线性规划的对偶原理

线性规划的对偶原理
3.1 线性规划的对偶问题
一、 对偶问题的提出
换位思考
家具厂的线性规划问题，该问题站在家具厂管理者的角度追求销售收入最大
213050m ax x x z += ⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+≤+0
,50212034212121x x x x x x
某企业家有一批待加工的订单，有意利用该家具厂的木工和油漆工资源来加工他的产品。

他 需要与家具厂谈判付给该厂每个工时的价格。

如果该企业家已对家具厂的经营情况有详细了 解，他可以构造一个数学模型来研究如何才能既让家具厂觉得有利可图，肯把资源出租给他， 又使自己付的租金最少。

目标:租金最少；1y -付给木工工时的租金；2y -付给油漆工工时的租金
2150120m in y y w +=
所付租金应不低于家具厂利用这些资源所能得到的利益
1）支付相当于生产一个桌子的木工、油漆工的租金应不低于生产一个桌子的收
入
502421≥+y y
2）支付相当于生产一个椅子的木工、油漆工的租金应不低于生产一个椅子的收
入
30321≥+y y
3）付给每种工时的租金应不小于零 0,021≥≥y y
二、 原问题与对偶问题的数学模型
1. 对称形式的对偶
原问题和对偶问题只含有不等式约束时，一对对偶问题的模型是对称的，称为对称形式的对偶。

原问题：
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥=0min X b AX CX z
对偶问题：
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤=0max Y C YA Yb w
2. 非对称形式的对偶
若原问题的约束条件全部是等式约束（即线性规划的标准型），即
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥==0min X b AX CX z
则其对偶问题的数学模型为
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤=是自由变量Y C YA Yb w max
可把原问题写成其等价的对称形式：
min z =CX AX ≥b AX ≤b X ≥0
即 min z =CX
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-A A X ≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b b
X ≥0
设Y 1=(y 1,y 2,…,y m ), Y 2=(y m+1,y m+2,…,y 2m )。

根据对称形式的对偶模型，写出上述问题的对偶问题：
max w =(Y 1,Y 2)·⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡-b b (Y 1,Y 2)·⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡-A A ≤C Y 1≥0 Y 2≥0
即 max w =( Y 1-Y 2)·b
( Y 1-Y 2)A ≤C Y 1≥0 Y 2≥0
令Y= Y 1-Y 2, 得对偶问题为： max w = Yb
YA ≤C Y 是自由变量
3. 原问题与对偶问题的对应关系
原问题： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≥+--=+-≤+++无约束
423143132143214
321,,0,14325x x x x x x x x x x x x x x
对偶问题： ⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧≤≥=+≥-+=-≥+++-=0
,,01331
2245min 321313
21213213
21y y y y y y y y y y y y y y y y w 无约束
原问题： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≤≥=----≥++≤++-+--=无约束
3241432143243214
321,,0,02473254334324323min x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z
对偶问题： ⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧
≥≤≥-+-=-+=-+-≤++-=无约束
3213
213
213
21313
21,0,04
44437332
3232253max y y y y y y y y y y y y y y y y y w
3.2 对偶问题的基本性质和基本定理
一、 对称性定理
对称性定理：对偶问题的对偶是原问题。

二、 弱对偶性定理
弱对偶性定理：若X )
0(和Y
)
0(分别是原问题和对偶问题的可行解，则有C X
)
0(≥Y )0(b 。

三、 最优性定理
最优性定理：若X )
0(和Y
)
0(分别是原问题和对偶问题的可行解，且有C X
)
0(=Y
)
0(b ，则X
)
0(
和Y
)
0(分别是原问题和对偶问题的最优解。

四、 对偶定理
对偶定理：有一对对偶的线性规划问题，若其一有一个有限的最优解，则另一个也有最优解， 且相应的目标函数值相等。

若任一个问题具有无界解，则另一个问题无可行解。

五、 单纯型乘子Y 的定理 单纯型乘子Y 的定理：若线性规划原问题有一个对应于基B 的最优基本可行解，则此时的单 纯型乘子Y= C B B 1-是相应于对偶问题的一个最优解。

六、 对称形式对偶的互补松弛定理
对称形式对偶的互补松弛定理：若X )0(和Y )0(分别是原问题和对偶问题的可行解，则X )0(和 Y )0(都是最优解的充要条件是，对所有i 和j ，下列关系式成立：
1. 如果x )
0(j >0，必有Y )0(P j =c j 2. 如果Y )0( P j < c j ，必有x )
0(j =0 3. 如果y )
0(i >0，必有A i X )
0(=b i
4. 如果A i X
)0(>b i ，必有y )
0(i =0
其中P j 是A 的第j 列，A i 是A 的第i 行。

互补松弛定理意味着：如果原问题最优解X )0(中第j 个变量x )
0(j 为正，则其对偶问题中与之 对应的第j 个约束式在最优情况下必呈严格等式（即其松弛变量为0）；而如果对偶问题中 第j 个约束式在最优情况下呈严格不等式，则原问题最优解X )
0(中第j 个变量x )
0(j 必为0。

类似地，如果对偶问题最优解Y
)
0(中第i 个对偶变量y )
0(i 为正，则其原问题中与之对应的第
i 个约束在最优情况下必呈严格等式（即其剩余变量为0）；而如果原问题中第i 个约束在 最优情况下呈严格不等式，则对偶问题最优解Y
)
0(中第i 个对偶变量y )
0(i 必为0。

互补松弛性：0=S YX 0=X Y S Y X ,为最优解
对一对对偶规划的最优解而言，如果对应某一约束条件的对偶变量的值为非零，则该约 束条件取严格等式；反之，如果某个约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定为零。

七、 非对称形式对偶的互补松弛定理 非对称形式对偶的互补松弛定理：若X )
0(和Y
)
0(分别是原问题和对偶问题的可行解，则X
)
0(
和Y
)
0(都是最优解的充要条件是，对所有j ，下列关系式成立：
1. 如果x )
0(j >0，必有Y )
0(P j =c j
2. 如果Y
)
0( P j < c j ，必有x )
0(j =0
例：已知线性规划问题⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤-+-≤++-+=0
,,122
max 3213213212
1x x x x x x x x x x x z
试用对偶理论证明上述线性规划问题无最优解
该问题存在可行解，如)0,0,0(=X 又对偶问题为
,01122min 2121222121≥≥-≥+≥--+=y y y y y y y y y y w
由第一个约束条件知对偶问题无可行解，由此可知其原问题无最优解 八、 最优对偶变量（影子价格）的经济解释
由对偶定理可知，当达到最优解时，原问题和对偶问题的目标函数值相等。

如果在得到最优解时，某种资源并未完全利用，其剩余量就是该约束中剩余变量的取值，那 么该约束相对应的影子价格一定为零。

因为在得到最优解时，这种资源并不紧缺，故此时再 增加这种资源不会带来任何效益。

反之，如果某种资源的影子价格大于零，就说明再增加这 种资源的可获量，还回带来一定的经济效益，即在原问题的最优解中，这种资源必定已被全 部利用，相应的约束条件必然保持等式。