运筹学大作业单纯性法与对偶单纯性法比较
运筹学-单纯形法灵敏度对偶
若新增约束如下：
max z 50x1 100x2 x1 x2 300 2x1 x2 400 x2 250 10x1 30x2 5000(电力约束) x1, x2 , 0
x1 x2 s1
把最优解x1=50,x2 =250代入电力约束 1050+30 250=80005000 新约束不满足,最优解变化
例题：已知某线性规划初始可行基是（S1 S2 S3 a1）， 最终单纯形表如下，求对偶价格不变时的△bi变化范围
x1 x2 s1
50 100 0
X1 50
1
0
0
S3 0
0
0
0
X2 100 0
1
0
s1 0
0
0
1
Zj
50 100 0
δj
0
0
0
（1） △b1的变化范围： ?
（2） △b2的变化范围：?
（3） △b3的变化范围： ? （4） △b4的变化范围：?
1 0 1 2 0.5
B1 p6'
2
1
1
0.5
2
0 0 1 1.5 1.5
Z6' 50 0.5 0 (2) 100 1.5 175
' 6
C6
Z6'
150 175
25
δ6´<0，最优解不变，即仍生产Ⅰ50件，Ⅱ100件。
2、变量xk系数列由pk变为pk´，在最终单纯形表 上xk是基变量
x1 x2 s1
50 100 0
X1 50 1
0
0
S3 0
0
0
0
X2 100 0
1
0
s1 0
0
韩伯棠管理运筹学(第三版)_第六章_单纯形法的灵敏度分析与对偶
迭代 基
次数 变 量
CB
x1 x2 。 s1 50 100 0
s2
s3
0 0b
x1 50 1 0 1
0 -1 50
S2 0 0 0 -2
1 1 50
2
x2 100 0 1 0
0 1 250
zj
50 100 50 0 50
σj=cj-zj
0 0 -50
0 -50 2750 0
❖
从上表可以发现设备台时数的约束方程中的松弛变量S1
j ck akj 0, ck akj j ,
当a kj
0, ck
j
akj
,这里 j
akj
0;
当a kj
0, ck
j
akj
,这里 j
akj
0;
而当j k时, k ck ck zk ck ck zk ckaKK ,
因为xk是基变量,知 k 0, akk 1,故知 k 0.
x1 x2 s1 50 100 0 1 01 0 0 -2 0 10
s2
s3
00
b
0 -1 50
1 1 50
0 1 250
zj σj=cj-zj
50 100 50 0 0 -50
0 50 0 -50
Z= 27500
先对非基变量s1的目标函数的系数C3进行灵敏度 分析。这里σ3=-50，所以当C3 的增量ΔC3≤-(-50)即 ΔC3≤50时，最优解不变，也就是说S1的目标函数的系 数C′3=C3+△C3≤0+50=50时，最优解不变。
规划问题的对偶价格就不变。而要使所有的基变量仍然
是基变量只要当bj 变化成b′j =bj+△bj时，原来的基不变所 得到的基本解仍然是可行解，也就是所求得的基变量的
西南交大《管理运筹学A》作业答案
2013-2014(1)学期《管理运筹学A》复习题二参考答案1．对偶单纯形法与单纯形法的主要区别是每次迭代的基变量都满足最优检验但不完全满足（非负）约束。
2．若原问题有最优解，那么对偶问题（一定）有最优解，且原问题与对偶问题的最优（目标函数值）相等。
3．原问题可行，而对偶问题不可行，则原问题（无）界。
4．一般的图都具有（点）和（边）两个要素。
5. 网络中从一点到另一点的所有路中各边权数之和最小的路称为（最短路）。
6. 线性规划问题的基本解一定是基本可行解。
（×）7.用单纯形法求解标准型线性规划问题时，与检验数大于0相对应的变量都可被选作换入变量。
（√）8. 在运输问题中，只要给出一组含有（m + n -1）个非零的x ij且满足全部约束，就可以作为基本可行解。
（×）9.表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。
（√）10．如果网络G中不含有流f的增流链，则网络的流为最大流。
（√）11. 增流链一定是不饱和链，不饱和链不一定是增流链。
（√）12. 如果网络G中含有流f的增流链，则网络的流值可以增加。
（√）13.网络的最小费用流与最小费用最大流是什么关系？答：网络的最小费用流是指网络的流值等于某一目标流的流值时，在这所有的流中费用最小的流；也就是在满足某一目标运输量下，所有的运输方案中，运输费用最小的运输方案。
而网络的最小费用最大流是指在网络流值达到最大时，所有流中费用最小的流；也就是达到运输网络最大运输量的所有运输方案中，运输费用最小的运输方案。
可以看出，网络的最小费用最大流是网络的最小费用流的一种特殊情况，即目标流的流值等于最大流的的流值的情况。
14．当线性规划的可行解集合非空时一定（D）A．包含原点X=(0,0,…,0) B．有界C．无界D．是凸集15. 有5个产地6个销地的平衡运输问题模型具有特征（D）A．有11个变量B．有10个约束C．有30约束D．有10个基变量16. 根据所给的表和一组解判断是否最优解，若不是，请求出最优解。
管理运筹学ppt6第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶ok
§ 1 单纯形表的灵敏度分析
解：首先求出x3在最终表上的系数列B−1P'6，zj,σj
迭代 基变
x1
x2
s1
s2
s3
x3
次数 量
cB
50 100
0
0
0
160
x1
50
1
0
1
0
-1
10.5
s2
0
0
0
-2
1
1
20
2
x2
100
0
1
0
0
1
1
zj
50
100
50
0
50 125
σj=cj-zj
0
0
-50
0
-50 35
➢ 基变量系数cB变化 ➢ 对所有的zj都变化，包括zk
z j cB p j
假设cB=(cB1, cB2,…, ck ,…,cBm)
(cB1, cB2,…, ck+ck ,…,cBm)
§ 1 单纯形表的灵敏度分析
原最优单纯形表可表示如下。
迭代 基变
…
xk
…
xj
…
次数 量
cB
…
ck
…
cj
…
xB1
若要最优解不变
j = j ck akj
当j≠k时， j
0
akj 0
ck
j
akj
akj 0
ck
j
akj
当j=k时， k ck ck zk
xk为基变量 k 0, akk 1
k = 0
=ck ck zk ck akk
max{
j
天大18春《运筹学》在线作业一二满分
天⼤18春《运筹学》在线作业⼀⼆满分天⼤18春《运筹学》在线作业⼀-0001试卷总分:100 得分:100⼀、单选题 (共 40 道试题,共 100 分)1.在求极⼤值的线性规划问题中，松弛变量在⽬标函数中的系数为A.0B.极⼤的正数C.绝对值极⼤的负数D.极⼤的负数正确答案 :A更多 Q Q 2959415429 微信 open45112.⽬标函数取极⼩化的线性规划可以转化为⽬标函数取极⼤化后两者的最优解（）A.maxZB.max（-Z）C.相关⼀个符号D.相同正确答案 :D3.在求极⼩值的线性规划问题中，松弛变量在⽬标函数中的系数为A.0B.极⼤的正数C.绝对值极⼤的负数D.极⼤的负数正确答案 :A4.关于树的概念，叙述不正确的是（）A.树中的线数等于点数减1B.树中再添⼀条连线后必定含圈C.树中删去⼀条连线后不连通D.树中两点之间的通路可能不唯⼀正确答案 :D5.⽬标函数取极⼩化的线性规划可以转化为⽬标函数取极⼤化即（）的线性规划问题求解A.maxZB.max（-Z）C.相关⼀个符号D.相同6.服务机构的研究内容包括（）A.服务台数量B.服务规律C.到达规律D.服务台数量和服务规律7.在完全不确定下的决策⽅法不包括下列的哪⼀项（）A.悲观法B.乐观法C.最⼤收益法D.等可能性法8.离散型动态规划常⽤求解⽅法是（）A.表格⽅式B.公式递推C.决策树D.多阶段决策9.ABC分类法是对库存的物品采⽤按（）分类的A.物品质量B.物品价格C.物品数量D.物品产地10.设置了安全库存量后，（）将会增加。
A.经济订货量B.年订货次数C.销售量D.库存保管费⽤11.在求极⼩值的线性规划问题中，⼈⼯变量在⽬标函数中的系数为A.0B.极⼤的正数C.绝对值极⼤的负数D.极⼤的负数12.（）表⽰各个阶段开始时所处的⾃然状况或客观条件。
A.状态B.决策C.状态转移D.指标函数13.可⾏流应满⾜的条件是（）A.容量条件B.平衡条件C.容量条件和平衡条件D.容量条件或平衡条件14.从起点到终点的任⼀线路上的流量能⼒取决于（）A.其中具有最⼤流量的⽀线B.其中具有最⼩流量的⽀线C.其中各⽀线流量能⼒之和D.其中各⽀线的数⽬15.从起点到终点的最短路线，以下叙述（）正确A.从起点出发的最短连线必包含在最短路线中B.整个图中的最短连线必包含在最短路线中C.整个图中的最长连线可能包含在最短路线中D.从起点到终点的最短路线和最短距离都是唯⼀的16.从带连数长度的连通图中⽣成的最⼩⽀撑树，叙述不正确的是（）A.任⼀连通图⽣成的各个最⼩⽀撑树总长度必相等B.任⼀连通图⽣成的各个最⼩⽀撑树连线数必相等C.任⼀连通图中具有最短长度的连线必包含在⽣成的最⼩⽀撑树中D.最⼩⽀撑树中可能包括连通图中的最长连线17.下列假设不是经济批量库存模型的是（）A.需求量均匀B.提前量为零C.允许缺货D.瞬时补充18.设某企业年需1800吨钢材，分三次订货，则平均库存量为（）A.1800吨B.900吨C.600吨D.300吨19.（）是⽤来衡量所实现过程优劣的⼀种数量指标。
2023年运筹学大作业单纯性法与对偶单纯性法的比较
2023年运筹学大作业单纯性法与对偶单纯性法的比较目前，运筹学领域中的单纯性法和对偶单纯性法是两种最为常用的线性规划求解方法。
随着科技和工业的不断发展，未来的运筹学研究也将越来越受到人们的关注。
因此，在未来的2023年中，我们不仅需要掌握这两种方法的基本概念和原理，还需要深入的了解它们的比较和应用。
第一章单纯性法的基本原理单纯性法是一种常用的线性规划求解方法，其基本流程可以归纳为以下几个步骤：1. 确定一个基本可行解；2. 判断该基本可行解是否是最优解；3. 如果不是最优解，则选择一个入基变量和一个出基变量；4. 对出基变量进行互换，更新基本可行解；5. 重复执行步骤2至步骤4，直至得到最优解。
单纯性法的优点在于可快速地求得最优解，特别是在少数变量和简单约束的情况下，可以快速解决线性规划问题。
但是，当规模较大或者约束条件复杂时，单纯性法很可能会陷入循环，导致计算时间过长。
第二章对偶单纯性法的基本原理对偶单纯性法是单纯性法的一种扩展，其实质是对线性规划模型的对偶模型进行求解。
其基本流程可以归纳为以下几个步骤：1. 确定一个对偶基本可行解；2. 判断该对偶基本可行解是否是最优解；3. 如果不是最优解，则选择一个入基变量和一个出基变量；4. 对出基变量进行互换，更新对偶基本可行解；5. 重复执行步骤2至步骤4，直至得到最优解。
对偶单纯性法的优点在于可以避免陷入循环的情况，同时，还可以通过求解对偶问题来产生原问题的最优解。
第三章两种方法的比较从计算复杂度的角度来比较单纯性法和对偶单纯性法，很明显对偶单纯性法更加高效。
因为对偶单纯性法的目标函数和限制条件比原问题要少，因此需要的计算步骤相对更少。
但是，在实际操作中，对偶单纯性法的计算结果通常需要进行一次转换才能得到原问题的最优解。
从求解结果的角度来比较单纯性法和对偶单纯性法，也可以发现它们的区别。
在某些情况下，单纯性法得出的最优解不一定是方案的唯一最优解，而对偶单纯性法则可以直接得到原问题的唯一最优解。
对偶单纯形法
1. 换出变量的确定原则
常数列中最小的负元素所在的行所对应的基变量为换出变量.
p11-1
§3.4 灵敏度分析
运筹学
灵敏度分析——研究系数变化对最优解的影响.
一、改变价值向量
在最终表内, cr的变化只引起检验数的变化, 需重新计算检验数.
§3.3 对偶单纯形法
运筹学
一、对偶单纯形法与单纯形法的区别
对 运用对偶单纯形法时, 不需要引入人工变量, 但必须先给 定原问题的一个对偶可行基本解.
二、对偶单纯形法的求解方法
▲ 以求解下述线性规划 问题为例
min z 2x1 3x2 4x3 s.t. x1 2x2 x3 3
二、改变资源向量
在最终表内, br的变化只引起右端项的变化, 需重新计算右端项. 利用B-1(b+b).
三、改变A中的一列
通常是非基变量所对应的列, 需重新计算检验数.
四、增加一个新的约束条件
五、增加一个新的变量
p11-2
运筹学
作业：P81第1.12题之（2）； 第1.13题
p11-3
线性规划的解法
线性规划的解法线性规划是现代数学中的一种重要分支，它是研究如何在一定约束条件下优化某种目标函数的一种数学方法。
在现实生活中，许多问题都可以用线性规划求解。
如在生产中，如何安排产品的产量才能最大化利润；在运输中，如何安排不同的运输方式最大程度降低成本等等。
线性规划的解法有多种，下面我们就来对其进行详细的介绍。
1. 单纯形法单纯形法是线性规划中最重要的求解方法之一，它是由Dantzig于1947年提出的。
单纯形法的基本思路是从某一个初始解出发，通过挑选非基变量，使得目标函数值逐步减少，直到得到一个最优解。
单纯形法的求解过程需要确定初始解和逐步迭代优化的过程，所以其求解复杂度较高，但是在实际中仍有广泛应用。
2. 对偶线性规划法对偶线性规划法是一种将线性规划问题转化为另一个线性规划问题来求解的方法。
这种方法的主要优势是，它可以用于求解某些无法用单纯形法求解的问题，如某些非线性规划问题。
对偶线性规划法的基本思路是将原问题通过拉格朗日对偶性转化为对偶问题，然后求解对偶问题，最终得到原问题的最优解。
3. 内点法内点法是一种由Nesterov和Nemirovsky于1984年提出的方法，它是一种不需要寻找可行起点的高效的线性规划求解方法。
内点法的基本思路是通过不断向可行域的内部靠近的方式来求解线性规划问题。
内点法的求解过程需要实现某些特殊的算法技术，其求解效率高，可以解决一些规模较大、约束条件复杂的线性规划问题。
4. 分枝定界法分枝定界法是一种通过逐步将线性规划问题分解成子问题来求解的方法。
这种方法的基本思路是，在求解一个较大的线性规划问题时，将其分解成若干个较小的子问题，并在每个子问题中求解线性规划问题，在不断逐步求解的过程中不断缩小问题的规模，最终得到问题的最优解。
总之，不同的线性规划解法各有千秋，根据实际问题的需要来选择合适的求解方法是非常重要的。
希望本文能够对您有所帮助。
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C C C B Y B B YB
B
1
B
B
sB
1
B
0
(13)
1
1
CN YN CN CB B N Y sB B N 0
(14)
将（ 13）、（ 14）合并得
(C B ,CN )
Y( B, N )
(C B ,CN)
C B Y B (
1
B
sB 1)( B, N )
0
(15)
整理得
C B Y B C
1
B
A
sB
题的解的方法。
2）为什么要引入对偶单纯形法：
单纯形法是解线性规划的主要方法，对偶单纯形法则提高了求解线性规划问题的效率，
因为它具有以下优点：
（1）初始基解可以是非可行解 , 当检验数都为负值时 , 就可以进行基的变换 , 不需加入
人工变量 , 从而简化计算；
（2）对于变量多于约束条件的线性规划问题 , 用对偶单纯形法可以减少计算量 , 在灵敏度
1
1
1
X N 0 ， X S 0 。显然，若 B b 0，且 (CN CB B N ) 0 ， C B B X S 0 ，则
基解 X
1
B b 为该线性规划的最优解 , 此时检验数均大于零 , 见表 1。
0
通过上面的分析 , 我们知道单纯形表的检验数实际上是目标函数中基变量、非基变量 的价值系数 , 又由对偶理论知道它们是相应对偶问题的一个 ( 加一个负号 ) 基解。那么表
Y C YB
sB
B
⑸
Y C YN
sN
N
⑹
由式⑸得到
1
1
Y CB B Y sB B
⑺
Y C B Y C B C 通过令
0 ，由式(5) 得对偶问题的基解 Y
sB
1
B , 代入式 (6) 得 sN
1
B
N
,
N
1
1
将式 (7) 对偶问题的目标函数得 w C B B b Y sB B b 。显然若目标函数达到最小 , 非基
z=w。据此可知，用单纯
形法求解线性规划问题时，在得到原问题的一个基可行解的同时，在检验数行得到对偶问
题的一个基解，并且将两个解分别代入各自的目标函数时其值相等。
我们知道， 单纯形法计算的基本思路是保持原问题为可行解 （这时一般其对偶问题为非
可行解）的基础上，通过迭代，增大目标函数，当其对偶问题的解也为可行解时，就达到
Y 变量 sB 的价值系数要求大于等于零
题的非基变量检验数。 二．对偶单纯形法的算法步骤
(1) 确定换出基的变量
,
单纯形表
b列
B
1
b
0,
即
B
1
b
0 实际上是对偶问
设原问题为（ 1），对偶问题为（ 3）。由 A
( B, N ), C
(C B
,C
)
N
，不等式
YA
C 则可分
解为
YB C B, YN CN
(8)
1
b)i | (
1
b)i 0 (
1
b)l ，
x 确定单纯形表的换出基变量
，即（在单纯形表中的）对偶问题相应的换入基变量
l
y， ml
⑵
X,X s 0C C C 其中 C ( Nhomakorabea,
B
N) ，
N 0 (0,0,...,0) ， A ( B, N ) ， X
X B ，则其对应的线性约束转 XN
换为 X B
1
B XN
1
B Xs
0， X B
1
Bb
1
B XN
1
B X s ，代入目标函数得
1
1
1
1
Z CB B b (C N C B B ) X N CB B X S ，相应的一个基解为 X B B b ，
对 偶单纯形法与单 纯形 法对比分析
1．教学目标： 通过对偶单纯形法的学习，加深对对偶问题的理解
2．教学内容：
1）对偶单纯形法的思想来源
2）对偶单纯形法原理
3．教学进程：
1）讲述对偶单纯形法解法的来源：
所谓对偶单纯形法，就是将单纯形法应用于对偶问题的计算，该方法是由美国数学家
C. 莱姆基于 1954 年提出的， 它并不是求解对偶问题解的方法， 而是利用对偶理论求解原问
1
A
0
(16)
C B 其中 C
C B B 1 A 是单纯形表中 X变量的检验数 , 记 C
B
1
A
(
j) ，
(j=1,2,....,n),
B a B 1
'
A ( ij )mxn 矩阵，显然，若 Y为基可行解，而若
1
b
0 ，则对偶问题
C B Y B B B B 的目标函数 w
1b
B
sB
1 b 未取得最小值，取 min (
分析及求解整数规划的割平面法中 , 有时适宜用对偶规划单纯形法。
由对偶问题的基本性质可以知道， 线性规划的原问题及其对偶问题之间存在一组互补的
基解，其中原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题的变
量；这些互相对应的变量如果在一个问题的解中是基变量，则在另一问题的解中是非基变
量；将这对互补的基解分别代入原问题和对偶问题的目标函数有
单纯形法是求解线性规划的主要方法 , 单纯形表则是单纯形法和对偶单纯形法的运算
工具。设线性规划问题为
Max Z
n
cj xj
j1
n
a x b ij j
s.t. j 1
(i 1, . .m. ,)
i
⑴
xj 0( j 1, . . .n.) ,
将其化为标准形式，得 Max Z= CX
s.t. AX X s b
进一步添加松弛变量有等式（ 5）、（ 6），对等式（ 5）两端同时左乘 B 1 有
1
1
Y Y sB B CB B
(9)
Y B 将 sB 1 移至等式右端得
1
1
Y Y sB B CB B
(10)
由不等式（ 8）得
CB YB 0
(11)
CN YN 0
(12)
将式（ 10）代入不等式（ 11）、（ 12）得
Min w YB
s.t. YA Y S C
⑷
Y,Y S 0
C C Y Y 由 C
(
,
B
)
N
，
A
( B, N ) ， Ys 为松弛变量，
Ys 相应分解为
、 ，其中
sB
sN
Y y y y Y y y y sB
( , ,.... , )
m1 m1
2m
0，
sN
(
,
2m 1
,....,
2m 2
)
2n
0 。得：
了目标函数的最优值。 那么对偶单纯形法的基本思想可以理解为保持对偶问题为可行解 （这
时一般原问题为非可行解）的基础上，通过迭代，减小目标函数，当原问题也达到可行解
时，即达到了目标函数的最优值。其实对偶单纯形法本质上就是单纯形法
, 只不过在运用
时需要将单纯形表旋转一下而已。
一 . 单纯形法和对偶单纯性法
1
中 b 列的数字仅仅表示的是 X B 的取值吗 ? 我们可以猜想 B b 很可能是对偶问题的检验
数。这里首先给出问题 (1) 的对偶问题的一般形式
m
Min w
bi yi
i1
m
a y c s.t. i 1 ij i
j ( j 1,..., n)
⑶
yi 0(i 1,....,m)
将问题（ 3）化为标准形式，得