运筹学_8 对偶问题概念+转换方法
运筹学对偶问题及性质推荐PPT资料
(2) 非对称形式的对偶规划
一般称不具有对称形式的一对线性规划为 非对称形式的对偶规划。
对于非对称形式的规划，可以按照下面 的对应关系直接给出其对偶规划。
（1）将模型统一为“max，≤”或“min， ≥” 的形式，对于其中的等式约束按下面 （2）、（3）中的方法处理；
问1 ：写充出分线利性用规设划备问机题时的，对工偶j厂问应题j生产甲和乙型产品各多少件才B能获得最大利润？N
0
分别用单纯形法求解上述2个规划问题，得到最终单纯形表如下表：
项 目 (1) 对称性：对偶问题的对偶是原问题 ;
基变量
非基变量
XB
XN
Xs
CB XB B-1b
I
B-1N
B-1
cj-zj
0
CN-CBB-1N -CBB-1
2 x 1 2 x 2 12
s
.
t
x 4
1
x
1
2
x2 16
8
4
x2
12
x 1 , x 2 0
原问题
（对偶问题）
min 12y1 8y2 16y3 12y4
2y1 y2 4y3 0y4 2 s.t 2y1 2y2 0y3 4y4 3
y1,
y2 ,
y3,
y4
0
对偶问题 （原问题）
1 B
CB0 3 分别求解下列2个互为对偶关系的线性规划问题
1
1 写出线性规划问题的对偶问题
B
反过来问：若厂长决定不生产甲和乙型产品，决定出租机器用于接受外加工，只收加工费，那么４种机器的机时如何定价才是最佳决
运筹学对偶理论
动态规划的对偶性
动态规划的对偶性是指对于给定的动态规划问 题，可以构造一个与之对应的对偶问题，这两 个问题的最优解是相互对应的。
在动态规划中，原问题通常关注的是多阶段决 策的最优解，而对偶问题则关注的是如何将原 问题的最优解转化为一系列子问题的最优解。
对偶理论在动态规划中也有着广泛的应用，例 如在计算机科学、人工智能、控制系统等领域。
运筹学对偶理论
• 对偶理论概述 • 对偶理论的基本概念 • 对偶理论在运筹学中的应用 • 对偶理论的局限性与挑战 • 对偶理论案例分析
01
对偶理论概述
对偶问题的定义
对偶问题
在运筹学中，对偶问题是指原问题的 目标函数和约束条件保持不变，但变 量的约束方向被颠倒的问题。
线性规划中的对偶问题
在线性规划中，原问题为最大化问题 ，其对偶问题则为一个等价的线性规 划问题，目标函数变为最小化问题。
对偶理论面临的挑战
算法优化
01
对偶理论在求解大规模优化问题时，算法效率和稳定性面临挑
战。
多目标优化问题
02
对偶理论在处理多目标优化问题时，难以权衡和协调不同目标
之间的矛盾。
动态环境适应性
03
对偶理论在应对动态环境和不确定性因素时，需要进一步改进
和优化。
对偶理论的未来发展方向
拓展应用领域
进一步探索对偶理论在其他领域的应用，如金融、 医疗、交通等。
详细描述
在金融风险管理问题中，动态规划对偶理论可以用于确定 最优的风险管理策略，以最小化风险并最大化收益。通过 构建动态规划模型，可以找到最优的风险管理方案，提高 金融机构的风险管理能力。
总结词
动态规划对偶理论在电力系统优化问题中具有重要应用。
对偶问题的概念
对偶问题的概念
对偶问题是指在数学中，将一个问题中的某些概念和关系进行逆转，从而得到一个新的问题。
这个新问题与原问题有着相同的结构，但是问题的角度和方向却完全不同。
对偶问题的解法和结论也与原问题不同，但是它们之间有着密切的联系。
对偶问题的概念最早出现在欧几里得几何学中。
在欧几里得几何学中，对偶问题是指将点和线的概念进行逆转，从而得到一个新的几何系统。
在这个新的几何系统中，点和线的角色互换了，点变成了线，线变成了点。
这个新的几何系统被称为对偶几何。
在现代数学中，对偶问题的概念被广泛应用于各个领域。
例如，在图论中，对偶问题是指将一个图的面和边进行逆转，从而得到一个新的图。
在拓扑学中，对偶问题是指将一个空间的维度进行逆转，从而得到一个新的空间。
在线性规划中，对偶问题是指将一个线性规划问题进行逆转，从而得到一个新的线性规划问题。
对偶问题的研究不仅有助于深入理解数学中的基本概念和结构，还有助于解决实际问题。
例如，在计算机科学中，对偶问题被广泛应用于图像处理、计算几何、机器学习等领域。
通过对偶问题的研究，可以得到更加高效和优化的算法和模型，从而提高计算机科学的应用效果。
《运筹学对偶问题》课件 (2)
欢迎来到《运筹学对偶问题》PPT课件，本课程将探讨偶问题与对偶问题的定 义、线性、非线性和整数规划的对偶问题，以及对偶理论的应用与经济解释。
对偶问题与对偶问题的定义
什么是对偶问题？
探索如何将原始问题转化为对偶问题，实现问题的 优化与平衡。
对偶问题的定义
详细解释对偶问题的概念和特点，以及与原始问题 之间的关系。
非凸规划的对偶问题
探讨非凸规划问题的对偶性质和求解策略，分析其优缺点。
应用案例
介绍非线性规划对偶问题在实际问题中的应用案例和成果。
整数规划的对偶问题
整数规划的对偶问题
讨论整数规划问题的对偶性质和对偶问题的求解方 法。
二进制分解方法
介绍二进制分解方法在整数规划问题中的应用和优 化策略。
对偶理论的应用
1
交通运输规划
2
研究对偶理论在交通运输规划中的应用，
并分析其对交通流的优化作用。
3
供应链管理
探讨对偶理论在供应链管理中的应用， 优化供应链的效率和降低成本。
金融风险管理
应用对偶理论来管理金融风险，提高资 产配置和风险控制的效果。
对偶问题的经济解释
经济效益
分析对偶问题在经济领域的 应用，帮助优化资源的配置 和提高企业效益。
线性规划的对偶问题
1
松弛变量法
学习如何使用松弛变量法来求解线性规划问题的对偶问题，并了解其优缺点。
பைடு நூலகம்
2
对偶单纯形法
探索对偶单纯形法在求解线性规划问题中的应用，以及如何进行优化。
3
对偶理论的应用
研究对偶理论在实际问题中的实用性，并举例说明其应用。
非线性规划的对偶问题
运筹学 对偶问题概念转换方法
第15页，共16页。
内容总结
运筹学 对偶问题概念转换方法。原问题如何转化为对偶问题。对偶问题不能从字面理解为镜像问题。两种产品都需要在A、 B两种不同的设备上加工，每种产品在不同的设备上加工的工时、设备工时限制、这些产品销售收入如下表：。1个乙产品利润 150元/个。15。解为（30,15,0,0），最优值为8250。另一个问题：出租问题。将A、B设备出租，在合理的利润条件下，消耗的 资源至少是。解为（50/9，350/27，0，0），值为8250
y1, y2为自由变量
第14页，共16页。
Operational Research
115 5
练习三
min Z 2x1 3x2 5x3 x4
x1 x2 3x3 x4 5
s.t.
2x1 2x2 x4 4 x2 x3 x4 6
x1 0；x2 , x3 0；x4无约束
提示：min！！！
第5页，共16页。
Operational Research
6
引入对偶问题：举例
某汽车配件厂生产甲、乙两种产品。两种产品都需要在A、B两种不同的设备上加工，每 种产品在不同的设备上加工的工时、设备工时限制、这些产品销售收入如下表：
A B 利润（元/个）
甲乙
15
6
9
9
200 150
有效工时 540 405
max Z 200x1 150x2
s.t.195xx1196xx22
540 405
x1, x2 0
解为（30,15,0,0），最优值为8250
第6页，共16页。
Operational Research
7
引入对偶问题：举例
第一个问题：生产问题 另一个问题：出租问题
运筹学课件第二章对偶问题
第二章线性规划的对偶理论与灵敏度分析一、学习目的与要求 1、掌握对偶理论及其性质 2、掌握对偶单纯形法3、熟悉灵敏度分析的概念和内容4、掌握限制常数与价值系数、约束条件系数的变化对原最优解的影响5、掌握增加新变量和增加新的约束条件对原最优解的影响，并求出相应因素的灵敏度范围6、了解参数线性规划的解法 二、课时 6学时第一节 线性规划的对偶问题一、对偶问题的提出定义：一个线性规划问题常伴随着与之配对的、两者有密切联系的另一个线性规划问题，我们将其中一个称为原问题，另一个就称为对偶问题，在求出一个问题的解时，也同时给出了另一问题的解。
应用：在某些情况下，解对偶问题比解原问题更加容易；对偶变量有重要的经济解释(影子价格)；作为灵敏度分析的工具；对偶单纯形法(从一个非可行基出发，得到线性规划问题的最优解)；避免使用人工变量(人工变量带来很多麻烦，两阶段法则增加一倍的计算量)。
例：某家具厂木器车间生产木门与木窗；两种产品。
加工木门收入为56元/扇，加工木窗收入为30元/扇。
生产一扇木门需要木工4小时，油漆工2小时；生产一扇木窗需要木工3小时，油漆工1小时；该车间每日可用木工总共时为120小时，油漆工总工时为50小时。
问：(1)该车间应如何安排生产才能使每日收入最大？(2)假若有一个个体经营者，手中有一批木器家具生产订单。
他想利用该木器车间的木工与油漆工来加工完成他的订单。
他就要考虑付给该车间每个工时的价格。
他可以构造一个数学模型来研究如何定价才能既使木器车间觉得有利可图而愿意为他加工这批订单、又使自己所付的工时费用最少。
解(1)：设该车间每日安排生产木门x1扇，木窗x2扇，则数学模型为⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=-0502120343056max 21212121x x x x x x x zX*=(15,20)’ Z*=1440元解(2)：设y 1为付给木工每个工时的价格，y 2为付给油工每个工时的价格⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=-0303562450120min 21212121y y y y y y y wY*=(2,24)’ W*=1440元将上述问题1与问题2称为一对对偶问题，两者之间存在着紧密的联系与区别：它们都使用了木器生产车间相同的数据，只是数据在模型中所处的位置不同，反映所要表达的含义也不同。
运筹学对偶问题的直观描述
运筹学对偶问题的直观描述
运筹学中的对偶问题是指原始线性规划问题和对应的对偶线性规划问题之间的关系。
直观描述对偶问题可以从几个方面来理解。
首先，可以从成本和效益的角度来理解。
原始线性规划问题通常涉及最小化成本或者最大化利润，而对偶线性规划问题则涉及最大化成本或者最小化利润。
这种对偶关系可以被解释为在资源有限的情况下，通过最小化成本来实现最大化效益，或者通过最大化效益来实现最小化成本。
其次，可以从约束条件的角度来理解。
原始线性规划问题的约束条件对应着对偶线性规划问题的变量，而对偶线性规划问题的约束条件对应着原始线性规划问题的变量。
这种对偶关系可以被理解为在资源分配和利用的过程中，对约束条件和变量之间的转换和对应关系。
另外，可以从几何图形的角度来理解。
原始线性规划问题的最优解和对偶线性规划问题的最优解之间存在着一种对偶关系，即原始问题的最优解和对偶问题的最优解分别对应着凸集的两个相对的极值点，它们之间的距离可以被理解为对偶问题的最优值和原始问
题的最优值之间的关系。
总的来说，对偶问题在运筹学中具有重要的意义，它不仅可以帮助我们理解原始问题和对偶问题之间的关系，还可以为我们寻找最优解提供了一种新的视角和方法。
通过对偶问题的研究和理解，我们可以更好地解决实际生产和管理中的复杂问题。
对偶问题的原理和应用
对偶问题的原理和应用1. 对偶问题的概述对偶问题是线性规划领域的一个重要概念，它通过将原始问题转化为对偶形式，从另一个角度来解决问题。
对偶问题在优化领域有着广泛的应用，尤其在线性规划中起到了重要的作用。
2. 对偶问题的原理对偶问题的转化是基于线性规划的标准形式进行的。
假设我们有一个原始线性规划问题：最小化：c T x约束条件：$Ax \\geq b$ 变量约束：$x \\geq 0$其中，c是目标函数的系数向量，A是约束矩阵，b是约束条件的右侧常数向量。
对于原始问题，我们可以定义一个对偶问题。
对偶问题的定义如下：最大化：b T y约束条件：$A^Ty \\leq c$ 变量约束：$y \\geq 0$其中，y是对偶问题的变量向量。
对偶问题的目标函数和约束条件是原始问题的线性组合，并且满足一定的对偶性质。
3. 对偶问题的求解方法对偶问题的求解方法有两种：一种是通过求解原始问题得到对偶问题的最优解，另一种是通过求解对偶问题得到原始问题的最优解。
这两种方法都可以有效地解决线性规划问题。
3.1 原始问题到对偶问题的转换原始问题到对偶问题的转换可以通过拉格朗日对偶性定理来实现。
该定理表明，原始问题的最优解与对偶问题的最优解之间存在一种对偶性关系。
通过求解原始问题的对偶问题，我们可以获得原始问题的最优解。
3.2 对偶问题到原始问题的转换对偶问题到原始问题的转换可以通过对偶定理来实现。
该定理表明，对偶问题的最优解与原始问题的最优解之间存在一种对偶性关系。
通过求解对偶问题，我们可以获得原始问题的最优解。
4. 对偶问题的应用对偶问题在实际应用中具有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景。
4.1 线性规划问题对偶问题在线性规划中得到了广泛的应用。
通过将原始问题转化为对偶形式，我们可以使用对偶问题的求解方法来求解线性规划问题。
对偶问题可以提供原始问题的最优解，并且可以帮助我们理解原始问题的性质和结构。
4.2 经济学和管理学对偶问题在经济学和管理学中也有重要的应用。
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提示：min！！！
Operational Research
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练习三
max Z 5 y1 4 y2 6 y3 y1 2 y2 2 y y 3 1 3 s.t. 3 y1 2 y2 y3 5 y1 y2 y3 1 y 0；y 0；y 无约束 2 3 1
max Z 3 x1 x2 2 x3 3 x1 2 x2 3 x3 6 s.t. x1 2 x2 x3 4 x 0, i 1,2,3 i
min w 6 y1 4 y2 3 y1 y2 3 2 y 2 y 1 1 2 s.t. 3 y y 2 1 2 y1 , y2为自由变量
Operational Research
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练习一
max Z 70x1 30x2 3x1 9 x2 540 5 x 5 x 450 1 2 s.t. 9 x1 3 x2 720 x1 , x2 0
max w 540y1 450y2 720y3 3 y1 5 y2 9 y3 70 s.t.9 y1 5 y2 3 y3 30 y 0, i 1,2,3 i
解为（50/9，350/27，0，0），值为8250
Operational Research
8
对偶问题的实际意义：影子价格
Y*为影子价格，用于估计设备资源转让的费用。
• 当某种资源的市场价格低于影子价格时，应该买进 • 当某种资源的市场价格高于影子价格时，可以卖出
Operational Research
Operational Research
3
引入对偶问题
前面的问题：自己用设备生产最大效益 对偶问题：把设备租赁出去最低费用
Operational Research
4
引入对偶问题
对偶问题不能从字面理解为镜像问题 更好的翻译方法是 伴随问题
Operational Research
5
引入对偶问题：举例
原变量
变量个数 n 个 第 j 个约束 Xj ≥ 0 Xj ≤ 0 Xj 自由变量
对偶约束条件
变量个数 n 个 第 j 个约束 ≥ ≤ ＝
优化目标大变小，常数－价值互相换，系数矩阵要转置，约束－变量捉对变
Operational Research
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练习一
max Z 70x1 30x2 3x1 9 x2 540 5 x 5 x 450 1 2 s.t. 9 x1 3 x2 720 x1 , x2 0
9
对偶问题的形式
max Z c1 x1 c2 x2 cn xn
min w b1 y1 b2 y2 bn yn
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a11 y1 a21 y2 am1 ym c1 a x a x a x b a y a y a y c 12 1 22 2 m2 m 2 21 1 22 2 2n n 2 s.t. s.t. a y a y a y c a x a x a x b 1n 1 2n 2 mn m n m1 1 m2 2 mn n m y j 0, 1 j m xi 0, 1 i n
某汽车配件厂生产甲、乙两种产品。两种产品都需要在A、B两种不同的设备上加工 ，每种产品在不同的设备上加工的工时、设备工时限制、这些产品销售收入如下表：
甲
A B
利润（元/个）
乙
6 9
有效工时
540 405
15 9
200
பைடு நூலகம்150
每生产1个甲产品，需要A设备工作15个单位时间，B设备工作9个单位时间。 每生产1个乙产品，需要A设备工作6个单位时间，B设备工作9个单位时间。
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引入对偶问题：举例
第一个问题：生产问题 另一个问题：出租问题
•
将A、B设备出租，在合理的利润条件下，消耗的资源至少是？
（1）变量：y1、y2为A、B两种设备对外加工时，单位工时的价格。 （2）约束条件（生产者接受）：“合理”的利润条件是指，如果把A、B设备租出去生产 甲，所得收入不应少于200元；把A、B设备租出去生产乙，所得收入不应小于150元。
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Lec. 8 Operational Research 对偶问题 dual
Oct. 2012
ZHU Tong Chang’an University E-mail:zhutongtraffic@
Operational Research
2
提纲
• 引入对偶问题 • 对偶问题的实际意义 • 原问题如何转化为对偶问题
Operational Research
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练习三
min Z 2 x1 3x2 5 x3 x4 x1 x2 3x 3 x4 5 2 x1 2 x2 x4 4 s.t. x x x 6 2 3 4 x 0 ； x , x 0 ； x 4 无约束 1 2 3
Operational Research
13
练习二
max Z 3 x1 x2 2 x3 3 x1 2 x2 3 x3 6 s.t. x1 2 x2 x3 4 x 0, i 1,2,3 i
Operational Research
14
练习二
总结： 优化目标大变小，常数－价值互相换， 系数矩阵要转置，约束－变量捉对变。
Operational Research
10
对偶问题的形式
原问题 原目标函数 max Z 原约束条件
变量个数 m 个 第 i 个约束 ≤ ≥ ＝
对偶问题 对偶目标函数 min w 对偶变量
变量个数 m 个 第 i 个约束 yi ≥ 0 yi ≤ 0 yi 自由变量
甲 A B
利润（元/个）
乙 6 9 150
有效工时 540 405
max Z 200x1 150x2 15x1 6 x2 540 s.t. 9 x1 9 x2 405 x1 , x2 0
15 9 200
解为（30,15,0,0），最优值为8250
Operational Research
1个甲产品利润200元/个；1个乙产品利润150元/个
A设备最多工作540小时; B设备最多工作405小时
Operational Research
6
引入对偶问题：举例
某汽车配件厂生产甲、乙两种产品。两种产品都需要在A、B两种不同的设备上加工 ，每种产品在不同的设备上加工的工时、设备工时限制、这些产品销售收入如下表：
（3）目标函数（收购方意愿）：要租A、B设备，收购费用最少是多少。
甲 A B
利润（元/个）
乙 6 9 150
有效工时 540 405
15 9 200
15y1 9 y2 200 s.t. 6 y1 9 y2 150 y1 , y2 0 min w 540x1 405x2