偶性质。
对偶性质是指在一个数学结构中，如果两个对象具有某种关系，那么它们的对偶对象也具有相同的关系。
利用这种性质，我们可以将复杂的问题转化为相对简单的问题来解决。
此外，对于一些常见的对偶问题，我们还可以总结出一些解题技巧，以提高解题效率。
对偶问题在实际生活中也有着广泛的应用。
例如，在科学研究中，对偶问题可以帮助我们理解自然现象背后的数学原理；在工程领域中，对偶问题可以帮助我们优化设计方案，提高工程效率；在经济管理领域中，对偶问题可以帮助我们分析经济现象，制定合理的经济政策。
对偶问题的实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的本次实验旨在通过设计一系列对偶问题，探讨对偶问题在解决实际问题时的影响，并分析不同类型对偶问题对个体认知能力的影响。
通过对实验结果的分析，为实际问题的解决提供有益的启示。
二、实验背景对偶问题是指将一个问题分解为两个相互关联的部分，通过对其中一个部分的分析和解决，间接解决整个问题的方法。
在现实生活中，许多问题都可以通过对偶问题的方式进行分析和解决。
因此，研究对偶问题对于提高个体的认知能力和问题解决能力具有重要意义。
三、实验方法1. 实验对象：选取30名大学生作为实验对象，其中男生15名，女生15名，年龄在18-25岁之间。
2. 实验材料：设计10个对偶问题，包括生活、学习、工作等不同领域的问题。
3. 实验步骤：（1）向实验对象介绍实验目的和过程，确保其理解并自愿参与实验；（2）让实验对象独立完成10个对偶问题，记录其完成时间和正确率；（3）分析实验数据，探讨对偶问题对个体认知能力的影响。
四、实验结果与分析1. 实验结果（1）实验对象在完成对偶问题时的平均完成时间为30分钟；（2）实验对象在完成对偶问题时的平均正确率为80%；（3）实验对象在完成不同类型对偶问题时的正确率存在差异。
2. 实验分析（1）对偶问题对个体认知能力的影响实验结果表明，对偶问题在一定程度上可以提高个体的认知能力。
通过对偶问题的设计，使个体在分析问题时更加全面，有助于提高问题解决能力。
（2）不同类型对偶问题的影响实验结果显示，生活领域对偶问题的正确率最高，其次是学习领域，工作领域对偶问题的正确率最低。
这可能是因为生活领域的问题与个体日常生活密切相关，容易引起共鸣；学习领域的问题则与个体学习经历相关，有助于提高其认知能力；工作领域的问题与个体实际工作内容相关，但难度较大，导致正确率较低。
五、结论通过对对偶问题的实验研究，得出以下结论：1. 对偶问题可以提高个体的认知能力和问题解决能力；2. 不同类型对偶问题对个体认知能力的影响存在差异，生活领域对偶问题的正确率最高，其次是学习领域，工作领域对偶问题的正确率最低。
对偶问题的性质
（1）对称性：对偶问题的对偶是原问题MaxZ CX AX b X =⎧≤⎨≥⎩MinS Yb YA C Y =⎧≥⎨≥⎩--，--，0MinS Yb YA C Y =≤≥证明：变换对偶问题模型ax 0M S YbYA C Y =−⎧−≤−⎨≥⎩MinZ CX AX b X =−⎧−≥−⎨≥⎩MaxZ CX AX b X =⎧≤⎨≥⎩2.3 对偶问题的性质b Y X C ≤（2）弱对偶性：若是原问题的可行解，是对偶问题的可行解，则存在有XY 证明：MaxZ CXAX b X =⎧≤⎨≥⎩MinS Yb YA C Y =⎧≥⎨≥⎩因是原问题的可行解，是对偶问题的可行解，所以有：XY ;Y AX Yb Y AX C X≤≥b Y X C ≤•弱对偶性的图形解释MinS=b Y最优目标MaxZ=XC（3）可行解是最优解的性质：若是原、对的可行解，当Y Xˆ,ˆ b Y X C ˆˆ= 则：是最优解Y X ˆ,ˆ b Y MinS =最优XC MaxZ =b Y XC ˆˆ=（4）对偶定理若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且原问题与对偶问题最优目标函数值相等。
1ˆ−=B C Y B01≤−−A B C C B()()XA B C C b B C X B C C X N B C C X B B C C b B C X B C C X N B C C b B C X C X C X B C NX B C b B C X C X C X C X X X C C C CX Z X B NX B b B X b X X X I N B AX B B S B S N B N B B B B SB S N B N B SS N N S B N B B S S N N B B S N B S N B SN B S N B )()()()()()(111111111111111−−−−−−−−−−−−−−−−+=−+−+−+=−+−+=++−−=++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==−−==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=01≤−−A B C C B•检验数的推导：（5）互补松弛性：若分别是原问题和对偶问题的可行解，那么当且仅当为最优解Y Xˆ,ˆ 0ˆ0ˆ==X Y X Y S S和Y X ˆ,ˆ 11ˆˆˆ0,0ˆˆˆ,0,0若则有即若即则有==>==<>=∑∑ni ijj i si j nijj i si i j yaxb x ax b xy⚫对偶变量的经济含义----影子价格资源的单位改变量引起目标函数值（Z ）的改变量，通常称为影子价格（shadow price ）或边际价格（marginalprice ）。
线性规划的对偶理论2-对偶问题的性质
含多个决策变量的线性规 划问题及其对偶问题的求 解
含不等式约束的线性规划 问题及其对偶问题的求解
经典案例分析：运输问题、生产计划等
通过对偶理论实现资源的最优分 配
对偶理论在生产计划优化中的应 用
如何通过对偶理论求解最小成本 运输问题
运输问题
资源分配问题 生产计划问题
实际应用案例分享
供应链管理
椭球法
通过构造一个包含原问题可行域的椭球，将原问题转化为 一个椭球约束的优化问题，然后利用椭球算法进行求解。
割平面法
通过在原问题的约束条件中不断添加割平面，将原问题转 化为一个更容易求解的问题，然后利用相关算法进行求解。
Part
04
对偶理论在经济学中应用
影子价格概念及计算
影子价格定义
影子价格反映资源在最优配置下 的边际价值，即资源每增加一单
选择一个满足所有约束条 件的初始内点。
迭代过程
通过不断迭代，沿着目标函数 的负梯度方向进行搜索，直到 达到最优解或满足停止准则。
求解最优解
当迭代过程结束时，从最 终迭代点中读取最优解。
其他方法简介
外点法
通过构造一个包含原问题可行域的外点，将原问题转化为 一个无约束优化问题，然后利用无约束优化方法进行求解。
简化问题求解从而降低了 计算复杂度和难度。
揭示问题内在联系
对偶理论揭示了原问题与其对偶问题之间的内在联系，有助于发现 问题的隐藏性质和潜在优化方向。
未来发展趋势预测及挑战分析
拓展应用领域
随着对偶理论的不断完善和发展， 其应用领域将进一步拓展，包括机 器学习、大数据分析等前沿领域。
强对偶性
强对偶性定义
01
存在一组可行解，使得原问题的目标函数值等于其对偶问题的
第二章对偶问题
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这样得到一个新的线性规划问题
minw 15y1 24y2 5y3
5y1
6y2 2y2
y3 y3
2 1
y1, y2, y3 0
称这一问题是原来的LP问题的对偶线性规 划问题或对偶问题，原来的LP问题也称为原问 题。
内容总结
第二章对偶问题。变量：所有变量均具有非负约束。A’Y ≥C’。若迭代后的 单纯形表为最终表则该表也同时给出对偶问题的最优解。反之若一个约束条 件中松弛变量非零,则其对应的对偶变量为零。式中bi是线性规划原问题约束 条件的右端项，它代表第i种资源的拥有量。影子价格是资源的边际价格。最 优目标函数值：w*=-8.5（z*=8.5）。问题的最优解或最优基不变。例：在第 一章美佳公司的例1中。由弱对偶性，原问题目标函数无界
• 利用影子价格可以说明：单纯形法中的检验数可以看 成生产某种产品的产值与隐含成本的差
• 可以利用影子价格确定企业内部的核算价格，以便 控制有限资源的使用和考核下属企业经营的好坏。
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例1
6x1+2x2 =24
资源的变化 ：设备B的可 用时间从增 加一小时
可行域
x2=3
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第四节 对偶单纯形法
按对偶问题与原问题之间的关系，对最大 化问题，在用单纯形法求解原问题时，最 终表不但给出了原问题的最优解，而且其 检验数的相反数就是对偶问题的最优解。
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单纯形法求解的基本思路
基可行解
保持解的可行性
检验数非正
设 x*j(j1,,n) 和 yi*(i1,,n) 分别是原问题和 对偶问题的最优解，则由对偶性质，有
对偶问题例题
对偶问题例题对偶问题又称为对频问题或对偶配对问题，是指给定两组元素，要求找出其中满足某种条件的元素对。
对偶问题经常出现在数学、计算机科学和逻辑学等领域中，涉及到了集合论、图论、逻辑推理等多种知识。
下面通过一些例题和相关参考内容来介绍对偶问题的求解方法和常用技巧。
例题1：有一组学生，每个学生都参加了英语和数学两门考试。
已知英语考试的及格率为80%，数学考试的及格率为70%，而两门课都及格的学生占总人数的50%。
问这组学生中至少有一门课及格的学生是多少百分比？解题思路：首先确定两个集合A和B，分别表示英语及格的学生和数学及格的学生。
已知A的概率为0.8，B的概率为0.7，目标是求A和B的交集的概率，即求A∩B的概率。
参考内容：1. 概率论基本概念：概率是指某个事件发生的可能性大小，可以用0到1之间的数值来表示。
事件的概率等于事件发生的次数与总次数的比值。
2. 交集和并集的概率：对于两个事件A和B，其交集的概率可以表示为P(A∩B)，并集的概率可以表示为P(A∪B)。
计算交集和并集的概率需要用到概率的加法规则和乘法规则。
3. 对偶问题的求解方法：对于这个问题，可以利用对偶的思想来求解。
由于已知A的概率为0.8，所以A的对偶事件A'的概率为1-0.8=0.2。
同样，B'的概率为1-0.7=0.3。
根据对偶的乘法规则，可以求得A'∩B'的概率。
然后，通过对偶的加法规则，可以计算出A∪B的概率，即至少有一门课及格的学生的概率。
例题2：有一组学生，每个学生都参加了英语和数学两门考试。
已知英语考试的及格率为80%，数学考试的及格率为70%，而两门课都及格的学生占总人数的50%。
问这组学生中两门课都不及格的学生是多少百分比？解题思路：首先确定两个集合A和B，分别表示英语及格的学生和数学及格的学生。
已知A的概率为0.8，B的概率为0.7，目标是求A'∩B'的概率，即求两门课都不及格的学生的概率。
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--第2章 对偶问题--
对偶模型其他结构关系
（2）若模型为
max z = C X
s.t AX b
X 0
变形
Min w=Y ´(-b)
st. Y ´(-A) C Y ´ 0
令 Y= -Y ´
max z = C X
对偶问题
s.t - AX -b
X 0 对偶变量Y
min w = Y b
a12 y1 + a22 y2 + ┈ + am2 ym c2 x2
·························
a1n y1 + a2n y2 + ┈ + amn ym cn xn
yi 0，(i=1,2,···,m )
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--第2章 对偶问题--
典式模型对应对偶结构矩阵表示
--第2章 对偶问题--
第 二 章 线性规划的对偶理论
Duality 对偶 Dual Problem 对偶问题 Dual Linear Programming 对偶线性规划 Dual Theory 对偶理论
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--1--
--第2章 对偶问题--
2.1 问题的提出
例 甲方生产计划问题： ⅠⅡ
总的租金收入： 12 y1 16 y2 15 y3
而就乙方而言，希望甲方的租金收入在满足约束的条件下越小越好，
这样双方才可能达成协议。
原问题的对偶问题
于是得到下述 的线性规划模型： min W 12 y1 16 y2 15 y3
s.t 2 y1 4 y2 2
2y1 5y3 3
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y2
4 X1 16 y3
4 X2 12 y4
X1 0 , X2 0
设第i种资源价格为yi,（ i=1, 2, 3, 4,） 则有 min w= 12y1 + 8y2 + 16y3 +12 y4
s.t 2y1 + y2 + 4y3 +0 y4 2
2y1 +2y2 + 0y3 +4 y4 3 yi 0, (i=1, 2, 3, 4 )
Y 0
（3）max z = C X
s.t AX b <========>
X 0
min w = Y b
s.t YA C
Y0
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等式、无约束情况的对偶：
原问题
对偶问题
max Z CX
AX b
s.t.
X 0
min W Yb
YA C
s.t .
Y 无约束
11
推导:
2
--第2章 对偶问题--
思路： 就甲方而言， 租金收入应不低于将设备用于自己生产时的利润。
解：假设A、B、C的单位租金分别为 y1, y2 , y3 ，所以生产产品Ⅰ的资源
用于出租时，租金收入应满足：
2 y1 4 y2 2
类似的，生产产品Ⅱ的资源用于出租时，租金收入应满足：
2 y1 5y3 3
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对偶问题典式：
--第2章 对偶问题--
用矩阵形式表示：
（1） max z = C X s.t AX b <========> X 0
（2） max z = C X
s.t AX b <========>
X 0
min w = Y b
s.t YA C Y0
min w = Y b s.t YA C
原问题化为：
max Z CX
AX b s.t. AX b
X 0
max Z CX
即：
A b s.t. A X b
X 0
·······················
am1 X1 + am2 X2 + ┈ + amn Xn bm xj 0，j=1,2,┈,n
y1 y2
ym
对偶问题：
min w = b1 y1 + b2 y2 + ┈ + bm ym
s.t
a11 y1 + a21 y2 + ┈ + am1 ym c1 x1
y1, y2, y3 0
3
--第2章 对偶问题--
例：某企业计划生产甲、乙两种产品，该两种产品均需经 A、B、C、
D 四种不同设备加工，按工艺资料规定，在各种不同设备上的加工 时间及设备加工能力、单位产品利润如表中所示。问：如何安排产 品的生产计划，才能使企业获利最大?
设备
产品
A
B
C
D 单位利润
原问题
对偶问题
max Z CX AX b
minW bTY ATY CT
X 0 （1） max z = C XFra bibliotekY 0
Y [ y1, y2 ,..., y3 ]T
min w = Y b
s.t AX b
s.t YA C
X 0
Y0
Y [ y1, y2 ,..., y3 ]
这是规范形式 的原问题，由此写出其对偶问题如右方所示，那么，当原问题 不是规范形式时，应如何写出其对偶问题？可以先将原问题化成规范的 原问题，再写出对偶问题。
甲产品 2
1
4
0
2
乙产品 2
2
0
4
3
加工能力 12
8
16 12
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--第2章 对偶问题--
1.最大生产利润模型
2.资源最低售价模型
设 企业生产甲产品为X1件， 乙产品为X2件，则
max z= 2 X1 +3 X2
s.t 2 X1 +2 X2 12 y1
X1 +2 X2 8
s.t YA C
Y 0
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（3）max z = C X
s.t AX b
X 0
--第2章 对偶问题--
设X= -X´
变形
max = -CX ´
st. -AX´ b X´ 0
min w = Y b s.t -YA - C
则有
Y 0
min w = Y b
s.t YA C
Y 0
能力 乙方租借设备：
设备A 2 2
12
设备B 4 0
16
设备C 0 5
15
利润 2 3
Ⅰ，Ⅱ各生产多少, 可获最大利润?
甲方以何种价格将设备A、B、 C租借给乙方比较合理？ 请为 其定价。
max Z
2x1 3x2
2x1 2x2 12
4
x1
16 5x2 15
x1, x2 0
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(原问题)
<========>
( 对偶问题)
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--第2章 对偶问题--
2.2 原问题与对偶问题的关系
一般表示式：
原问题：
max z = c1 X1 + c2 X2 + ┈ + cn Xn
s.t
a11 X1 + a12 X2 + ┈ + a1n Xn b1
a21 X1 + a22 X2 + ┈ + a2n Xn b2