逐次超松弛迭代_SOR迭代_matlab程序
sor迭代法matlab
sor迭代法matlabSOR迭代法是一种求解线性方程组的方法，它是Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的改进。
SOR迭代法通过引入松弛因子来加速收敛速度，从而提高求解效率。
在Matlab中，可以使用sor函数来实现SOR迭代法。
该函数的语法格式如下：x = sor(A, b, omega, tol, maxit)其中，A为系数矩阵，b为常数向量，omega为松弛因子，tol为误差容限，maxit为最大迭代次数。
函数返回值x为方程组的解向量。
下面我们将详细介绍如何使用Matlab中的sor函数进行线性方程组求解。
1. 准备数据首先需要准备系数矩阵A和常数向量b。
例如，我们要求解以下线性方程组：3x1 + 2x2 - x3 = 10-1x1 + 4x2 + x3 = 82x1 - 3x2 + 5x3 = 14则系数矩阵A和常数向量b分别为：A = [3 2 -1; -1 4 1; 2 -3 5]b = [10; 8; 14]2. 调用sor函数接下来，在Matlab中调用sor函数进行求解。
假设松弛因子omega 取0.5，误差容限tol取1e-6，最大迭代次数maxit取1000，则代码如下：x = sor(A, b, 0.5, 1e-6, 1000)函数返回的解向量x为：x = [3.0000; 1.0000; 2.0000]可以通过将解向量代入原方程组验证解的正确性。
3. 调整松弛因子松弛因子omega对SOR迭代法的收敛速度有很大影响。
如果选择不合适的松弛因子，可能会导致收敛速度变慢甚至不收敛。
因此，需要根据实际情况对松弛因子进行调整。
通常情况下，可以通过试验法来确定最佳的松弛因子。
例如，在Matlab中可以编写一个循环来尝试不同的松弛因子，并比较它们的收敛速度。
代码如下：for omega = 0.1:0.1:1x = sor(A, b, omega, 1e-6, 1000);fprintf('omega=%f, iterations=%d\n', omega, length(x)); end该代码将尝试从0.1到1之间以步长为0.1递增的所有松弛因子，并输出它们所需的迭代次数。
逐次超松弛迭代法
(3．7)
图6.1
12
我们在 (x, y) 平面上作两组平行直线
x x0 ih, y y0 jh i, j 0,1,2,
(3.8)
(x0 , y0 ) 是平面 (x, y) 上的任意一点，通常取 (x0 , y0 ) 为坐标原点， h( 0) 称为步长．这样，整
个平面就被这两组平行直线构成的正方形网格所覆盖，所讨论的区域 G+P 可被有限个正
x1(k )
1 (4 5
x (k 1) 2
x (k 1) 3
x4(k 1) )
x2(k )
1 10
(12
x1(k
)
x (k 1) 3
x (k 1) 4
)
x3(k )
1 (8 5
x1(k )
x2(k )
x4(k 1) )
x4(k )
1 (34 10
x1(k )
x2(k )
x3(k ) )
k 1,2,
输出 近似解 x1, x2 ,xn 或迭代次数超过 m 的信息．
step 1 对 k 1,, n 做 step2—4．
step 2 对 i 1,2,, n
step 3 step 4
i 1
n
(bi aij x j aij xoj
xi (1 )x0i
j 1
j i 1
若 x x0 TOL ，则输出 (x1,, xn ) ；停机．
图表6.2
5
从表6．2得到
x6x
5.5 61 04
算法6．3 应用SOR方法解方程组 Axb
输人 方程组的阶数 n ； A 的元素 aij (i, j 1,, n) ；b 的分量 bi (i 1,, n) ；初始向量 x0 的分量
超松弛迭代法(SOR方法)
解：SOR迭代公式
x1( k
1)
(1 )x1(k )
4
(10 2x2(k )
4x3(k ) )
x
(k 2
1)
(1 )x2(k )
17
(3
2
x1(
k
1)
10x3(k ) )
x3( k
1)
(1 )x3(k )
9
(7 4x1(k 1)
10
x
(k 2
1)
)
初值 x (0) (0,0,0)T k = 0,1,2,…，
例该4方.4程用组S的OR精法确求解解线x (性*) 方 程(2组,1,1)T
如值只果需x(0取)迭ω取代(0=,04ω21,00x(=42)即1次T1xx,要11.高4便26达x斯11，可207到—xx要达22同4塞求到x样319德精0x精x3尔度130度迭要x,(3k7代求需1) 法要x)迭(和k) 代同1一1100初6次
数值计算方法
超松弛迭代法（SOR方法） 使用迭代法的困难在于难以估计其计算
量。有时迭代过程虽然收敛，但由于收敛速 度缓慢，使计算量变得很大而失去使用价值 。因此，迭代过程的加速具有重要意义。逐 次超松弛迭代（Successive Over relaxatic Method，简称SOR方法）法，可以看作是带参 数的高斯—塞德尔迭代法，实质上是高斯-塞 德尔迭代的一种加速方法。
或 Dx(k1) (1)Dx(k) (b Lx(k1) Ux(k) )
故 (D L)x(k1) (1)D Ux(k) b
显然对任何一个ω值,(D+ωL)非奇异,(因为假设 aii 0,i 1,2,, n )于是超松弛迭代公式为
x(k1) (D L)1 (1)D U x(k) (D L)1b
迭代法求解方程matlab
迭代法求解方程的MATLAB实现1.引言迭代法是一种求解方程的常用方法，尤其适用于大规模矩阵和高维问题。
在迭代法中，我们通过不断迭代来逐步逼近方程的解。
本篇文章将介绍如何使用MATLAB实现迭代法求解方程。
2.收敛性判断在使用迭代法求解方程时，我们需要判断迭代是否收敛。
通常，我们使用以下两种方法进行收敛性判断：2.1 判断迭代公式是否收敛对于许多迭代公式，我们可以根据其结构来判断其是否收敛。
例如，Jacobi迭代法和Gauss-Seidel方法通常适用于对角占优的矩阵，而SOR方法适用于对角占优或松弛型的矩阵。
2.2 判断迭代误差是否收敛我们还可以通过判断迭代误差是否收敛来判断迭代是否收敛。
迭代误差通常定义为实际解与迭代解之间的范数。
如果迭代误差逐渐减小并趋于零，则说明迭代收敛。
3.迭代公式下面我们以Jacobi迭代法为例，介绍迭代公式的实现。
Jacobi迭代法的迭代公式如下：x{n+1}=(\frac{1}{a{ii}})(b i-A{ii,1:i-1}x1-A{ii,i+1:n}x_n)其中，A是系数矩阵，b是右侧向量，x是解向量，a_{ii}是矩阵A的主对角线元素。
4.误差计算为了判断迭代是否收敛，我们需要计算迭代误差。
通常，我们使用实际解与迭代解之间的相对误差或范数误差来衡量误差大小。
例如，相对误差可以按下式计算：||x^-x_n||_2/(||x^||_2)其中，x^*是实际解向量，x_n是第n次迭代的解向量。
5.MATLAB实现下面是一个使用MATLAB实现Jacobi迭代法的示例代码：function x = jacobi(A, b, x0, tol, max_iter)% 输入参数：系数矩阵A、右侧向量b、初始解向量x0、容许误差tol和最大迭代次数max_iter% 输出参数：方程的解向量xn = length(b); % 方程的未知数个数x = zeros(n, 1); % 初始化解向量xx(:) = x0; % 将初始解向量赋值给xerr = tol + 1; % 初始化误差大于容许误差，表示未收敛k = 0; % 初始化迭代次数k=0while err > tol && k < max_iterk = k + 1; % 更新迭代次数k=k+1for i = 1:n % 对每个未知数进行更新x(i) = (b(i) - A(i, 1:i-1)*x(1:i-1) - A(i, i+1:n)*x(i+1:n)) / A(i, i); % 更新解向量x的第i个元素x(i)的公式为x(i)=[b(i)-A(i,1:i-1)*x(1:i-1)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n)]/A(i,i)endforendwhileif k < max_itererr = norm(x - x_prev, 'fro') / norm(x_prev, 'fro'); % 计算相对误差endendendfunction```。
matlab超松弛迭代法求方程组
一、介绍MATLAB（Matrix Laboratory）是一种用于数值计算和数据可视化的专业软件。
在MATLAB中，超松弛迭代法是解决线性方程组的一种有效算法。
本文将介绍MATLAB中超松弛迭代法的基本原理和实现方法，并给出一个具体的例子进行演示。
二、超松弛迭代法的基本原理超松弛迭代法是一种逐步迭代的算法，用于求解线性方程组。
它的基本原理是通过不断迭代更新方程组的解，直到达到满足精度要求的解。
超松弛迭代法的公式如下：X(k+1) = (1-w)X(k) + w*(D-L)⁻¹*(b+U*X(k))其中，X(k)代表第k次迭代的解向量，X(k+1)代表第k+1次迭代的解向量，D、L和U分别代表方程组的对角线元素、下三角元素和上三角元素构成的矩阵，b代表方程组的右端向量，w代表松弛因子。
超松弛迭代法的关键在于选择合适的松弛因子w，一般情况下，可以通过试验选取一个合适的值。
在MATLAB中，可以使用sor函数来实现超松弛迭代法。
三、MATLAB中超松弛迭代法的实现方法在MATLAB中，可以通过调用sor函数来实现超松弛迭代法。
sor 函数的语法格式如下：[X,flag,relres,iter,resvec] = sor(A,b,w,tol,maxit)其中，A代表线性方程组的系数矩阵，b代表右端向量，w代表松弛因子，tol代表迭代的精度要求，maxit代表最大迭代次数，X代表迭代求解得到的解向量，flag代表迭代的结果标志，relres代表相对残差的大小，iter代表迭代次数，resvec代表迭代过程中的残差向量。
以下是一个使用sor函数求解线性方程组的示例：A = [4 -1 0 -1 0 0; -1 4 -1 0 -1 0; 0 -1 4 0 0 -1; -1 0 0 4 -1 0; 0 -1 0 -1 4 -1; 0 0 -1 0 -1 4];b = [1; 0; -1; 0; 1; 0];w = 1.25;tol = 1e-6;maxit = 100;[X,flag,relres,iter,resvec] = sor(A,b,w,tol,maxit);通过调用sor函数，可以得到方程组的解向量X，迭代的结果标志flag，相对残余resrel和迭代次数iter。
matlab迭代函数程序
matlab迭代函数程序Matlab是一种高级的数学软件，其内置了许多迭代函数，可以帮助用户更方便地进行数值计算和数据分析。
本文将介绍一些常用的Matlab迭代函数及其应用，希望能够对读者有所帮助。
一、for循环for循环是Matlab中最基本的迭代函数之一，其语法格式为： for 循环变量=初始值:步长:终止值循环体end其中，循环变量是一个标量或向量，初始值、步长和终止值都是数值。
循环体中的语句将会被重复执行，直到循环变量达到终止值为止。
下面是一个简单的例子，计算1到10的累加和：sum = 0;for i = 1:10sum = sum + i;enddisp(sum);输出结果为55，即1+2+3+...+10的和。
二、while循环while循环是另一种常用的迭代函数，其语法格式为：while 条件循环体end其中，条件可以是任何能够返回逻辑值的表达式，循环体中的语句将会被重复执行，直到条件为假为止。
下面是一个简单的例子，计算1到10的累加和：sum = 0;i = 1;while i <= 10sum = sum + i;i = i + 1;enddisp(sum);输出结果为55，与for循环的结果相同。
三、递归函数递归函数是一种特殊的函数，其定义中包含对自身的调用。
在Matlab中，递归函数的语法与普通函数相同，但需要注意避免死循环。
下面是一个递归函数的例子，计算n的阶乘：function f = factorial(n)if n == 0f = 1;elsef = n * factorial(n-1);endend该函数首先判断n是否为0，若是则返回1；否则返回n乘以n-1的阶乘。
例如，计算5的阶乘可以使用以下语句：disp(factorial(5));输出结果为120。
四、向量化运算向量化运算是Matlab的一大特色，可以大大提高计算效率。
其基本思想是将循环语句转化为矩阵运算，避免了循环带来的额外开销。
数值分析Python实现系列——二、逐次超松弛迭代法（SOR）
数值分析Python 实现系列——⼆、逐次超松弛迭代法（SOR ）⼆、超松弛迭代法(SOR)1.原理:回顾:在⼀般情况下 : 收敛过慢甚⾄不收敛的B 与f ,经过对系数矩阵A 分裂成A =M −N 的形式, 使得迭代公式变为: x k +1=(I −M −1)Ax k +M −1f 雅克⽐迭代法选取 : 现将A 如下分解A =D −L −U ,D 为对⾓阵,L 为下三⾓阵,U 为上三⾓阵,取M ≡D ,取N ≡L +U ,在这⼀章中我们选取下三⾓矩阵M =1ω(D −ωL ),ω>0,其中ω为松弛因⼦,我们可以发现当ω为1时,M =D −L ,正是⾼思-赛德尔迭代法,下⾯推导迭代公式:x k +1=I −M −1A x k +M −1bx k +1=I −ω(D −ωL )−1A x k +ω(D −ωL )−1bx k +1=(D −ωL )−1((1−ω)D +ωU )x k +ω(D −ωL )−1b推导完毕,我们较为常⽤的是下式:(D −ωL )x k +1=((1−ω)D +ωU )x k +ωb以及:x (0)=(x (0)1,...,x (0)n )T ,x (k +1)i =x (k +)i +Δx i Δx i =ωb i −i −1∑j =1a ij x (k +1)j −n ∑j =1a ij x (k )j a ii i =1,2,...,n ,k =0,1,...,ω为松弛因⼦当ω>1时为超松弛迭代,当ω<1时为低松弛迭代迭代终⽌条件:max 1≤i ≤n |Δx i |=max1≤i ≤n |x (k +1)i −x (k )i |<ε,下⾯我们试试⽤Python 实现这⼀功能.2.实现:import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltMAX = 110 # 遍历最⼤次数A = np.array([[-4, 1, 1, 1], [1, -4, 1, 1], [1, 1, -4, 1], [1, 1, 1, -4]])b = np.array([[1], [1], [1], [1]]) # 注意这⾥取列向量omega_list = [1 + 0.005 * i for i in range(100)] # 取到不同的omega 值,观察趋势length = len(A)count = [] # 记录遍历的次数for omega in omega_list: # 遍历每⼀个omega 值times = 0x_0 = np.zeros((length, 1))x_hold = x_0 + np.ones((length, 1))while (np.linalg.norm(x_hold - x_0, ord=2) >= 10 ** (-5)) and (times <= MAX):# 遍历停⽌条件以k+1次与k 次迭代的向量差的⼆范数以及遍历最⼤次数为标准x_hold = x_0.copy() # 这⾥不要⽤赋值,要⽤copyx_new = x_0.copy()for i in range(length):# 根据迭代公式迭代x_new[i][0] = x_0[i][0] + omega * (b[i][0] - sum([A[i][j] * x_new[j][0] for j in range(i)]) - sum([A[i][j] * x_0[j][0] for j in range(i, length)])) / A[i][i]x_0 = x_new.copy()times += 1count.append(times)plt.plot(omega_list, count) # 观察omega 与迭代次数的关系plt.show()思路:1.遍历设限:第⼀种是到达精度,到达精度停⽌迭代,第⼆种是到达规定最⼤次数,这个可以⾃⼰设定.2.在根据迭代公式改变各个向量分量时,要注意遍历范围.结果:{。
数值分析第二次大作业SOR最优松弛因子选取方法及SOR迭代法的改进
《数值分析》第二次大作业题目：SOR最优松弛因子选取方法及SOR迭代法的改进内容：1.SOR最优松弛因子选取方法2.SOR迭代法的改进（SSOR迭代法）3.SSOR迭代法的Matlab程序4.举例比较jacobi，Gauss-Seidel，SOR及SSOR 迭代法的收敛速度姓名：合肥工业大学学号：2011班级：信息与计算科学11-1班参考资料：1.《确定SOR最优松弛因子的一个实用算法》李春光等《计算力学学报》2.《数值分析与实验》，薛毅,北京工业大学出版社.3.《数值分析中的迭代法解线性方程组》，马云,科学出版社4.《非线性互补问题的改进超松弛迭代算法》，段班祥等,江西师范大学出版社5.《迭代法解线性方程组的收敛性比较》，郑亚敏,江西科学出版社.一、SOR最优松弛因子选取方法SOR迭代法迭代公式：x(k+1)i=(1-ω)xi+(k) bi-∑aijxjaii⎝j=1ω⎛ i-1(k+1)-j=i+1∑axijn(k)j⎫⎪ (i=1,2,..n.), ⎪⎭1.二分比较法将松弛因子1/2，ω的区间（1,2）进行二分，每个小区间的长度为ω去中间值3/2，按照SOR 迭代法迭代公式，求出跌代次数k,如果k不超过指定的发散常数，则可确定ω的值；否则将（1,2）四等分，每个区间长度为1/4,ω取各分点值，继续迭代，一般地，将1区间（1,2）二分M次，每次二分步长为，ω一次取取各分点值，2M按照SOR迭代法迭代公式，求出跌代次数k,如果k不超过指定的发散常数，则可确定的ω的值，这样总能找到一个不超过指定发散常数ω值。
2.逐步搜索法将1+ω的取值区间（1,2）进行M等分，ω分别取ω的值。
12M-1,1+,...,1+，通过迭代公式依次对同意精度要求求出迭代MMM次数k的值，并从中选出最优松弛因子3.黄金分割法依据黄金分割比的思想，通过计算机主动选取最优松弛因子的近似值，步骤如下a.对（1，2）区间进行第一次0.618的分割，区间边界a1=1,b1=2，在区间(a1,b1)分割出黄金点p1=a1+0.618(b1-a1)，进行SOR迭代法的迭代，求出迭代次数k的值，如果没有超过规定的发散常数，迭代结束，否则做步骤b。
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贵州师范大学数学与计算机科学学院
Gauss-Seidel 迭代值
xi( k ) (1 ) xi( k 1) xi
i 1 n ( k 1) (k ) ( k 1) xi aij x j aij x j bi aii j i j 1 (i 1, 2, , n) (5.10)
en
function y=fSOR(A,b,x,h,eps,M)
w=0:h:2;
n=2/h+1; K=zeros(1,n); for i=1:n [x,K(i),index]=sor(A,b,x,w(i),eps,M); %松弛因子w的个数
end
K;
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第k 次迭代值： xi( k ) (1 )xi(k 1) xi
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Numerical Analysis
xi( k ) (1 ) xi( k 1) xi
1 ( k 1) (1 ) xi aii
n i 1 (k ) ( k 1) bi aij x j aij x j j i 1 j 1
i 1 n ( k 1) (k ) ( k 1) xi aij x j aij x j bi aii j i j 1 (i 1, 2, , n) (5.10)
0 2 . 其中 称为松弛因子，
♦ 1 (5.10)称为逐次超松弛迭代法(SOR迭代)； ♦ 1 (5.10)为Gauss-Seidel 迭代法； ♦ 0 1 (5.10)称为低松弛迭代法.
, i 1) ,要计算分量 xi( k ) .
Step 1 用Gauss-Seidel 迭代求得
n i 1 1 (k ) ( k 1) xi aij x j aij x j bi aii j 1 j i 1
Step 2 计算 xi与第k -1次迭代值 xi( k 1)的加权平均作为
L1=D+w*L;
G1=((1-w)*D-w*U); d=w*b;
v=0;
k=0;
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while 1 b=G1*x+d; y=inv(L1)*b; e=norm(y-x,inf);
x=y;
if e<=tol v=1; break;
end
k=k+1; if k>M
break
SOR迭代法的矩阵表示 ( A D L U )
x( k ) (1 ) x( k 1) D1 (b Lx( k ) Ux( k 1) )
I D 1 L x ( k ) (1 ) I D 1U x ( k 1) D 1b
x( k ) (D L)1 (1 )D U x( k 1) (D L)1b
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SOR 迭代的Matlab函数文件（求解线性方程组Ax＝b）
function [y, k, v]=sor(A,b,x,w,tol,M) % x为迭代初值，w为松弛因子（0<w<2）, tol为允许误差， % v为标志变量, M为最大迭代次数 D=diag(diag(A)); L=tril(A,-1); U=triu(A,1);
scatter(w,K,'filled','r')
%绘制迭代次数与松弛因子关系的曲线
K0=find(K==0);
K(K0)=[]; K1=min(K); I=find(K==K1); w=w(I(1));
[x,c,index]=！
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Numerical Analysis
逐次超松弛迭代(SOR迭代) 设已求得 n 元线性代数方程组 Ax = b第k -1次迭 代向量 x
( k 1)
x
( k 1) 1
,x
(k 1) 2
,
,x
(k 1) T n
及第k 次迭代向量
x ( k )的分量 x(jk ) ( j 1, 2,