第一章事件的运算一个例题巧用对偶和包含关系
学案1：10.1.2 事件的关系和运算
10.1.2事件的关系和运算学习目标核心素养1.了解随机事件的并、交与互斥的含义．(重点)2．能结合实例进行随机事件的并、交运算．(重点、难点)1.通过对随机事件的并、交与互斥的含义的学习，培养学生数学抽象素养．2．通过随机事件的并、交运算，培养学生数学运算素养.【自主预习】事件的关系和运算(1)包含关系定义一般地，若事件A发生，则事件B，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)含义A发生导致B发生符号表示B A(或A B)图形表示特殊情形如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊆B，则称事件A与事件B，记作(2)并事件(和事件)定义一般地，事件A与事件B发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)含义A与B至少一个发生符号表示(或)图形表示(3)交事件(积事件)定义一般地，事件A与事件B发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)含义A与B同时发生符号表示(或)图形表示(4)互斥(互不相容)定义一般地，如果事件A与事件B，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)含义A与B不能同时发生符号表示图形表示(5)互为对立定义一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且，那么称事件A与事件B互为对立．事件A的对立事件记为含义A与B有且仅有一个发生符号表示，图形表示思考1：一粒骰子掷一次，记事件A＝{出现的点数为2}，事件C＝{出现的点数为偶数}，事件D＝{出现的点数小于3}，则事件A，C，D有什么关系？思考2：命题“事件A与B为互斥事件”与命题“事件A与B为对立事件”什么关系？(指充分性与必要性)【基础自测】1．许洋说：“本周我至少做完3套练习题．”设许洋所说的事件为A，则A的对立事件为() A．至多做完3套练习题B．至多做完2套练习题C．至多做完4套练习题D．至少做完3套练习题2．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是() A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”3．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则() A．A⊆BB．A＝BC．A∪B表示向上的点数是1或2或3D．A∩B表示向上的点数是1或2或3【合作探究】【例1】(1)从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是()A．①B．②④C．③D．①③(2)从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．①“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；②“至少有1件次品”和“全是次品”；③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”．【规律方法】判断事件间关系的方法(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的．(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析．【跟踪训练】从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相同)的口袋任取2个球，用集合的形式分别写出下列事件，并判断每对事件的关系：(1)至少有1个白球，都是白球；(2)至少有1个白球，至少有1个红球；(3)至少有1个白球，都是红球．[探究问题]1．事件A与事件B的并事件(或和事件)的样本点是如何构成的？2．事件A与事件B的交事件(或积事件)的样本点是如何构成的？3．“事件B包含事件A”“事件A与事件B的并事件”“事件A与事件B的交事件”分别对应集合中的哪些关系或运算？【例2】在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现1点}，B ＝{出现3点或4点}，C＝{出现的点数是奇数}，D＝{出现的点数是偶数}．(1)说明以上4个事件的关系；(2)求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C.[思路探究](1)分析事件所包含的样本点→判断事件间的关系(2)样本点表示各事件→进行事件的运算[母题探究]1．在例2的条件下，求A∩C，A∪C，B∩C.2．用事件A i＝{出现的点数为i}(其中i＝1,2，…，6)表示下列事件：①B∪D；②C∪D.【课堂小结】1．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们之间既有区别，又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能只有一个发生，但不可能两个都发生；而对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能都不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；但两个事件对立，它们一定互斥．2．进行事件间关系的判断或运算，可借助于图形．【当堂达标】1．判断正误(1)若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件．()(2)若事件A和B是互斥事件，则A∩B是不可能事件．()(3)事件A∪B是必然事件，则事件A和B是对立事件．()2．从1,2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述各对事件中，是对立事件的是()A．①B．②④C．③D．①③3．袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则：①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述事件中，是对立事件的为．4．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．则：(1)事件D与事件A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与事件A的交事件是什么事件？【参考答案】【自主预习】事件的关系和运算(1) 一定发生⊇⊆相等A＝B(2) 至少有一个A∪B A＋B(3) 同时A∩B AB(4) 不能同时发生A∩B A∩B＝∅A∩B＝∅－(5) A∩B＝∅AA∩B＝∅A∪B＝Ω思考1：[提示]A＝C∩D.思考2：[提示]根据互斥事件和对立事件的概念可知，“事件A与B为互斥事件”是“事件A与B为对立事件”的必要不充分条件．【基础自测】1．B[至少做完3套练习题包含做完3,4,5,6…套练习题，故它的对立事件为做完0,1,2套练习题，即至多做完2套练习题．]2．C[A中的两个事件能同时发生，故不互斥；同样，B中两个事件也可同时发生，故不互斥；D中两个事件是对立的，故选C.]3．C[设A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{1}，A∪B＝{1,2,3}，∴A∪B表示向上的点数为1或2或3.]【合作探究】【例1】(1)C[③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．故选C.](2)[解]依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一次试验中不会同时发生可知：①中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的和事件不是必然事件，所以它们不是对立事件；同理可以判断②中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件；③中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件．【跟踪训练】[解]给两个红球编号为1,2，给两个白球编号为3,4，从口袋中任取两个球，用(x，y)表示取出的两个球，则试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，设A＝“至少有1个白球”，(1)设B＝“都是白球”，B＝{(3,4)}，所以B⊆A.即A和B不是互斥事件．(2)设C＝“至少有一个红球”，则C＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，因为A∩C＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，所以A和C不互斥．(3)设D＝“都是红球”，则D＝{(1,2)}，因为A∪D＝Ω，A∩D＝∅，所以A和D为对立事件．[探究问题]1．[提示]事件A与事件B的并事件(或和事件)的样本点是由在事件A中，或者在事件B 中的样本点构成的．2．[提示]事件A与事件B的交事件(或积事件)的样本点是由既在事件A中，也在事件B 中的样本点构成的．3．[提示]“事件B包含事件A”对应于集合A是集合B的子集；“事件A与事件B的并事件”对应集合A和集合B的并集，“事件A与事件B的交事件”对应集合A与集合B的交集．【例2】[解]在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种基本事件，记作A i＝{出现的点数为i}(其中i＝1,2，…，6)．则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.(1)事件A与事件B互斥，但不对立，(2)事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件．(2)A∩B＝∅，A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现点数1,3或4}，A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现点数1,2,4或6}．B∩D＝A4＝{出现点数4}．B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝{出现点数1,3,4或5}．[母题探究]1．[解]A∩C＝A，A∪C＝C＝{出现点数1,3或5}，B∩C＝A3＝{出现点数3}．2．[解]B∪D＝{出现点数2,3,4或6}＝A2∪A3∪A4∪A6.C∪D＝{出现点数1,2,3,4,5,6}＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.【当堂达标】1．[提示](1) 错误．对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．(2)正确．因为事件A和B是互斥事件，所以A∩B为空集，所以A∩B是不可能事件．(3) 错误．反例：抛掷一枚骰子，事件A为：向上的点数小于5，事件B为：向上的点数大于2，则事件A∪B是必然事件，但事件A和B不是对立事件．[答案](1)×(2)√(3)×2．C[从1,2，…，9中任取两数，包括一奇一偶、两奇、两偶，共三种互斥事件，所以只有③中的两个事件才是对立事件．]3．②[①是互斥不对立的事件，②是对立事件，③④不是互斥事件．]4．[解](1)对于事件D，可能的结果为1个红球和2个白球或2个红球和1个白球，故D＝A∪B.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球和2个白球，2个红球和1个白球或3个红球，故C∩A＝A.。
高一数学人必修件事件的关系和运算
如果样本空间是一个区域（可以是线段、平面图形、立体图形等），且每个样本点发生的可能性与该区域的度 量（如长度、面积、体积等）成比例，则称这种概率模型为几何概型。
条件概率与独立性
条件概率
在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。条件 概率的计算公式为P(A|B) = P(AB) / P(B)，其中P(AB)表示事 件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
高一数学人必修件事件的 关系和运算
汇报人：XX 20XX-01-24
目录
• 事件与基本事件 • 概率初步知识 • 随机变量及其分布 • 数学期望与方差 • 事件运算规则 • 实际问题中事件关系分析
01
事件与基本事件
事件定义及分类
必然事件
在一定条件下，每次试验都一定 会发生的事件。
随机事件
在一定条件下，每次试验都有可 能出现也有可能不出现的事件。
正态分布
数学期望μ，方差σ² 。
05
事件运算规则
事件交、并、差运算
事件交
两个事件A和B同时发生，记作$A cap B$， 表示A和B的交集。
事件并
两个事件A和B至少有一个发生，记作$A cup B$，表示A和B的并集。
事件差
事件A发生而事件B不发生，记作$A - B$或 $A bar{B}$，表示A和B的差集。
离散程度。
03
常数的方差为0。
04
05
方差越大，随机变量的取 值越离散；方差越小，随 机变量的取值越集中。
常见分布数学期望和方差
泊松分布
数学期望λ，方差λ 。
指数分布
数学期望1/λ，方差 1/λ²。
二项分布
数学期望np，方差 np(1-p)。
概率论与数理统计笔记(重要公式)
r = A 中样本点数 / Ω 中样本点总数 n
= A 所包含的基本事件数 / 基本事件总数 条件概率:
对偶律： A B = A B , P ( AB ) 设 A, B 是两个事件， 且 P(B)>0， 称 P(A|B)= 为 贝叶斯公式: P( B) 在事件 B 发生条件下事件 A 发生的条件概率。显然， 当 P(A)>0 时，P(B|A)=
二项分布 X ~ B(n, p)： 指数分布 X ~ E(λ) 若随机变量 X 只取两个可能值 0, 1, …, n, 而 X 的分布律为 e x x 0 若随机变量 X 的概率密度为 f ( x) k k nk pk =P {X= xk }= Cn p q , k=0, 1, 2, …, n, x0 0
设 X 为离散型随机变量， 可能取值为 x1, x2, …, xk, … 且 P 概率密度的性质： (1) f(x)≥0 {X= xk }= pk, k=1, 2, …, 则称{pk}为 X 的分布律 表格形式: f ( x)dx =1 (2) X x1, x2, …, xk, … b P p1, p2, …, pk, … (3) P{a<X≤b}= F(b)-F(a)= f ( x)dx , a≤b a {pk}性质： (4) 设 x 为 f(x)的连续点，则 F’(x)存在，且 （1） pk≥0, k=1, 2, … F’(x)= f(x) （2） pk =1 均匀分布 X ~ U (a, b) k 1 若随机变量 X 的概率密度为 在求离散型随机变量的分布律时，首先要找出其所有可能 1 , a≤x≤b 的取值，然后再求出每个值相应的概率 ba f(x) = 在实际应用中，有时还要求“X 满足某一条件”这样事件的 概率， 求法就是把满足条件的 xk 所对应的概率 pk 相加可得 0, 其他 则称 X 服从区间[a,b]上的均匀分布，其分布函数为 其分布函数 F(x) = pk xk x 0, x≤a 0-1 分布： xa F(x) = , a<x<b 若随机变量 X 只取两个可能值 0, 1，且 ba P {X=1}=p, P{X=0}=q 1, x≥b 其中 0<p<1, q=1-p, 则称 X 服从 0-1 分布. X 的分布律为 设 X ~ U (a, b), a≤c<d≤b，即[a,b] [c,d]，则 X 0 1 d c P{c≤X≤d}= P q p ba
事件的运算与关系解读
例如 A a,b,c, d B c, d,e, f A B a,b
例如： 体检 A1={身高合格} A2={体重不合格}
B ={身高合格且体重合格} B A1 A2
9
S6 : { t | t 0 }中 事件A ={ t | t 1000} “次品” 事件B ={ t | t 1000} “合格品”
19
例3 从一批 100件的产品中每次取出一个（取后不
放回），假设100件产品中有5件是次品，用事件AK 表示
第 k 次取到次品（k=1,2,3), 试用 A1 A2 A3 表示下列事件。
1、三次全取到次品。
A1 A2 A3
2、只有第一次取到次品
A1 A2 A3
3、三次中至少有一次取到次品 A1 UA2 UA3
1. A1 U A2 UL U An S
2. Ai A j (i j i, j 1,2, n)
则称 A1, A2, , An 为完备事件组。
A1
如:中华人民共和国地图由
31个省、市的版图（完备
A2
An 事件组）组成。
学生的考试成绩由 0－100分（101个完备事件组）组成。
14
第二节
第一章
事件的关系与运算
一 、事件的包含与相等 二、事件的运算与关系 三、事件的运算规律
1
事件间的关系及事件的运算
事件是一个集合，因而事件间的关系和运算,自然 按照集合论中的集合之间的关系和运算来处理。一次 随机试验, 有多个不同的事件发生。这些事件有些简单， 有些复杂。我们对其进行分析寻求它们之间的关系。
设事件 Ak 表示第 k 号管道正常工作，k=1，2，3。 B 表示“城市能正常供水”B，表示“城市断水”。
事件间的关系与事件的运算
第一周随机事件及其概率运算1.3事件间的关系与事件的运算事件关系（包含，相等，互不相容，对立）（1）包含关系：若事件,A B 满足A B⊂，则称事件B 包含事件A ，用示性函数表示为()()ωω≤A B I I .（2）相等关系：若A B ⊂，且A B ⊂，即B A =，则称事件A 与事件B 相等（或等价），为同一事件。
用示性函数表示为()()A B I I ωω=.（3）互不相容关系，也称互斥关系：对于事件A 、B ，如果不可能同时发生，则A 、B 称为互不相容事件，此时AB =Φ。
用示性函数表示为()()0A B I I ωω=.（4）对立关系：如果两个事件A 、B 中，=B “A 不发生”，则A 、B 称为具有对立关系（或互逆关系），又称B 为A 的对立事件，记为A B =。
用示性函数表示为()()1ωω+=A B I I .ΩΩ*********************************************************事件运算（和，积，差，交换律，结合律，分配律，结合律，对偶律）（1）事件的和：事件A 与事件B 的并集构成的事件称为事件A 与事件B 的和事件，记为A B 或A B +，即{}|A B x x A x B =∈∈ 或，如图所示的阴影部分.显然，当且仅当事件A 与事件B 至少有一个发生时，事件A B 才发生。
n 个事件n A A A ,,,21 的和事件，即为n 个集合的并集 n k k A 1=。
（2）事件的积（或交）：事件A 与事件B 的交集构成的事件称为事件A 与事件B 的积（或交）事件，事件A 与事件B 同时发生。
记为A B 或AB 。
n 个事件n A A A ,,,21 的积事件，即为n 个集合的交集 nk k A 1=。
（3）事件的差：事件A 与事件B 的差集所构成的事件称为事件A 与事件B 的差事件，记为B A -。
{}|A B x x A x B AB -=∈∉=且。
事件的关系和运算
A ,
A A,
A A,
A .
4. 事件的互不相容 (互斥)
若事件 A 、B 满足 A B AB .
则称事件 A与B互不相容.
实例 抛掷一枚硬币, “出现花面” 与 “出现字面” 是互不相容的两个事件.
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数 . 互斥 “骰子出现1点”
, 推广 称 Ak 为 n 个 事 件 A1 , A2 , , An 的 和 事 件即
k 1
n
A1 , A2 , , An至 少 发 生 一 个 ;
称 Ak 为 可 列 个 事 件1 , A2 , 的 和 事 件即 A ,
k 1
A1 , A2 , 至 少 发 生 一 个 .
(k 1,2,) 是 的子集 .
1. 包含关系 若事件 A 出现, 必然导致 B 出现 ,
则称事件 B 包含事件 A,记作 B A 或 A B.
实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合 格” 所以“产品不合格” 包含“长度不合格”. 图示 B 包含 A.
A
B
若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A, 则称事 件A与事件B相等,记作 A=B.
二、随机试验和随机事件
定义 在概率论中,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验. 1.试验在相同的条件下可以重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事先 明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确切知道哪一个结果 会出现.
说明 1. 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包 括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行 的 “调查”、“观察”、或 “测量” 等.
2. 随机现象
事件的运算与关系解读
则 A=B
3
例如
抛两个分币 A ={ 正好一个上 },
B={上，上}, C={至少一个上}, D={无下}.
AC BC BD
如例1中设 A { 取到的球号 2 } B { 取到的球号 4 } C { 取到的球号是偶数 }
D { 取到的球号1} 有 A B A C
事件C ={ t | t 1500} “一等品”
次品 0 1000
1500
BC
一等品
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4、互不相容事件
B
A
S
定义 事件A 与事件B 不能同时发生 的事件，称为事件A 与事件B 互不相容(互斥).
记为 A B 若 A B 则称A 与 B 相容.
（可同时发生）
注： 基本事件是两两互不相容的(互斥) 。
A B c, d
例如 电路图
A1={开关 K1 合上}
K1
K2
A2={开关 K2 合上}
B
B A1A2
7
类似，由“事件A1, A2, , An ” 中同时发生所构成的 事件，称为 A1, A2, , An 的积，记为 A1A2 An 或 A1 A2 An
例如： 设以 A1, A2, , An 表示毕业班一位学生的
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例3 从一批 100件的产品中每次取出一个（取后不
放回），假设100件产品中有5件是次品，用事件AK 表示
第 k 次取到次品（k=1,2,3), 试用 A1 A2 A3 表示下列事件。
1、三次全取到次品。
A1 A2 A3
2、只有第一次取到次品
A1 A2 A3
3、三次中至少有一次取到次品 A1 UA2 UA3
事件的关系与运算ppt课件
可以发现，事件E1和事件E2同时发生，相当于事件C2发生，用集
合表示就是：1,22,3 2 ，即E1 E2 C2 ，这时我们称事件C2
为事件E1和事件E2的交事件。
交事件（积事件）
一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件 中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这 个事件为事件A和事件B的交事件（或积事件），记故“甲向南”意味着“ 乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件.
二、事件的运算
例2 在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝{出现1 点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}， 事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大 于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}， 事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝ {出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请 举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断 上述哪些事件是和事件.
三、随机事件的表示及含义
例3 设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C 表示出来.(1)三个事件都发生；(2)三个事件至少有一个发生； (3)A发生，B，C不发生；(4)A，B都发生，C不发生；(5)A，B至 少有一个发生，C不发生；(6)A，B，C中恰好有两个发生.
解 (1)ABC (2)A∪B∪C (3) A B C (4)AB (5)(A∪B) (6)AB∪AC∪BC
A＝B
知识点二 交事件与并事件
观察事件：D1 1,2,3, E1 1,2, E2 2,3
可以发现，事件E1和事件E2至少有一个发生，相当于事件D1发生，