原问题与对偶问题
一些经典的对偶问题解决原问题的例子
一些经典的对偶问题解决原问题的例子对偶问题是数学和计算机科学中常见的问题类型之一。
它通常通过解决与原问题对偶的问题来寻找解决方案。
下面是一些经典的对偶问题解决原问题的例子。
1. 最大化 vs. 最小化：在某些情况下，将原始问题转化为对偶问题，将最大化问题转化为最小化问题，或者反之亦然，可以更容易地解决问题。
例如，在优化算法中，最小化一个函数可能比最大化更容易处理。
通过对目标函数取负，原问题可以转化为对偶问题，从而得到一个等效的最大化问题。
2. 求和 vs. 求积：有时候，将原始问题转化为对偶问题，从求和问题转化为求积问题，或者反之亦然，可以提供更简单的解决方案。
例如，在组合数学中，对一组数值求和可能较为困难，但是求这些数值的乘积却相对容易。
因此，通过将原问题转化为对偶问题，可以得到更高效的解决方法。
3. 广义情况 vs. 特殊情况：有时，将原问题转化为对偶问题，将一个一般性的问题转化为特殊情况，或者反之亦然，可以简化问题的复杂性。
例如，在图论中，解决一个一般的图上的最短路径问题可能非常耗时，但是如果图是一颗树（特殊情况），则可以通过更简单的算法快速解决。
通过将原问题转化为对偶问题，我们可以充分利用特殊情况的性质来降低问题的难度。
4. 具体问题 vs.抽象问题：有时，将原问题转化为对偶问题，从具体问题转化为抽象问题，或者反之亦然，可以简化问题的解决方案。
例如，在计算机科学中，将具体的实现问题抽象为算法问题，可以集中注意力于算法设计的本质，而不必被实现的细节所干扰。
通过对原问题和对偶问题之间的抽象关系进行转换，我们可以更有效地解决问题。
总之，经典的对偶问题解决原问题的例子展示了将问题转化为其对偶形式可以带来很多优势。
通过改变问题的形式、角度或者性质，我们可以获得更简单、更高效的解决方案。
这些例子不仅在数学和计算机科学中有广泛应用，也揭示了问题求解中的一般思维模式。
原问题和对偶问题最优解的关系
目录1. 原问题和对偶问题的定义2. 最优解的概念和求解方法3. 原问题和对偶问题最优解的关系4. 应用举例5. 结论1. 原问题和对偶问题的定义在数学和优化领域，原问题和对偶问题是一对相关的问题，它们通常是相互关联的，并且在求解过程中起到互补的作用。
原问题是指在优化理论中所要解决的实际问题，通常以最大化或最小化某个目标函数为目标，同时满足一系列约束条件。
上线性规划中，原问题可以表示为：Maximize（或Minimize）：C^T*xSubject to：Ax ≤ b其中C和x分别为目标函数系数和决策变量，A和b则表示约束条件。
而对偶问题则是通过原问题的构造，利用拉格朗日对偶性得到的一个与原问题等价的问题。
对偶问题通常与原问题具有相同的最优解，在某些情况下，对偶问题甚至比原问题更容易求解。
对偶问题的一般形式可以表示为：Minimize：b^T * ySubject to：A^T * y ≥ C其中y为对偶变量，A^T为A的转置。
2. 最优解的概念和求解方法我们需要定义最优解的概念。
在数学和优化领域中，最优解通常指的是在给定条件下能够最大化或最小化一个特定目标函数的解。
上线性规划中，最优解即为能够最大化或最小化目标函数的决策变量取值。
为了求解原问题和对偶问题的最优解，通常可以采用不同的优化算法，如线性规划中的单纯形法、内点法等。
这些算法能够根据问题的特点和约束条件，有效地寻找到最优解。
3. 原问题和对偶问题最优解的关系在优化理论中，原问题和对偶问题之间存在着一种重要的对偶关系。
具体来说，对偶问题的最优解可以与原问题的最优解相互通联，满足一定的关系。
对于原问题的最优解x*和对偶问题的最优解y*，它们之间存在着强对偶性（strong duality）的关系。
强对偶性是指下面的不等式成立：C^T * x* ≤ b^T * y*A^T * y* ≥ C这个关系意味着原问题和对偶问题的最优解是互相约束的，当原问题的最优解达到最大值时，对偶问题的最优解也能达到最小值，反之亦然。
一些经典的对偶问题解决原问题的例子
一些经典的对偶问题解决原问题的例子摘要：1.引言：对对偶问题的定义和重要性进行介绍2.经典对偶问题解决原问题的例子：线性规划，旅行商问题，背包问题3.对偶问题的解决方法：对偶性和拉格朗日对偶4.结论：对偶问题在解决复杂问题中的重要性和应用前景正文：一、引言对偶问题是运筹学中一种重要的问题类型，它是指在给定一个原始问题的基础上，建立起的一个与原问题密切相关的新问题。
对偶问题的提出，为解决复杂问题提供了一种全新的思路和方法，同时也为理论研究提供了一个重要的工具。
二、经典对偶问题解决原问题的例子1.线性规划：线性规划是一种常见的优化问题，它的主要目标是在满足一定约束条件下，找到一个线性目标函数的最优解。
线性规划问题的对偶问题是线性规划的对偶问题，它可以帮助我们更方便地解决原始问题。
2.旅行商问题：旅行商问题是一种经典的组合优化问题，它的目标是在给定一系列城市和它们之间的距离的情况下，找到一条最短的路径。
旅行商问题的对偶问题是车辆路径问题，它可以帮助我们更方便地解决原始问题。
3.背包问题：背包问题是一种经典的组合优化问题，它的目标是在给定一组物品的重量和价值以及一个背包的容量的情况下，选择物品的子集，使得背包中物品的总价值最大。
背包问题的对偶问题是背包问题的对偶问题，它可以帮助我们更方便地解决原始问题。
三、对偶问题的解决方法对偶问题的解决方法主要包括对偶性和拉格朗日对偶。
对偶性是指原始问题和对偶问题之间的一种特殊关系，它可以帮助我们通过对偶问题来解决原始问题。
拉格朗日对偶则是一种更加普遍的方法，它可以应用于更多的问题中。
四、结论对偶问题在解决复杂问题中的重要性和应用前景不言而喻。
在未来的研究中，我们期待能够发现更多的对偶问题，并利用它们来解决更多的实际问题。
原问题和对偶问题解的关系
原问题和对偶问题解的关系
原问题和对偶问题是线性规划中的两个重要概念，它们之间有着密切的联系。
在线性规划中，我们通常会遇到以下两种问题：
1. 原问题：是指需要我们求解的线性规划问题，通常是一个最
大化或最小化的目标函数，同时满足一些线性等式或不等式约束条件。
2. 对偶问题：是指与原问题相关的一个线性规划问题，它的目
标函数和约束条件与原问题相反，通常也是一个最大化或最小化的目标函数，同时满足一些线性等式或不等式约束条件。
原问题和对偶问题之间的关系可以概括为以下几点：
1. 对于任意一个线性规划问题，都存在一个与之相关的对偶问题。
2. 原问题的最优解和对偶问题的最优解具有一定的对偶关系，
也就是说，如果原问题的最优解为x，对偶问题的最优解为y，那么
x和y之间存在一种对偶关系，即x和y满足一些特定的约束条件。
3. 对于任意一个线性规划问题，其原问题和对偶问题的最优解
是相等的，即原问题的最优解等于对偶问题的最优解。
4. 原问题和对偶问题之间的对偶关系不仅可以帮助我们求解线
性规划问题，还可以帮助我们理解线性规划问题的本质和内在结构。
通过以上几点，我们可以看出，原问题和对偶问题之间的关系非常密切，它们不仅可以相互推导和求解，还可以帮助我们更好地理解和应用线性规划问题。
- 1 -。
运筹学 总结
原问题 其对偶问题为例1原问题 对偶问题min S = x1 + 2x2 + 3x3 max z = 2 y1 + 3y2 s.t. 2x1+3x2 + 5x3 ≥ 2 s.t. 2y1+3y2 ≤ 1 3x1+ x2 + 7x3 ≤ 3 3y1+ y2 ≤ 2 x1，x2 ， x3 ≥ 0 5y1+7y2 ≤ 3 y1≥ 0， y2 ≤0min S = 2x1 + 3x2 - 5x3 max z = y1-2y2 +3y3 +4y4s.t. x1+ x2 - x3 ≥ 5 s.t. y1+ 2y3 + y4 ≤ 3 2x1 + x3 =4 2y1 +2y2 - 2y4 ≤ -2 x1，x2 ， x3 ≥ 0 -y2+ y3 +3y4 = 1y2 ≤ 0 ，y3, y4 ≥ 0 ，y1 无非负约束⎩⎨⎧≥≤=0..X b AX t s CX MaxZ ⎩⎨⎧≥≥=0..Y C YA t s bYMinW ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤++=0,12416482..3221212121x x x x x x t s x x MaxZ ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥+++=0,,34224..121683213121321y y y y y y y t s y y yMinW ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+≥+≥++=0,70020103006825065..3502502121212121x x x x x x x x t s x x MinZ ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++++=0,,30020662501085..700300250321321321321y y y y y y y y y t s y y yMaxW ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=0,124253..101521212121y y y y y y t s y yMinW ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=0,10251543..221212121x x x x x x t s x x MaxZ1、对称性定理：对偶问题的对偶是原问题。
一些经典的对偶问题解决原问题的例子
一些经典的对偶问题解决原问题的例子摘要：1.引言2.对偶问题的定义和性质3.解决对偶问题的方法4.对偶问题解决原问题的例子5.结论正文：【引言】在数学和计算机科学中，对偶问题是一种常见的问题形式。
对偶问题通常与原问题相对应，并且它们的解可以相互转换。
解决对偶问题往往比解决原问题更加容易，因此，研究对偶问题解决原问题的方法具有一定的理论意义和实际价值。
本文将通过一些经典的例子，介绍对偶问题解决原问题的方法。
【对偶问题的定义和性质】对偶问题是指在数学规划中，给定一个原始问题（原问题），通过对原问题进行一定的变换，得到一个新的问题（对偶问题），使得原问题和对偶问题的解在某种意义上具有一致性。
对偶问题的性质包括：对偶性、稳定性、互补性、弱对偶性等。
【解决对偶问题的方法】解决对偶问题的方法有很多，主要包括以下几种：1.拉格朗日对偶法：拉格朗日对偶法是一种基于拉格朗日乘子法的对偶问题解决方法，通过引入拉格朗日乘子，将原问题转化为对偶问题，进而求解。
2.内点法：内点法是一种基于预测- 校正策略的原始- 对偶路径跟踪算法，通过在每次迭代中预测对偶变量，然后校正预测值，最终收敛到对偶问题的最优解。
3.第一次约束松弛法：第一次约束松弛法是一种启发式方法，通过在每次迭代中松弛原问题的约束，从而加速对偶问题的求解。
【对偶问题解决原问题的例子】以下通过两个经典的例子，介绍对偶问题解决原问题的方法：例子1：线性规划问题给定原问题：max c^T xs.t.A x ≤ b其中，c 和b 分别为常数向量，A 为系数矩阵，x 为变量向量。
对偶问题：min b^T ys.t.y ≤ A^T x其中，y 为对偶变量。
通过拉格朗日对偶法，可以将原问题转化为对偶问题，进而求解。
例子2：运输问题给定原问题：min cs.t.∑ a_ij x_ij = c其中，a_ij 为运输成本矩阵，x_ij 为运输量。
对偶问题：max b_ijs.t.∑ a_ij y_ij ≤ b_ij其中，b_ij 为对偶变量。
原问题和对偶问题解的关系
原问题和对偶问题解的关系
原问题和对偶问题是线性规划中的两个重要概念。
原问题是寻找一组变量的最优解，使得满足一组约束条件和目标函数最优化。
而对偶问题是将原问题的约束条件和目标函数进行转换，得到一个新的问题，通过求解该问题得到原问题的下界或上界。
原问题和对偶问题解之间有着紧密的联系和关系。
具体来说，如果原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，并且两者的最优解相等。
这被称为“强对偶定理”。
此外，如果原问题
的某个可行解不是最优解，则对偶问题的最优解就是原问题的最优解。
这被称为“弱对偶定理”。
原问题和对偶问题解的关系可以用下面的公式来表示：
原问题的最优解 = 对偶问题的最优解 = 原问题的最优值 = 对
偶问题的最优值
这个公式表明，原问题和对偶问题的最优解是等价的，它们都可以用来解决同一个线性规划问题。
因此，在实际应用中，我们可以选择任何一个问题来求解，但是需要注意的是，有些情况下一个问题的求解比另一个问题更容易，更高效。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体问题的特点来选择问题。
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原问题与对偶问题解的对应关系
原问题与对偶问题解的对应关系原问题和对偶问题是数学优化中的两个基本概念，它们之间存在密切的对应关系。
这种对应关系不仅体现在解的存在性、最优性和稳定性等方面，还直接影响到问题的可求解性。
下面将从五个方面详细阐述原问题与对偶问题解的对应关系。
一、解的对应性原问题和对偶问题的解具有明确的对应关系。
在某些情况下，原问题的解可以作为对偶问题的解，反之亦然。
这种对应关系基于问题类型、约束条件和目标函数的性质。
了解这种对应关系有助于更好地理解问题的本质，以及如何将原问题转化为对偶问题或将对偶问题转化为原问题。
二、解的存在性解的存在性是原问题和对偶问题共有的特性。
对于一个给定的原问题，如果其满足一定的条件，那么总存在一个对偶问题，使得它们的解具有对应关系。
同样地，对于一个给定的对偶问题，也存在一个原问题，使得它们的解具有对应关系。
因此，解的存在性是原问题与对偶问题之间的基本联系之一。
三、解的最优性原问题和对偶问题的最优解也具有对应关系。
在某些情况下，如果原问题有一个最优解，那么这个最优解可能也是对偶问题的最优解。
同样地，如果对偶问题有一个最优解，那么这个最优解可能也是原问题的最优解。
这种对应关系对于确定问题的最优解以及求解过程中可能出现的变化具有重要的指导意义。
四、解的稳定性解的稳定性是指问题解在参数变化时保持相对稳定的能力。
对于原问题和对偶问题，它们的解的稳定性也存在一定的对应关系。
了解这种对应关系有助于评估问题解的可靠性和精度，以及在参数变化时如何调整算法和求解方法。
五、解的可求解性最后，解的可求解性是原问题和对偶问题的关键属性之一。
在实际应用中，有些问题是可求解的，而有些则可能是不可求解的。
了解原问题和对偶问题的可求解性对应关系有助于确定哪些问题是可以通过算法和软件工具来求解的，哪些问题是目前无法解决的。
这种对应关系还直接影响到求解方法的复杂性和可行性。
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对偶问题(原问题)
目标函数min
n个 约 束 条 件
约束条件右端项
m个 0 变量 0 无约束
约束条件右端项
目标函数中变量的系数
• 例:
max z 5 x1 3x 2 2 x 3 4 x 4 5 x1 x 2 x 3 8 x 4 8 s.t 2 x1 4 x 2 3x 3 2 x 4 10 x1,x 2 0 x 3 ,x 4无约束
§2 原问题与对偶问题
• 1．对称形式的对偶
当原问题对偶问题只含有不等式约束 时，称为对称形式的对偶。
情形一： 原问题
对偶问题
max s.t.
z CX AX b X0
min w Yb s.t. YA C Y0
情形二：
1 2
2 3 1 2 3 1 2 3
厂 家
3
对 偶 问 题
原问题化为极小问题，最终单纯形表：
化为极小问题
x1 x3 15 / 2 0 x1 7 / 2 1 x2 3 / 2 0 （c j z） 0 j y4
原问题 的变量
原问题松弛变量
对偶问题 剩余变量
x2 0 0 1 0 y5
x3 1 0 0 0 y1
原问题松弛变量
对偶问题 剩余变量
x2 0 0 1 0 y5
x3 1 0 0 0 y1
x4 x5 5 / 4 15 / 2 1/ 4 1/ 2 1/ 4 3 / 2 1/ 4 1/ 2 y2 y3
对偶问题的变量
对偶问题用两阶段法求解的最终的单纯形表 对偶问题的变量 对偶问题剩余变量
y1 y2 1 / 4 5 / 4 y3 1 / 2 15 / 2 15 / 2 (c j z j ) x3
对偶问题为
5 y1 2 y 2 5 y1 4 y 2 3 s.t. y1 3 y 2 2 8 y1 2 y 2 4 y1 0, y2无约束
min w 8 y1 10 y2
• 例:
m ax z c j x j
j 1 n
max z CX A b X A b X 0
根据对称形式的对偶模型,可直接 写出上述问题的对偶问题:
b min w (Y ,Y ) -b
1 2
A (Y 1,Y 2 ) C A Y 1 0 ,Y 2 0
x4 x5 5 / 4 15 / 2 1/ 4 1/ 2 1/ 4 3 / 2 1/ 4 1/ 2 y2 y3
对偶问题的变量
原问题化为极小问题，最终单纯形表：
化为极小问题
x1 x3 15 / 2 0 x1 7 / 2 1 x2 3 / 2 0 （c j z） 0 j y4
原问题 的变量
y2 1 0 0 x4
y3 y 4 y5 0 1/ 4 1/ 4 1 1/ 2 3 / 2 0 7 / 2 3/ 2 x5 x1 x2
原问题的变量
原问题松弛变量
原问题化为极小问题，最终单纯形表：
原问极小问题
x1 x3 15 / 2 0 x1 7 / 2 1 x2 3 / 2 0 （c j z） 0 j y4
min w bi yi
i 1
m
n a ij x j bi ( i 1, , m1 m ) 1 j n a ij x j bi ( i m1 1, , m ) j 1 s .t . x j 0 ( j 1, , n1 n) x j 无 约 束( j n1 1, , n)
对偶问题 剩余变量
(Y Y )
• 2、 非对称形式的对偶
若原问题的约束条件是等式，
则
原问题 对偶问题
max z CX min w Yb AX b YA C Y无约束 X 0
推导:
原问题
max z CX AX b AX b X 0
掌握原问题和其对偶问题解之间的关系
对偶问题的对偶是原问题。
引例
max z 2 x1 x 2 5 x 2 15 原 s.t. 6 x1 2 x 2 24 问 题 x1 x 2 5 x1, x 2 0 min w 15 y 24 y 5 y s.t 6y y 2 5y 2y y 1 租借 方 y ,y ,y 0
原问题
对偶问题
max z CX min w Yb s.t AX b s.t YA C X0 Y0
证明 化为标准对称型
max z CX s.t AX b X0 min w Y b 对偶 s.t Y AC Y 0
yi 0 (i 1,, m1 )
yi 无约束 (i m1 1,, m)
a
i 1 m
m
ij
yi c j ( j 1,, n1 ) yi c j ( j n1 1,, n)
a
i 1
ij
§ 3 对偶问题的基本性质
弱对偶性； 强对偶性； 最优性; 无界性; 互补松弛性
min w (Y 1 Y 2 ) b (Y 1 Y 2 ) A C Y 1 0, Y 2 0
令Y
min w Yb YA C Y无约束
Y 1 Y 2，得对偶问题为：
证毕。
原问题(对偶问题)
目标函数max n个 0 变量 0 无 约 束 目标函数中变量的系数