西北角法：运筹学表上作业法初始基可行解的确定
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运输问题 表上作业法
A B C 销量（ 销量（bj）
第一步：从表4 中找出最小运价“1”， 第一步：从表4-1中找出最小运价“1”， 最小运 价所确定的供应关系为（ ），在 价所确定的供应关系为（B，甲），在（B，甲） 的交叉格处填上“3”，形成表4 的交叉格处填上“3”，形成表4-2；将运价表的 甲列运价划去得表4 甲列运价划去得表4-3.
8.伏格尔法 8.伏格尔法
伏格尔法的基本步骤： 伏格尔法的基本步骤： 1.计算每行、列两个最小运价的差； 1.计算每行、列两个最小运价的差； 计算每行 2.找出最大差所在的行或列 找出最大差所在的行或列； 2.找出最大差所在的行或列； 3.找出该行或列的最小运价 确定供求关系， 找出该行或列的最小运价， 3.找出该行或列的最小运价，确定供求关系，最大量 的供应 ； 4.划掉已满足要求的行或 4.划掉已满足要求的行或 (和) 列，如果需要同时划 去行和列， 去行和列，必须要在该行或列的任意位置填个 0”； “0”； 5.在剩余的运价表中重复1~4步 在剩余的运价表中重复1~4 5.在剩余的运价表中重复1~4步，直到得到初始基可 行解。 行解。
2.表上作业法与单纯形法的关系 2.表上作业法与单纯形法的关系
表上作业法中的最小元素法和伏格尔法实质 上是在求单纯形表中的初始基可行解； 上是在求单纯形表中的初始基可行解； 表上作业法中的“位势法” 表上作业法中的“位势法”实质上是在求单 纯形表中的检验数； 纯形表中的检验数； 调运方案表中数字格的数实质上就是单纯形 法中基变量的值； 法中基变量的值； 调运方案表上的“闭回路法” 调运方案表上的“闭回路法”实质上是在做 单纯形表上的换基迭代。 单纯形表上的换基迭代。
甲 A B C 销量（ 销量（bj） 表4-14 A B C
两最小元素之差
运输问题-初始基可行解的确定
销地 产地
B1
4
B2
12
B3
4 3
B4
11 9 6 14
产 量
A1 A2
A3
销 量
8
2
8
10
16
10
② ④
6
8 5
4
11
x32
22
48
8
①
14 6 ③
12 8
表 3-2
销地 产地
B1
4
B2
12
B3
4 3
B4
11 9 6
产 量
A1 A2
A3
销 量
8
2
8
10
16
10
② ④
6
8 5 14 6 ① ③
4
11 12 8 ⑤ 14
表上作业法
计算步骤： 1、给出初始方案 2、检验是否最优 3、调整调运方案 , Go to 2
一、给出运输问题的初始可行解（初始调运方案） 下面介绍三种常用的方法。
最小元素法 西北角法 沃格尔(Vogel)法
1。最小元素法 思想：优先满足运价（或运距）最小的供销业务。
表 3-2
销地 产地
B1
11
产 量
1
2
3
A1 A2
16 9 10
0 0 1 1 1 2
A3
销 量 列 罚 数
6
8
22 48
14
8 2 2 14 5
14 6
3 3
1 2 3
销 地 产地
行罚数
B1
4
B2
12 10 5
B3 4 3 11 12 1 1 1
B4
11
B1
4
B2
12
B3
4 3
B4
11 9 6 14
产 量
A1 A2
A3
销 量
8
2
8
10
16
10
② ④
6
8 5
4
11
x32
22
48
8
①
14 6 ③
12 8
表 3-2
销地 产地
B1
4
B2
12
B3
4 3
B4
11 9 6
产 量
A1 A2
A3
销 量
8
2
8
10
16
10
② ④
6
8 5 14 6 ① ③
4
11 12 8 ⑤ 14
表上作业法
计算步骤： 1、给出初始方案 2、检验是否最优 3、调整调运方案 , Go to 2
一、给出运输问题的初始可行解（初始调运方案） 下面介绍三种常用的方法。
最小元素法 西北角法 沃格尔(Vogel)法
1。最小元素法 思想：优先满足运价（或运距）最小的供销业务。
表 3-2
销地 产地
B1
11
产 量
1
2
3
A1 A2
16 9 10
0 0 1 1 1 2
A3
销 量 列 罚 数
6
8
22 48
14
8 2 2 14 5
14 6
3 3
1 2 3
销 地 产地
行罚数
B1
4
B2
12 10 5
B3 4 3 11 12 1 1 1
B4
11
2014运筹学-03-2表上作业法
销地
B3 3 x14 8 B4 10
供应
7 4
需求
3
6
5
6
20
元素差额法(VAM法) 例 设有A1, A2和A3的产品需要运到B1, B2, B3 . 元素差额法是在最小元素法的基础上改进的 和 B4四个销地，求如何调运使总运费最少？ 在确定产销关系时，不从最小元素开始，而 从运输表中各行各列的最小元素和次小元素 产地 销地 供应 B1 B2 B3. B4 之间的差额来确定产销关系
2
5
×
3 差 额
3
8
4
4
×
6
2 1
1
1 5
2 8
3 2
初始调运方案为
2 3 5 9 7 1 2 5 4 3 2 4 88
作业： 用元素差额法求解下列问题的调运方案
产地
B1 A1 x11 A2 x21 A3 x31 7 x32 1 x22 4 x33 3 x12 9 x23 10 x34 B2 11 x13 2 x24 5 9
初始总运费为
5 9 4 7 3 1 2 2 3 4 4 2 100
作业： 用最小元素法求解下列问题的调运方案
产地
B1 A1 x11 A2 x21 A3 x31 7 x32 1 x22 4 x33 3 x12 9 x23 10 x34 B2 11 x13 2 x24 5 9
供 应
9 9-3 9-3-6 5 5-2 5-2-3 7 7-1 21
3
A2 A3 需求
1
6-6 6
初始调运的运费为
3 2 6 9 2 3 3 4 1 2 6 5 110
管理运筹学之第七章 运输问题
2、判断是否最优；——闭回路法、位势法
3、若不是最优，进行调整，直到找到最优解。
例：某公司有三个生产厂商和四个销售公司，运价，产量， 销量如下表： 运
销 地
B1
3 1 7 3
B2
11 9 4 6
B3
3 2 10 5
B4
10 8 5 6
产量
7 4 9 20|20
产
费
地
A1 A2 A3
销量
1、确定初始基本可行解——西北角法 运
目标函数：
min f
c
i 1 j 1
m
n
ij
x ij
约束条件：
j 1 n
x ij s i ( i 1, 2 ,..., m ) x ij d j ( j 1, 2 ,..., n )
i 1
m
x ij 0
注意：
运输问题可能的一些变化：
1、目标函数是求最大值。如运输公司要求营业额最大化。
销 地
B1 2 10 7 2
B2 11 3 8 3
B3 3 5 1 4
B4 4 9 2 6
D 0 0 0 4
产量 7 5 7 19
A1 A2 A3 销量
例：有三个地方B1、B2、B3 分别需要煤3000、1000、2000吨， 由A1,A2两个地方来供应，其供应量分别为4000，1500吨，其 运价如下表：
1 广州
2 大连
解：Xij表示从I到j的运输量。
min f 2 x13 3 x14 3 x 23 x 24 2 x 35 6 x 36 4 x 45 3 x 37 6 x 38 4 x 46 6 x 47 5 x 48 4 x 28
运筹学【运输问题】考研必备
22
13
12 0
最小元素法(2)
1 6 1 8 2 5 3 22 9 4 7
2 5
3 3
4 14 1
132 712来自10 62715
19 13 12 0 13 0
最小元素法(3)
1 6 1 8 2 5 3 22 9 4 7
2 5
3 3
4 14 1
13
2 7
13
10
12
6
27
2
19 13 0 12 0 13 0
解: 西北角法
销地 产地
B1 6 4 7 2
B2 5 4 6 4
B3 3 7 5 3
B4 4 5 8 4
产量
A1 A2 A3
销量
4 6 3 13
(1) 从图的西北角开始, 填入a1与b1较小的值,b1=2, 即从A1运 给B1(2吨)B1已满足, 划去b1列, 并将a1=4-2=2
销地 产地
B1 26 4 7 2-2
例2
供应地 运价 销售地 1 a1=14 供 应 量 1 6 7 5
b1=22
a2=27
2
a3=19
3
3 8 4 2 7 5 9 10 6
2
b2=13
销 售 量
3
b3=12
4
b4=13
解:
初始基础可行解—最小元素法(1)
1 1 6 7
2 5
3 3
4 14
2
8
4
2
7
27
15
12
3 5 9 10 6 19 13
如何调运产品才能使总运费最小？
销地 产地
B1 6 4 7 2
B2 5 4 6 4
第二节运输问题求解表上作业法
从上面的讨论可以看出，当某个非 基变量增加一个单位时，有若干个基变 量的取值受其影响。
22
这样，利用单位产品变化（运输的 单位费用）可计算出它们对目标函数的 综合影响，称这个综合影响为该非基变 量对应的检验数。
上面计算的两个非基变量的检验数
为 24 = -1，22 = 1。
闭回路方法原理就是通过寻找闭回路 来找到非基变量的检验数。
表4-11 初始基本可行解及检验数
销地
B1
B2
B3
B4
产地
A1
3
11
3
10
[1] [2]
4
3
A2
1
9
2
8
3 [1]
1 [-1]
A3
7
4
10
5
[10]
6 [12]
3
销量
3
6
5
6
产量 7 4 9
20(产销平衡)
25
显然，当所有非基变量的检验数 均大于或等于零时，现行的调运方案就 是最优方案，因为此时对现行方案作任 何调整都将导致总的运输费用增加。
mn
Min f = cij xij
i=1 j=1
n
s.t.
j=1
xij
si
i = 1,2,…,m
m
xij =dj j = 1,2,…,n
i=1
xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
40
2.运输问题求解
—表上作业法
只要在模型中的产量限制约束（前m
个不等式约束）中引入m个松弛变量 xin+1 i= 1,2,…,m 即可，变为：
第二节 运输问题求解 —表上作业法
22
这样，利用单位产品变化（运输的 单位费用）可计算出它们对目标函数的 综合影响，称这个综合影响为该非基变 量对应的检验数。
上面计算的两个非基变量的检验数
为 24 = -1，22 = 1。
闭回路方法原理就是通过寻找闭回路 来找到非基变量的检验数。
表4-11 初始基本可行解及检验数
销地
B1
B2
B3
B4
产地
A1
3
11
3
10
[1] [2]
4
3
A2
1
9
2
8
3 [1]
1 [-1]
A3
7
4
10
5
[10]
6 [12]
3
销量
3
6
5
6
产量 7 4 9
20(产销平衡)
25
显然，当所有非基变量的检验数 均大于或等于零时，现行的调运方案就 是最优方案，因为此时对现行方案作任 何调整都将导致总的运输费用增加。
mn
Min f = cij xij
i=1 j=1
n
s.t.
j=1
xij
si
i = 1,2,…,m
m
xij =dj j = 1,2,…,n
i=1
xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
40
2.运输问题求解
—表上作业法
只要在模型中的产量限制约束（前m
个不等式约束）中引入m个松弛变量 xin+1 i= 1,2,…,m 即可，变为：
第二节 运输问题求解 —表上作业法
运筹学第三章 运输问题
则称该运输问题为产销平衡问题；否则，称 产销不平衡。首先讨论产销平衡问题。
8
1.运输问题模型及有关概念
表4-3 运输问题数据表
销地
产地
A1 A2
┇
Am
销量
B1 B2 … Bn
c11
c12 … c1n
c21
c22 … c2n
┇ ┇ ┇┇
cm1
cm2 … cmn
b1
b2 … bn
产量
a1 a2
┇
am
设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运
式（4-8）中的变量称为这个闭回路的顶点。
22
1.运输问题模型及有关概念
例如，x13, x16, x36, x34, x24, x23 ； x23, x53, x55, x45, x41, x21 ； x11, x14, x34, x31等都是闭回路。
若把闭回路的各变量格看作节点， 在表中可以画出如下形式的闭回路：
得到下列运输量表：
4
1.运输问题模型及有关概念
Min Z s.t.
= 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23 x11+ x12 + x13 = 200
x21 + x22+ x23 = 300
x11 + x21 = 150
x12 + x22 = 150
x13 + x23 = 200
2.每列只有两个 1，其余为 0，分别 表示只有一个产地和一个销地被使用。
7
1.运输问题模型及有关概念
一般运输问题的线性规划模型及求解思路
一般运输问题的提法：
假设 A1, A2,…,Am 表示某物资的m个 产地；B1,B2,…,Bn 表示某物资的n个销地； ai表示产地 Ai 的产量；bj 表示销地 Bj 的 销量；cij 表示把物资从产地 Ai 运往销地 Bj 的单位运价（表4-3）。如果 a1 + a2 + … + am = b1 + b2 + … + bn
8
1.运输问题模型及有关概念
表4-3 运输问题数据表
销地
产地
A1 A2
┇
Am
销量
B1 B2 … Bn
c11
c12 … c1n
c21
c22 … c2n
┇ ┇ ┇┇
cm1
cm2 … cmn
b1
b2 … bn
产量
a1 a2
┇
am
设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运
式（4-8）中的变量称为这个闭回路的顶点。
22
1.运输问题模型及有关概念
例如，x13, x16, x36, x34, x24, x23 ； x23, x53, x55, x45, x41, x21 ； x11, x14, x34, x31等都是闭回路。
若把闭回路的各变量格看作节点， 在表中可以画出如下形式的闭回路：
得到下列运输量表：
4
1.运输问题模型及有关概念
Min Z s.t.
= 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23 x11+ x12 + x13 = 200
x21 + x22+ x23 = 300
x11 + x21 = 150
x12 + x22 = 150
x13 + x23 = 200
2.每列只有两个 1，其余为 0，分别 表示只有一个产地和一个销地被使用。
7
1.运输问题模型及有关概念
一般运输问题的线性规划模型及求解思路
一般运输问题的提法：
假设 A1, A2,…,Am 表示某物资的m个 产地；B1,B2,…,Bn 表示某物资的n个销地； ai表示产地 Ai 的产量；bj 表示销地 Bj 的 销量；cij 表示把物资从产地 Ai 运往销地 Bj 的单位运价（表4-3）。如果 a1 + a2 + … + am = b1 + b2 + … + bn
运筹学-表上作业法
B1
B2
B3
B4
产量
A1 3
11
3 4 10 3 7
A2 1 3 9
2 18
4
A3 7
4 6 10
5 39
销量
3
6
5
6
Z=4×3+3×10+3×1+1×2+6×4+3×5=86
13
2.确定初始基本可行解
为保证基变量的个数有m+n-1个， 注意：
❖1、每次填完数，只能划去一行或一列，只 有最后一个格子例外。
B1
B2
11 = 1
3
12 = 2 22= 1
B3
B4
4
3
1
24 = -1
31 = 10
6
33 = 12
3
3
6
5
6
产量 7 4 9
❖最优标准：所有检验数ij ≥0
27
3.最优性检验 ❖2、位势法
❖ 闭回路法的缺点：当变量个数较多时，寻找闭回路以及计算 两方面都容易出错。
位势法检验步骤：
❖ 1）设产地Ai对应的位势量为ui ，销地Bj对应的位势量为vj； ❖ 2势）U由i ，ijV=Cj ，ij-（即UCii+j-V（j）Ui,+利V用j）对=基0，变令量U而1=言0；有ij=0，计算位 ❖ 3）再由ij=Cij-（Ui+Vj）计算非基变量的检验数ij
❖2、用最小元素法时，可能会出现基变量个 数还差两个以上但只剩下一行或一列的情 况，此时不能将剩下行或列按空格划掉， 应在剩下的空格中标上0。（退化的基本可 行解）
14
2.确定初始基本可行解
B1
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《运筹学》第三版（清华大学出版社）P79例1，表上作业法，运用西北角法确定初始基可行解。
西北角法是从西北角（左上角）格开始，在格内的右下角标上允许取得的最大数；然后按行（列）标下一格的数；若某行（列）的产量（销量）已满足，则把该行（列）的其他格划去；如此进行下去，直至得到一个基本可行解的方法。
西北角法的例子：P79例1
从表1中可知，总的产量=总的销量，故产销是平衡的。
第一步：列出运价表和调运物资平衡表。
运用表上作业法时，首先要列出被调运物资的运价表和供需平衡表（简称平衡表），如表1，2所示。
第二步：编制初始调运方案。
首先在表2的西北角方格（即左上角方格，对应变量x11），尽可能取最大值：
x
=min{3,7}=3
11
将数值3填入该方格(见表3)。
由此可见x21,x31必须为0，即第一列其他各方格都不能取非零值，划去第一列。
在剩下的方格中，找出其西北角方格x12，x
=min{6,7-3}=4
12
将4填入它所对应方格，第一行饱和，划去该行。
再找西北角方格x22，
x
=min{6-4,4}=2
22
将2填入x22所对应方格，于是第二列饱和，划去该列。
继续寻找西北方格为x23，
x
=min{5,4-2}=2
23
将2填入x23所对应方格，第二行饱和，划去该行。
剩下方格的西北角方格为x33，
x
3=min{5-2,9}=3
3
将3填入x33所对应方格，第三列饱和，划去该列。
最后剩下x34方格，取x34 = 6。
这样我们就找到了m＋n-1＝3＋5-1＝7个基变量，它们为：x11= 3,x12= 4,x22 = 2,x23 = 2,x33 = 3,x34 = 6。
显然它们用折线连接后不形成闭回路。
这就是西北角法所找初始基可行解，所对应的目标值为：
2×200＋1×250＋3×150＋1×150＋3×250＋3×300＋4×200＝4000
我们找到的初始基可行解可通过各行方格中数值之和是否等于产量，各列方格中数值之和是否等于销量来简单验证。
利用西北角法找初始基可行解简单可行，但也存在问题。
例如在表3中可见c
= 4，单价高于该行其他各方格，最简单想法是单价小的情况下多运些货物，35
这样总运费会更小些，最小元素法就改进了西北角法的缺点。