2015年全国新课标2卷高考文科数学试题及答案

2015年全国新课标2卷高考文科数学试题及答案2015普通高等学校招生全国统一考试II卷文科数学第一卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 $A=x-1<x<2$，$B=x<x<3$，则 $A\cup B=$A。

$(-1,3)$ B。

$(-1,0)$ C。

$(0,2)$ D。

$(2,3)$2.若 $a$ 是实数，且 $\frac{2+ai}{1+i}=3+i$，则 $a=$A。

$-4$ B。

$-3$ C。

$3$ D。

$4$3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是此处删除明显有问题的段落）4.已知向量 $a=(1,-1)$，$b=(-1,2)$，则 $(2a+b)\cdot a=$A。

$-1$ B。

$0$ C。

$1$ D。

$2$5.设 $S_n$ 是等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和。

若$a_1+a_3+a_5=3$，则 $S_5=$A。

$5$ B。

$7$ C。

$9$ D。

$11$6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A。

$\frac{1}{1111}$ B。

$\frac{1}{8576}$ C。

$\frac{2}{1254}$ D。

$\frac{1}{333}$7.已知三点 $A(1,-1)$，$B(2,3)$，$C(2,3)$，则 $\triangle ABC$ 外接圆的圆心到原点的距离为A。

$\sqrt{5}$ B。

$3$ C。

$2\sqrt{5}$ D。

$3\sqrt{2}$8.右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。

执行该程序框图，若输入的$a,b$ 分别为14,18，则输出的 $a$ 为开始输入a,ba>b是a≠b 否输出a是否结束a=a-b b=b-aA。

$0$ B。

$2$ C。

$4$ D。

$14$9.已知等比数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=2$，$a_1+a_3+a_5=4(a_4-1)$，则 $a_2=$A。

$2$ B。

$1$ C。

$4$ D。

$11$10.已知 $A,B$ 是球 $O$ 的球面上两点，若三棱锥 $O-ABC$ 体积的最大值为 $36$，则球 $O$ 的表面积为此处删除明显有问题的段落）11) 如图，长方形的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC、CD、与DA运动，记∠BOP=x，将动点P到A、B两点距离之和表示为函数f(x)，则f(x)的图像大致为：选项D使得f(x)>f(2x-1)成立的x的范围是：(1.+∞)13) 已知函数f(x)=ax-2x的图像过点(-1.4)，则a=314) 若x，y满足约束条件：2x-y-1≥0x-2y+1≤0则z=2x+y的最大值为：515) 已知双曲线过点(4.3)，且渐近线方程为y=±x，该双曲线的标准方程为：y/x=±1/216) 已知曲线y=x+lnx在点(1.1)处的切线与曲线y=ax+(a+2)x+1相切，则a=217)Ⅰ) 由角平分线定理可得：BD/DC=AB/AC=1，即BD=DC。

XXX∠B=sin∠BAD/sin∠ABD=BD/AB=1/3Ⅱ) 由余弦定理可得：AB²=AC²+BC²-2AC·BCcos∠BACBAC=60°，AC=AB/2，BC=1AB²=3/4+1-2/4cos60°=7/4-1/2=3/2AB=√(3/2)又因为∠B=180°-2∠ABD=180°-2arcsin(1/3)=180°-2arctan(√2/2)=180°-2×45°=90°B=90°18)A地区用户满意度评分的频率分布直方图：组距。

频率90,100] 0.0480,90) 0.03570,80) 0.0360,70) 0.02550,60) 0.02B地区用户满意度评分的频数分布表：满意度评分分组。

频数50,60) 260,70) 870,80) 1480,90) 101) A地区用户满意度评分的平均分数为：90+100)/2×0.04+(80+90)/2×0.035+(70+80)/2×0.03+(60+70)/ 2×0.025+(50+60)/2×0.02=8.05B地区用户满意度评分的平均分数为：55+65)/2×2+(65+75)/2×8+(75+85)/2×14+(85+95)/2×10=78.5 B地区用户满意度评分的平均分数更高。

2) A地区用户满意度评分的中位数为80，B地区用户满意度评分的中位数为75.A地区用户满意度评分的中位数更高。

I) 作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并用此图比较两地区满意度评分的平均值和分散程度。

根据图形比较得出结论即可，不需要计算具体数值。

II) 根据用户满意度评分，将用户分成三个等级：低于70分的为不满意，70分到89分之间的为满意，不低于90分的为非常满意。

估计B地区的用户满意度等级为不满意的概率更大，原因未知。

19.(本小题满分12分)在图中画出平面α与长方体ABCD-A1B1C1D1相交所围成的正方形。

两条对角线分别为EF和AD1.求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值。

设该比值为x，则有：x = V1 / V2 = (V1 / V) / (V2 / V) = (EF / AD1)²根据勾股定理可得，AD1² = AB² + AA1² = 20² + 8² = 464，EF² = AE² + AF² + EF² = (AD1 - 2AE)² + (AB - 2AF)² + AB² =16² + 6² + 20² = 692因此，x = (EF / AD1)² = 692 / 464 = 173 / 116.20.(本小题满分12分)I) 椭圆C的方程为(x / a)² + (y / b)² = 1，其中a。

b。

0.由于点(2.2)在椭圆上，代入方程得：4 / a² + 4 / b² = 1又由于离心率为√(1 - b² / a²)，代入得：4 / a² + 4 / b² = 1 + b² / a²将两式相减可得：b² / a² = 3 / 4代入原式可得：x / a)² + (y / √(3a² / 4))² = 1II) 过点A和B的直线l的斜率为k，因此直线l的方程为y - 2 = k(x - 2)。

设直线OM的斜率为k1，则OM的方程为y - 1 = k1(x - 1 / 2)。

由于直线l和OM都与椭圆C相交，因此它们的交点满足以下方程：x / a)² + (y / √(3a² / 4))² = 1y - 2 = k(x - 2)y - 1 = k1(x - 1 / 2)解得交点坐标为：x = (4k + k1) / (4k² / 3 + k1²)y = 2k + 2k1 / (4k² / 3 + k1²)因此，线段AB的中点M的坐标为：xM = (2k + k1) / (2k² / 3 + k1²)yM = k + k1 / (2k² / 3 + k1²)线段AB的长度为2√(a² - b²) = 2√(a² - 3a² / 4) = a / 2√3.因此，四边形EDCF的面积为：S = 1 / 2 * AB * OM = 1 / 2 * (a / 2√3) * (a / 2) = a² / 8√3.由于OM的斜率为k1，因此有：k1 = (yM - 1) / (xM - 1 / 2) = (k + k1) / (2k + k1)化简可得：k * k1 = -1 / 3因此，直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值-1/3.21.(本小题满分12分)I) f(x) = ln(x) + a(1 - x)。

f'(x) = 1 / x - a，当x。

0时，f'(x)。

0，因此f(x)在(0.+∞)上单调递增。

II) 当f(x)有最大值时，f'(x) = 0，解得x = 1 / a，此时f(x)的最大值为f(1 / a) = ln(a) + a(1 - 1 / a) = a - ln(a)。

因此，a -ln(a)。

2a - 2，化简可得a < e。

同时，由于f''(x) = -1 / x² < 0，因此f(x)的最大值为局部最大值，且是唯一的最大值。

因此，a的取值范围为0 < a < e。

t≠0），其中0≤α<π，在以O为极点、x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2:ρ=2sinθ，C3:ρ=23cosθ。

I）求C2与C3交点的直角坐标；II）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求AB最大值。

解析：I）将C2和C3的极坐标方程转化为直角坐标方程：C2: x=2sinθcosθ。

y=2sin^2θC3: x=23cosθcosθ。

y=23cosθsinθ令x1=x，y1=y，解得交点坐标为(2.-3)和(-2.3)。

II）设C1的极坐标方程为ρ=t，代入C2和C3的直角坐标方程中，得到C1的直角坐标方程为x^2+(y-1)^2=t^2-1.设A 的极角为θ1，则A的直角坐标为(tcosθ1.tsinθ1)。

同理，设B 的极角为θ2，则B的直角坐标为(23cosθ2.23sinθ2)。

由于A在C2上，B在C3上，所以它们满足以下方程：t=2sinθ1cosθ1t=23cosθ2cosθ2代入C1的直角坐标方程中，得到：x^2+(y-1)^2=(2sinθ1cosθ1)^2-1x^2+(y-1)^2=(23cosθ2cosθ2)^2-1将两个式子相加，得到：2x^2+2y^2-2y+2=4sin^2θ1cos^2θ1+529cos^2θ2cos^2θ2由于sin^2θ1cos^2θ1=14，cos^2θ2cos^2θ2=1/530，代入上式，化简可得：2x^2+2y^2-2y+2=4/53+1/2化简得到：y=1±sqrt(1-x^2/2-1/53)因为A、B两点间的距离为AB=sqrt[(tcosθ1-23cosθ2)^2+(tsinθ1-23sinθ2)^2]，所以AB的平方为：AB^2=(tcosθ1-23cosθ2)^2+(tsinθ1-23sinθ2)^2代入上式，化简可得：AB^2=4(t^2-46cosθ1cosθ2)又因为t=a/cosθ1cosθ2，所以AB^2=4(a^2/cos^2θ1cos^2θ2-46a)。