运筹学-2对偶问题的性质
运筹学基础-对偶线性规划(2)
用单纯形法同时求解原问题和对偶问题
原问题是：
maxZ=2x1 +x2 5x2 ≤15 6x1 + 2x2 ≤ 24 x1 + x2 ≤ 5 x1 , x2 ≥0
5x2 +x3 =15 6x1 + 2x2 +x4 = 24 x1 + x2 +x5 = 5 xi ≥0
原问题的标准型是：maxZ=2x1 +x2+0x3+0x4 +0x5
b
15 24 5 0
x1 0 6 1 2
比 值
-
24/6=4
5/1=5
检验数j
对偶问题剩余变量 y4、y5
对偶问题变量 y1、y2 、y3
检验数行的－ (cj-zj)值是其对偶问题的一个基本解yi ；
原问题变量
0 2
原问题松驰变量
1 0 0 0 0 1/6 -1/6 -1/3 0 0 1 0
3
x3 x1
x2 1 检验数j= cj-zj
-1/4 -1/2
对偶问题剩余变量 y4、y5
对偶问题变量 y1、y2 、y3
此时得原问题最优解:X*=(7/2,3/2,15/2,0,0)T，Z*=17/2 则对偶问题最优解:Y*=(0,1/4,1/2,0,0)T，S*=17/2
又例：用单纯形法同时求解原问题和对偶问题
定理6（互补松弛定理）
在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束条件的 对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式；反之如果约 束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定为零。
注：证明过程参见教材59页性质5证明
讨论:
互补松弛定理也称松紧定理，它描述了线性规划达到最
运筹学2对偶问题
运筹学2对偶问题运筹学教程运筹学Operations Research Chapter 2 对偶问题Dual Problem1. 线性规划的对偶模型Dual Model of LP2.对偶性质对偶性质3.对偶单纯形法对偶单纯形法4.灵敏度分析灵敏度分析Dual property Dual Simplex Method Sensitivity Analysis 运筹学教程§2.1线性规划的对偶模型线性规划的对偶模型Dual model of LPCh2 Dual Problem2022年11月26日星期五Page 2 of 19在线性规划问题中，存在一个有趣的问题，即每一个线性规划问题都伴随有另一个线性规划问题，称它为对偶线性规划问题。
【例2.1】某企业用四种资源生产三种产品，工艺系数、例资源限量及价值系数如下表：产品资源Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 每件产品利润9 5 8 7 100 8 4 3 6 80 6 7 2 4 70 500 450 300 550 A B C 资源限量建立总收益最大的数学模型。
运筹学教程§2.1线性规划的对偶模型线性规划的对偶模型Dualmodel of LPCh2 Dual Problem2022年11月26日星期五Page 3 of 19 设x1,x2,x3分别为产品A,B,C的产量，则线性规划数学模解型为：m Z = 100x + 80x + 70x ax1 2 39x1 + 8x2 + 6x3 ≤ 500 5x + 4x + 7x ≤ 450 2 3 1 8x1 + 3x2 + 2x3 ≤ 300 7x + 6x + 4x ≤ 550 2 3 1 x1, x2, x3 ≥ 0 现在从另一个角度来考虑企业的决策问题。
假如企业自己不生产产品，而将现有的资源转让或出租给其它企业，那么资源的转让价格是多少才合理？价格太高对方不愿意接受，价格太低本单位收益又太少。
运筹学02对偶理论1线性规划的对偶模型,对偶性质
(x1, x2, x3)T 0
从而对偶问题为
4 min w Yb ( y1, y2 ) 1 4 y1 y2
4 1 －1
YA ( y1, y2 ) 1 －7
5
(4 y1 y2, y1 7 y2， y1 5y2 ) (5, 2, 3)
min Z 4 y1 y2
4 y1 y2 5
min
w
6 y1
8y2
10 y3
约束, 即
5yy1175yy22
y3 3 y3
4
3
yi 0, i 1,2,3
3.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
线性规划问题的规范形式(Canonical Form 或叫对称形式) ： 定义：
目标函数求极大值时，所有约束条件为≤号，变量非负； 目标函数求极小值时，所有约束条件为≥号，变量非负。
【例3.2】写出下列线性规划的对偶问题
max Z (5, 2,3)(x1, x2, x3)T
max Z 5x1 2x2 3x3
4x1x1 7
x2 x2
x3 4 5x3 1
x1, x2, x3 0
【解】设Y=(y1，y2 )， 则有
4
1
1 7
1
5
x1 x2 x3
4 1
y1y1 7
y2 2 5 y2 3
y1 0, y2 0
3.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
【例3.3】 写出下列线性规划的对偶问题
max Z 4x1 3x2
5x1 x2 6 7x1x1 35x2x2108 x1 0, x2 0
【解】该线性规划的对偶问题是求最 小值，有三个变量 且非负, 有两个“ ≥”
运筹(第二章对偶与灵敏度分析)(1)
5x2 3x3 30
x1 0, x2无约束，x3 0
2023/2/22
17
解：将原问题模型变形, 令x1 x1
min z 7x1 4x2 3x3
4x1 2x2 6x3 24
3x1 6x2 4x3 15 5x2 3x3 30
y1 y2 y3
x1 0, x2无约束，x3 0
则对偶问题是
max w 24 y1 15y2 30 y3
4 y1 3y2
7
x1
2 y1 6 y2 5 y3 4
x2
6 y1 4 y2 3x3 3
x3
y1, y2 0, x3无约束
2023/2/22
18
小结：对偶问题与原问题的关系：
目标函数：MAX
原 约束条件：m个约束
对
问
y1 y2
ym
2023/2/22
12
类似于前面的资源定价问题，每一个约束条件对 应一个“ 对偶变量”，它就相当于给各资源的单 位定价。于是我们有如下的对偶规划：
min W b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1 a12y1 a22y2 am2ymc2 a1n y1 a2n y2 amn ym cn y1, y2 ,, ym 0
分别是原问题和对偶问题的可行解，则恒有
n
m
c j x j bi yi
j 1
i 1
m
n
考虑利用 c j aij yi 及
aij x j bi
i 1
j 1
代入。
2、无界性 如果原问题（对偶问题）有无界解，则
其对偶问题(原问题）无可行解。
2023/2/22
运筹学第2章：线性规划的对偶理论
目
标函数求极小时取“≥”号
注：对称形式与线性规划标准型是两种不同的形 式，对称形式中约束条件的符号由目标函数决定
从以下方面比较(LP1)与(LP2)：
原问题
对偶问题 约束系数矩阵的转 臵 目标函数中的价格 系数向量 约束条件的右端项 向量 Min w=Y’b A’Y≥C’ Y≥0
A
b C 目标函数 约束条件 决策变量
非基变量 基变量
XB
0 b Xs C j - zj B
XN
N
Xs
I
0
初始 单纯形表
非基变量
CB
CN
基变量
最终
单纯形表
CB
XB
XB B-1b Cj - zj
I 0
Xs B-1 N B-1 CN-CBB-1N -CBB-1
XN
若B-1b为最优解，则
CB CB ( B 1B) 0 C N CB B N 0 CB B 1 0
令 y 2 y 2 , y3 y3 y3 ，则
min 2 y1 y2 4 y3
2 y1 3 y2 y3 1 3 y y y 4 1 2 3 s.t. 5 y1 6 y2 y3 3 y1 0, y2 0, y3无约束
n j 1 m j j
C X Y b, 即 c j x j y i bi
j 1 i 1
__
__
n
m
c x ( a
j 1 m i 1 n i i i 1 i 1 j 1
n
m
ij
yi ) x j aij x j yi ( a ji yi c j )
例1
运筹学--第二章 线性规划的对偶问题
习题二2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题(1) max z ＝10x1＋x2＋2x3(2) max z ＝2x1＋x2＋3x3＋x4st. x1＋x2＋2 x3≤10 st. x1＋x2＋x3 ＋x4≤54x1＋x2＋x3≤20 2x1－x2＋3x3＝－4x j≥0 （j＝1,2,3）x1－x3＋x4≥1x1，x3≥0，x2，x4无约束(3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4(4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3≥15x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3≤202x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝x1－x2－x3＝－5 x1≥0，x4≤0，x2，，x3无约束x1≤0，x2≥0，x3无约束2.2 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b，X≥0。
分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的变化：（1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）；（2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上；（3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）；'x代换。
（4）模型中全部x1用312.3 已知线性规划问题min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4st. x1＋2x2＋x4≥33x1＋x2＋x3＋x4≥6x3 ＋x4＝2x1 ＋x3 ≥2x j≥0（j＝1,2,3,4）(1) 写出其对偶问题；(2) 已知原问题最优解为x*＝（1，1，2，0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
2.4 已知线性规划问题min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4 对偶变量st. 2x1 ＋x3＋x4≤8 y12x1＋2x2＋x3＋2x4≤12 y2x j≥0（j＝1,2,3,4）对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试对偶问题的性质，求出原问题的最优解。
2.5 考虑线性规划问题max z＝2x1＋4x2＋3x3st. 3x1＋4 x2＋2x3≤602x1＋x2＋2x3≤40x1＋3x2＋2x3≤80x j≥0 （j＝1,2,3）４７４８（1）写出其对偶问题（2）用单纯形法求解原问题，列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解；（3）用对偶单纯形法求解其对偶问题，并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶问题的解；（4）比较（2）和（3）计算结果。
运筹学 ( 对偶问题及性质)
设A、B、C、D设备的机时价分别为y1、y2、y3、y4，则新的 线性规划数学模型为：
min 12 y1 8 y2 16 y3 12 y4
2 y1 y2 4 y3 0 y4 2
s.t 2 y1 2 y2 0 y3 4 y4 3
Y≤0
对偶性质
性质2 (弱对偶性) 设X 0 Y 0和
的可行解，则必有
分别是问题(LP)和(DP)
CX 0 Y 0b
n
m
即： c j x j yibi
j1
i1
推论1: 原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数 值的下界；反之，对偶问题任意可行解的目标函数值是其原问题 目标函数值的上界。
n
yˆi 0 aij xˆ j bi j 1 n
aij xˆ j bi yˆi 0
j 1
对偶性质
例2.4
已知线性规划
max z 3 x1 4 x2 x3
2xx1 122xx2
x3 2x
10 3 16
x
jபைடு நூலகம்
0,
j
1,2,3
3
x1 x1
x2 4x2
7x3 6x3
3 5
x1 , x2 , x3 0
解：首先将原问题变形为对称形式
max Z 2x1 3 x2 4 x3
2 x 3 x2 5 x3 2
3
x1
x2
7x3
3
x1 4 x2 6 x3
2.2运筹学 对偶问题的基本性质
y1*
x
* s1
0
y2*xs2* 0
ym*
x
s
* m
0
若y
* 1
0则x
* s1
0
若x
* s1
0则y
* 1
0
对偶变量不为0 ，原问题相应 约束式是等式
原问题约束为
已知线性规划问题
不等式，相应
min 2 x1 3 x2 5 x3 2 x4 3 x5
对偶变量为0
x1 x2 2 x3 x4 3 x5 4
(2)
2 y1 3 y2 5
(3)
y1 y2 2
(4)
3 y1 y2 3
(5)
y1 , y2 0
将
y* 1
,
y* 2
的值代入约束条件，得(2)，(3)，(4)为严格不等式；由互
补松弛性得 x*2 x*3 x4* 0。因 y1，y2 0；原问题的两个约束条
件应取等式，故有
x1* 3 x5* 4
B 1b C B B 1b
与-原原问问问题令题题的Y的的基=检C检解验B验(B差数数-1一对,故比负应较可号对-得-)偶---对- 偶问题YS的2=一CB个B-基1N解-C.N
YS1=0
原 问 题
对偶 问题
变量性质
检验数 基解
变量性质
基变量
非基变量
XB 0
-YS2 非基变量
XN
XS
CN-CBB-1N -CBB-1
机械设备
甲 1
原材料A 4
影子价格
原材料B 0
经济意义பைடு நூலகம் 在其它条件 不变的情况 下， 单位资源变 化所引起的 目标函数的 最优值的变 化。
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设Xs与Ys分别是（LP）与（DP）的松驰变量。
【性质1】 对称性 对偶问题的对偶是原问题。 【证】设原问题是
max Z CX , AX b, X 0
§2.2对偶性质 Dual Property
由表2－1知，它的对偶问题是
Ch2 Dual Problem
2020年6月20日星期六 Page 2 of 23
当C X°= Y°b时，由性质1，对任意可行解 X及Y有
C X Y 0b CX 0 Yb
即Y°b是（DP）中任一可行解的目标值的下界，C X°是 （LP）中任一可行解的目标值的上界，从而X°、Y°是最优 解。
§2.2对偶性质 Dual Property
Ch2 Dual Problem
2020年6月20日星期六 Page 7 of 23
【性质4】 还可推出另一结论：若（LP）与（DP）都有可行 解，则两者都有最优解，若一个问题无最优解，则另一问题也 无最优解。
【证】设（LP）有最优解X°，那么对于最优基B必有 C－ CBB-1A≤0与－CBB-1≤0，即有Y°A≥C与Y°≥0， 这里Y°= CBB-1 ，从而Y°是可行解，对目标函数有
得C X°≤Y°AX°
故
C X°≤Y°AX≤Y°b
这一性质说明了两个线性规划互为对偶时，求最大值的线性规 划的任意目标值都不会大于求最小值的线性规划的任一目标值， 不能理解为原问题的目标值不超过对偶问题的目标值。
§2.2对偶性质 Dual Property
由这个性质可得到下面几个结论：
Ch2 Dual Problem
CX 0 CB X B CB B1b Y 0b
由性质3知Y°是最优解。
由性质 4 还可推出另一结论：若（LP）与（DP）都有可行解， 则两者都有最优解，若一个问题无最优解，则另一问题也无最 优解。
§2.2对偶性质 Dual Property
Ch2 Dual Problem
2020年6月20日星期六 Page 8 of 23
§2.2对偶性质 Dual Property
Ch2 Dual Problem
2020年6月20日星期六 Page 1 of 23
设原问题是（记为LP）： 对偶问题是（记为DP）：
max Z CX
min w Yb
AX b X 0
YA C Y 0
这里A是m×n矩阵X是n×1列向量，Y是1×m行向量。假
【性质3】最优准则定理 设X°与Y°分别是（LP）与（DP） 的可行解，则当X°、Y°是（LP）与（DP）的最优解当且仅 当C X°= Y°b.
【 证 】 若 X° 、 Y° 为 最 优 解 ， B 为 （ LP ） 的 最 优 基 ， 则 有 Y°=CBB－1，并且
CX 0 CB B1b Y 0b
min w Yb, YA C,Y 0
它与下列线性规划问题是等价的：
max( w) Yb,YA C,Y 0
再写出它的对偶问题。
min w' CX ,AX b, X 0
它与下列线性规划问题是等价的
max Z CX , AX b, X 0
即是原问题。
§2.2对偶性质 Dual Property
注意上述结论（2）及（3）的条件不能少。一个问题有可 行解时，另一个问题可能有可行解（此时具有无界解）也 可能无可行解。
§2.2对偶性质 Dual Property
例如：
min z x1 2x2
x1
x1
1 2
x2
x2 2
2
x1
,
x
2
0
无可行解，而对偶问题
Ch2 Dual Problem
2020年6月20日星期六 Page 5 of 23
max w 2 y1 2 y2
y1 y2 1
1
y12, yy21
y 0
2
2
有可行解，由结论（3）知必有无界解。
§2.2对偶性质 Dual Property
Ch2 Dual Problem
2020年6月20日星期六 Page 6 of 23
2020年6月20日星期六 Page 4 of 23
（1）（LP）的任一可行解的目标值是（DP）的最优值下 界；（DP）的任一可行解的目标是（LP）的最优值的上 界；
（2）在互为对偶的两个问题中，若一个问题可行且具有 无界解，则另一个问题无可行解；
(3）若原问题可行且另一个问题不可行，则原问题具有 无界解。
Ch2 Dual Problem
2020年6月20日星期六 Page 3 of 23
【性质2】 弱对偶性 设X°、Y°分别为（LP）与（DP）的
可行解，则 CX 0 Y 0b
【证】因为X°、Y°是可行解，故有AX°≤b, X°≥0及 Y°A≥C，Y°≥0, 将不等式 AX°≤b 两边左乘Y°
得Y°AX°≤Y°b 再将不等式Y°A≥C两边右乘X°，
Y°A X°＝Y°b
Y°A X°=C X°
显然有Y°b=C X°,由性质3知Y°与X°是（LP）与（DP） 的最优解。证毕。
§2.2对偶性质 Dual Property
Ch2 Dual Problem
2020年6月20日星期六 Page 10 of 23
性质5告诉我们已知一个问题的最优解时求另一个问题的 最优解的方法，即已知Y°求X°或已知X°求Y°。
【性质5】互补松弛定理 设X°、Y°分别为（LP）与 （DP）的可行解，XS和YS是它的松弛变量的可行解，则 X°和Y°是最优解当且仅当
YSX°=0和Y°XS=0
【证】设X°和Y°是最优解，由性质3 ，C X°= Y°b，
由于XS和YS是松弛变量A X，°则＋有XS＝b
Y°A－YS=C 将第一式左乘Y°，第二式右乘X°得
Y°A X°＋Y°XS＝Y°b
Y°A X°－YS X°=C X°
§2.2对偶性质 Dual Property
Ch2 Dual Problem
2020年6月20日星期六 Page 9 of 23
显然有
Y°XS=－YY°XS=0和YS X°=0
反之， 当Y°XS=0和YS X°=0时，有
Y°XS=0和YS X°=0 两式称为互补松弛条件。将互补松弛条件写成下式
m
yi0 xSi 0
i 1
m
ySj xj0 0
j 1
由于变量都非负，要使求和式等于零，则必定每一分量 为零，因而有下列关系：