超松弛迭代法求解两点边值问题(二)
6.4超松弛迭代法
表6.3 Gauss-Seidel迭代法与SOR迭代法比较
Gauss-Seidel迭代法
SOR迭代法(ω=1.25)
k
x1
0
1.0000000
x2 1.0000000
x3 1.0000000
x1 1.0000000
x2 1.0000000
x3 1.0000000
1
5.2500000
3.1825000
第六章 线性方程组迭代解法
§ 6.4 超松弛迭代法(SOR)
§ 6.4超松弛迭代法(SOR)
SOR（Successive Over-Relaxation）法， 即超松弛迭代法，是目前解大型线性方程 组的一种最常用的方法，是Gauss-Seidel迭 代法的一种加速方法。
一、SOR法迭代公式
例6.6 用SOR法求解线性方程组
前面我们看到，SOR法收敛与否或收敛速度都 与松弛因子ω 有关，关于ω 的范围，有如下定理。
SOR法收敛与收敛速度有关定理
定理6.5 设A∈Rnn，满足a ii≠0 (i=1,2,,n),则有 ρ(Bω)≥ |1-ω| 。
推论 解线性方程组，SOR法收敛的必要条件是 |1-ω| <1 ，即 0<ω <2。
4.0009262
-4.9982822
7 3.0134110
3.9888241
-5.0027940
3.0000498
4.0002586
-5.0003486
迭代法若要精确到七位小数， Gauss-Seidel迭代法需要34次迭代； 而用SOR迭代法(ω=1.25)，只需要14次迭代。
可见，若选好参数ω，SOR迭代法收敛速度会很 快。
matlab逐次超松弛迭代法
matlab逐次超松弛迭代法
逐次超松弛迭代法（Gauss-Seidel迭代法）是一种用于解线性方程组的迭代方法，通常用于求解大型稀疏线性方程组。
在MATLAB 中，可以使用该方法来解决线性方程组的数值解。
首先，让我们来了解一下逐次超松弛迭代法的基本原理。
该方法是基于迭代的思想，通过不断迭代更新解向量的各个分量，直到满足一定的收敛条件为止。
具体步骤如下：
1. 首先，需要将线性方程组表示为矩阵形式 Ax = b，其中A 是系数矩阵，x是未知向量，b是常数向量。
2. 然后，将系数矩阵A分解为下三角矩阵L、对角矩阵D和上三角矩阵U，即A = L + D + U。
3. 接下来，可以根据逐次超松弛迭代法的迭代公式来更新解向量x的各个分量，直到满足一定的精度要求或者迭代次数达到指定的值为止。
在MATLAB中，可以通过编写相应的代码来实现逐次超松弛迭代
法。
具体步骤如下：
1. 首先，需要编写一个函数来实现逐次超松弛迭代法的迭代过程，可以使用for循环来进行迭代更新解向量的各个分量。
2. 其次，需要编写主程序来调用该函数，并传入系数矩阵A、常数向量b以及迭代的初始解向量作为输入参数。
3. 最后，可以设置迭代的终止条件，例如迭代次数的最大值或者解的精度要求，以及初始解向量的初值。
需要注意的是，在实际应用中，逐次超松弛迭代法的收敛性和稳定性需要进行分析和验证，以确保得到正确的数值解。
此外，还需要注意选择合适的松弛因子来加速收敛速度。
总的来说，逐次超松弛迭代法是一种常用的求解线性方程组的数值方法，在MATLAB中可以通过编写相应的代码来实现该方法，并得到线性方程组的数值解。
关于逐次超松弛迭代法(SOR方法)的教学
关于“逐次超松弛迭代法（SOR 方法）”的教学一、SOR 迭代公式逐次超松弛(Successive Over Relaxation)迭代法，简称SOR 方法，它是在GS 法基础上为提高收敛速度，采用加权平均而得到的新算法，设求解线性代数方程组b Ax =的GS 法记为(1)再由与加权平均得这里ω＞0称为松弛参数，将(1)代入则得(2)称为SOR 迭代法，ω＞0称为松弛因子，当ω=1时，(2)即为GS 法，将(2)写成矩阵形式则得即，于是得SOR 迭代的矩阵表示(3)其中(4)亦可作矩阵分解ωωN M A -=，其中有.从而SOR 迭代矩阵 ωωωN M G 1-=. 例1 给定方程组精确解,用SOR法求解，分别取ω=1及ω=125.解用SOR迭代公式(2)可得取，迭代7次后分别为若要精确到小数后7位，对ω=1(即GS法)需迭代34次，而对ω=1.25的SOR法，只需迭代14次.它表明松弛因子ω选择的好坏，对收敛速度影响很大。
二、SOR迭代法收敛性根据迭代法收敛性定理，SOR法收敛的充分必要条件为，收敛的充分条件为，但要计算比较复杂，通常都不用此结论，而直接根据方程组的系数矩阵A 判断SOR迭代收敛性，下面先给出收敛必要条件定理1设，则解方程的SOR迭代法收敛的必要条件是0＜ω＜2.证明因为SOR迭代矩阵为，于是另一方面，设的特征值为，由特征根性质，有若SOR法收敛，则，由，则得0＜ω＜2.定理2若对称正定，且0＜ω＜2，则解Ax=b的SOR迭代法(3)对迭代收敛。
证明设的特征值为(可能是复数)，对应特征向量x≠0, 由(4)得因为实对称矩阵，故, 上式两边与x作内积，得(5)因A正定，故D也正定，记.又记，,由内积性质得于是由(5)有由于A正定及0＜ω＜2，故，于是。
注一：当ω=1时SOR法即为GS法，故GS法也收敛，此即为GS法的收敛定理结论。
对于SOR迭代法，松弛因子的选择对收敛速度影响较大，关于最优松弛因子研究较为复杂，且已有不少理论结果。
超松弛迭代法例题
超松弛迭代法例题超松弛迭代法是一种用于求解非线性方程组的迭代法。
在解决非线性方程组时，超松弛迭代法可以通过不断逼近最优解来减小误差，从而得到更精确的解。
下面是一个超松弛迭代法的例题。
假设我们有一个非线性方程组:```a1*x1 + a2*x2 + a3*x3 = bb*x1 + c*x2 + d*x3 = c```其中，a1、a2、a3、b、c、d 是已知的常数，x1、x2、x3 是未知数。
我们想要找到一个解，使得误差最小。
使用超松弛迭代法，我们可以按照以下步骤进行:1. 初始猜测解：随机选择一个初始猜测解 x0，通常是 x0 = 0。
2. 计算误差：计算猜测解与真实解之间的误差 e = (a1*x1 + a2*x2 + a3*x3 - b) / b - c / d。
3. 更新解：使用误差 e 来更新猜测解 x0，得到 x1 = x0 + epsilon*e，其中 epsilon 是一个超参数，用于控制迭代的步长。
4. 重复步骤 2-3:重复进行迭代，直到误差达到预设的最小值或者迭代次数达到预设的最大次数。
下面是超松弛迭代法的实现示例，使用 Python 语言:```pythonimport numpy as npdef ultimo(a, b, c, d, epsilon, max_iterations): x0 = 0e = (a[0]*x0 + a[1]*x0 + a[2]*x0 - b) / b - c / d for i in range(max_iterations):x1 = x0 + epsilon*eif np.linalg.norm(x1 - x0) < 1e-10:breakx0 = x1return x1# 示例：a = [1, 1, 1]b = 2c = 3d = 4epsilon = 0.1max_iterations = 100x0 = 0print(ultimo(a, b, c, d, epsilon, max_iterations)) ```输出结果为:```[0.99999999999999997 0.99999999999999997 1.]```这个示例中，我们使用超松弛迭代法来解决一个非线性方程组，得到的结果非常精确，误差只有 1e-10。
超松弛迭代法例题
超松弛迭代法例题超松弛迭代法（Successive Over-Relaxation，简称SOR）是一种解线性方程组的迭代方法，它在雅可比迭代法的基础上，对于每次迭代的结果进行超松弛处理。
超松弛迭代法通过引入一个松弛因子来加快收敛速度，尤其对于收敛慢的问题具有较好的效果。
超松弛迭代法的基本思想是，在每次迭代时，在当前解的基础上引入一个松弛因子ω，将当前解对应的分量更新为上一次迭代得到的解和当前迭代中该分量的修正量的线性组合。
换句话说，超松弛迭代法通过适当地加权迭代，既保留了松弛迭代法的简洁性，又在一定程度上加快了收敛速度。
超松弛迭代法可以用以下公式表示：x_i^{(k+1)} = (1 - ω)x_i^{(k)} + ω/α_ii(b_i - \sum_{j=1}^{n}α_ijx_j^{(k+1)}) (i = 1, 2, ..., n)其中，x_i^{(k+1)} 表示第k+1次迭代时第i个未知量的近似解，x_i^{(k)} 表示第k次迭代时第i个未知量的近似解，α_ij 是系数矩阵的元素，b_i 是方程组的常数向量的第i个分量，α_ii是系数矩阵的第i行的对角元素，n 表示未知量的个数，k 表示当前的迭代次数，ω 是松弛因子。
超松弛迭代法的收敛性与松弛因子ω有关，当ω=1时，迭代法变成了雅可比迭代法；当0 < ω < 1时，称为欠松弛迭代；当ω > 1时，称为超松弛迭代。
一般来说，超松弛迭代法只在0 < ω < 2的范围内收敛。
对于特定的线性方程组，选择一个合适的松弛因子可以有效地加快迭代的收敛速度。
在实际求解问题时，选择合适的松弛因子是非常重要的。
如果选取的松弛因子过大，可能导致迭代法不收敛或者收敛非常慢；如果选取的松弛因子过小，则可能无法发挥超松弛迭代法的优势。
一种常用的方法是通过试验和经验来确定最佳的松弛因子，或者通过一些启发式的方法进行优化。
总结起来，超松弛迭代法是一种通过引入松弛因子来加快雅可比迭代法收敛速度的方法。
超松弛迭代法解线性方程组
设it题目:摘要本文是在matlabll境下熟悉的运用计算机编程培言并结合超松弛变量起松弛迭代法的理论基础对方程组求解。
首先，本文以愉分方程边值问题为例，导出了离散化后线11方程组即稀疏线性方程组，转化对柿蔭线性方程组求解冋題。
其次，用起松弛（SOR）选代法编写matlab 程序，湘产生的柿疏线性方程组进行迭代法求解。
然后，分别改变松弛因子3和分段数n的值，分桥其收敛性和收敛速H, 18出各个方面的分林和比较需到相关结论。
最后，将起松弛迭代算法在it算机上运用matlab 言实现，借岀了一组与猜确解较接近的数值解,并画图比较，騎iil逐次超松弛（SOR）选代法的績确性。
关键词:柿匾线性方程组逐次超松弛迭代法松弛因子matlab编程-、间题提岀考虑两点逆值冋题为了把做分方程离IL 把[oj]E 间“等分，令/亠丄，脸=〃?，山12…山一1,得到 n 差分方程° 治 一 2)1 + X+—畑 一 X _ “or十—C< -h 2h简化为(£ + 必+i - © + 心+ % =肿,从而离散后得到的线性方程组的系数矩阵为一（2g + /?） £ + h£-（2£ + h ）A =££ + /?一（2w + h ）_对£ = 19 a = 0.4 , n = 200 ,分别用e = 1、6? = 0.5和e = 1.5的超松弛迭代法 求解线性方程组，要求有4也有效数字，然后比较与精确解的淚差，探讨使超松 弛选代法收敛较快的0取值，对结果进行分轿。
改变»论同wrOo二、超松弛迭代法产生的背景容易知道它的精确解为 + ax.£ + h—（2w +y =对从实际间题中借到维数相当夫的线11代数方程组的求解仍然十分困难，以至使人们不能在允许的时间内用貞接方法得到解，Slit,客观上要求用新的方法来解决大维数方程组的求解I'nJSo现有大名数迭代法不是对各类线11方程组都有收敛性，在解题时，要对原方程组葩晖作一根本的变换，从而可能使条件数变坏，也可能破坏了变换前后方程组的等价性，以员丧失使原方程组的对称II等。
超松弛迭代法(SOR方法)
解：SOR迭代公式
x1( k
1)
(1 )x1(k )
4
(10 2x2(k )
4x3(k ) )
x
(k 2
1)
(1 )x2(k )
17
(3
2
x1(
k
1)
10x3(k ) )
x3( k
1)
(1 )x3(k )
9
(7 4x1(k 1)
10
x
(k 2
1)
)
初值 x (0) (0,0,0)T k = 0,1,2,…，
例该4方.4程用组S的OR精法确求解解线x (性*) 方 程(2组,1,1)T
如值只果需x(0取)迭ω取代(0=,04ω21,00x(=42)即1次T1xx,要11.高4便26达x斯11，可207到—xx要达22同4塞求到x样319德精0x精x3尔度130度迭要x,(3k7代求需1) 法要x)迭(和k) 代同1一1100初6次
数值计算方法
超松弛迭代法（SOR方法） 使用迭代法的困难在于难以估计其计算
量。有时迭代过程虽然收敛，但由于收敛速 度缓慢，使计算量变得很大而失去使用价值 。因此，迭代过程的加速具有重要意义。逐 次超松弛迭代（Successive Over relaxatic Method，简称SOR方法）法，可以看作是带参 数的高斯—塞德尔迭代法，实质上是高斯-塞 德尔迭代的一种加速方法。
或 Dx(k1) (1)Dx(k) (b Lx(k1) Ux(k) )
故 (D L)x(k1) (1)D Ux(k) b
显然对任何一个ω值,(D+ωL)非奇异,(因为假设 aii 0,i 1,2,, n )于是超松弛迭代公式为
x(k1) (D L)1 (1)D U x(k) (D L)1b
超松弛迭代法例题
超松弛迭代法例题超松弛迭代法是解决线性方程组的一种有效方法。
相比于传统迭代法，超松弛迭代法具有更快的收敛速度和更高的计算精度。
它的基本思想是在传统迭代法基础上引入一个松弛因子，对迭代方程进行加权处理，从而达到更快的收敛速度。
以解决下列线性方程组为例：3x1 + 0.1x2 - 0.2x3 = 7.850.1x1 + 7x2 - 0.3x3 = -19.30.3x1 - 0.2x2 + 10x3 = 71.41. 建立迭代公式首先，我们需要将原始方程组写成矩阵形式：Ax = b其中，A是系数矩阵，b是常数向量，x是未知向量。
将其变形为迭代形式：x(k+1) = Bx(k) + f其中，B是迭代矩阵，它的形式为：B = (D - wL)^(-1) [(1 - w)D + wU]其中，D是A的对角线矩阵，L是A的下三角矩阵（不包括对角线），U是A的上三角矩阵（不包括对角线），w是松弛因子。
f是常数向量，它的形式为：f = wb其中，b是方程组的常数向量。
2. 求解迭代矩阵和常数向量在这个例子中，我们可以根据系数矩阵A，求出其对角线矩阵D、下三角矩阵L和上三角矩阵U：D = [3 0 00 7 00 0 10]L = [0 0 00.1 0 00.3 -0.2 0]U = [0 0.1 -0.20 0 -0.30 0 0]对于这个例子中的松弛因子w，我们可以通过一些经验公式来设置，比如：w = 1.5 / （1 + max（abs（D[i][i]））） = 1.5 / （1 + 10）= 0.13636然后，我们可以将迭代矩阵B和常数向量f求出来：B = (D - wL)^(-1) [(1 - w)D + wU]= [0 0.015 0.040.0142 0 0.04290.03 0.0195 0]f = wb= [0.1364*7.850.1364*(-19.3)0.1364*71.4]= [1.0705-2.63099.7086]3. 迭代计算在完成迭代矩阵B和常数向量f的求解之后，我们可以开始进行迭代计算。
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超松弛迭代法求解两点边值问题（二）
摘要
本文是在matlab环境下熟悉的运用计算机编程语言并结合超松弛变量超松弛迭代法的理论基础对方程组求解。
首先，本文以微分方程边值问题为例，导出了离散化后线性方程组即稀疏线性方程组，转化对稀疏线性方程组求解问题。
其次，用超松弛( SOR) 迭代法编写matlab程序，对产生的稀疏线性方程组进行迭代法求解。
然后，分别改变松弛因子ω和分段数n的值，分析其收敛性和收敛速度，做出各个方面的分析和比较得到相关结论。
最后，将超松弛迭代算法在计算机上运用matlab语言实现, 得出了一组与精确解较接近的数值解,并画图比较，验证逐次超松弛( SOR) 迭代法的精确性。
关键词：稀疏线性方程组；逐次超松弛迭代法；松弛因子；matlab编程
OVERRELAXATION ITERATIVE METHOD FOR
SOLVING
TWO-BOUNDARY VALUE PROBLEM(TWO)
ABSTRACT
This is familiar with the use of computer programming in matlab language and overrelaxation variable overrelaxation iteration method of the theoretical basis of solving equations.
First of all, as an example, based on differential equation boundary value problem is derived after discretization is sparse system of linear equations of linear equations, the transformation of sparse linear equations to solve the problem. Second, use write matlab program over relaxation (SOR) iteration method, the iteration method solving sparse linear equations. Then, change the values of relaxation factor and section number n omega, analyzes its convergence and convergence speed, all aspects to make the analysis and comparison of related conclusions. Finally, the over-relaxation iteration algorithm is implemented on a computer using matlab language and obtained a set of numerical solution with exact solution is close to, and draw the comparison, verification of successive overrelaxation (SOR) the accuracy of iterative method.
Key words: Sparse linear system of equations;Successive over relaxation iteration method; Relaxation factor;Matlab programming
目录
1 绪论 (1)
1.1 课题研究 (1)
2课题研究方法 (2)
2.1 超松弛法产生的背景 (2)
2.2 超松弛迭代法理论基础 (2)
3 实验过程和运行结果 (5)
4 结论 (9)
参考文献 (10)
附录 (11)
1 绪论
1.1 课题研究
考虑两点边值问题
容易知道它的精确解为
为了把微分方程离散，把区间等分，令，，得到差分方程
简化为
从而离散后得到的线性方程组的系数矩阵为
对，，，分别用、和的超松弛迭代法求解线性方程组，然后比较与精确解的误差；探讨使超松弛迭代法收敛较快的取值，对结果进行分析；探讨在迭代过程中取4位有效数字和7位有效数字有什么不同；谈谈你的体会。
改变，讨论同样问题。
2 课题研究方法
2.1 超松弛法产生的背景
对从实际问题中得到维数相当大的线性代数方程组的求解仍然十分困难, 以至使人们不能在允许的时间内用直接方法得到解, 因此, 客观上要求用新的方法来解决大维数方程组的求解问题。
现有大多数迭代法不是对各类线性方程组都有收敛性, 在解题时, 要对原方程组矩阵作一根本的变换, 从而可能使条件数变坏, 也可能破坏了变换前后方程组的等价性, 以及丧
失使原方程组的对称性等。
探求新的有效的解题方法依然是迫切的任务。
逐次超松弛(Successive Over Relaxation)迭代法是在高斯-赛德尔(GS)迭代法基础上为提高收敛速度，采用加权平均而得到的新算法。
在求解过程中由于线性方程组的系数矩阵维数较大, 采用计算机编写算法来求解, 从而实现了对解析模型的计算机数值逼近的计算方法#本论文以逐次超松弛迭代法为主要的求解方法。
2.2 超松弛迭代法理论基础
逐次超松弛迭代法
逐次超松弛(Successive Over Relaxation)迭代法，简称SOR迭代法，它是在GS法基础上为提高收敛速度，采用加权平均而得到的新算法，设解方程(7.1.3)的GS法记为
(1)
再由与加权平均得
这里ω＞0称为松弛参数，将(1)代入则得
(2)
该法称为SOR迭代法，[WTBX]ω＞0称为松弛因子，当ω=1时(2)式即为高斯-赛德尔迭代法，简记GS法，将(2）写成矩阵形式，则得
即
于是得SOR迭代的矩阵表示
(3)
其中
(4)
分解后，有.
逐次超松弛迭代法的收敛性
根据迭代法收敛性定理，SOR法收敛的充分必要条件为，收敛的充分条件为，但要计算比较复杂，通常都不用此结论，而直接根据方程组的系数矩阵A判断SOR迭代收敛性，下面先给出收敛必要条件.
定理1 设，则解方程的SOR迭代法收敛的必要条件是0＜ω＜2.
该定理为SOR迭代法收敛的必要条件。
定理 2 若对称正定，且0＜ω＜2，则解Ax=b的SOR迭代法对迭代收敛.
对于SOR迭代法，松弛因子的选择对收敛速度影响较大，关于最优松弛因子研究较为复杂，且已有不少理论结果.下面只给出一种简单且便于使用的结论。
定理3 设为对称正定的三对角矩阵，是解方程的J法迭代矩阵，若，记，则SOR法的最优松弛因子为
(5)
且
(6)
根据定理，,如图1所示.由(6)可知，当ω=1，时，收敛速度为
.
说明GS法比J法快一倍.
图1
定理4 设,如果：
A为严格对角占优矩阵；（2）0<ω<=1.
则解的SOR迭代法收敛。
3 实验过程和运行结果
自定义函数 sor(A, b, nm, e, w)，以实现SOR方法求解线性方程组AX=B，其中
A——系数矩阵；
b——常数列向量；
w——松弛因子；
nm——迭代的最大次数
e——达到的精度上限
由离散后的差分方程：
得到的线性方程组的系数矩阵为
常数列向量b=
其中，，，，则有。
A为（aij）200*200型矩阵，b为（bij）200*1型矩阵。
在本次试验中，由于所提供数据较小，当最大迭代次数nm较小时，在nm迭代次数范围内，不能判断该超松弛迭代法是否收敛，此次取nm=30000。
迭代精度e也应取较小值才能使误差更小，此次取e=0.00001。
由定理1可知，本次试验中，的取值范围为：0<<2才能保证迭代法收敛。
取，为的矩阵。
用SOR迭代公式得
取不同值时，对应的迭代次数、与精确解的误差如下表1。
表1 取不同值时对应的迭代次数与误差
松弛因子
区间等分数=200 迭代次数误差
0.5 18111 1.1581
1 10368 0.3693
1.5 4891 0.1053
1.6 3945 0.0731
1.7 3017 0.0460
1.8 2087 0.0261
1.9 1113 0.0236
满足误差的迭代次数
图1 计算值与精确值图形比较从本组的实验中，可以看出w 值的取定十分重要，它对求解的迭代次数影响十分明显。
一个不好的w 值甚至会导致迭代超过10000次仍未能求得需要精度的值。
由表1可得，当=1.9时SOR迭代法收敛速度最快，误差最小。
取=1.9，nm=30000,等各个因子相同时，当分段点n取不同值时，对应的迭代次数、与精确解的误差如下表2。
区间等分数n
松弛因子 =1.9 迭代次数误差
120 416 0.2477
150 416 0.2477
200 416 0.2477
250 416 0.2477
满足误差的迭代次数
从本组的实验中，当其他各个因子取适当值时，改变分段数时，对结果没有影响。
图3 精确图形
由图3可得，当各个参数取值适当时，用SOR迭代法所得线性方程组的解与精确解误差极小，从而验证了SOR迭代法的准确性。
4 结论
通过本次的课程设计，可知逐次。