2014运筹学-03-2表上作业法
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管理运筹学 第七章 运输问题之表上作业法
最优解的判断与调整
最优解的判断
比较目标函数值，如果当前基础可行解 的目标函数值最优，则该解为最优解。
VS
最优解的调整
如果当前基础可行解不是最优解，需要对 其进行调整。通过比较不同运输路线的运 输费用，对运输量进行优化分配，以降低 总运输费用。
最优解的验证与
要点一
最优解的验证
对求得的最优解进行检验，确保其满足所有约束条件且目 标函数值最优。
01
将智能优化算法（如遗传算法、模拟退火算法等）与表上作业
法相结合，以提高求解效率和精度。
发展混合算法
02
结合多种算法的优势，发展混合算法以处理更复杂的运输问题。
拓展应用范围
03
在保持简单易行的基础上，拓展表上作业法的应用范围，使其
能够处理更多类型的运筹问题。
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果达到最优解，则确定最优解；如果未达到最优解，则确定次优解。
表上作业法的应用范围
总结词
表上作业法适用于解决供销平衡的运输问题，即供应量和需求量相等的情况。
详细描述
表上作业法适用于解决供销平衡的运输问题，即供应量和需求量相等的情况。在这种情况下，可以通过在运输表 格上填入数字来求解最小运输成本。此外，表上作业法还可以用于解决其他类型的线性规划问题，如资源分配问 题、生产计划问题等。
03 表上作业法的求解过程
初始基础可行解的求解
确定初始基础可行解
根据已知的发货地和收货地的供需关系，以及运输能力限制，通 过试算和调整，求得初始的基础可行解。
初始解的检验
检查初始解是否满足非负约束条件，即所有出发地到收货地的运输 量不能为负数。
初始解的调整
如果初始解不满足非负约束条件，需要对运输量进行调整，直到满 足所有约束条件。
运筹学-表上作业法
在初始表上判断：
4、通过矩阵变化，把该列变 成单位列向量
入基变量这一 列对应的系数
迭代 基变 次数 量
cB
s1
0
s2
0
0
s3
0
zj
σj=cj－zj
x1
x2
s1
50 100
0
1
1
1
2
1
0
0
1
0
0
0
0
50
100 0
s2 0
s3 0
b
比值 bi / aij
0
0 300 300/1
1
0 400 400/1
2.2 单纯形法的表上作业方法
School of Information Management, CCNU
1
《运筹学》 All Rights Reserved ,Lu Xinyuan (2013)
在讲解单纯形法的表格形式之前，先从一般数学模型里推
导出检验数 s j 的表达式。
可行基为m 阶单位矩阵的线性规划模型如下（假设其系数
迭代 基变 次数 量
cB
x1 50
x2 100
s1 0
s2 0
s3 0
比值
b
bi / aij
x1 50
1
0
1
0
－1 50
－
s2
0
0
0
－2
1
1 50
－
2 x2 100
0
1
0
0
1 250
－
zj
σj=cj－zj
矩阵的前m列是单位矩阵）：
(n-m)个非基变量
m a x z = c1 x1 + c 2 x 2 + x1 + a x 1, m +1 m +1 + x 2 + a x 2 , m +1 m +1 +
表上作业法
第三章 运输问题的解法运输问题是一类特殊的线性规划问题，最早是从物质调运工作中提出的，后来又有许多其它问题也归结到这一类问题中。
正是由于它的特殊结构，我们不是采用线性规划的单纯方法求解，而是根据单纯形方法的基本原理结合运输问题的具体特性须用表上作业的方法求解。
§1 运输问题的数学模型及其特性1.1 运输问题的数学模型设有 个地点（称为产地或发地） 的某种物资调至 个地点（称为销地或收地），各个发点需要调出的物资量分别为个单位，各个收点需要调进的物资量分别为 个单位。
已知每个发点到每个收点的物资每单位运价为 ，现问如何调运，才能使总的运费最小。
我们把它列在一张表上（称为运价表）。
设 表示从产地运往销地的运价（ =1，2，…， ； =1，2，…， ）。
表3-1如果（总发量）（总收量），我们有如下线性规划问题：m mA A A ,,,21 n nB B B ,,,21 ma a a ,,,21 nb b b ,,,21 iA jB ijc ijx iA jB i m jn（3.1）（3.1）式称为产销平衡运输问题的数学模型。
当（总发量）（总收量）时。
即当产大于销（）时，其数学模型为（3.2）当销大于产（）时，其数学模型为（3.3）因为产销不平衡的运输问题可以转化为产销平衡的运输问题。
所以我们先讨论产销平衡的运输问题的求解。
运输问题有个未知量,个约束方程。
例如当≈40,=70时（3.1）式就有2800个未知量，110个方程,若用前面的单纯形法求解，计算工作量是相当大的。
我们必须寻找特殊解法。
1.2 运输问题的特性∑∑===m i nj ijij x c z 11min ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥====∑∑==),,2,1;,2,1(0),,2,1(),,2,1(11n j m i x n j b x m I a x ij j mi ij i nj ij ∑∑==≠nj jm i i ba 11∑∑==>nj jm i i ba 11∑∑===mi nj ijij x c z 11min ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥===≤∑∑==),,2,1;,2,1(0),,2,1(),,2,1(11n j m i x n j b x m I a x ij j mi ij i nj ij ∑∑==<nj jm i i ba 11∑∑===m i nj ijij x c z 11min ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=≤==∑∑==),,2,1;,2,1(0),,2,1(),,2,1(11n j m i x n j b x m I a x ij j mi ij i nj ij mn n m +m n由于运输问题也是线性规划问题，根据线性规划的一般原理，如果它的最优解存在，一定可以在基可行解中找到。
运筹学表上作业法
❖运输问题中目标函数值要求最小化，因此， 当所有的检验数都大于或等于零时该调运 方案就是最优方案；否则不是。
❖下面介绍两种计算检验数的方法：
3.最优性检验
❖ 1、闭回路法 ❖ 闭回路：在已给出基本解的运输表上，从一个非基
变量出发，沿水平或竖直方向前进，只有碰到基变 量，才能向右或向左转90o (当然也可以不改变方向） 继续前进。 ❖ 这样继续下去，总能回到出发的那个非基变量，由 此路线形成的封闭曲线，叫闭回路。
2.确定初始基本可行解
B1
B2
B3
B4
产量
A1 3
11
3 4 10 3 7
A2 1 3 9
2 18
4
A3 7
4 6 10
5 39
销量
3
6
5
6
Z=4×3+3×10+3×1+1×2+6×4+3×5=86
2.确定初始基本可行解
为保证基变量的个数有m+n-1个， 注意：
❖1、每次填完数，只能划去一行或一列，只 有最后一个格子例外。
甲
乙
丙
丁
产量
A
3
11
3
10
7
B
1
9
2
8
4
C
7
4
10
5
9
销量
3
6
5
6
2.确定初始基本可行解
x ❖ 若j=1设,2,3i,j4) 代表从第i个产地到第j个销售地的运输量（i=1,2,3；
mz i3 n x 1 1 1x 1 1 23 x 1 3 1x 1 0 4x 2 19 x 2 22 x 23 8 x 2 47 x 3 14 x 3 2 1x 3 0 35 x 34
❖下面介绍两种计算检验数的方法：
3.最优性检验
❖ 1、闭回路法 ❖ 闭回路：在已给出基本解的运输表上，从一个非基
变量出发，沿水平或竖直方向前进，只有碰到基变 量，才能向右或向左转90o (当然也可以不改变方向） 继续前进。 ❖ 这样继续下去，总能回到出发的那个非基变量，由 此路线形成的封闭曲线，叫闭回路。
2.确定初始基本可行解
B1
B2
B3
B4
产量
A1 3
11
3 4 10 3 7
A2 1 3 9
2 18
4
A3 7
4 6 10
5 39
销量
3
6
5
6
Z=4×3+3×10+3×1+1×2+6×4+3×5=86
2.确定初始基本可行解
为保证基变量的个数有m+n-1个， 注意：
❖1、每次填完数，只能划去一行或一列，只 有最后一个格子例外。
甲
乙
丙
丁
产量
A
3
11
3
10
7
B
1
9
2
8
4
C
7
4
10
5
9
销量
3
6
5
6
2.确定初始基本可行解
x ❖ 若j=1设,2,3i,j4) 代表从第i个产地到第j个销售地的运输量（i=1,2,3；
mz i3 n x 1 1 1x 1 1 23 x 1 3 1x 1 0 4x 2 19 x 2 22 x 23 8 x 2 47 x 3 14 x 3 2 1x 3 0 35 x 34
2014运筹学-03-2表上作业法
销地
B3 3 x14 8 B4 10
供应
7 4
需求
3
6
5
6
20
元素差额法(VAM法) 例 设有A1, A2和A3的产品需要运到B1, B2, B3 . 元素差额法是在最小元素法的基础上改进的 和 B4四个销地，求如何调运使总运费最少？ 在确定产销关系时，不从最小元素开始，而 从运输表中各行各列的最小元素和次小元素 产地 销地 供应 B1 B2 B3. B4 之间的差额来确定产销关系
2
5
×
3 差 额
3
8
4
4
×
6
2 1
1
1 5
2 8
3 2
初始调运方案为
2 3 5 9 7 1 2 5 4 3 2 4 88
作业： 用元素差额法求解下列问题的调运方案
产地
B1 A1 x11 A2 x21 A3 x31 7 x32 1 x22 4 x33 3 x12 9 x23 10 x34 B2 11 x13 2 x24 5 9
初始总运费为
5 9 4 7 3 1 2 2 3 4 4 2 100
作业： 用最小元素法求解下列问题的调运方案
产地
B1 A1 x11 A2 x21 A3 x31 7 x32 1 x22 4 x33 3 x12 9 x23 10 x34 B2 11 x13 2 x24 5 9
供 应
9 9-3 9-3-6 5 5-2 5-2-3 7 7-1 21
3
A2 A3 需求
1
6-6 6
初始调运的运费为
3 2 6 9 2 3 3 4 1 2 6 5 110
3.2 表上作业法
5.步骤:
(1) 给出初始调运方案。——初始基可行解： 即在有(m×n)个空格的产销平衡表上给出 (m+n-1)个数字格。 一般用最小元素法，Vogel法，西北角法; (2) 求各非基变量的检验数， 即在表上计算空格的检验数。 从而判断检验方案是否达到最优, 若是最优解,则停止计算; 否则转下一步。 用闭回路法、位势法求检验数；
这(m+n-1)个向量都不可能用解中的其他向量的线 性组合表示。 故这(m+n-1)个向量是线性独立的。 用最小元素法给出的初始解是运输问题的基可行解 即数字格里为基变量的取值，空格为非基变量的取值
注意: 1）用最小元素法给出初始解时， 有可能在产销平衡表上填入一个数字后， 在单位运价表上同时划去一行和一列 (即产地和销地都得到满足)。 为保证基变量的个数仍是m+n-1, 要在该行或列某空格(相应运价未被划掉)处填一个0, 该0看作数字格,即基变量的取值为0, 这时 得到的解为退化解。 2）当单位运价表中同时有两个相同的最小值时，任 取其一即可。
最优性检验 ---- （1）闭回路法 闭回路：从某一空格出发，沿水平方向或垂直方向 前进,遇到合适的数字格可以旋转90度，继续前进, 若最后能回到出发点,则所构成的回路为闭回路。
销地 产地 A1 A2 A3 销量 3 3 6 6 5 B1 B2 4 1 3 6 B3 3 B4 产量 7 4 9
结论:在任何可行方案中,以空格(i,j)为一个顶点,其 余顶点全是数字格的闭回路存在且唯一.
B2 11 9 4
B3 3 3 10
B4 10 8 5
A1 A2 A3
(1) 先用线性规划法处理此问题。 设由产地i到销地j的运量为xij,模型为：
min z= 3x11+11x12+3x13+10x14+x21 +9x22 +2x23 +8x24+7x31+4x32+10x33+5x34 =7 x21+x22+x23+x24 =4 x31+x32+x33+x34=9 x11 +x21 +x31 =3 x12 +x22 +x32 =6 x13 +x23 +x33 =5 x14 +x24 +x34=6 xij≥0 (i=1,2,3; j=1,2,3,4) x11+x12+x13+x14
运筹学。 表上作业法
19
销地 产地
B1
B2
B3 4+1
B4 3-1 +1 3
产量 7 4 9
A1 A2 A3 3 6
1-1
销量
销地 产地
3
B1 3
6
B2
5
B3
6
B4 产量
调整后的新调运方案如下表：
A1
A2 A3 销量 3 6 6
5
2
1 3
7
4 9
20
5
6
对调整后的调运方案再进行最优性检验
销地 产地
B1
3 (0) 1 (0) 7
的对偶变量为u1，u2，…， um;v1，v2，…，vn
ui v j cij s.t . ui , v j 无 约 束 决策变量 xij 的检验数
ij cij C B B 1 Pij
cij YPij cij ( u1 , , um , v1 , , v n ) Pij cij ( ui v j )
§2 表上作业法
• 表上作业法实质是单纯形法。可归纳为： • (1) 找出初始基可行解。即在(m×n)产销平衡表 上用西北角法或最小元素法或Vogel法给出 m+n-1 个数字，称为数字格。它们就是初始基变量的 取值。 • (2) 求各非基变量的检验数，即在表上计算空格 的检验数，判别是否达到最优解。如已是最优 解，则停止计算，否则转到下一步。 • (3) 确定换入变量和换出变量，找出新的基可行 解。在表上用闭回路法调整。 • (4) 重复(2)，(3)直到得到最优解为止。 1
例3-1 某公司经销甲产品。它下设三个加工
厂。每日的产量分别是：A1为7吨，A2为4吨， A3为9吨。该公司把这些产品分别运往四个销 售点。各销售点每日销量为：B1为3吨，B2为6 吨，B3为5吨，B4为6吨。已知从各工厂到各销 售点的单位产品的运价为表3-3所示。问该公 司应如何调运产品，在满足各销点的需要量的
销地 产地
B1
B2
B3 4+1
B4 3-1 +1 3
产量 7 4 9
A1 A2 A3 3 6
1-1
销量
销地 产地
3
B1 3
6
B2
5
B3
6
B4 产量
调整后的新调运方案如下表：
A1
A2 A3 销量 3 6 6
5
2
1 3
7
4 9
20
5
6
对调整后的调运方案再进行最优性检验
销地 产地
B1
3 (0) 1 (0) 7
的对偶变量为u1，u2，…， um;v1，v2，…，vn
ui v j cij s.t . ui , v j 无 约 束 决策变量 xij 的检验数
ij cij C B B 1 Pij
cij YPij cij ( u1 , , um , v1 , , v n ) Pij cij ( ui v j )
§2 表上作业法
• 表上作业法实质是单纯形法。可归纳为： • (1) 找出初始基可行解。即在(m×n)产销平衡表 上用西北角法或最小元素法或Vogel法给出 m+n-1 个数字，称为数字格。它们就是初始基变量的 取值。 • (2) 求各非基变量的检验数，即在表上计算空格 的检验数，判别是否达到最优解。如已是最优 解，则停止计算，否则转到下一步。 • (3) 确定换入变量和换出变量，找出新的基可行 解。在表上用闭回路法调整。 • (4) 重复(2)，(3)直到得到最优解为止。 1
例3-1 某公司经销甲产品。它下设三个加工
厂。每日的产量分别是：A1为7吨，A2为4吨， A3为9吨。该公司把这些产品分别运往四个销 售点。各销售点每日销量为：B1为3吨，B2为6 吨，B3为5吨，B4为6吨。已知从各工厂到各销 售点的单位产品的运价为表3-3所示。问该公 司应如何调运产品，在满足各销点的需要量的
运输问题表上作业法
重复上面的步骤，直至求出最优调运方案：
调
运
销地
量 B1
B2 90 80
X22
B3 100
X13
产量 200 250
产地
50 A1 A2
销 量
X11
150 70
X12
50
X21
65 200 75
X23
100
150
200
450
结 果
最优调运方案是： x11=50，x12=150，x21=50，x23=200
X11 X12
X13
80 150 65 100 75
A2
销 量
X21
X22
X23
100
150
200 450
非基变量X12的检验数：
12
=（c12+c23）-（c13+c22） =70+75-（100+65）=-20，
非基变量X21的检验数：
21 =（c +c ）-（c +c ） 21 13 11 23
200 75
X23
100
150 50
200 450
得到初始调运方案为： x11=100，x12=100，x22=50，x23=200
总运价为： 90 * 100 70 * 100 50 * 65 200 * 100 39250
（3）沃格尔（V ogel) (略）
２、３最优性检验
闭回路上，奇数次顶点的调运量加上ε，偶数 次顶点的调运量减去ε；闭回路之外的变量调 运量不变。
得到新的调运方案：
调
运
销地
量 B1
B2 100 70
X12
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第三步，在空格中填上所选的最小调运量， 并使所有的奇数次拐角的调运量减去这个最 小调运量，偶数次拐角的调运量加上最小调 运量.
产地 A1 A2 A3
位势
B1 13 2
1 3 10 7 -3
1
销地
位势
B2
B3
B4
2 11
3
10 1
9
4+4 1 3-31
19
2 -1 8 0
8
1-11
19
4 12 10
第二节 表上作业法
表上作业法一般分为两个阶段 第一阶段，制定初始调运方案; 第二阶段，从初始调运方案出发，调整调运 方案，逐步获得最优解.
1 制定初始调运方案 下面通过例题来介绍几种常用的求运输问题 的初始基本可行解的方法
左上角法(西北角法)
例 设有A1, A2和A3的产品需要运到B1, B2, B3 和B4四个销地，求如何调运使总运费最少？
x23
4
10
x32 6
x33 5
供应
B4 10 7
x14 84
x24 59
x34
6
20
最小元素法
例 设有A1, A2和A3的产品需要运到B1, B2, B3 和B4四个销地，求如何调运使总运费最少？
产地
销地
供应
B1
B2
B3
B4
A1
2
9
10
79
x11
x12
x13
x14
A2
1
3
4
25
x21
x22
x23
第二步，在表中增加一行vj和一列ui , 使得表 中的基变量的单位运价cij刚好是ui和vj的和.
第三步，计算空格处的检验数: σij=cij-(ui+vj)
例 求下表各空格处的检验数
产地 A1
B1 3
A2
1
3
A3
7
需求 3
销地
B2 11
B3 3
4
9
2
1
4
10
6
6
5
供应 B4
10 7 3
84
59
3
x14 84
x24 59
x34
6
20
2 最优调运方案的判断 判断一个调运方案是否是最优方案，实质是 判别一个基本可行解是否为最优解. 单纯形法中，最优解是根据对应的非基变量的 检验数来判断的. 运输问题也采用类似的方法. 由单纯形法可知，最优解中非基变量一般取0 那么运输问题中，哪些是非基变量呢？
产地
销地
供应
B1
B2
B3
B4
A1
2
9
10
79
x11
x12
x13
x14
A2
1
3
4
25
x21
x22
x23
x24
A3
8
4
2
57
x31
x32
x33
x34
需求 3
8
4
6
21
这是一个产销平衡问题，西北角法具体步骤 第一步，做产销空格表，将空格对应的产销 地运费填在空格的右上角. 第二步，在表中对左上角进行分配
差1
额
15
82
32
初始调运方案为
2 3 59 71 25 4 3 24 88
作业： 用元素差额法求解下列问题的调运方案
产地 A1 A2 A3
需求
B1 3
x11 1
x21 7
x31 3
销地
B2 11
B3 3
x12
x13
9
2
x22
x23
4
10
x32 6
x33 5
供应
B4 10 7
需求
B1 3
x11 1
x21 7
x31 3
销地
B2 11
B3 3
x12
x13
9
2
x22
x23
4
10
x32 6
x33 5
供应
B4 10 7
x14 84
x24 59
x34
6
20
元素差额法(VAM法)
元 例素设差有额A法1, A是2和在A最3的小产元品素需法要的运基到础B上1,改B进2, B的3. 在 和确 B4四定个产销地关，系求时如，何不调从运最使小总元运素费开最始少，？而
产地
销地
需求
B1
B2
B3
B4
A1
3
11
3
10
5
2
7
A2
1
9
2
84
3
1
A3
7
4
6
10
5
3
9
需求 3
6
5
6 20
所有的检验数均已大于等于零
所以此表为最优调运方案，总运费为
s 1 3 64 5 3 210 18 35 85
9
4 6
6
B3 3
4 2
1 10
5
B4 10 7
3 84
59
3
6
20
检验数: 9 4 5 10 3 2 1
第三章 运输问题
第二节 表上作业法
2 最优调运方案的判断
位势法 如果产销地的个数很多，闭回路法应用起来 非常麻烦，对于这种情况，采用位势法: 第一步，做产销空格表，并作初始调运方案， 表中的数字是相应的单位运价和运量.
5 -4
6
-2
3
8
2
9
相当于单纯形法的转轴运算.
重新计算位势和检验数.
产地
销地
位势
B1
B2
B3
A1 0 3 2 11
3
3
9
5
A2
12
3
7
912 1
A3 9 7
4 12 10
-2
6
-2
位势 1
7
1
所有的检验数均已大于等于零
B4
10
2
2
80
1
5
3
-3
8
所以此表为最优调运方案，总运费为
s 1 3 64 5 3 210 18 35 85
成的封闭折线，称为闭回路法. 拐角：填有数字，并且前进方向改变的格子. 检验数求法：从空格开始沿闭回路前进，空
格的单位运费取正，第一个转角运费取负，
第二个取正, …, 然后将这些运费加起来，即
空格的检验数.
例 求下表A2B2的一个闭回路和检验数
产地
销地
供应
B1
A1
3
A2
1
3
A3
7
需求 3
B2 11
从产地运输表中各行各列销的地最小元素和次小元供素应
之间的差B额1 来确定B2产销关系B3.
B4
A1
2
9
10
79
x11
x12
x13
x14
A2
1
3
4
25
x21
x22
x23
x24
A3
8
4
2
57
x31
x32
x33
x34
需求 3
8
4
6
21
第一步，做产销空格表，并将空格对应的产 销地运费填在空格的右上角. 第二步，产销空格表上增加一行和一列作为 差额行和差额列，填上对应行和对应列的最 小元素和次小元素的差额.
3 调整已有的调运方案 就是从一个已知方案求出另一个较好的方案. 实质上就是从一个基本可行解找出另一个基 本可行解，使目标函数下降.
具体步骤如下:
第一步，选出一个检验数为负的空格(一般选 具有最负值的检验数的空格，如果两个空格 的检验数一样，则任选一个)，然后做选出空 格的闭回路. 第二步，从空格处出发，沿闭回路前进，在 各奇数次拐角点的调运量中选取一个最小的 调运量.
(1) 如果产大于销，则在这个方格填上销量, 并在表中划去这一列
(2) 如果销大于产，则在这个方格填上产量, 并在表中划去这一行
第三步，在剩下的表中，反复进行第二步.
产地
B1
A1
2
3
销地
B2 9
6
B3 10
×
B4
7 ×
供 应
9-93-6
A2
1
×
2
3 3
4
2 5-52-3
×
A3
8
4
×
×
1
2
5 7-71
6
需求 3-3
88--668-2
4-34-1
6-66 21
初始调运的运费为
3 2 69 2 3 34 12 65 110
作业： 用西北角法求解下列问题的调运方案
产地 A1 A2 A3
需求
B1 3
x11 1
x21 7
x31 3
销地
B2 11
B3 3
x12
x13
9
2
x22
调运量为零(即×位置)的对应于非基变量！ 所以只要判别出每个空格的检验数就可以了
检验数该如何求？ 闭回路法和位势法
闭回路法 由一个空格开始，沿水平方向或垂直方向前 进. 遇到一个有数字的格子时，则可以按前 进方向的垂直方向转向前进，经过若干次后, 必然回到原出发点. 这样就形成了一条由水平线段和垂直线段组
下面给出具体计算过程:
产地
B1
A1
2
×
A2
产地 A1 A2 A3
位势
B1 13 2
1 3 10 7 -3
1
销地
位势
B2
B3
B4
2 11
3
10 1
9
4+4 1 3-31
19
2 -1 8 0
8
1-11
19
4 12 10
第二节 表上作业法
表上作业法一般分为两个阶段 第一阶段，制定初始调运方案; 第二阶段，从初始调运方案出发，调整调运 方案，逐步获得最优解.
1 制定初始调运方案 下面通过例题来介绍几种常用的求运输问题 的初始基本可行解的方法
左上角法(西北角法)
例 设有A1, A2和A3的产品需要运到B1, B2, B3 和B4四个销地，求如何调运使总运费最少？
x23
4
10
x32 6
x33 5
供应
B4 10 7
x14 84
x24 59
x34
6
20
最小元素法
例 设有A1, A2和A3的产品需要运到B1, B2, B3 和B4四个销地，求如何调运使总运费最少？
产地
销地
供应
B1
B2
B3
B4
A1
2
9
10
79
x11
x12
x13
x14
A2
1
3
4
25
x21
x22
x23
第二步，在表中增加一行vj和一列ui , 使得表 中的基变量的单位运价cij刚好是ui和vj的和.
第三步，计算空格处的检验数: σij=cij-(ui+vj)
例 求下表各空格处的检验数
产地 A1
B1 3
A2
1
3
A3
7
需求 3
销地
B2 11
B3 3
4
9
2
1
4
10
6
6
5
供应 B4
10 7 3
84
59
3
x14 84
x24 59
x34
6
20
2 最优调运方案的判断 判断一个调运方案是否是最优方案，实质是 判别一个基本可行解是否为最优解. 单纯形法中，最优解是根据对应的非基变量的 检验数来判断的. 运输问题也采用类似的方法. 由单纯形法可知，最优解中非基变量一般取0 那么运输问题中，哪些是非基变量呢？
产地
销地
供应
B1
B2
B3
B4
A1
2
9
10
79
x11
x12
x13
x14
A2
1
3
4
25
x21
x22
x23
x24
A3
8
4
2
57
x31
x32
x33
x34
需求 3
8
4
6
21
这是一个产销平衡问题，西北角法具体步骤 第一步，做产销空格表，将空格对应的产销 地运费填在空格的右上角. 第二步，在表中对左上角进行分配
差1
额
15
82
32
初始调运方案为
2 3 59 71 25 4 3 24 88
作业： 用元素差额法求解下列问题的调运方案
产地 A1 A2 A3
需求
B1 3
x11 1
x21 7
x31 3
销地
B2 11
B3 3
x12
x13
9
2
x22
x23
4
10
x32 6
x33 5
供应
B4 10 7
需求
B1 3
x11 1
x21 7
x31 3
销地
B2 11
B3 3
x12
x13
9
2
x22
x23
4
10
x32 6
x33 5
供应
B4 10 7
x14 84
x24 59
x34
6
20
元素差额法(VAM法)
元 例素设差有额A法1, A是2和在A最3的小产元品素需法要的运基到础B上1,改B进2, B的3. 在 和确 B4四定个产销地关，系求时如，何不调从运最使小总元运素费开最始少，？而
产地
销地
需求
B1
B2
B3
B4
A1
3
11
3
10
5
2
7
A2
1
9
2
84
3
1
A3
7
4
6
10
5
3
9
需求 3
6
5
6 20
所有的检验数均已大于等于零
所以此表为最优调运方案，总运费为
s 1 3 64 5 3 210 18 35 85
9
4 6
6
B3 3
4 2
1 10
5
B4 10 7
3 84
59
3
6
20
检验数: 9 4 5 10 3 2 1
第三章 运输问题
第二节 表上作业法
2 最优调运方案的判断
位势法 如果产销地的个数很多，闭回路法应用起来 非常麻烦，对于这种情况，采用位势法: 第一步，做产销空格表，并作初始调运方案， 表中的数字是相应的单位运价和运量.
5 -4
6
-2
3
8
2
9
相当于单纯形法的转轴运算.
重新计算位势和检验数.
产地
销地
位势
B1
B2
B3
A1 0 3 2 11
3
3
9
5
A2
12
3
7
912 1
A3 9 7
4 12 10
-2
6
-2
位势 1
7
1
所有的检验数均已大于等于零
B4
10
2
2
80
1
5
3
-3
8
所以此表为最优调运方案，总运费为
s 1 3 64 5 3 210 18 35 85
成的封闭折线，称为闭回路法. 拐角：填有数字，并且前进方向改变的格子. 检验数求法：从空格开始沿闭回路前进，空
格的单位运费取正，第一个转角运费取负，
第二个取正, …, 然后将这些运费加起来，即
空格的检验数.
例 求下表A2B2的一个闭回路和检验数
产地
销地
供应
B1
A1
3
A2
1
3
A3
7
需求 3
B2 11
从产地运输表中各行各列销的地最小元素和次小元供素应
之间的差B额1 来确定B2产销关系B3.
B4
A1
2
9
10
79
x11
x12
x13
x14
A2
1
3
4
25
x21
x22
x23
x24
A3
8
4
2
57
x31
x32
x33
x34
需求 3
8
4
6
21
第一步，做产销空格表，并将空格对应的产 销地运费填在空格的右上角. 第二步，产销空格表上增加一行和一列作为 差额行和差额列，填上对应行和对应列的最 小元素和次小元素的差额.
3 调整已有的调运方案 就是从一个已知方案求出另一个较好的方案. 实质上就是从一个基本可行解找出另一个基 本可行解，使目标函数下降.
具体步骤如下:
第一步，选出一个检验数为负的空格(一般选 具有最负值的检验数的空格，如果两个空格 的检验数一样，则任选一个)，然后做选出空 格的闭回路. 第二步，从空格处出发，沿闭回路前进，在 各奇数次拐角点的调运量中选取一个最小的 调运量.
(1) 如果产大于销，则在这个方格填上销量, 并在表中划去这一列
(2) 如果销大于产，则在这个方格填上产量, 并在表中划去这一行
第三步，在剩下的表中，反复进行第二步.
产地
B1
A1
2
3
销地
B2 9
6
B3 10
×
B4
7 ×
供 应
9-93-6
A2
1
×
2
3 3
4
2 5-52-3
×
A3
8
4
×
×
1
2
5 7-71
6
需求 3-3
88--668-2
4-34-1
6-66 21
初始调运的运费为
3 2 69 2 3 34 12 65 110
作业： 用西北角法求解下列问题的调运方案
产地 A1 A2 A3
需求
B1 3
x11 1
x21 7
x31 3
销地
B2 11
B3 3
x12
x13
9
2
x22
调运量为零(即×位置)的对应于非基变量！ 所以只要判别出每个空格的检验数就可以了
检验数该如何求？ 闭回路法和位势法
闭回路法 由一个空格开始，沿水平方向或垂直方向前 进. 遇到一个有数字的格子时，则可以按前 进方向的垂直方向转向前进，经过若干次后, 必然回到原出发点. 这样就形成了一条由水平线段和垂直线段组
下面给出具体计算过程:
产地
B1
A1
2
×
A2